2018中考数学汇编专题五二次函数综合压轴题(pdf)

21 29 专题五 二次函数综合压轴题(不含解析类)

1.（2018 江苏南通，第 27 题, 12 分）

已知，正方形 ABCD ，A (0，﹣4)，B (1，﹣4)，C (1，﹣5)，D (0，﹣5)，抛物线 y ＝x 2＋mx ﹣ 2m ﹣4(m 为常数)，顶点为 M ． （1）抛物线经过定点坐标是

，顶点 M 的坐标（用 m 的代数式表示）是

；

（2）若抛物线 y ＝x 2＋mx ﹣2m ﹣4(m 为常数)与正方形 ABCD 的边有交点，求 m 的取值范围； （3）若∠ABM ＝45°时，求 m 的值． 【解析】

（1）(2，0)，( - m 2 1

， - 1

m 2 - 2m - 4 )； 4

（2） 2

≤ m ≤ 1 ；

（3） m = - 5 或 - 5 ．

2.（2018 江苏泰州，第 26 题, 14 分）

k

平面直角坐标系 xOy 中，横坐标为 a 的点 A 在反比例函数 y 1 = (x ＞0)的图象，点 A ′与点

x

A 关于点 O 对称，一次函数 y 2 = mx + n 的图象经过点 A ′．

（1）设 a ＝2，点 B (4，2)在函数 y 1 ， y 2 的图像上．①分别求函数 y 1 ， y 2 的表达式；②直 接写出使 y 1 ＞ y 2 ＞0 成立的 x 的范围；

（2）如图①，设函数 y 1 ， y 2 的图像相交于点 B ，点 B 的横坐标为 3a ，△AA ′B 的面积为 16，求 k 的值；

1 （3）设 m ＝ ，如图②，过点 A 作 AD ⊥x 轴，与函数 y 2

2

的图像相交于点 D ，以 AD 为一 边向右侧作正方形 ADEF ，试说明函数 y 2 的图像与线段 EF 的交点 P 一定在函数 y 1 的图像 上．

5

【解析】

8 （1）① y 1 = ， y 2 = x - 2 ，②0＜x ＜4；

x

（2）k 的值为 6；

（3）设 A ( a ， k )，则 A ′(﹣ a ，﹣ k

)，代入 y

得 n = a - k

，

a 1 a k

a 2

2 a

∴ y 2 = x + - ，

2 2 a ∴D ( a ， a - k

)

a 2k ∴AD ＝ a

- a ，

2k 2k

a 2k a ∴ x P = a + - a = a

a ，代入 y 2 得 y P = 2

，即 P ( a ， 2 ) k a 将点 P 横坐标代入 y 1 = 得纵坐标为 ，可见点 P 一定在函数 y 1 的图像上．

x 2

3. （2018 江苏无锡，第 28 题, ）

已知；如图，一次函数 y = k x -1的图象经过点 A

（ 3

，m ）

（m>0）,与 y 轴交于点 B ，点 C ，在线段 AB 上，且 BC=2AC ，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D ，若 AC=CD ，

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）已知一开口向下，以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A ，它的顶点为 P ，若过点 P

且垂直于 AP 的直线与 x 轴 的交点为 Q （ -

4 5 ，0）求这条抛物线的函数表达式。

5

3 5 5 5 5 k 2 +1 5 5 5

4

5 5

【解答】作 BE ⊥CD ，AF ⊥BE ，AM ⊥CD 易证△BEC ∽△BFA

BC BE ∴

=

BA

BF

∵BC=2AC ，A （ 2

BE = 2

3

，m ）

∴BE=2

C （2 ，2 k-1）

又∵ y = kx -1

易得 AC=

∵AC=CD ，∴ =2 k-1

所以得到 k=

5

（3）设 y = a (x - 2 )2 + h A （ 3 ，5）

h ×（h-5）=（ 2

h =7

+

）×

5

y = a (x - 2 )2 + 7

y

A C

x

O D

B

5 5 5 k 2

+1

2 5

5 5

5 2

5a+7=5 a= - 即 y = - 5 2 (x - 2 5

)2 + 7

4. （2018 江苏徐州 ，第 27 题,）

已知二次函数的图象以 A （－1，4）为顶点，且过点 B （2，－5） ①求该函数的关系式；

②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A 、B 两点随图象移至 A ′、B ′， 求△O A ′B ′的面积. [解析]

解：（1） y = -x 2

- 2x + 3

（2） （0,3），（－3,0），（1,0）

y

（3）略

5. （2018 江西 ，第 23 题） 小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程： 求解体验

(1) 已知抛物线 经过点 (-1,0),则 = ， (2) 顶点坐标为 ， 该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是

. 抽象感悟

x

备用图

我们定义：对于抛物线 ,以 轴上的点 为中心，作该抛物线关

-1

O

1

O

y

O

x

于点 对称的抛物线 ′ ,则我们又称抛物线 ′为抛物线 的“衍生抛物线”，点 为“衍生 中心”.

