高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)

高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）

第一章 复数与复变函数（1）

1.计算

(1).(2)(12)222;

i i i i i i ---=---=-()122(12)(34)(2)510212

2.

;345(34)(34)591655

i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551

(3).;

(1)(2)(3)(13)(3)102

i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122

2

2

22

2

2

(5).()[(

)]

a b a bi a bi a b i a b

a b

+=+=++

++1

1222

22

4

[(cos sin )]()(cos

sin );22a b i a b i θ

θ

θθ=++=++

3.设

11,

2i

z +=

23;z i =-试用三角形式表示12z z 及12

z z 。

解：

121cos

sin

;(cos sin );4

4

266z i z i π

π

ππ=+=

+

121155[cos()sin()](cos sin );

2464621212z z i i ππππππ

=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+

11.设1

2

3

,,z z z 三点适合条件1

2

3

0z z z ++=及123

1;z z z ===试证明123

,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。

证明：1

2

30;z

z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=--

122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1

为半径的圆上的三点。

即1

2

3

z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

.

x

z1

z2

z3

17.证明：三角形内角和等于π。

证明：有复数的性质得：

321321

311223arg

;arg ;arg ;z z z z z z z z z z z z αβγ---===--- 13

3221311223

1;z z z z z z z z z z z z ---??=---- arg(1)2;k αβγπ∴++=-+

(0,);(0,);(0απβπγπ∈∈∈ (0,3);αββπ∴++∈

0;k ∴=;αβγπ∴++=

第一章 复数与复变函数（2） 7.试解方程

()4400z a a +=>。 解:由题意44

z a =-,所以有()4

10z a a ??

=-> ???;

4

cos sin i z i e

a π

ππ??=+= ???;所以24(0,1,2,3)k i z e k a θπ

+==; 4

1i

z ae

π

=;34

2

i

z

ae

π

=;54

3

i

z

ae

π=;74

4

i

z

ae

π=.

12．下列关系表示的z 点的轨迹的图形是什么？它是不

Z3

y o Z1 Z2 x

是区域？

1212(1).()z z z z z z -=-≠

解：此图形表示一条直线，它不是区域。

(2).4;z z ≤-

解：

2222

(4)x y x y +≤-+即816;2;x x ≤≤此图形为≤x 2的区域。

1

(3).

1;1z z -<+

解：2

22211(1)(1);z z x y x y -<+-+<++；22;0;x x x -<>此图形为x>0的区

域。

(4).0arg(1)2Re()3;

4

z z π

<-<

≤≤且

解：此图形表示[2,3]区间辐角在[0,]

4π

的部分。

(5).1Im 0;z z ≥>且

解：1z ≥表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域。

12(6).Im ;y z y <≤

解：它表示虚部大于1

y 小于等于2

y 的一个带形区域。

(7).231;z z >->且

解：此图形表示两圆的外部。

131(8).;2222i i z z -

>->且

解：211()22y +->2x ，2231()22x y +->

，它表示两相切圆半径为12

的

外部区域。

(9).Im 12;z z ><且

解：此图形表示半径为2的圆的内部，且Im 1z >的部分，它是区域。

(10).20arg ;

4

z z π

<<<

且）

解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在4π???

???0,的

部分，它是区域。

第二章 解析函数（1）

4.若函数()f z 在区域D 上解析，并满足下列的条件，证明()f z 必为常数. ()()0f z z D '=∈ 证明：因为

()f z 在区域上解析，所以,u v u v x y y x ????==-

????。

令()()(),,f z u x y iv x y =+，即

()0u v

f z i x y ??'=

+=??。

由复数相等的定义得：0u v x y ??==??，0

u v y x ??=-=??。

所以，()1,u x y

C =(常数) ，()2,v x y C =(常数)，即()1

2f z C iC =+为常数。

5 .证明函数在z 平面上解析，并求出其导数。 （1）(cos sin )(cos sin ).x

x

e x y y y ie y y x y -++

证明：设()()(),,f z u x y iv x y =+=(cos sin )(cos sin ).x

x

e x y y y ie y y x y -++

则(),(cos sin )x u x y e x y y y =-，

(),(cos sin )x

v x y e y y x y =+ (cos sin )cos x x u e x y y y e y

x ?=-+?；cos sin cos x x x v e y y ye x ye y ?=-+?

(sin sin cos )x u e x y y y y y ?=-++?； (cos sin sin )

x v e y y x y y x ?=++?

满足;u v u v x y y x ????==-

????。

即函数在z 平面上(),x y 可微且满足C R -条件，故函数在z 平面上解析。

()(cos sin cos )(cos sin sin )x x u v

f z i e x y y y y ie y y x y y x x ??'=

+=-++++??

8．由已知条件求解析函数()f z u iv =+， 2

2

u x y xy =-+，()1f i i =-+。 解：2,2x

y

u x y u y x =+=-+， 2,2xx

yy

u u ==-。

所以0xx

yy

u u +=即u 是平面上调和函数。由于函数解析，根

据C R -条件得2x y u v x y ==+，于是，2

2()

2y v xy x ψ=++,其中()x ψ是

x 的待定函数，再由C —R 条件的另一个方程得

2'()x

v y x ψ=+=2y

u y x -=-，

所以'()x x ψ=-，即2()2x x c ψ=-+。于是22

222y x v xy c

=+-+

又因为()1f i i =-+，所以当0,1x y ==，时1u =，1

1

2v c =

+=得12c =

所以

()222

2

1

(2)

222y x f z x y xy i xy =-+++-+。

第二章 解析函数（2）

12.设

ω

是

z

的解析函数，证明x y u v

??=??，x y v u ??=-??

(,)u i v z x i y ω=+=+。

证明：ω是z 上的解析函数，所以，ω在(),x y 上处处可微，

即u v x y ??=??，u v

y x ??=-

??，

所以，u v y v u x x y v y x u ??????=??????，所以x y u v ??=

??， 同理，u v y v u x y y v x x u ??????=-??????，所以，x y v v ??=-

??

即得所证。

14.若z x iy =+，试证：（1）sin sin cos z xchy i xshy =+。 证：sin sin()sin cos cos sin z x iy x iy x iy =+=+

=

()sin cos 22iiy i iy iiy iiy

e e e e x x

i --+-+

=

()sin cos 22y y i iy y

e e e e x i x

--+-+

sin cos xchy i xshy =+ 18.解方程

ln 2i z π=

。 解：

ln ln arg 02

i z z i z π

=+=+，

即

1,arg 2

z z π

==

，设z x iy =+

2

2

1x y +=，

()arg 2

x iy π

+=

得0,1x y ==，即z i =。

20.试求2(1),3,,i

i

i

i

i i e ++及(1)Ln i +。

解：(2)22

2

,0,1,2,i k i k i

iLni

i

e

e

e

k π

π

ππ+--====±±???

ln 2(2)

(1)

24

4(1)(cosln 2sin ln 2)i k i iLn i k i e

e

i e e π

π

ππ-+++===+，

0,1,2,k =±±???

