证明卷积交换律

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。

由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 ? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。

（1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)

X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即

叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭

本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质 2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。

(1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭 有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。 2.6.4对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知

卷积定理验证实验

信息与通信工程学 院实验报告 课程名称:数字信号处理 实验题目:卷积定理 指导教师: 班级: 学号: 学生姓名: 一、实验目的与任务 通过本实验,验证卷积定理,掌握利用DFT 与FFT 计算线性卷积的方法。 二、实验原理 时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT 的相乘,因而可以采用FFT 的算法来计算圆周卷积,当满足121-+≥N N L 时,线性卷积等于圆周卷积,因此可利用FFT 计算线性卷积。 三、实验内容及步骤 1. 给定离散信号)(n x 与)(n h ,用图解法求出两者的线性卷积与圆周卷积; 2. 编写程序计算线性卷积与圆周卷积; 3. 比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果,分析原因。 三、实验数据及程序代码 给定两个序列[][]1,6,0,5,0,3,4,2,4,3,1,6,0,5,0,3,4,2X Y ==,点数N=18,分别用conv()函数与FFT 与IFFT 计算卷积。代码如下: clc;clear; x = [1 6 0 5 0 3 4 2 4 3]; %原始序列 y = [1 6 0 5 0 3 4 2]; N = length(x) + length(y); %两序列的长度与 z=conv(x,y); %直接计算线性卷积 %利用 FFT 计算 % %手动补零 % x1 = [x zeros(1,N-length(x))]; %利用对序列 x 补零点 % y1 = [y zeros(1,N-length(y))]; %利用对序列 x 补零点 X = fft(x , N); %对两序列分别求 FFT Y = fft(y, N); Z = X 、*Y; %对两序列的 FFT 相乘并求 IFFT z1=ifft(Z); figure('numbertitle','off','name','1605034243刘桢'); subplot(221),stem(x);axis([1 N -inf inf]);title('序列 x'); subplot(222),stem(y);axis([1 N -inf inf]);title('序列 y'); subplot(223),stem(z);axis([1 N -inf inf]);title('直接卷积'); subplot(224),stem(z1);axis([1 N -inf inf]);title('N=18 点的圆周卷积'); 成绩

实验一 时域离散信号与系统变换域分析(2015)资料

实验一 时域离散信号与系统变换域分析 一、实验目的 1．了解时域离散信号的产生及基本运算实现。 2．掌握离散时间傅里叶变换实现及系统分析方法。 3. 熟悉离散时间傅里叶变换性质。 4. 掌握系统Z 域分析方法。 5. 培养学生运用软件分析、处理数字信号的能力。 二、实验设备 1、计算机 2、Matlab7.0以上版本 三、实验内容 1、对于给定的时域离散信号会进行频谱分析，即序列的傅里叶变换及其性质分析。 2、对于离散系统会进行频域分析及Z 域分析。包括频谱特性、零极点画图、稳定性分析。 3、对于差分方程会用程序求解，包括求单位冲击序列响应，零输入响应、零状态响应、全响应，求其系统函数，及其分析。 4、信号时域采样及其频谱分析，序列恢复。 5、扩展部分主要是关于语音信号的读取及其播放。 四、实验原理 1、序列的产生及运算 在Matlab 中自带了cos 、sin 、exp （指数）等函数，利用这些函数可以产生实验所需序列。 序列的运算包括序列的加法、乘法，序列)(n x 的移位)(0n n x -，翻褶)(n x -等。序列的加法或乘法指同序号的序列值逐项对应相加或相乘，但Matlab 中“+”“.*”运算是对序列的值直接进行加或乘，不考虑两序列的序号是否相同，因此编程时考虑其序号的对应。 2、序列的傅里叶变换及其性质 序列的傅里叶变换定义：)(|)(|)()(ω?ωωω j j n n j j e e X e n x e X ==∑∞-∞=-，其幅度特性为|)(|ωj e X ， 在Matlab 中采用abs 函数；相位特性为)(ω?，在Matlab 中采用angle 函数。 序列傅里叶变换的性质：

傅里叶变换性质证明

2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶

f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质

2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （ 1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是

