二次函数中直角三角形存在性问题 初稿

二次函数中直角三角形存在性问题

1. 找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么以两定点为直角顶点，要么

以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点

2. 方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k2=-1

以已知线段为斜边时，利用K 型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解

例一：如图，抛物线()2

230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点，与y 轴交于C 点. （1）请求出抛物线顶点M 的坐标（用含m 的代数式表示），A B 、两点的坐标；

（2）经探究可知，BCM △与ABC △的面积比不变，试求出这个比值；

（3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.

例二、如图，抛物线y=-x 2

+mx+n 与x 轴分别交于点A （4，0），B （-2，0），与y 轴交于点C ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）M 为第一象限内抛物线上一动点，点M 在何处时，△ACM 的面积最大；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P ，使得△PAC 为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2.如图，抛物线y=x2-2mx (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，-m)作PM⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．

（1）若m=2，求点A和点C的坐标；

（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；

（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(1，0)和B(4，0)．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使△OCP

是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+( k-1)x-k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x2+( k-1)x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？

若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

5、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax 2+bx+6（a≠0）相交于A （12，52）和B(4，m)，点P 是线

段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在这样的P 点，使线段PC 的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；

（3）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标．

6、如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(-3，0)、C(0，4)，点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角

三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．

二次函数-平行四边形存在性问题

专题：二次函数中的平行四边形存在性问题 类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标； （2）求过A、B、C 三点的圆的半径； （3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

(完整版)二次函数与三角形的存在性问题的解法

二次函数与三角形的存在性问题 一、预备知识 1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ） (1)线段对称轴是直线2x 2 1x x += (2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-= 中点公式：已知两点 ()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++222121y y ,x x 。 2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y += 如果这两天两直线互相垂直，则有121-=?k k 3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2 （1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2 （2）当k1≠k2， ，L1与L2相交 （3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直 二、三角形的存在性问题探究： 三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形 （一）三角形的性质和判定： 1、等腰三角形 性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。 判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。 2、直角三角形 性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。 3、等腰直角三角形 性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。 判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形 4、等边三角形 性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。 判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

中学专题复习二次函数与直角三角形

2013年中考数学专题复习二次函数与直角三角形 例１. (二○一二年枣庄市本题满分10分)如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC 斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C 的坐标为()10-，．B 点在抛物线211 222 y x x = +-的图象上，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ，且B 点横坐标为3-． （1）求证：BDC COA △≌△； （2）求BC 所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP △是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2012赤峰）如图，抛物线2 5y x bx =--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF 的解析式； （3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由． A B D C O x y (第25题图)

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线 y=x2+bx+c的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点． （1）求抛物线的解析式（关系式）； （2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标； （3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3.(2012海南)如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON （1）求该二次函数的关系式. （2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积. （3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题： ①证明：∠ANM=∠ONM ②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理 由 .

压轴题五：二次函数中的直角三角形问题

育才实验学校九年级数学压轴题库（五） 二次函数中的直角三角形问题 解决此类问题，有一把万能钥匙，你知道吗？ 例1 如图，已知直线 1 1 2 y x =+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2 1 2 y x bx c =++与 直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标。

例2 已知关于x 的二次函数y ＝22 (21)1x k x k +-+-． （1）若关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两根的平方和等于9，求k 的值，并在直角坐标系（如图）中画出函数y ＝2 2 (21)1x k x k +-+-的大致图象； （2）在（1）的条件下，设这个二次函数的图象与x 轴从左至右交于A 、B 两点．问函数对称轴右边的图象上，是否存在点M ，使锐角△AMB 的面积等于3．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）、（2）条件下，若P 点是二次函图象上的点，且∠PAM ＝90°，求△APM 的面积． O y x 1 1