(1)ln(1)2ln 22ln 2(

2)

4

4

Ln i i i k i i k i k π

π

πππ+=++=++=++

0,1,2,k =±±???

3(ln32)3cosln 3sin ln 3i iLn i k e e i π+===+

222(cos1sin1)i i e e e e i +==+

22，求证0sin lim 1z z z →=

证:

z x iy =+(x,y,均为实数)，所以,sin sin()

lim

lim z x y z x iy z x iy →∞→∞+=+

当0x →则极限趋近于z

轴，有sin lim 1iy iy i y iy e e iy iyz -→∞-==

当0y →时，则极限趋于z

轴，有sin lim

1

x x

x →∞=，

故sin lim

1

z z

z →∞=。 第三章 柯西定理 柯西积分（1）

1.计算积分120

),

i x y ix dz +-+?

（积分路径是直线段。

解：令z=(1+i)dz ， dz=(1+i)dt ，则：

1

20

(1)it i dz =+?

?1+i

20

(x-y+ix )dz 312

011(1)(1)033

t i i t dt i -=-=-=?。 2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。

解：

1(11)z it t dz idt z t =-≤≤==（）令，， ， 111

1

1

()i i

z dz t idt i t dt i tdt i

---==-+=????所以

(2).cos sin ()(sin cos )1

2

2

z i dz d z π

π

θθθθθθ=+-

≤≤

=-+=令：，， ，则

2

22

2

sin cos 022i

i

z i d i d i i

π

π

ππθθθθ---=-+=+=?

??

3(3).cos sin ((sin cos )122z i dz i d z ππ

θθθθθθ=+=-+=令 从

到），， ，

22

332

2

sin cos 022i

i

z d i d i i π

π

ππθθθθ-=-+=+=???

5.不用计算，证明下列分之值为零，其中C 为单位圆。

（1）cos c dz z ?，（2）222c dz

z z ++?，（3）256z c e dz

z z ++?，

解：（1）因为函数

θ

1f(z)=

cos 在单位圆所围的区域内解析，

所以0

cos c dz

z =?。

（2）因为函数

()f z =

21z +2z+2

在单位圆内解析，所以

0=?2c dz

z +2z+2。

（3）D z z

2e e 因为函数f(z)==的解析区域包含拉单位围线

z +5z+6(z+2)(z+3)

dz =?z

2c e 所以由哥西积分定理有z +5z+6

6.计算1z dz

z =?，1z dz z =?

，1z dz z =?，1z dz z =?。

解：

1112(1)21

z z dz dz

if i z z ππ=====-?

?（）。

2110

(2)0i i z z dz

ie d de z πθθθ=====???。 ()21

0cos sin (3)0

cos sin z i d dz z i πθθθθθ=+==+?

?。 21

0(4)2z dz

d z

πθπ===?

?。

7.由积分2c

dz

z +?

之值，证明2012cos 0

54cos d πθθθ+=+?，其中取单位圆。

证明：因为被积函数的奇点2z =-在积分围道1z =外，故

02c dz

z =+?，现令i z re θ=，则在1z =上cos sin i z e i θθθ==+，

()cos sin i dz ie d i i d θθθθθ==+，

2c dz z =

+?()20cos sin 2cos sin i i d i π

θθθθθ+++?()()()()cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin i i d i i πθθθθθθθθθ++-+++-?20-=

()202sin 2cos 154cos i d πθθθθ-++=+?， 比较可得：20

2sin 0

54cos d π

θ

θθ=+?

， 20

2cos 1

54cos d π

θθθ+=+?

。

第三章 柯西定理 柯西积分（2）

8.计算：

（1）()221

:21

c z z dz C z z -+=-?，。

解：222122112(2)111c c c

z z z z z z dz dz z dz z z z -+-++-+==+---??? 11

(21)(2)11c

c c c z dz z dz dz dz

z z =++

=++--???? 002(1)2if i ππ=++=。

10.设C 表圆周2

3y +=2

x ，()2371

c f z

d z

ζζζ

ζ++=-?，求()f '1+i 。

解：设()2

371ζζζ=++g ，它在复平面内解析，故当z C ∈时，则由哥西积分公式有

()()()22

37122371c c g f d dz ig z i z z Z z ζζζζππζζ++??====++??--??z ，所以 ()()2

1123712671226z i z i

f i z z i z i

ππππ=+=+''??=++=+=-+??

1+i 。

11.求积分(),:1,z c e dz C z z =?从而证明：cos cos(sin )e d π

θθθπ

=?0。

解：由于

:1

C z =，函数

()z

e f z z

=

在

z =处不解析，

0(2)2z

z z c e d z i e i z ππ===?。

令,i

i

z e dz ie d θθθ==，则

[]cos sin 22cos 00cos(sin )sin(sin )2z i i i c e e d ie d i e i d i z e θθππθθ

θθθθθθπ+==+=???，故

22cos cos 0

cos(sin )sin(sin )2e

d e i d π

π

θ

θθθθθπ

+=??，所以

cos 0

2cos(sin )2e d π

θθθπ

=?，即

cos cos(sin )e d π

θθθπ

=?

。

13.设()2

f z z

=，利用本章例5验证哥西积分公式

()()c

f d f z z

ζζ

πζ-?

1

=

2i 以及哥西求导公式()()()

()

1

!2n n c

f n f z d i

z ζζ

πζ+=

-?。提

示：把()f ζ写成()()2

2

2z z z z ζζ-+-+。 证明：设()()()2

2

2

2f z z z z ζζζζ==-+-+，则式的右边为可写为：

()()

()2

2

21

2c c f d z z z z dz z i

z

ζζζζπζπζ-+-+=

--??1

2i

()2122c c z z z d d i z ζζζππζ-++????-??1=2i 由哥西积分定理有： ()1202c z z d i

ζζπ-+=?

????，所以右边222

1

1222c z d z i z i z i ζππζπ===-?，

即 左边=右边。 再由式子可知当1n =时，

()()()

()

2

11

22c c

f f f z d d i z i

z ζζζζ

πζπζ'

??'==??

--????，

成立。

假设当n k =时，1!()()2()k k c k f d f z i z ζζ

πζ+=

-?等式成立。则

当1n k =+时，()12

1!