(2)已知抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ′，若这两条抛物线有交点， 求 的取值范围. 问题解决

(3) 已知抛物线 ①若抛物线 的衍生抛物线为 ′

,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求 ， 的值及衍生中心的坐标； ②若抛物线 关于点 的衍生抛物线为 ,其顶点为 ；关于点 的衍生抛 物线

为 ，其顶点为 ；…；关于点 的衍生抛物线为 ，其顶点为 ；…( 为 正整数).求 的长(用含 的式子表示). 【解析】

求解体验

y

(1)把(-1,0)代入 得

∴ －

★

抽象感悟

∴顶点坐标是(-2,1)

∵(-2,1)关于(0,1)的对称点是(2,1) ∴成中心对称的抛物线表达式是：

x

即

(如右图)

★

(2) ∵ ∴ 顶点是（-1,6）

∵ (-1,6)关于 的对称点是

∴ ′

∵ 两抛物线有交点

∴ 有解 ∴ 有解 ∴ ∴ (如右图) ★★★ 问题解决

(3) ① ∵ =

y

∴ 顶点（-1， ）

代入 ′ 得：

①

∵

′

∴ 顶点（1， ）

x

5

9 6 3

O

代入得：

②

由① ② 得

∵ ,

∴

∴ 两顶点坐标分别是（-1,0），（1,12）由

中点坐标公式得

“衍生中心”的坐标是（0,6）★★★

②如图，设,…, 与轴分别相于 ,…, . 则

与 , 与 ,… 与，与分别关于 , … , 中心

对称.

线，★★∴ , …分别是△ , … 的中位

∴ ，…

∵ ,

∴ ]★★

x

y

n+1

O

B n+1

n

A B

k

B n

B1

A k

A1

6. （2018 辽宁大连，第 24 题）

如图 1，直线 AB 与x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90°，得到 AC，连接 BC，将△ABC 沿射线 BA 平移，当点 C 到达x 轴时运动停止．设平移为m，平移后的图形在x 轴下方部分的面积为 S．S关于m 的函数图象如图 2 所示（其中0＜m≤a，a＜m≤b 时，函数的解析式不同）

（1）填空：△ABC 的面积为；

（2）求直线 AB 的解析式；

（3）求 S 关于m 的解析式，并写出m 的取值范国．

5

4

7. （2018 山东滨州，第 26 题，14 分）

如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（1，2）且与 x 轴相切于点 B．

（1）当 x=2 时，求⊙P 的半径；

（2）求 y 关于 x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．

（4）当⊙P 的半径为 1 时，若⊙P 与以上（2）中所得函数图象相交于点 C、D，其中交点D（m，n）在点 C 的右侧，请利用图②，求 cos∠APD 的大小．

【解答】解：（1）由 x=2，得到 P（2，y），

连接 AP，PB，

∵圆 P 与 x 轴相切，

∴PB⊥x 轴，即 PB=y，

由=y，

解得：y= ，

则圆 P 的半径为；

则cos∠APD== ﹣2．

（2）同（1），由 AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，

整理得：y=（x﹣1）2+1，即图象为开口向上的

抛物线，画出函数图象，如图②所示；

（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点 A 的距离等于到 x 轴的距离的所有点的集合；

故答案为：点 A；x 轴；

（4）连接 CD，连接 AP 并延长，交 x 轴于点 F，

设 PE=a，则有，

∴D 坐标为（1+，a+1），

代入抛物线解析式得：a+1=（1﹣a2）+1，

解得：a=﹣2+或（舍

去），即，

在 Rt△PED ﹣2，PD=1，

8.（2018 山东济宁，第 21 题，9 分）

知识

背景

a y 当 a ＞0 且 x ＞0 时，因为( x – )2≥0，所以 x ﹣2 a a

+ ≥0，从而 x + ≥ 2 x x

（当 x = 时取等号）． a 设函数 y =x + x 应用举例

(a ＞0，x ＞0)由上述结论可知：当 x =

4

时，该函数有最小值为 2 ．

4

已知函数为 y 1=x (x ＞0)与函数 y 2== x 解决问题

(x ＞0) ，则当 x = 2

=2 时，y 1+y 2

=x+ x 有最小值为 2

y 2 =4． （1）已知函数为 y 1=x +3(x ＞﹣3)与函数 y 2=(x +3) +9(x >﹣3)，当 x 取何值时，

1

最小值是多少？

有最小值？

（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共 490 元；二是

设备的租赁使用费用，每天 200 元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比， 比例系数为 0.001，若设该设备的租赁使用天数为 x 天，则当 x 取何值时，该设备平均每 天的租货使用成本最低？最低是多少元？