例3 已知一个二次函数的图像经过A（4，－3），B（2，1）和C（－l，－8）三点． （1）求这个二次函数的解析式以及它的图像与x轴的交点M，N（M在N的左边）的坐标．（2）若以线段M，N为直径作⊙C，过坐标原点O作⊙C的切线OD，切点为D，求OD的长．（3）求直线OD的解析式． （4）在直线OD上是否存在点P，使得△MNP是直角三角形？如果存在，求出点P的坐标（只需写出结果，不必写出解答过程）；如果不存在，请说明理由． 例4 抛物线y＝ax2＋bx＋c (a<0)交x轴于A（－1，0）、B（3，0），交y轴于C，顶点为D，

中考数学二次函数存在性问题 及参考答案

中考数学二次函数存在性问题 及参 考答案
一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 . 所得抛物线与 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 轴交于点 C，顶点为 D. （1）写出 的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由； （3）在线段 AC 上是否存在点 M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在， 说明理由.
2.如图，已知抛物线经过 A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点 O，顶点为 C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行 四边形，求点 D 的坐标； （3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，是否存在点 P， 使得以 P、M、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由．
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二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线 与双曲线 相交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且 tan∠AOX＝4．过点 A 作直线 AC∥ 轴，交抛物线于另一点 C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形 ABCD 的四个顶点，梯形的底 AD 在 x 轴上， 其中 A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3 分） （2）点 M 为 y 轴上任意一点，当点 M 到 A、B 两点的距离之和为最小时，求此时点 M 的坐
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二次函数的存在性问题(面积)及答案

图12-2 x C O y A B D 1 1 二次函数的存在性问题(面积问题) 1、[08云南双柏]已知：抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

二次函数与直角三角形

二次函数与直角三角形 1．（10分）（2006河南22题）二次函数2 18 y x = 的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ． （1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标； （2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点A 在抛物线上运动时（点A 与点O 不重合），求AC BD 的值． 解：（1）根据题意，设点B 的坐标为2 18 x x ?? ?? ? ，，其中0x >． 点A 的横坐标为2-，122A ? ?∴- ??? ，． ······································································ 2分 AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，()02M ，， AC BD ∴∥，32MC = ，2 128 MD x =-． Rt Rt BDM ACM ∴△∽△． BD MD AC MC ∴=． 即2 1282 2 x x -=． 解得12x =-（舍去），28x =． ()88B ∴，． ··················································································································· 5分 （2）存在． ··················································································································· 6分 连结AP ，BP ． 由（1），1 2 AE = ，8BF =，10EF =． 设EP a =，则10PF a =-． AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，90APB =∠， y D B M A C O x

(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)

二次函数中的存在性问题姓名 1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式； （2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由． 3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）． （1）求直线AC及抛物线的解析式； （2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积； （3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）求抛物线的顶点及对称轴； （3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由； （4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．

二次函数压轴题等腰三角形存在性-直角三角形存在性

中考数学压轴题 一、等腰三角形存在性 1 解题思想：分类讨论 2 解题技巧：坐标系内线段长度表示 （1）线段在坐标轴上或平行于坐标轴 在x轴或平行于x轴：x右-x左 在y轴或平行于y轴：y上-y下 （2）线段为倾斜（斜线段）A（X A,Y A）B（X B,Y B）C（X C,Y C） 由勾股定理得：AB2= AC2= BC2= 3 解题方法 （1）代数法：（1）根据条件用坐标表示三边或三边的平方 （2）分三种情况列方程，解方程 （3）根据题目条件及方程解确定坐标（注意重根） （2）几何法：（1）先分三种情况A为顶点，B为顶点，C为顶点 （2）画图，作圆法，垂直平分线法 （3）计算：以两定点为腰则腰长已知，先求出腰长进行几何构造，注意不要漏解，以两定点为底则利用腰相等建立方程求解（表示腰长可结合代数法）。 例1. 如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B 两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标． 代数法： 几何法： 例2 如图△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．