()()2()k k c k f d f z i z ξξ

πξ+++=

-?成立。

所以

(

)

()()

()

1

!2n n c

f n f z d i

z ζζ

πζ+=

-?。

14.求积分（1）

()

5

cos 1c

z

dz z π-?，（2）22

(1)z

c e dz z +?，其中():1.C z a a =>

解：（1）被积函数有奇点1z =，该奇点在积分围道内，由哥西积分求导公式有：

()5cos 1c z

dz z π-?[]()45

24

4122cos 1cos 4!4!12z i d i z i

dz ππππππ===-=-

''

22

22222212()()(2):22(1)()()()()z z z z z c c c z i z i

e e e e e z i z i dz dz dz i i z z i z i z i z i ππ==-????+-=+=+????+-++-???????(1)(1)2sin(1)

2

24i i i e i e i π

π

π

π-=

--

+=-

第四章 解析函数的幂级数表示（1）

2.将下列函数展为含z 的幂级数，并指明展式成立的范围：

（1）1(,a b az b ≠+为复数，b 0)，（2）20z e

dz π

?，

（3）0

sin z

z

dz z ?

，（4）2cos z ,

(5)2

sin

.z (6)()2

1

1z -，

（1）解：原式=1

0111()

1n n a

z a b b b

z b

-∞==-+∑

|||

|

b z a

<

（2）解：原式=∑?

∑∞

=+∞

=+=01

20

02)12(!!)(n n z n n n n z dz n z

|z|<∞

（3）解：原式=∑?∑∞

=+∞

=++-=+-01

20

02)12()!12()1()!12()1(n n n z n n n n n z dz n z

|z|<∞

（4）解：原式=

∑∞=-+=+02)!2()2()1(212122cos 1n n

n n z z |z|<∞

（5）解：原式=∑∞=--=-02)!2()2()1(21212

2cos 1n n

n n z z |z|<∞

（6）解；原式=∑∑∞

=-∞=='='-0

1

0)()11(n n n n nz z z |z|<1 4．写出()ln 1z

e z +的幂级数至少含5

z 项为止，其中()0

ln 10z z =+=。

解：

2

21,||2!

z e z z =+++

<∞，

()23

ln 1,||1

23z z z z z +=-+-

<

两式相乘得

234

111111111ln(1)1(1)()()2232!4322!3!

z e z z z z z

+=++-+-+++-+-+51111111()||15432!23!4!z z +-+-+<

5．将下列函数按()1z -的幂展开，并指明收敛范围：

（1）cos z ， （2）sin z ，

（3）2z

z +，

（4）225z

z z -+，

解：（1）原式=cos(11)cos(1)cos1sin(1)sin1z z z -+=-+-

2212000

(1)(1)(1)(1)(1)(1)1cos1sin1(cos1sin1)

2!(21)!2!21n n n n n n n n n z z z z n n n n +∞

∞

∞===-------=+=+++∑∑∑ |1|z -<∞

（2）原式=sin(11)sin(1)cos1cos(1)sin1z z z -+=-+-

2212000

(1)(1)(1)(1)(1)(1)1cos1sin1(sin1cos1)

2!(21)!2!21n n n n n n n n n z z z z n n n n +∞

∞

∞===-------=+=+++∑∑∑

|1|z -<∞

（3）2

11111(1)()(1123333

13z z z z --==-+--++01()233n

n z z z z ∞

=-∴=-+∑

|1|

3

z -< （4）解：原式220

11()[()]

1421()2n n z z z ∞

=-==--+∑

|1|

2

z -< 6．设2

01

1n n n c z z z ∞

==--∑，证明()122n n n c c c n --=+≥，指出此级数展式

之前5项，并指出收敛范围。

解：

11

11515[()()]

225n n n c +++-=

-（0n ≥），

111515[()()]

225n n

n c -+-=

-

11

211515[()()]

225n n n c ---+-=-

12n n n c c c --∴=+）

原式

=

23

4357212555

z z z z +

++++

51

||2z -<

第四章 解析函数的幂级数表示（2）

9．将下列函数在指定环域内展成罗朗级数：

（1）()2

1

,01,1.1z z z z z +<<<<+∞-

解：原式

2212

1z z z --=

+-

在01z <<内，上式2202122121n n z z z z z z ∞

=--+=-=---∑

在1z <<+∞内，上式22021212121()11n

n z z z z z z z

z ∞=++=-+=-+-∑

(2)()()22

25

,1221z z z z z -+<<-+，

解：原式

220012111111()()()21222222

(1)1()22n n

n n z z

z z z z ∞∞==-=+=-=---+-+∑∑

01()[1(1)]1||222n

n n z

z ∞==--<<∑

（3）()2

,011z

e z z z <<+

解：原式2200

11

()[()]

0||1

21!2n

n z

n n z z e z z z z n ∞∞

==-=+=--<<+∑∑

（4）()()5113z z --，03z <<

解：当1||3z <<时，原式=

55(1)100511111()()()133

113n

n n n n z z z z z ∞∞

++==-=---∑∑

当0||1z <<时，原式=55100111()()133

13n n n n n z z z z ∞∞+==-=--∑∑

（5）sin

1z

z -，011z <-<。

解：

1111sin

sin sin1cos cos1sin 1111z z z z z z -+==+----

2210

11(1)(

)(1)()11

sin1cos1(2)!(21)!n n n

n n n z z n n +∞

∞==----=++∑

∑221

00(1)(1)sin1cos1(1)(2)!(1)

(21)!n n

n n n n z n z n ∞

∞

+==--=+--+∑∑。 10．将下列各函数在指定点的无心邻域内展成罗朗级数，并指出成立的范围：

（1） ()

2

2

1

1z +，其中z i =。

解

：

()

2

222

1

1111111

()

4()4()41z i z i i z i z i

z

=-

-+--+-++12

011

(4(

n n z z i z i i i i i

∞∞∞

-===

---

=-+--+---∑∑∑

2200

111111[(1)()](1)()4()4()16282n n n n n n z i z i z i z i i i ∞∞

==--=-+-+-+---∑∑ 0||

2

z i <-< （2） ()12

11z

z e

--，1z =

解：

()

12

2

2112

001

11(1)1(1)

(1)!(1)!(1)

n

z

n n n n z z e

z z n z n z e

∞

∞

--==---=-=-=--∑∑，|1|0z ->

11．把

()1

1f z z =

-展成下列级数：

（1）在1z <上展成z 的泰勒级数。 解：()01

1n

n f z z z ∞

===-∑，

1z <。 (2)在1z >上展成z 的泰勒级数。

解；()0111111

()()

1111n

n f z z z z z z z

∞===-=-=----∑， ||1

z > (3)在12z +<上展成()1z +的泰勒级数。

解：原式01111()