卷积特征提取

卷积特征提取 ? ? ? ? ? ? 前面的练习中，解决了一些有关低分辨率图像的问题，比如：小块图像，手写数字小幅图像等。在这部分中，我们将把已知的方法扩展到实际应用中更加常见的大图像数据集。 在稀疏自编码章节中，我们介绍了把输入层和隐含层进行“全连接”的设计。从计算的角度来讲，在其他章节中曾经用过的相对较小的图像（如在稀疏自编码的作业中用到过的8x8 的小块图像，在MNIST数据集中用到过的28x28 的小块图像），从整幅图像中计算特征是可行的。但是，如果是更大的图像（如96x96 的图像），要通过这种全联通网络的这种方法来学习整幅图像上的特征，从计算角度而言，将变得非常耗时。你需要设计10 的4 次方（=10000）个输入单元，假设你要学习100 个特征，那么就有10 的 6 次方个参数需要去学习。与28x28 的小块图像相比较，96x96 的图像使用前向输送或者后向传导的计算方式，计算过程也会慢10 的 2 次方（=100）倍。 解决这类问题的一种简单方法是对隐含单元和输入单元间的连接加以限制：每个隐含单元仅仅只能连接输入单元的一部分。例如，每个隐含单元仅仅连接输入图像的一小片相邻区域。（对于不同于图像输入的输入形式，也会有一些特别的连接到单隐含层的输入信号“连接区域”选择方式。如音频作为一种信号输入方式，一个隐含单元所需要连接的输入单元的子集，可能仅仅是一段音频输入所对应的某个时间段上的信号。） 网络部分连通的思想，也是受启发于生物学里面的视觉系统结构。视觉皮层的神经元就是局部接受信息的（即这些神经元只响应某些特定区域的刺激）。

自然图像有其固有特性，也就是说，图像的一部分的统计特性与其他部分是一样的。这也意味着我们在这一部分学习的特征也能用在另一部分上，所以对于这个图像上的所有位置，我们都能使用同样的学习特征。 更恰当的解释是，当从一个大尺寸图像中随机选取一小块，比如说8x8 作为样本，并且从这个小块样本中学习到了一些特征，这时我们可以把从这个8x8 样本中学习到的特征作为探测器，应用到这个图像的任意地方中去。特别是，我们可以用从8x8 样本中所学习到的特征跟原本的大尺寸图像作卷积，从而对这个大尺寸图像上的任一位置获得一个不同特征的激活值。 下面给出一个具体的例子：假设你已经从一个96x96 的图像中学习到了它的一个8x8 的样本所具有的特征，假设这是由有100 个隐含单元的自编码完成的。为了得到卷积特征，需要对96x96 的图像的每个8x8 的小块图像区域都进行卷积运算。也就是说，抽取8x8 的小块区域，并且从起始坐标开始依次标记为（1，1），（1，2），...，一直到（89，89），然后对抽取的区域逐个运行训练过的稀疏自编码来得到特征的激活值。在这个例子里，显然可以得到100 个集合，每个集合含有89x89 个卷积特征。 假设给定了的大尺寸图像，将其定义为x large。首先通过从大尺寸图像中抽取的的小尺寸图像样本x small训练稀疏自编码，计算f= σ(W(1)x small + b(1))（σ是一个sigmoid 型函数）得到了k个特征，其中W(1)和b(1)是可视层单元和隐含单元之间的权重和偏差值。对于每一个大小的小

卷积定理验证实验

信息与通信工程学院实验报告 课程名称：数字信号处理 实验题目：卷积定理 指导教师： 班级： 学号： 学生姓名： 一、实验目的和任务 通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT 和FFT 计算线性卷积的方法。 二、实验原理 时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT 的相乘，因而可以采用FFT 的算法来计算圆周卷积，当满足121-+≥N N L 时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT 计算线性卷积。 三、实验内容及步骤 1. 给定离散信号)(n x 和)(n h ，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积； 2. 编写程序计算线性卷积和圆周卷积； 3. 比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因。 三、实验数据及程序代码 给定两个序列[][]1,6,0,5,0,3,4,2,4,3,1,6,0,5,0,3,4,2X Y ==， 点数N=18，分别用conv()函数和FFT 与IFFT 计算卷积。代码如下： clc;clear; x = [1 6 0 5 0 3 4 2 4 3]; %原始序列 y = [1 6 0 5 0 3 4 2]; N = length(x) + length(y); %两序列的长度和 z=conv(x,y); %直接计算线性卷积 %利用 FFT 计算 % %手动补零 % x1 = [x zeros(1,N-length(x))]; %利用对序列 x 补零点 % y1 = [y zeros(1,N-length(y))]; %利用对序列 x 补零点 X = fft(x , N); %对两序列分别求 FFT Y = fft(y, N); Z = X.*Y; %对两序列的 FFT 相乘并求 IFFT

卷积定理

数字信号处理实验报告 实验二：卷积定理 班级：10051041 姓名： 学号：

一、实验目的 通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT和FFT计算线性卷积的方法。二、实验原理 时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT的相乘，因而可以采用FFT的算 法来计算圆周卷积，当满足 121 L N N ≥+-时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT计算线性卷积。 三、实验内容和步骤 1．给定离散信号() x n和() h n，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积；2．编写程序计算线性卷积和圆周卷积； 3．比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因。 四、实验设备 计算机、Matlab软件 五、实验程序 1相同列长 %实验二:卷积定理 %褚耀欣 x=[1 1 0 1 3]; %原始序列 y=[3 0 0 1 3]; %直接计算圆周卷积或线性卷积 z=conv(x,y); figure(1),subplot(311),stem(x);axis([1 9 0 4]); subplot(312),stem(y);axis([1 9 0 4]); subplot(313),stem(z);axis([1 9 0 30]); %利用FFT计算 N=10;%N=8时 x1=[x zeros(1,N-length(x))]; y1=[y zeros(1,N-length(y))];