【解答】解：（1）==（x+3）+ ，

∴当 x+3= 有最小值，

∴x=0 或﹣6（舍弃）时，有最小值=6．

（2）设该设备平均每天的租货使用成本为 w 元．则 w=

=

+0.001x+200，

∴当=0.001x 时，w 有最小值，

∴x=700 或﹣700（舍弃）时，w 有最小值，最小值=201.4 元．

9.（2018 山东聊城，第 25 题）

如图，已知抛物线 y = ax 2

+ bx 与 x 轴分别交于原点 O 和点 F (10, 0) ，与对称轴 l 交于点

E (5,5) .矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴正半轴上，且 AB = 1，边 AD ， BC 与抛物线分别交 于

点 M ，N .当矩形 ABCD 沿 x 轴正方向平移，点 M ，N 位于对称轴 l 的同侧时，连接 MN ，

a x a a

a a 4

4

此时，四边形ABNM 的面积记为S ；点M ，N 位于对称轴l 的两侧时，连接EM ，EN ，此时五边形ABNEM 的面积记为S .将点A 与点O 重合的位置作为矩形ABCD 平移的起点，设矩形ABCD 平移的长度为t(0 ≤t ≤ 5) .

（1）求出这条抛物线的表达式；

（2）当t = 0 时，求S?OBN 的值；

（3）当矩形ABCD 沿着x 轴的正方向平移时，求S 关于t(0 ≤t ≤ 5) 的函数表达式，并求

出t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？

10.（2018 山东淄博，第 24 题，9 分）

如图，抛物线 y=ax2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点），点），O 为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若 P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且 n＜m，求 t 的取值范围；

（3）若 C 为线段 AB 上的一个动点，当点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点 C 的坐标．

【解答】解：（1）把点 A（1，），点 B（3，﹣）分别代入 y=ax2+bx 得

解得

∴y=﹣

（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线 x=

当时，y 随 x 的增大而减小

∴当 t＞4 时，n＜m．

（3）如图，设抛物线交 x 轴于点 F

分别过点 A、B 作 AD⊥OC 于点 D，BE⊥OC 于点 E

∵AC≥AD，BC≥BE

∴AD+BE≥AC+BE=AB

∴当 OC⊥AB 时，点 A，点 B 到直线 OC 的距离之和最大．∵A（1，），点 B（3，﹣）

∴∠AOF=60°，∠BOF=30°

∴∠AOB=90°

∴∠ABO=30°

当 OC⊥AB 时，∠BOC=60°

点 C ，）．

11.（2018 山西，第 23 题，9 分）综合与

探究

如图，抛物线y

=1 x2 -1 x - 4 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交3 3

于点C ，连接AC ，BC .点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ，过点P 作PE // AC 交x 轴于点E ，交BC 于点F .

（1）求A ，B ，C 三点的坐标；

（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直．接．写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m 的代数式表示线段QF 的长，并求出m 为何值时QF 有最大值.

13

12.（2018 云南，第 20 题，9 分）

3

9

已知二次函数 y ＝–

16 x 2＋bx ＋c 的图象经过 A （0，3）、B （–4，– 2

）两点． （1）求 b 、c 的值；

3 （2）二次函致 y ＝– 16

x 2

＋bx ＋c 的图象与 x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；

若没有，请说明理由．

12.（2018 浙江杭州，第 22 题，12 分）

设二次函数 y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b 是常数，a≠0）．

（1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过 A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．

（3）若 a+b＜0，点 P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0．

【解答】解：（1）由题意△=b2﹣4?a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）

2≥0

∴二次函数图象与 x 轴的交点的个数有两个或一个

（2）当 x=1 时，y=a+b﹣（a+b）=0

∴抛物线不经过点 C

把点 A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得

解得

∴抛物线解析式为 y=3x2﹣2x﹣1

（3）当 x=2 时 m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞

0①

∵a+b＜0

∴﹣a﹣b＞0②

①②相加得： 2a ＞0 ∴a ＞0

13.（2018 浙江嘉兴，第 23 题，12 分）

（1）Θ点 M 坐棕是 (b ,4b +1) ,

∴把 x = b 代入 y = 4x +1,得 y = 4b +1,

∴点 M 在直线 y = 4x +1上.