122212n n z z ∞=+==+-∑，

|1

2z +|<1

(4)在12z +>上展成()1z +的泰勒级数。

解：原式012(1)

(1)(

)21

11

n

n z z z z ∞

==-+=-++-+∑

2

|

|11z ?+

12．把()()1

1f z z z =

-展成在下列区域收敛的罗朗或泰勒级

数：

（1）01z <<，

解：原式

01111n n z z z z ∞==+=+-∑， （2）1z >

解：原式

0111111()

11n

n z z z z z z ∞==-=--∑，

（3）011z <-< 解：原式

1

100

111(1)(1)(1)1(1)11n

n n n n z z z z z -∞∞

-===+=-+==---+--∑∑， （4）11z ->

解：原式22011111(1)()1111111n

n

n a b z z z z z ∞==+-++----+-∑1

1(1)()

1n n n z ∞==--∑， （5）11z +<

解：原式0

111

(1)1(1)11n

n z z z z ∞

==-+=-++

-+--∑ 00

11

(1)()

22n n

n n z z ∈

∞==+=-++∑∑，

（6）112z <+<

解：原式

0011111111()()11212211

1121n n

n n z z z z z z ∞∞==+=+=+++++--+∑∑

10

1

(

1)(1)2n n n z ∞

+==-+∑。

（7）12z +>

解：原式

00

1

111211()()2111111(1)(1)111n

n

n n z z z z z z z z ∞∞===-+=-+++++++--

++∑∑

11(1)(1)n n

n z z ∞

==-+∑

|1|

2

z +>

第四章 解析函数的幂级数表示（3）

13．确定下列各函数的孤立奇点，并指出他们是什么样的类型，对于无穷远点也要加以讨论：

（1） ()

2

21

1z z z -+

解：孤立奇点为：0,,z z i z i ===-，

对于0,z =原式=1

()1()

z X z z z i z

-=∴

-Z 为一阶极点

z i =，原式=

222211

1

()()()(1)z z z z i z i z z i z --=∴

-++-z i =为二阶极点， 同理：z i =-也为二阶极点。

对z =∞，原式=422

221

1

(1)11(1)(1)

z z z z z z

--=++，由于422

0(1)lim 0(1)n z z z →-=+，即为可去

奇点。 （2）22

1

()z i +

解：

2

0z i +=，3()

4

i k z e ππ+=为二阶极点。

4

222222

222111lim lim lim lim 011()(1)()()z z z z z z i z i z i i z z →∞→∞→∞→∞====++++即为可去极点。 (3)31cos z

z -

解；23

31cos 1

22z z z z z -==，0z =为一阶极点。

330031

1cos

1cos 1lim

lim lim (1cos )0

1z z z z

z z z

z z →∞→→--==-=即为可去极点。

(4)

1cos

z i +

解：z i =-为本性极点。

011limcos

limcos limcos()1

11()

z z o z z z i zi i z

→∞

→→===+++即在无穷远点为可去极

点。

(5)1z

z e e -

解：z=0，11z z

z

m e e e mz -=-即

z=0时，有(m-1)阶极点，

1

00111lim lim lim (1)01

()z

m z z z z m e e z z e zm z →∞→→--==-=即无穷远点为可去极点。

(6)1z

z e e -

解：0z =，011

lim 11

11z z z z

e e e

→=--即无穷远点为可去极点。

(7)1

sin cos z z +

解：sin cos 2sin()4z z z π

+=+，4

z k π

π

+=，

4z k π

π=-

(k=0,1±, )一阶极点，

00111

lim

lim lim 111sin cos sin cos 2sin()4

z z z z z z z z π

→∞→→===

+++不存在，为本性极

点。

(8)11z

z

e e -+

解：1z

e

=-，z i θ=，1i e θ=-

(21)z i k π=+(0k =,1)±一阶极点。

1112111

0021()11(1)lim lim lim lim 1111()()

z

z

z

z

z z z z z z z z e e e e z e e i e e z →∞→∞→→--

'---===-+'++-即可去极点。

(9)22

3

(32)z z -+

解：1,2z z ==，三阶极点，

222

2

3

332001111

lim(32)lim(32)lim[(1)(2)]z z z z z z z z z →∞→→-+=-+=--2

23

40(132)

lim

3z z z z

→-+==∞

(10)tgz

解：2

z k π

π=+ (0k =,1±,

)一阶极点，01sin

lim lim

1

cos

z z z tgz z →∞→==>不存在

(11)

1sin

1z -

解：1z =，为本性奇点，

0011limsin

limsin limsin 01111z z z z z z z

→∞

→→∴===---

即为可去奇点。

(12)11

1

z z e e --

解：0,1z z ==，一阶极点，11

111

111

100lim

lim lim 0

11z z z

z

z z z z z z e e e

e e e ----→∞→→===--可去奇点。

14.设()(),f z g z 分别以z a =为m 阶极点，试问z a =为

,,

f f

g f g g

+?的什么样的特点。

解；设

n

m a z z z g a z z z f )()

()(,)()()(-?=

-λ=

??

?

??????=-φ+λ<-φ+λ->-φ-+λ=+--)()()()()()()

()()()()()

()()(n m a z z z n m a z z z a z n m a z z a z z g f n n

m

n m

n m

（1）

()()

.()m n

z z f g z a λφ+=

- (m+n)阶极点 （2）

可去奇点级零点）级极点（）（)()()()()

()

()()

()()()(1)()(n m n m n m z z n m z z a z n m z z a z z g z f m n n m --??????

???

=φλ<φλ->φλ-=--

(3)

所以

当m ≠n 时 z=a 为f+g 的max{m,n}阶极点 当m=n 时

阶的极点或可去极点低于阶极点n n a a a a _____0)()(0

)()(??

?=φ+λ≠φ+λ

15.设()0f z ≠，且以z a =为解析点或极点，而()z ?以z a =为本

性奇点，证明z a =是()()z f z ?±，()()z f z ?，()

()z f z ?的本性奇点。 证明：设

∑∞

=-?=?-λ=0)()

()(,)()()(n n

m a z z z a z z z f

m n n

a z z a z z z f z )()

()

()()()(0-λ±-?=±?∑

∞

=显然其中主要部分有无限项。

所以z=a 是±f(z)+ φ(z)的本性奇点。

n

m n m

n n

n n m a z z z a z z a z z z f z a z z a z z z f z -∞=∞

=∞

=-λ?=-λ-?=?-?-λ=

?∑

∑∑)()

()

()()

()

()

()

()

()()()()()().(00

所以z=a 是

f(z)φ(z)及)()

(z f z ?的本性奇点。

16．讨论下列函数在无穷远点的性质。 (1)2

z

解：

∞

==∞

→∞

→2

21

lim lim z z z z 二阶极点。

(2)1z z +

解：?=+=+=+∞→∞→∞→111lim 1

11

lim 1lim z

z z z

z z z z z z 可去极点。 (3)()12

1z + 解：

1

21

...