（1）试求△ABC 的面积； （2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长； （3）设AD=x ，当△BDG 是等腰三角形时，求出AD 的长． 只能选择几何法 1 先分析三种情况 2 根据已知表示三边长度（相似） 3 列方程计算 同步练习： 1．如图，抛物线2 54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ． （1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式； （2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 2.如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． A C B y x 0 1 1

二次函数与等腰三角形、直角三角形的综合

二次函数的综合应用㈠ 一、典例精析 考点一：二次函数与方程 1.（2011广东）已知抛物线2 12 y x x c = ++与x 轴有交点． (1)求c 的取值范围；(2)试确定直线y ＝cx +l 经过的象限，并说明理由． 解：（1）∵抛物线与x 轴没有交点 ∴⊿＜0，即1－2c ＜0 解得c ＞ 1 2 (2)∵c ＞ 12 ∴直线y=1 2x ＋1随x 的增大而增大，∵b=1 ∴直线y=1 2 x ＋1经过第一、二、三象限 2.(2011南京)已知函数y=mx 2 －6x ＋1（m 是常数）． ⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 解：⑴当x=0时，1y =． 所以不论m 为何值，函数2 61y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点（0，1）． ⑵①当0m =时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点； ②当0m ≠时，若函数2 61y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以2 (6)40m --=，9m =． 综上，若函数2 61y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9． 考点二：二次函数与最大问题 3、如图，二次函数c bx x y ++- =2 4 1的图像经过点()()4,4,0,4--B A ，且与y 轴交于点C . （1）试求此二次函数的解析式； （2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）； （3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。 解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上， ∴???+--=-++-=c b c b 444440，解得?????==2 21c b ， ∴二次函数解析式为22 1 412++- =x x y . （2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ， 则在AOC Rt ?中，2 1 42tan === ∠AO CO CAO ，

二次函数的存在性问题(面积问题)

二次函数的存在性问题(面积问题) [08湖北荆州]已知：如图，R t △AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负 半轴上，C 为OA 上一点且OC ＝OB ，抛物线y=(x －2)(x －m )－(p-2)(p-m)（m 、p 为常数且m+2≥2p>0）经过A 、C 两点． （1）用m 、p 分别表示OA 、OC 的长； （2）当m 、p 满足什么关系时，△AOB 12220.(1)0 2)()(2)()0 )(2)0,222020 2,1(2),2 11 (2) 2211 (2)22 1 (2) 1 2(2)1 2 2()2 AOB AOB AO y x x m p p m x p x m p x p x m p m p m p p OA m p OC P OC OB S OA OB S OA OB P m p P m P m p m S =-----=---+=∴==+-+>>∴+->>∴=+-===∴==+-=-+++∴=-=+?-令得：（整理得：（当时，. B 最大 [08湖北荆州]如图，等腰直角三角形纸片AB C 中，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90o，直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A （1，0），AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止.设平移时间为t （s ），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与△AEF 重叠的面积为S. （1）求折痕EF 的长； （2）是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线243y x x =++的顶点？若存在， 求出t 值；若不存在，请说明理由； （3）直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 25.145101ABC BE EA FE EA Rt AC BC CAB EF EA A OA OE AE EF ∴⊥=∴∠=?∴=∴===∴=（）折叠后与所在直线重合又中（，） ，折痕 ∥BA 交Y 轴于P ， 2（）存在.设CP 413 POC C CP AC OA OC OP ==∴==则为等腰直角三角形，直角顶点在射线上移动 ，

专题二次函数与直角三角形

专题 二次函数与直角三角形 1、如图，已知直线y= 121+x 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=c bx x ++2 2 1与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）动点P 在x 轴上移动，当△PAE 是直角三角形时，求点P 的坐标P ； （3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM-MC|的值最大，求出点M 的坐标．

2、如图，抛物线y=ax2+bx+2,与x轴交于点A（3,0），B（6,0），与y轴交于点C， （1）求抛物线的解析式 （2）设P（x,y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ//y轴交直线BC 与点Q， ①当x为何值时，线段PQ的长度取最大值，最大值是多少？ ②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出P点坐标， 若不存在，请说明理由。

