线性变换测试题

线性变换 测试题

一、填空题：

1．设线性变换A 在基21,εε的矩阵为???

? ??1011，线性变换B 在基12,εε下的矩阵为???

? ??-1101，那么A+B 在基21,εε下的矩阵为 . 2．设矩阵A 的特征为1，2，3，那么A -1的特征值为 。

3．设A=??????????x 10100001与矩阵B=????

??????-10000001y 相似，那么y x ,的值分别是 。 4．设A=??????????211121

112

，A （X ）=AX 是P 3上的线性变换，那么A 的零度= 。

5．在P[x]3中,定义D （)())(x f x f '=，那么D 的特征值为 。

二、判断题

1．设α是V 中固定非零向量，V ∈?ξ，A αξξ+=)(，那么A 是V 上的线性变换。（ ）

2．设V=P 22?，L ←(V)是V 上的全体线性变换组成的空间，那么L ←（V ）的维数=4。 （ ）

3．两个矩阵A ，B 有相同的特征值，则A ～B 。（ ）

4．设线性变换A 在给定基下的矩阵为A ，那么A 的值域的维数等于A 的秩。（ ）

5.线性变换A 的核与值域的交是A 的不变子空间。（ ）

三、3][x P 表示次数小于3的多项式连同零组成的线性空间，定义A )()())((x f x f x x f -'=

1.证明A 是3][x p 上的线性变换。

2．求A 在基1，1,12--x x 下的矩阵。

3．说明A 是否可以对角化？若可以对角化，找出一组基，使A 在该基下的矩阵为对角形。

四、在P 2x2上定义线性变换 A X X ??

????--=1111 （1）求A 在基22211211,,,E E E E 下的矩阵；

（2）求A 的核和它的零度。

（3）求A 的值域和A 的秩。

五、设????

??????=101020101A （1）求A 的全部特征值。

（2）求A 的属于每个特征值的特征向量。

（3）求一个可逆矩阵X ，使X -1A X 为对角形。

六、设V 是n 维线性空间，A 是V 上的线性变换，μλ,为A 的不同特征值。

（1） 证明特征子空间λV 是A －子空间。

（2）证明)(μλV V +的维数=λV 的维数+μV 的维数。

七、设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，A 2为单位变换。证明：

（1）A 的特征值只能是1±

（2）11-⊕=V V V 其中=1V {α∈V|A α=α}=-1V {α∈V|A α= -α}

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t检验习题及答案

例题7.5一家食品生产企业以生产袋装食品为主，每天的产量大约为8000袋左右。按规定每袋的重量应为100g。为对产品质量进行检测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析 每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取25袋，测得每袋重量如表7—2所示。 表7—2 25袋食品的重量 112.5 101.0 103.0 102.0 110.5 102.6 107.5 95.0 108.8 115.6 100.0 123.5 102.0 101.6 102.2 116.6 95.4 97.8 108.6 105.0 136.8 102.8 101.5 98.4 93.3 已知产品重量的分布，且总体标准差为10g，试估计该天产品平均质量的置信区间，以为95%建立该种食品重量方差的置信区间。 解：已知δ=10，n=25，置信水平1-α=95%，Z x/2=1.96

案例处理摘要 案例 有效缺失合计 N 百分比N 百分比N 百分比 重量25 100.0% 0 .0% 25 100.0%

描述 统计量标准误 重量均值105.7600 1.93038 均值的95% 置信区间下限101.7759 上限109.7441 5% 修整均值104.8567 中值102.6000 方差93.159 标准差9.65190 极小值93.30 极大值136.80 范围43.50 四分位距9.15 偏度 1.627 .464 峰度 3.445 .902 重量 重量 Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 1.00 9 . 3 4.00 9 . 5578 10.00 10 . 0111222223 4.00 10 . 5788 2.00 11 . 02

线性变换练习题

线性变换习题 一、填空题 1. 设σ是3 P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ?∈，1(1,0,0),ε= 2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为 _______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。 2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：()A σξξ=， n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。 3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220 1121-?? ? ? ?-?? ，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。 4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。 5. 设A =???? ? ??? ??21 1 12 1112 ，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。 6. 若n n A P ?∈，且2 A E =，则A 的特征值为 。 7. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,, ,n x x x -下的矩阵 为 。 8. 在22 P ?中，线性变换10:20A A σ??→ ???在基121001,,0000E E ???? == ? ????? 300,10E ??= ??? 40001E ?? = ???下的矩阵是 。 9. 设321502114A ?? ? = ? ??? 的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ， 1λ2λ3λ= 。 10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，