X1=fft(x1); Y1=fft(y1); Z1=X1.*Y1; z1=ifft(Z1); figure(2), subplot(321),stem(x1); subplot(322),stem(real(X1)); subplot(323),stem(y1); subplot(324),stem(real(X1)); subplot(325),stem(z1); subplot(326),stem(real(Z1)); N=5;%N=5时 x2=[x zeros(1,N-length(x))]; y2=[y zeros(1,N-length(y))]; X2=fft(x2); Y2=fft(y2); Z2=X2.*Y2; z2=ifft(Z2); figure(3), subplot(321),stem(x2); subplot(322),stem(real(X2)); subplot(323),stem(y2); subplot(324),stem(real(X2)); subplot(325),stem(z2); subplot(326),stem(real(Z2));

卷积证明及研究卷积在时域-频域信号中的应用

研究卷积在时域-频域信号中的应用 卷积定义：若已知函数()1f t ，()2f t ，称积分()()12d f f t τττ+∞-∞ -?为函数()1f t ，()2f t 的卷积，记为()()12f t f t *，即 ()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞ -∞*=-? 卷积积分是一种数学方法，它是沟通时域-频域的一个桥梁，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。在很多情况下，卷积积分的计算比较困难，但是根据卷积的特性可以将卷积积分变成乘法运算，从而使信号分析人工化。变成的乘法运算即 若 ()(f)x t X ? ()(f)y t Y ? 则()()(f)Y(f)x t y t X *?，()()(f)Y(f)x t y t X ?* ※现给出卷积定理在时域-频域中应用的证明 ()()()()1212d f t f t f f t τττ+∞ -∞*=-? 上式两边进行傅里叶变换，有 ()()()()j 1212d e d F t f t f t f f t t ωτττ+∞+∞--∞-∞??=???*-???? ? ?? 交换积分次序 ()()()()j 1212e d d F t f t f t f f t t ωτττ+∞ +∞--∞-∞=???*-?????? ???

()()j j ()12e e d()d t t f f t t ωωτττττ+∞ +∞----∞-∞??=--???? ??根据时移特性，上式的中括号内的积分就是()2f t 的傅里叶变换，即 ()()()j 1212F e F ()d t f t f t f ωτωτ+∞--∞*=????? ()j 21F ()e d t f ωωττ+∞--∞=? 同理，上式中的积分就是()1f t 的傅里叶变换，即 ()()122112F F ()F ()F ()F ()f t f t ωωωω*==???? 因此， ()()1212F ()F ()f t f t ωω*? 总结：时域中的信号卷积，对应着频域乘积；而时域中的信号乘积，对应着频域卷积，即 若 ()(f)x t X ? ()(f)y t Y ? 则()()(f)Y(f)x t y t X *?，()()(f)Y(f)x t y t X ?*

信号与系统 各种公式性质证明

第一章 绪论 1、证明：)(1 )(t a at δδ=，利用结论?∞ ∞ -dt t )(δ ?∞ ∞ -dt at )(δ计算 利用换元法，令ττ τd a dt t at 1 1 = ?= ?=，则： )(1)()(1)(t a at dt t a dt at δδδδ=?= ??∞ ∞ -∞ ∞ - 此证明的物理意义层面的解释，因为)(t δ表示的是强度为“1”的一个冲激函数，即是此函数包含的面积为“1”，但是持续时间无穷小，瞬间量值无穷大的一个物理量。而)(at δ是对 )(t δ函数的尺度变换，其函数持续时间变化为原来的 a 1 倍，但是量值大小不变，所以相当于冲激强度变为原来的 a 1倍，所以可以表示为)(1 )(t a at δδ=。 2、证明)(1 )(00a t t a t at -= -δδ 设??∞∞-∞∞--=-dt a t t a dt t at )([)(00δδ 令? ??∞ ∞ -∞∞-∞∞-= =-?=?-=ττδττδδττd a d a dt a t t a d dt a t t )(1 )()([00 )(1 )()(1 )([00000a t t a t at dt a t t a dt a t t a d dt a t t -=-?- = -?=?- =? ?∞ ∞ -∞∞-δδδδττ 3、证明)(1||1)()(1||1)() ()(' ' t a a at t a a at n n n δδδδ= = 先证明)(1||1)(' ' t a a at δδ= ，利用冲激函数的广义函数定义证明。 dt t t a a dt t t a a dt t t t t a a dt t t a a dt t t a a dt t at a t at a dt t at a dt t at ? ? ??????∞ ∞-∞ ∞ -∞∞-∞ ∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞ ∞-∞ ∞-∞ ∞-== ???? ??--=-=-=-==)()('1 1)()('11)()(')()(11)(')(11)(')(11)(')(1)()](1[)()]'(1[)()(' ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ?δ