3、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=a(x+1)2+c (a＞0)与x轴交于A, B两点（点A 在点B的左侧）,与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx-3，与x轴 交于点N，且 （1）求抛物线的解析式 （2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

4、如图，已知抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于A，B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，-3）． （1）求抛物线解析式； （2）点M是（1）中抛物线上一个动点，且位于直线AC的上方，试求△ACM的最大面积以及此时点M的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

二次函数(存在性问题)

函数图象中点的存在性问题（强化训练） 切入点一：利用基本图形来作图(充分利用图形的特殊性质)，并描述作图方法 切入点二：做好数据准备，计算尽量利用相似、数形结合（交轨法） 切入点三：紧扣不变量，善于使用前题所采用的方法或结论 切入点四：在题目中寻找多解的信息(不重不漏) 1.1因动点产生的平行四边形问题 1. 如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c 与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2． （1）该抛物线G的解析式为； （2）将直线L沿y轴向下平移个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点； （3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长． （4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q 的坐标．

2. 在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）． （1）求此二次函数的表达式； （2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

二次函数中直角三角形存在性

轴于点C． （1）求这个抛物线的函数表达式． （2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值． （3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E． （1）求抛物线的解析式． （2）如图2，将△AOE沿直线AD平移得到△NMP． ①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标． ②在△NMP移动过程中，存在点M使△MBD为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

两点，与y轴交于点C． （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． （3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．

【2019·甘肃兰州】 二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒． （1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式； （2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积； （3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标； （4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．

二次函数与直角三角形

（第3课时）二次函数中构建特殊三角形的存在性问题（构建直角三角形） 例1、已知：如图一次函数y＝1 2 x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y ＝1 2x2＋bx＋c的图象与一次函数y＝1 2 x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点 且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形BDEC的面积S； (3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由． 2、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上， 点C为(－1，0) ．如图17所示，B点在抛物线y＝1 2x 2＋ 1 2x－2图象上，过点B作BD ⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3． （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （12-，） 。 （1）求此函数的关系式； （2）作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D 。若在抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ACBD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出P 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由。 x 4、如图，抛物线25y x bx =--与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点C 与点F 关于抛物线的对称轴对称，直线AF 交y 轴于点E ，|OC|：|OA|=5：1． （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AF 的解析式； （3）在直线AF 上是否存在点P ，使△CFP 是直角三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．

-几何图形在二次函数中的存在性问题探解

---几何图形在二次函数中的存在性问题探解 二次函数是初中数学的重要内容，更是中考的重要考点之一，它以丰富的知识内涵，深远的知识综合，深厚的数学思想，灵活的解题方法，奇趣的知识背景等深深吸引着命题老师，更深刻启迪着每位同学.下面就把几何图形在二次函数中的存在性问题介绍给大家，供学习时借鉴. 一、.三角形的存在性 1.1 等腰三角形的存在性 例1 （2017年淮安）如图1-1，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=2x +bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图1-2、1-3供画图探究）． 分析： 第一问考查的是待定系数法确定函数的解析式，思路有几个待定系数，解答时就需要确定几个点的坐标； 第二问探析等腰三角形的存在性，解答时，要做到一先一后，先清楚动点的位置与特点，后对等腰三角形进行科学分类，一是按边分类，一是按角分类； 第三问探求三角形面积的最大值，这是二次函数的看家本领，只需将三角形的面积适当分割，恰当表示，最后将三角形面积最大问题转化为二次函数的最值问题求解即可. 解： （1）因为直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，所以B （3，0），C （0，3）， 所以{c =39a+3b+c =0，解得{c =3b =4-，所以抛物线解析式为y=2x ﹣4x+3； （2）因为y=2x ﹣4x+3=2(x 2)-﹣1，所以抛物线对称轴为x=2，顶点P （2，﹣1）， 设M （2，t ），因为△CPM 为等腰三角形，如图2所示， ①当MC=PC 时，过C 作CQ ⊥对称轴,垂足为Q ，则Q(2,3),所以QP=MQ=3-(-1)=4,所以M 到x 轴的距离8-1=7，所以1M 的坐标(2,7)； ②当MP=MC 时，作PC 的垂直平分线交对称轴于点M ，所以222(t+1)2+(t-3)=，解得t=32,所以2M 的坐标(2, 32 )；