三个想象力训练方法

三个想象力训练方法 一个人的想象力与记忆力之间具有很大的关联性，甚至在有些时候，回忆就是想象，或者说想象就是回忆。如果一个人具有十分活跃的想象力，他就很难不具备强大的记忆力，良好的记忆力往往与强大的想象力联系在一起。 因此，要训练我们的记忆力，可以从训练我们的想象力着手。 训练1: 向学前班的孩子学习，培养你的想象力，如问自己一个问题：花儿为什么会开？ 你猜小朋友们会怎么回答呢？ 第一个孩子说：“她睡醒了，想看看太阳。” 第二个孩子说：“她伸伸懒腰，就把花骨朵顶开了。” 第三个孩子说：“她想和小朋友比比，看谁穿得更漂亮。” 第四个孩子说：“她想看看，小朋友会不会把她摘走。” 这时，一个孩子问老师一句：“老师，您说呢？” 这时候，如果你是老师该怎么回答才能不让孩子失望呢？ 如果你是个孩子，你又认为答案会是什么呢？

其实，只要你不回答：“因为春天来了。”那你的想象力就得到了锻炼。 你也可以随便拿出一张画，问自己：“这是什么？” 一块砖。 别的呢？一扇窗。 别的呢？事实上，从侧面看，这是字母n。或者，另一个字母，如，F别的呢？一个侧面看到的数字。 别的呢？任何一个从上端看的三维数字，包括2，3，5，6，7，8，9，0。 别的呢？任何一个装在盒子里的物体。 别的呢？一个特殊尺寸的空白屏幕（垂直方向）。 别的呢…… 每个事物都可能成为其他所有的事物，髙度创造性的大脑是没有逾越不了的障碍的。自由联想是天才最好的朋友。天才的感知力就是在每个事物中看到其他所有的事物！这就是为什么天才能看到普通人看不到的实质。 训练2: 从剧本或诗歌中读一段或几段，最好是那些富有想象的段落，例如下文： 茂丘西奥，她是精灵们的媒婆，

第六章_线性变换_68180769

第六章 线性变换 映射：,X Y ≠?≠?，如果有一个法则σ，它使得X 中每个元素α，在Y 中有唯一确定的元素β与之对应，则称σ为X 到Y 的一个映射，记作:X Y σ→，()σαβ=，β称为α在σ下的象，α称为β在σ下的原象。 注：()(),X στασατα=??∈=对。 变换：一个集合到自身的映射。 线性变换的定义与性质 定义 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 的一个变换，如果满足条件： （1）()()()βσασβασV,α,β+=+∈?； （2）()()k F,αV,k αk σασ?∈?∈=， 则称σ是V 上的线性变换或线性算子。 (1), (2)等价于条件：,,,k l F V αβ?∈∈ ()()()σk αl βk σαl σβ+=+。 例：设σ：n n R R →，定义为()c αασ=，c 为常数。-----数乘 变换或位似变换。 c =0-----零变换，记为o 。 c =1-----恒等变换，记为ε。 例：设σ是把平面上的向量绕坐标原点逆时针旋转θ角的变换 设()()(),,,T T x y x y ασα''==，则

cos sin sin cos x x y y x y θθ θθ'=-??'=+? 记cos sin sin cos A θθθ θ-?? =??? ? ，则()A σαα=是一个线性变换。 例：判断下列变换是否是线性变换 (1) ()()12323,,1,,T T a a a a a σ=; (2) ()()12323,,0,,T T a a a a a σ=; (3) ()()12312231,,2,,T T a a a a a a a a σ=-+; (4) ()()212312 3,,,,3T T a a a a a a σ=. 线性变换的基本性质 （1）()θθσ=； （2）()()ασασ-=-； （3）线性变换保持向量的线性组合关系不变，即若s s αk αk αk β+++=Λ2211，则1122s s βk αk αk ασσσσ=+++L ； 若θ=+++s s αk αk αk Λ2211，则θσσσ=+++s s αk αk αk Λ2211。 （4）线性变换将线性相关的向量组映成线性相关的向量组。 线性变换的运算 ()V L ----线性空间V 上所有线性变换的集合。