1

1)1( (1)

1)1(102

022101

22101==∴+++=+∴+++=+c c c z

c z c c z z

c z c c z z z

令

由上得：0

c =±1 21

1±

=c

从而得：z=∞为本性奇点。 (4)

1sin

z z

解：1sin 1

lim 1sin

lim ==∞→∞

→z z z z z z

可去奇点。

第五章 残数及其应用（1）

1. 求下列函数在指定点处的残数.

()1()()211z

z z -+在1,z =±∞

解:当1z =时，

()2111Re ()lim 1z z z z s f z z →→=??

= ? ?

+??=14,

当1z =-时，()()11111

Re lim 4

z z z z d z s f z dz =-→-→-????-??==-

??????.

求z →∞时的残数，用残数和定理，即,

()()1

1

Re Re Re 0

z z z s f z s f z s →∞

→→-=+=,

()

1

2sin z 在()0,1,2

z n n π==±±

解:由题可知,z n π=是本题的极点，将sin z 用罗朗展开得:

sin z =()()21121!n

n z n +-+∑，求()Re z n s f z π=，

()Re 1

z n s f z π

==。

(3)24

1z

e z -在0,z =∞.

解:将原式用罗朗展开得：

24

1z

e z -=

()

()2

4

222

z z z -

-

，

()()3

40024

321Re Re 3

z z z s f z s z ==????

-????==-

????????,根据残数和定理，()4Re 3z s f z →∞

=

. (4)1

1

z e -在1,z =∞, 解:

()

f z 的奇点为1，将11

z e -用罗朗展开式展开得：

2

111121(1)

z z +

++-??

-

所以,

()111Re Re 11z z s f z s z ==??

== ?-??, 根据残数和定理得：11Re 1

z z s e -→∞??

=- ???

2.求下列函数在其孤立奇点(包括无穷远点)处的残数(m 是自然数).

()11sin

m z z

解:将式子用罗朗展开

()()

()2111sin 21!

n

n m m

z z z z n -+-=+∑

，当

1

211,

2

m n n m

--=-=.

数学物理方法第三章答案完整版

第三章答案 1. (6分)已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1 t -Φ和系统矩阵A 。 ??? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解： ??????+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 1 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。 ()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ??????=+≥== ? ? ?--?????? & 解：11t t t At t t t t t t e te te e e t t te e te -------+??+??== ? ?----?? ?? （4分） 0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e ττττττ τττ------=Φ+Φ-????+??=+=??????--?????? ?? （4分） 3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。 ?? ? ???+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e 3e 2e 2e 2e 3e )t (。 解：? ? ? ? ??=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为： u x x ?? ????+??????=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解：解法1：?? ? ???=??? ? ????????---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(1 1； （4分） ?? ????-=??????-+??????=??? ?????????-+????????????=?---t t t t t t t t t t t t t te e te e te e d e e t e e te e x 212111)(00100τττττ。 （4分） 解法2： ?? ????--=??????--+??????--=+-=-s s s s s s s s s s x s Bu A s s x 21)1(1 11)1(11)1(1)}0()({)I ()(22221 ；

数学物理方法第八章作业答案

P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑

数学物理方法习题答案[1]

数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时

《数学物理方法》各章节作业题

《数学物理方法》各章节作业题 要求：每章讲完后的下一周同一时间将作业收齐并交到辅导教师(2016级硕士生刘璋诚、王俊超和2015级硕士生魏弋翔、 徐鹏飞)处。例如，第一周星期四讲完第一章，则第二周 星期四上课时交第一章的作业，以此类推。 说明：若无特别标注，下面的页码均指梁昆淼编《数学物理方法》。 （第三版的页码用红字标出，第四版的页码用蓝字标出） 希望：若对我的讲授和布置的作业有任何批评和建议，欢迎同学们及时指出和告知，不胜感激。（最好用E-mail：） 辅导答疑安排：待定 辅导答疑教师：刘璋诚、王俊超、魏弋翔、徐鹏飞 第一部分复变函数论 “第一章复变函数的一般概念”作业题（2月23日交）

第5页（第三版）第6页（第四版）： 第1题中（1），（2），（4），（6），（10）； 第2题中（1），（2），（3），（7）； 第3题中（2），（3），（7），（8）； 第9页（第三版）第8页（第四版）： 第2题中（1），（3），（7），（9）； 第3题。 “第二章复变函数的导数”作业题（2月27日交） 第13页（第三版）第12页（第四版）：习题； 第18页（第三版）第16页（第四版）： 第1题； 第2题中（2），（3），（4），（8），（10），（11）； 第23页（第三版）第20页（第四版）： 第1题 第3题。 “第三章复变函数的积分”作业题（3月6日交） 第38页（第三版）第31页（第四版）： 第1题，第2题； 补充题1：有一无限长的均匀带电导线与Z轴平行,且与XY平面相交于 ，线电荷密度为λ，求此平面场的复势，并说明积分

?-l z dz α的物理意义。 补充题2：计算()?-l n z dz α，ｎ为正整数，且ｎ≠＋１。 “第四章 复数级数”作业题（3月16日交） 第46页（第三版） 第37页（第四版）：第3题，第4题； 第52页（第三版） 第41页（第四版）：（1），（3），（4），（8）； 第60页（第三版） 第47页（第四版）： （1），（2），（4），（5），（9），（11），（15）； 第64页（第三版） 第50页（第四版）：习题。 “第五章 留数定理”作业题（3月23日交） 第71页（第三版） 第55页（第四版）： 第1题中（1），（2），（3），（5），（9），（10）； 第2题中（1），（4）； 第3题； 第81页（第三版） 第63页（第四版）： 第1题中（4），（5），（7），（8）； 第2题中（4），（6）； 第3题中（1），（2），（7），（8）。 第二部分 积分变换

高等数学答案-第四册-四川大学编

第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -=--=-()122(12)(34)(2)510212 2. ;345(34)(34)591655 i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551 (3).; (1)(2)(3)(13)(3)102 i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-= -112 2 ())] a bi =+= 112 22 4 sin )]()(cos sin );22i a b i θ θ θθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。 解： 121cos sin ;(cos sin );4 4266z i z i π π ππ=+=+ 121155[cos()sin()](cos sin ); 2464621212z z i i ππππππ =+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1 231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;; z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z ===Q 123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