二次函数存在性问题总结

已知，抛物线322 --=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. １、线段最值 ①线段和最小 点P 是抛物线对称轴上一动点，当点P 坐标为多少时,PA+PC 值最小． A B C O x y ②线段差最大 点Q 是抛物线对称轴上一动点,当点Q 坐标为多少时,|QA －QC|值最大． A B C O x y ③线段最值 连接ＢC,点M 是线段ＢC 上一动点，过点M 作ＭN/／y 轴,交抛物线于点Ｎ，求线段MN 的最大值及点N 的坐标. A B C O x y N M 变式① 点N 是第四象限内抛物线上一动点,连接BN 、CN,求BCN S ?的最大值及点Ｎ的坐标 A B C O x y N

变式② 点Ｎ是第四象限内抛物线上一动点，求点Ｎ到线段BC 的最大距离及点Ｎ的坐标 A B C O x y N M 2、等腰三角形的存在性问题 点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线B Ｃ上一动点，是否存在点P,使△PAD 为等腰三角形,若存在，求出点P 的坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D ３、菱形的存在性问题 点Ｄ为抛物线322 --=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、Ｄ、Ｐ、Q 为顶点的四边形是菱形,若存在,求出点P 坐标，若不存在,说明理由． A B C O x y D ４、平行四边形的存在性问题 点D 为抛物线322 --=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线ＢC 上一动点,是否存在以O 、D 、Ｍ、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在,说明理由. A B C O x y D 5、直角三角形的存在性问题

2018二次函数与直角三角形存在性问题(新)

二次函数中直角三角形存在性问题 1.找点：在已知两定点，确定第三点构成直角三角形时，要么 以两定点为直角顶点，要么以动点为直角顶点.以定点为直角顶点时，构造两条直线与已知直线垂直;以动点为直角顶点时，以已知线段为直径构造圆找点 2.方法：以两定点为直角顶点时，两直线互相垂直，则k1*k21 以已知线段为斜边时，利用K型图，构造双垂直模型，最后利用相似求解，或者 三条边分别表示之后，利用勾股定理求解 例一：如图，抛物线() 2230 、两点， =-->与x轴交于A B y mx mx m m 与y轴交于C点. （1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A B 、两点的坐标； （2）经探究可知，BCM △的面积比不变，试求出这个比 △与ABC 值； （3）是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明 理由.

例二、如图，抛物线2与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△的面积最大； （3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由． 练习： 1. 如图，已知抛物线2（a≠0）的顶点M在第一象限，抛物线与

解：（1） 2.如图，抛物线2-2 (m＞0)与x轴的另一个交点为A，过P(1，)作⊥x轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C． （1）若2，求点A和点C的坐标； （2）令m＞1，连接，若△为直角三角形，求m的值； （3）在坐标轴上是否存在点E，使得△是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理

二次函数与直角三角形

我们先看三个问题： 1.已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 2.已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？ 3.已知点A（4,0），如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标。 如图1，点C在垂线上，垂足除外。如图2，点C在以AB为直径的圆上，A,B两点除外 如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B 共6个。 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根。 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或者勾股定理列方程。 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简单。 解直角三角形的问题，常常和相似三角形和相似比的问题联系在一起。 如果直角边和坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个相似直角三角形，这样列比例方程比较简单。（K字形） 1.(潍坊倒一)如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（-1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根； （3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