卷积定理

（软件仿真性实验） 课程名称：数字信号处理 实验题目：卷积定理 一、实验目的和任务 通过本实验，验证卷积定理，掌握利用DFT和FFT计算线性卷积的方法。 二、实验内容及原理 实验原理：时域圆周卷积在频域上相当于两序列DFT的相乘，因而可以采用FFT的算法来计算圆周卷积，当满足L≥N1+N2-1时，线性卷积等于圆周卷积，因此可利用FFT计算线性卷积。 实验内容：在给定离散信号x(n)和h(n)，用图解法求出两者的线性卷积和圆周卷积 三、实验步骤或程序流程 1.编写程序计算线性卷积与圆周卷积 2.先求数列的DFT，然后利用性质时域卷积等于频域乘积，计算序列的线性卷积 3.比较不同列长时的圆周卷积与线性卷积的结果，分析原因 四、实验数据及程序代码

clc;clear; x=1:1:9; y=[9 8 7 6 ]; z=conv(x,y); z2=cconv(x,y); m=length(x); n=length(y); N=m+n-1; X=fft(x,N); Y=fft(y,N); Z1=X.*Y; z1=ifft(Z1,N); subplot(3,1,1),stem(z);title('线性卷积'); subplot(3,1,2),stem(z2);title('圆周卷积') subplot(3,1,3),stem(z1);title('FFT 卷积') 五、实验数据分析及处理 200 400 线性卷积 200 400 圆周卷积 024681012 0200 400 FFT 卷积

六、实验结论与感悟（或讨论） 1.通过本实验，我验证了卷积定理，掌握利用DFT和FFT计算线性卷积的方法 2.发现了圆周卷积和线性卷积关系：L≥N1+N2-1可以用线性卷积代替圆周卷积，L＜ N1+N2-1时，线性卷积和圆周卷积的结果不同

频域卷积定理证明

频域： 频域frequency domain 是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。在电子学，控制系统工程和统计学中，频域图显示了在一个频率范围内每个给定频带内的信号量。频域表示还可以包括每个正弦曲线的相移的信息，以便能够重新组合频率分量以恢复原始时间信号。 卷积定理： 卷积定理是傅立叶变换满足的一个重要性质。卷积定理指出，函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。具体分为时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。 模数转换： 模拟信号只有通过A/D转化为数字信号后才能用软件进行处理，这一切都是通过A/D转换器（ADC）来实现的。与模数转换相对应的是数模转换，数模转换是模数转换的逆过程，接下来本文将主要介绍几种模数转换的方法以及模数转换器的参数等。 简介： 与传统无线电不同，软件无线电要求尽可能地以数字形式处理无线信号，因此必须将A/D和D/A转换器尽可能地向天线端推移，这就对A/D和D/A转换器的性能提出了更高的要求。主要体现在两个方面。

（1）采样速率。依据采样定理，A/D转换器的抽样频率fs应大于2Wa（Wa为被采样信号的带宽）。在实际中，由于A/D转换器件的非线性、量化噪声、失真及接收机噪声等因素的影响，一般选取fs>2.5Wa。 （2）分辨率。采样值的位数的选取需要满足一定的动态范围及数字部分处理精度的要求，一般分辨率80dB的动态范围要求下不能低于12位。 模数变换方法： 软件无线电对模数变换的技术要求包括以下几个方面： （1）采样方法应满足采样定理，适当加入抗混迭滤波器； （2）宽带化，如在中频对模拟信号进行数字化，信号带宽通常在十几到几十兆赫兹； （3）保持较高的信号动态范围； （4）高采样率，应尽量在中频或射频工作，以尽可能保证整机的软件化处理； （5）减少量化噪声。 模数变换主要是对模拟信号进行采样，然后量化编码为二进制数字信号；数模变换是模数变换的逆过程，主要是将当前数字信号重建为模拟信号。下面主要介绍采样和重建的方法。 1．低通采样 低通采样定理表述如下。 一个频带限制在（0，fH）内的连续信号x(t)，如果抽样频率fs

傅里叶变换性质证明

傅里叶变换性质证明The final revision was on November 23, 2020

傅里叶变换的性质 2.6.1线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数a和b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即

叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和? 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则

在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性 已知f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 ? 根据定义，上式还可以写成 下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 （）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故