2011年文科数学

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（供文科考生使用）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的． 1．已知集合A ={x 1|>x }，B ={x 21|<<-x }}，则A B = A ．{x 21|<<-x } B ．{x 1|->x }

C ．{x 11|<<-x }

D ．{x 21|<

2．i 为虚数单位，=+++

7

531111

i i i i

A ．0

B ．2i

C ．i 2-

D ．4i 3．已知向量)1,2(=a ，),1(k -=b ，0)2(=-?b a a ，则=k

A ．12-

B ．6-

C ．6

D ．12

4．已知命题P ：?n ∈N ，2n ＞1000，则?P 为 A ．?n ∈N ，2n ≤1000 B ．?n ∈N ，2n ＞1000 C ．?n ∈N ，2n ≤1000

D ．?n ∈N ，2n ＜1000 5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8

D ．16

6．若函数)

)(12()(a x x x

x f -+=

为奇函数，则a =

A ．

21

B ．

3

2

C ．

4

3

D ．1

7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中

点到y 轴的距离为

A ．

34

B ．1

C ．

54

D ．

74

8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图

如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是

A ．4

B ．32

C ．2

D ．3

9．执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A ．8 B ．5 C ．3 D ．2

10．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2，

∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC 的体积为

A B

C ．3

D ．

3

11．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，

则42)(+>x x f 的解集为

A ．（1-，1）

B ．（1-，+∞）

C ．（∞-，1-）

D ．（∞-，+∞）

12．已知函数)(x f =A tan （ωx +?）（2

||,0π

?ω<

>），y =)(x f 的

部分图像如下图，则=)24

(π

f

A ．

B

C D ．2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第

22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________． 14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示

年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：

321.0254.0?+=x y

．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．

15．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________． 16．已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是___________．

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A ． （I ）求

b

a

；

（II ）若c 2=b 22，求B ．

18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =1

2

PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；

（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．

19．（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

（I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；

（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm 2）如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据n x x x ,,,21???的的样本方差])()()[(1

222212x x x x x x n

s n -+???+-+-=，其中x 为

样本平均数．

20．（本小题满分12分）

设函数)(x f =x +ax 2+b ln x ，曲线y =)(x f 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2．

（I ）求a ，b 的值；

（II ）证明：)(x f ≤2x -2．

21．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．

（I ）设1

2

e

，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ． （I ）证明：CD //AB ；

（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???==??

sin cos y x （?为参数），曲线C 2的参

数方程为?

??==??

sin cos b y a x （0>>b a ，?为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐

标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=2

π

时，这两个交点重合．

（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=

4

π

时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=4

π

-

时，l 与C 1，C 2的交点为

A 2，

B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数)(x f =|x -2||-x -5|． （I ）证明：3-≤)(x f ≤3；

（II ）求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集．

参考答案

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题

1—5 DADAB 6—10 ACBCC 11—12 BB 二、填空题

13．22(2)10x y -+= 14．0.254 15．—1

16．(,2ln 22]-∞- 三、解答题

17．解：（I ）由正弦定理得，2

2

sin sin cos A B A A +=

，即

22sin (sin cos )B A A A +=

故sin ,b

B A a

=

=所以

………………6分

（II ）由余弦定理和2

2

2

,cos c b B =+=

得

由（I ）知222,b a =故22(2.c a =

可得2

1cos ,cos 0,cos 452B B B B =

>== 又故所以 …………12分 18．解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形

因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.

又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.

在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=

2

PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分 （II ）设AB=a .

由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积311.3

V a = 由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而

，△DCQ

2

， 所以棱锥P —DCQ 的体积为321.3

V a =

故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分 19．解：（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，

令事件A=“第一大块地都种品种甲”.

从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个； （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. 而事件A 包含1个基本事件：（1，2）.

所以1

().6

P A =

………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

2

22222221

(403397390404388400412406)400,

8

1(3(3)(10)4(12)0126)57.25.

8

x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲

………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

2

222222221

(419403412418408423400413)412,

8

1(7(9)06(4)11(12)1)56.

8

x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙

………………10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．解：（I ）()12.b

f x ax x

'=++

…………2分 由已知条件得(1)0,10,

(1) 2.12 2.

f a f a b =+=???

?

'=++=??即 解得1, 3.a b =-= ………………5分

（II ）()(0,)f x +∞的定义域为，由（I ）知2

()3ln .f x x x x =-+

设2

()()(22)23ln ,g x f x x x x x =--=--+则

3(1)(23)()12.x x g x x x x

-+'=--+

=-

01,()0;1,()0.()(0,1),(1,).

x g x x g x g x ''<<>><+∞当时当时所以在单调增加在单调减少

而(1)0,0,()0,()2 2.g x g x f x x =>≤≤-故当时即 ………………12分 21．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设

22222

122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a

+=+=>>

设直线:(||)l x t

t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得

((A t B t ………………4分

当1,,,22

A B e b a y y =

=时分别用表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4

B A y b B

C A

D y a === ………………6分

（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，

即

a b t t a

=-

解得22

2

2

21.ab e t a a b e

-=-=-?-

因为221||,01,1, 1.e t a e e e

-<<<<<<又所以

所以当02

e <≤

时，不存在直线l ，使得BO//AN ；

当

12

e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 22．解：

（I ）因为EC=ED ，所以∠EDC=∠ECD.

因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA ，

所以CD//AB. …………5分

（II ）由（I ）知，AE=BE ，因为EF=FG ，故∠EFD=∠EGC

从而∠FED=∠GEC.

连结AF ，BG ，则△EFA ≌△EGB ，故∠FAE=∠GBE ，

又CD//AB ，∠EDC=∠ECD ，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.

故A ，B ，G ，F 四点共圆 …………10分 23．解：

（I ）C 1是圆，C 2是椭圆.

当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距

离为2，所以a =3. 当2

π

α=

时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，

所以b =1.

（II ）C 1，C 2的普通方程分别为2

2

2

21 1.9

x x y y +=+=和 当4

π

α=

时，射线l 与C 1交点A 1

的横坐标为2

x =

，与C 2交点B 1的横坐标为

x '=

当4

π

α=-

时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此，

四边形A 1A 2B 2B 1为梯形. 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(22)()2

.25

x x x x ''+-= …………10分

24．解：

（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤??

=---=-<

当25,327 3.x x <<-<-<时

所以3() 3.f x -≤≤ ………………5分 （II ）由（I ）可知，

当2

2,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；

当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+≤<时的解集为； 当25,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.

综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+≤≤的解集为 …………10分