第（2）题表面上是抛物线问题，但认真审题后发现，抛物线只是作为背景，实际上就是有关直角三角形的动点问题。遇直角三角形要养成分三种情况讨论的习惯，包括①，我们必须要讨论后给予排除。 3.（永州倒一）如图，已知抛物线y=ax2+bx+1经过A(-1，0)，B(1，1)两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)阅读理解： 在同一平面直角坐标系中，直线l1：y=k1x+b1(k1，b1为常数，且k1≠0)，直线l2：y=k2x+b2(k2，b2为常数，且k ≠0)，若l1⊥l2，则k1〃k2=-1． 2 解决问题： ①若直线y=3x-1与直线y=mx+2互相垂直，求m的值； ②是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方(不与A，B重合)，求点M到直线AB的距离的最大值． 4.（孝感倒一）在平面直角坐标系xoy中，规定：抛物线y=a(x-h)2+k的伴随直线为y=a(x-h)+k.例如：抛物线y=2(x+1)2-3的伴随直线为y=2(x+1)-3，即y=2x-1. （1）在上面规定下，抛物线y=(x+1)2-4的顶点为 .伴随直线为；抛物线y=(x+1)2-4与其伴随直线的交点坐标为和； （2）如图，顶点在第一象限的抛物线y=m(x-1)2-4m与其伴随直线相交于点A,B (点A在点B的左侧)与x轴交于点C,D. ①若∠CAB=90°，求m的值； ②如果点是直线BC上方抛物线的一个动点，△PBC的面积记为S，当S取得最大值27/4时，求m的值.

答案 二次函数-矩形的存在性问题

参考答案 1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 在坐标轴上，△ODE 是△OCB 绕点O 顺 时针旋转90°得到的，点D 在x 轴上，直线BD 交y 轴于点F ，交OE 于点H ，线段BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ． （1）求直线BD 的解析式； （2）求△OFH 的面积； （3）点M 在坐标轴上，平面内是否存在点N ，使以点 D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形？若存在， 请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 1. 分析： （1）解方程可求得OC 、BC 的长，可求得B 、D 的坐标， 利用待定系数法可求得直线BD 的解析式； （2）可求得E 点坐标，求出直线OE 的解析式，联立直线BD 、OE 解析式可求得H 点的横坐标，可求得△OFH 的面积； （3）当△MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点N ，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N 点坐标． 解答： 解：（1）解方程x 2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC 、OC 的长是方程x 2 ﹣6x+8=0的两个根，且OC ＞BC ， ∴BC=2，OC=4，∴B （﹣2，4），∵△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的， ∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D （4，0），设直线BD 解析式为y=kx+b ， 把B 、D 坐标代入可得，解得，∴直线BD 的解析式为y=﹣x+； （2）由（1）可知E （4，2），设直线OE 解析式为y=mx ， 把E 点坐标代入可求得m=， ∴直线OE 解析式为y=x ，令﹣x+=x ， 解得x=，∴H 点到y 轴的距离为， 又由（1）可得F （0，），∴OF=，∴S △OFH =××=； （3）∵以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM 为直角三角形， ①当∠MFD=90°时，则M 只能在x 轴上，连接FN 交MD 于点G ，如图1， 由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF ∽△FOD ， ∴=，即=，解得OM=，∴M （﹣，0），且D （4，0），∴G （，0）， 设N 点坐标为（x ，y ），则=，=0，解得x=，y=﹣，此时N 点坐标为（，﹣）； ②当∠MDF=90°时，则M 只能在y 轴上，连接DN 交MF 于点G ，如图2， 则有△FOD ∽△DOM ， ∴=，即=，解得OM=6， ∴M （0，﹣6），且F （0，）， ∴MG=MF=，则OG=OM ﹣MG=6﹣=， ∴G （0，﹣）， 设N 点坐标为（x ，y ），则=0，=﹣， 解得x=﹣4，y=﹣，此时N （﹣4，﹣）； ③当∠FMD=90°时，则可知M 点为O 点，如图3， ∵四边形MFND 为矩形， ∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N （4，）； 综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）． 2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线2 23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与