数学物理方法

数学物理方法 Mathematical Methods in Physics 课程编号：22189906 总学时：72学分：4 课程性质：专业必修课 课程内容：数学是物理学的表述语言。复变函数论和数学物理方程是学习理论物理课程的重要的数学基础。该课程包括复变函数论和数学物理方程两部分。复变函数论部分 介绍复变函数的微积分，级数展开，留数及其应用以及积分变换等内容。数学物 理方程部分包括物理学中常用的几种数学物理方程的导入、解数学物理方程的分 离变量法、作为勒让德方程的解的勒让德多项式和作为贝塞尔方程的解的贝塞尔 函数及其性质以及格林函数的基本知识。该课程有着逻辑推理抽象严谨的特点， 同时与物理以及工程又有着紧密的联系，是理工科学生必备的数学基础知识。我 们将把抽象的数学知识和在物理学中的应用结合起来，使学生不但能学习数学本 身，同时还能提高学生运用所学数学知识解决实际问题的能力。 先修课程：高等数学 参考书目：《数学物理方法》（陆全康、赵蕙芬编），第二版高等教育出版社《数学物理方法》（吴崇试）第二版，北京大学出版社 力学和热学 (1)与(2) Mechanics and Thermal Physics (1) and (2) 课程编号：22189936、22189937 总学时：28、72 学分：2、4 课程性质：专业必修课 课程内容：本课程由力学和热学两大部分组成。力学和热学都是大学物理的基础部分，是物理学各门课程的重要基础课程。力学的主要内容包括三方面：在牛顿力学方面， 主要学习牛顿定律、动量定理和动量守恒定律、动能原理及机械能守恒定律；在 刚体定轴转动方面，主要学习转动定律和角动量守恒；在振动和波方面，主要学 习简谐振动和平面简谐波。热学的主要内容包括分子物理学和热力学，主要学习 温度，热力学第一定律、第二定律，热机效率及熵增加；气体分子运动论的基本 方法，气体压强公式，分子平均动能，气体分子的麦克斯韦速率分布律，能量均 分定理。 先修课程：高等数学A(1) 参考书目：《力学》，漆安慎、杜婵英，高等教育出版社，1997年；《热学教程》（第二版），黄淑清、聂宜如、申先甲编，高等教育出版社，1994年

最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案4-3

同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案4-3

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 习题4-3 求下列不定积分: 1. ?xdx x sin ; 解 C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=???sin cos cos cos cos sin . 2. ?xdx ln ; 解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=???ln ln ln ln ln . 3. ?xdx arcsin ; 解 ??-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ?--=dx x x x x 21arcsin C x x x +-+=21arcsin . 4. ?-dx xe x ; 解 ???----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ?xdx x ln 2; 解 ???-==x d x x x xdx xdx x ln 3 1ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=?33239 1 ln 3131ln 31. 6. ?-xdx e x cos ; 解 因为 ????------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5 ??-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin ?-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin , 所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----?)cos (sin 21)cos sin (21cos . 7. ?-dx x e x 2sin 2; 解 因为 ???-----==x x x x de x x e x d e dx x e 22222 cos 22cos 22cos 22sin ??----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222x d e x e dx x e x e x x x x ?----+=x x x de x x e x e 2222 sin 82sin 82cos 2 ?---++=dx x e x e x e x x x 2 sin 162sin 82cos 2222, 所以 C x x e dx x e x x ++- =--?)2sin 42(cos 1722sin 22. 8. ?dx x x 2cos ; 解 C x x x dx x x x x xd dx x x ++=-==???2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos . 9. ?xdx x arctan 2; 解 ???+?-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ??+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx x x x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223. 10. ?xdx x 2tan 解 ?????+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222 C x x x x xdx x x x +++-=-+-=?|cos |ln tan 2 1tan tan 2122.

姚端正《数学物理方法》(第三版)部分勘误表

姚端正《数理方法》（第三版）勘误表（部分） P9，“（3）若()f x 在闭区域……”应更正为“（3）若()f z 在闭区域……” P33，中部“任意一条分段光滑的曲线”应更正为“任意一条分段光滑的封闭曲线” P66，习题3.5第2（2）题：“0||z b R <-<”应更正为“||z b R -<” P85，倒数第6行、第7行“1res ()n k f z =∑”应更正为“1res ()n k k f z =∑” P86，例3的计算过程中“||1a <”应更正为“01a <<”，但计算结果仍然对“||1a <”范围成立，即该例题的讨论过程不够完整。 P87，第10行“d[(π)]θ--”应更正为“d(π)θ-” P88，第4行“如图5.4”应更正为“如图5.4（b ）”；第4题需补充条件：01x <<； 第5题：“适当围道计算”应更正为“适当围道（图5.4（a ））计算”。 P107，第3行“稳定状态”应更正为“稳恒状态”；“则热量将停止流动”应去掉这段文字。 倒数第3行“F 为单位长度……”应更正为“F 为单位体积……” P108，第6行“通过介面”应更正为“单位时间通过介面” P111，第6行“k h E =”应更正为“k h EA =” P120，第1行“//at x a c at x a c ++--? ”应准确写为“()/()()/()at x a c at x a c ++--? ” P121，第4-5行“则在τ?这段时间内”应更正为“则在τ?这段时间以后”； 第6行“t τττ<<+?”应更正为“t τ<” P124，第4大题中“()x ψ”应更正为“(,)x y ψ”；“()x ?”应更正为“(,)x y ?”； 解的表达式应更正为 ()01(,,)2π1 d 2πM M at at M a t t u x y t a t a τσσστ-???=+??????+?????????? P146，第2行“I 2I u xx u a u =”应更正为“I 2I tt xx u a u =” P271，第1行“2(2)(1)lim lim 1(1)(1) k k k k c k k R c l l k k →∞→∞+++===+-+”应更正为 “1k k R ===” P274，习题14.1第2题“0y xy ''-=”应更正为“0y xy ''-=” P280，习题14.2第6题“介电常数为ε”应更正为“相对介电常数为ε” P286，习题14.3第3题（1） ”

高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案解析知识题全

习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x 轴，y 轴，z 轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 22204(3)552s =+-+= 222(44)(30)(50)34x s =-+--+-= 2224(33)541y s =+-++= 2224(3)(55)5z s =+-+-=. 6. 在z 轴上，求与两点A （-4，1，7）和B （3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M （0，0，z ），则 222222(4)1(7)35(2)z z -++-=++-- 解得 149 z = 即所求点为M （0，0， 149）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图7-1 图7-1 9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解：

高等数学Ⅱ答案。同济大学应用数学系本科少学时类型第三版

习题7-1 1. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 习题7-2 1. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, ?2, 3); B (2, 3, ?4); C (2, ?3, ?4); D (?2, ?3, 1). 解A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限. 2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3, 4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, ?1, 0). 解在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ). 在x 轴上, 的点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 的点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 的点的坐标为(0, 0, z ). A 在xOy 面上, B 在yOz 面上, C 在x 轴上, D 在y 轴上. 3. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , ?c ); 点(a , b , c )关于yOz 面的对称点为