（2）如图 1, Θ直线 y = mx + 5 与 y 轴交于点内 B ,∴点 B 坐杯为 (0,5) . 又

Θ B (0,5) 在抛物线上,

∴ 5 = -(0 - b )2 + 4b +1,解得 b = 2 ,

∴二次函数的表达式为 y = -(x - 2)2 + 9 ,

∴当 y = 0 时,得 x 1 = 5, x 2 = -1.∴ A (5,0) 双察

图象可得,当 mx + 5 > -(x - b )2

+ 4b +1时, x

的取值范围为 x < 0 或 x > 5

（3）如图 2, Θ直线 y = 4x +1与直线 AB 交于点 E ,与 y 轴交于点 F , 而直线 AB 表达式为 y = -x + 5 ,

?

4 ?4x + 1 解方程组 ? ? y = -x +

5 ? y = 5 得 ?

? y = 21

∴点 E ( 4 , 5 21), F (0,1) 5 ?? 5

点 M 在 ?AOB 内,∴0 < b < 4

.

5

当点 C , D 关于抛物线对称轴（直线 x = b ）对称时,

b - 1 = 3 - b ,∴b = 1

4 4 2

且二次函数图象的开口向下,顶点 M 在直线 y = 4x +1上,

综上:①当一∴0

<

1

2

时. y1 >y2②当b =

1

2

时，y1 =y2 ;

③当1

2

4

5

时，y1

14. （2018 浙江杭州，第 23 题，12 分）

巳知,点M 为二次函数y =-(x -b)2 + 4b +1图象的顶点,直线y =mx + 5 分别交x 轴, y 轴于点A, B

（1）判断顶点M 是否在直线y =4x +1上,并说明理由.

（2）如图 1.若二次函数图象也经过点A, B .且mx + 5 >-(x -b)2 + 4b +1.根据图象, 写

出x 的取值范围.

（3）如图 2.点A 坐标为(5,0) ,点M 在?A0B 内,若点C(1 , y ) , D( 3 , y ) 都在二次函数图象

4 1 4 2

上，试比较y1 与y2 的大小.

【解答】解：（1）点 M 为二次函数 y=﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的顶点，

∴M 的坐标是（b，4b+1），

把 x=b 代入 y=4x+1，得 y=4b+1，

∴点 M 在直线 y=4x+1 上；

（2）如图 1 ，

直线 y=mx+5 交 y 轴于点 B，

∴B 点坐标为（0，5）又 B 在抛物线上，

∴5=﹣（0﹣b）2+4b+1=5，解得 b=2，

二次函数的解析是为 y=﹣（x﹣2）2+9，

当 y=0 时，﹣（x﹣2）2+9=0，解得 x1=5，x2=﹣1，

∴A（5，

0）．由图象，

得

当 mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1 时，x 的取值范围是 x＜0 或 x＞5；（3）如图 2，

∵直线 y=4x+1 与直线 AB 交于点 E，与 y 轴交于 F，

A（5，0），B（0，5）得

直线 AB 的解析式为 y=﹣x+5，

联立 EF，AB 得

方程组，

解得，

∴点，），F（0，

1）．点 M 在△AOB 内，

1＜4b+1＜

∴0＜b＜．

当点 C，D 关于抛物线的对称轴对称时，b﹣= ﹣b，∴b= ，

且二次函数图象开口向下，顶点 M 在直线 y=4x+1 上，

综上：①当时，y1＞y2，

②当时，y1=y2，

③当＜b＜时，y1＜y2．

15. （2018 浙江宁波，第 22 题，10 分）

已知抛物线x2+bx+c ）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线x2+bx+c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．

【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，

解得：，

则抛物线解析式为x2﹣x+；

（2）抛物线解析式为x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，将抛物线向右平移一个

单位，向下平移2 个单位，解析式变为x2．16.（2018 浙江舟山，第23 题，

10 分）

已知，点 M 为二次函数 y=﹣（x﹣b）2+4b+1 图象的顶点，直线 y=mx+5 分别交 x 轴正半轴，y 轴于点 A，B．

（1）判断顶点 M 是否在直线 y=4x+1 上，并说明理由．

（2）如图 1，若二次函数图象也经过点 A，B，且 mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出 x 的取值范围．

（3）如图 2，点 A 坐标为（5，0），点 M 在△AOB 内，若点，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较 y1 与 y2 的大小．