(?a, b, c); 点(a, b, c)关于zOx面的对称点为(a, ?b, c). (2)点(a, b, c)关于x轴的对称点为(a, ?b, ?c); 点(a, b, c)关于y轴的对称点为(?a, b, ?c); 点(a, b, c)关于z轴的对称点为(?a, ?b, c). (3)点(a, b, c)关于坐标原点的对称点为(?a, ?b, ?c). 4.自点P 0(x , y , z )分别作各坐标面和各坐标轴的垂线, 写出各垂足的坐标. 解在xOy面、yOz面和zOx面上, 垂足的坐标分别为(x 0, y , 0)、(0, y , z )和(x , 0, z ). 在x轴、y轴和z轴上, 垂足的坐标分别为(x 0, 0, 0), (0, y , 0)和(0, 0, z ). 5.过点P 0(x , y , z )分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面, 问在它们上面的点的坐 标各有什么特点？ 解在所作的平行于z轴的直线上, 点的坐标为(x 0, y , z); 在所作的平行于xOy面的平面上, 点的坐标为(x, y, z ). 6. 一边长为a的立方体放置在xOy面上, 其底面的中心在坐标原点, 底面的顶点在x轴和y 轴上, 求它各顶点的坐标. 7.已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2 (1, ?1, 0). 试用坐标表示式表示向量及 11.在yOz面上, 求与三点A(3, 1, 2)、B(4, ?2, ?2)和C(0, 5, 1)等距离

数学物理方法

《数学物理方法(1)》教学大纲 学时：68 学分：4 适用专业：物理学 一、课程的性质、目的和任务 本门课程是学科专业方向课，属物理学专业必修课程。通过本课程的教学，使学生掌握并能运用矢量、张量初步、复变函数论、积分变换、分离变量法和球函数等理论物理的基本数学工具。培养学生严谨的逻辑和推演等理性思维能力，为学习物理系基础理论课量子力学、统计物理和电动力学等打好数学基础。使学生深入理解基本概念，适度锻炼、提高综合分析、解决问题的能力和耐力。 二、课程教学的基本要求 （1）掌握复变函数论的基本理论、微分和积分的方法、了解残数及其在围道积分中的应用；（2）掌握弦振动方程、热传导方程、电报方程的建模过程； （3）初步学会确定边界条件和初始条件； （4）熟练掌握分离变量法、达朗贝尔法和拉普拉斯变换法； （5）了解特殊函数的导出和意义。 三、课程教学内容 （一）矢量分析 1．算子 的运算规则，含算子的常用恒等式 2．梯度、散度、旋度与调和量在正交曲线坐标系表达式 （二）复变函数 1．初等复变函数，多值函数的支点、黎曼面及其单值分支 2．复变函数导数，科希——黎曼方程、解析函数，共轭调和函数 （三）复变函数的积分 1．复变函数的积分 2．单通区域、复通区域上的科希定理与科西积分公式 （四）幂级数展开 1．复数项级数、幂级数、收敛圆与收敛半径 2．泰勒展开、罗朗展开及收敛环域的确定，解析延拓和奇点的分类 （五）留数定理 1．留数定理，极点的留数计算方法和利用留数定理计算实函数（主值）积分的方法

2．多值函数的回路积分 （六）傅立叶变换 1．傅立叶积分、傅立叶变换及其性质 2．狄拉克函数 （七）拉普拉斯变换基础 1．拉普拉斯变换，有理分式反演法，延迟定理，位移定理和卷积定理2．黎曼-梅林反演公式，运算微积方法求解微、积分方程 （八）分离变量法 1．波动方程，热传导方程和拉普拉斯方程等三类方程的分离变量法（九）球函数 1．勒让德多项式，勒让德方程的本征值和本征函数，母函数和递推公式2．具有轴对称性的物理问题等 四、课内实践教学要求 本课程无课内实践要求。 五、考核形式 考试（闭卷） 六、学时分配： 七、本课程与其它课程的联系

数学物理方法第二篇第3章

第三章 行波法和通积分法 §2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式 无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题： ?? ?==>+∞<<-∞=-) ()0,(),()0,() 0,(,02x x u x x u t x u a u t xx tt ψ? 这个方程的特征方程为 0 )( 2 2 =-a t x d d ， 所以波动方程是双曲型方程，有两组实的特征线 1c at x =-，2c at x =+， 作自变量的变换，令 at x -=ξ，at x +=η， 应用复合函数求导法则，有 η ξηξau au a u a u u t +-=?+-=)(, ηξηξu u u u u x +=?+?=11, ηηξηξξu a u a u a u tt 2 2 2 2+-=, ηη ξηξξu u u u xx ++=2, 代入波动方程中，化简得 0=ξηu ， 利用偏导数的意义，得通解

)()()()(),(at x G at x F G F t x u ++-=+=ηξ， 其中F 和G 是任意二阶连续可微函数. 由),(t x u 满足的初始条件来确定F 和G 的具体形式，于是 得函数方程 ? ? ?='+'-=+)()()(), ()()(x x G a x F a x x G x F ψ? 积分第二式得 C a x G x F x x += +-?α αψd 0 )(1)()(，C 为积分常数. 从而得 2)(21)(21)(0C a x x F x x - - = ?ααψ?d ， 2 )(21)(2 1)(0 C a x x G x x + + =?ααψ?d 故得一维齐次波动方程哥西问题的解 ααψ??d ?+-+ ++-= at x at x a at x at x t x u )(21)]()([2 1),(, 这就是著名的达朗贝尔公式. 通常称)(at x F -为右传播波（或右行波），称)(at x G +为左传播波（或左行波），a 为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法，在数学上又叫通积分法.

高等数学第四册第三版数学物理方法答案(完整版)

高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版） 第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 (1).(2)(12)222; i i i i i i ---=---=-()122(12)(34)(2)510212 2. ;345(34)(34)591655 i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551 (3).; (1)(2)(3)(13)(3)102 i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=-1122 2 2 22 2 2 (5).()[( )] a b a bi a bi a b i a b a b +=+=++ ++1 1222 22 4 [(cos sin )]()(cos sin );22a b i a b i θ θ θθ=++=++ 3.设 11, 2i z += 23;z i =-试用三角形式表示12z z 及12 z z 。 解： 121cos sin ;(cos sin );4 4 266z i z i π π ππ=+= + 121155[cos()sin()](cos sin ); 2464621212z z i i ππππππ =+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+ 11.设1 2 3 ,,z z z 三点适合条件1 2 3 0z z z ++=及123 1;z z z ===试证明123 ,,z z z 是一个内接于单位圆z =1的正三角形的顶点。 证明：1 2 30;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

《高等数学》第四册数学物理方法

第一章 复数与复变函数(1) 1、计算 )(1)2; i i i i i --=--=-()122(12)(34)(2)510212 2. ;345(34)(34)591655 i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551 (3).; (1)(2)(3)(13)(3)102i i i i i i i ===------ 4222(4).(1)[(1)](2)4;i i i -=-=-=- 112 2 ())] a bi =+= 112 22 4 sin )]()(cos sin );22i a b i θ θ θθ=+=++ 3 、设 1z = 2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。 解: 121cos sin ;(cos sin );4 4266z i z i π π ππ=+=+ 121155[cos()sin()](cos sin ); 2464621212z z i i ππππππ =+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+ 11、设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1 231;z z z ===试证明123,,z z z 就是一个内接于单位圆 z =1的正三角形的顶点。 证明:1230;z z ++=z 123231;312;; z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心,1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 就是内接于单位圆的正三角形。

高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全

习题七 1、在空间直角坐标系中,定出下列各点的位置: A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0)、 解:点A在第Ⅰ卦限;点B在第Ⅱ卦限;点C在第Ⅷ卦限; 点D在xOy面上;点E在yOz面上;点F在x轴上、 2、xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点,z=0; 在yOz面上的点,x=0; 在zOx面上的点,y=0、 3、x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答:x轴上的点,y=z=0; y轴上的点,x=z=0; z轴上的点,x=y=0、 4、求下列各对点之间的距离: (1) (0,0,0),(2,3,4); (2) (0,0,0), (2,-3,-4); (3) (-2,3,-4),(1,0,3); (4) (4,-2,3), (-2,1,3)、 解:(1)s= (2) s== (3) s== (4) s== 5、求点(4,-3,5)到坐标原点与各坐标轴间的距离、 解:点(4,-3,5)到x轴,y轴,z轴的垂足分别为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5)、 故 s== x s== y s== 5 z s==、 6、在z轴上,求与两点A(-4,1,7)与B(3,5,-2)等距离的点、 解:设此点为M(0,0,z),则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z= 即所求点为M(0,0,14 9 )、

7、 试证:以三点A (4,1,9),B (10,-1,6),C (2,4,3)为顶点的三角形就是等腰直角三角形、 证明:因为|AB |=|AC |=7、且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2、 故△ABC 为等腰直角三角形、 8、 验证:()()++=++a b c a b c 、 证明:利用三角形法则得证、见图 7-1 图7-1 9、 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解: 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 10、 把△ABC 的BC 边分成五等份,设分点依次为D 1,D 2,D 3,D 4,再把各分点与A 连接,试以AB =u u u r c ,BC =u u u r a 表示向量1D A u u u u r ,2D A u u u u r ,3D A u u u u r 与4D A u u u u r 、 解:1115D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 2225D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 3335D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 444.5D A BA BD =-=--u u u u r u u u r u u u u r c a 11、 设向量OM u u u u r 的模就是4,它与投影轴的夹角就是60°,求这向量在该轴上的投影、 解:设M 的投影为M ',则 1Pr j cos604 2.2 u OM OM =?=?=u u u u r u u u u r 12、 一向量的终点为点B (2,-1,7),它在三坐标轴上的投影依次就是4,-4与7,求这向量的起点A 的坐标、 解:设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z ),则 {4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----u u u r 解得x =-2, y =3, z =0 故A 的坐标为A (-2, 3, 0)、 13、 一向量的起点就是P 1(4,0,5),终点就是P 2(7,1,3),试求:

数学物理方法作业习题第二篇第3章

习 题 1. 求下列方程的通解： (1)032=--yy xy xx u u u ； (2)032=-+yy xy xx u u u ； (3)23253=++--y x yy xy xx u u u u u ； (4)022 2 =+++-y x yy xy xx yu xu u y xyu u x ； (5)03222=--yy xy xx u y xyu u x ；(6)y x y x xy e u u u u +=+--2632； (7) 22 2 )(y u x u x x ??=????；提示：令),(1),(y x v x y x u = . 2. 求解下列初值问题： (1)| |2)0,(,2)0,(x t xx tt e x u x u u a u -=???== (2)2211)0,(,cos )0,(x x u x x u u a u t xx tt +=?? ?== (3)????? ==+=) ()0,(,)()0,()2(2x x u x x u u x u a u t x xx tt ψ? 3. 求解下列定解问题： (1)x x u x x u u u t xx tt 4)0,(,)0,(6 2 =?? ?=+= (2)? ??==+=x o x u x x u xt u u t xx tt ),(,)0,(42 (3)???==+=0)0,(,sin )0,(sin x u x x u x u u t xx tt (4)?? ?+==+=x x x u x x u e u u t x xx tt cos )0,(, sin )0,(

(5)???==+=0 )0,(,0)0,(sin 2x u x u x u a u t xx tt ω (6)???==+=0)0,(,0)0,(sin 2x u x u t u a u t xx tt ω 4. 求解下列定解问题： (1)、?? ?==∞ <<∞-=+==1|, sin |0 x y x x y x xy u x u x u u (2)???===++-==0|, |02200y y y y x yy xx u x u u u u u (3)???-=-==---==1|,|4 2200 y u y u u u u u x x x y x yy xx (4)?? ?<===+++-==) 1(|, 0|0 2 533x e u u xyu xu yu u x x y y x y y x xy (5)????? ==>=+-==,0|, |) 0(02 100y y y x yy xx u x u x u u xu (6)?? ???=-=>=-+==3|,1|)0(, 02112 y y y y yy xy u x u y u y u u y 5. 求解下列初值问题： (1)???==++===20202|,|)(z u y u u u u a u t t t zz yy xx tt (2)???=+=++===0|,|)(03 02t t t zz yy xx tt u yz x u u u u a u (3)???==+++===2 02022|,|)(8z u y u t x u u u u t t t zz yy xx tt (4)???==++===y u x u u u u t t t yy xx tt 00|,|2 (5)???+=-=+===2 202 202|, 2|) (2y x u y x u u u u t t t yy xx tt

高等数学复旦大学出版第三版下册课后答案习题全

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习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C 在第Ⅷ卦限； 点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F 在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？ 答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？ 答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离： （1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）； （3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4） 173

（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1 ）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 s== s== x s== y s==. 5 z 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 -++-=++-- z z (4)1(7)35(2) 解得14 z= 9 ）. 即所求点为M（0，0，14 9 7. 试证：以三点A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 174