线性变换习题课

七、线性变换习题课 1．复习线性变换的概念 例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。 证明：R上：有== 又 故A是R上线性空间C的线性变换。 C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。 由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。 2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。 例2设A,B是线性变换，如果证明： ，（k>0） 证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法. 对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知 =AB=(BA+E)A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 结论成立. 设当k时结论成立,即,也即. 当k+1时, =ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1 =BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k 所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立. 例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换. 证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵. 设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B. 因为,所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3),于是为数量变换.

有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换. 3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法. A可逆10存在使=E. A是双射. A在基下的矩阵A可逆—有限维 例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关. 证明:证法一: “”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关. “”线性无关, 因dimV=n,故使得 =A() 令使=() 易见,且,即 又任给设= 有()== 故,从A可逆. 证法二:利用双射 “” A是双射,则0==A() 得0=(0对应0) 故,线性无关. “”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射. 证法三:利用矩阵 A可逆A在下的矩阵A可逆 ()A也是一组基=n

T检验例题

T检验 习题1．按规定苗木平均高达1.60m以上可以出圃，今在苗圃中随机抽取10株苗木，测定的苗木高度如下： 1.75 1.58 1.71 1.64 1.55 1.72 1.62 1.83 1.63 1.65 假设苗高服从正态分布，试问苗木平均高是否达到出圃要求？(要求α=0.05) 解：1）根据题意，提出：无效假设为：苗木的平均苗高为H0=1.6m; 备择假设为：苗木的平均苗高H A>1.6m； 2）定义变量：在spss软件中的“变量视图”中定义苗木苗高, 之后在“数据视图”中输入苗高数据； 3)分析过程 在spss软件上操作分析过程如下：分析——比较均值——单样本T检验——将定义苗高导入检验变量——检验值定义为1.6——单击选项将置信区间设为95%——确定输出如下： 表1.1:单个样本统计量 表1.2:单个样本检验 4）输出结果分析 由表1.1数据分析可知，变量苗木苗高的平均值为1.6680m，标

准差为0.0843，说明样本的离散程度较小，标准误为0.0267，说明抽样误差较小。 由表1.3数据分析可知，T检验值为2.55，样本自由度为9，t检验的双尾检验值为0.031<0.05,说明差异性显著，因此，否定无效假设H0，取备择假设H A。 根据题意，苗木的苗高服从正态分布，由以上分析知：在显著水平为0.05的水平上检验，苗木的平均苗高大于1.6m，符合出圃的要求。 习题2．从两个不同抚育措施育苗的苗圃中各以重复抽样的方式抽得样本如下： 样本1苗高（CM）：52 58 71 48 57 62 73 68 65 56 样本2苗高（CM）：56 75 69 82 74 63 58 64 78 77 66 73 设苗高服从正态分布且两个总体苗高方差相等（齐性），试以显著水平α=0.05检验两种抚育措施对苗高生长有无显著性影响。 解：1）根据题意提出：无效假设为H0：两种抚育措施对苗木生长没有显著的影响；备择假设H A：两种抚育措施对苗高生长影响显著； 2）在spss中的“变量视图”中定义变量“苗高1”，“抚育措施”，之后在“数据视图”中输入题中的苗高数据，及抚育措施，其中措施一定义为“1”措施二定义为“2”； 3）分析过程 在spss软件上操作分析过程如下：分析——比较变量——独立

DLT 直接线性变换解法程序

DLT 直接线性变换解法程序介绍 一、程序综合介绍：DLT结算程序 程序功能介绍：应用6个已知点计算左右片l 系数；然后应用已经求得的l系数求解物方空间坐标系坐标 程序名：SuYGDLT 程序界面： 程序界面有四个按钮，分别为读取文件，左片l系数计算，右片系数计算，物放坐标解算程序界面有四个编辑框，分别用来输出文件信息，左片l系数、右片l系数、以及无妨坐标结果 截图如下 程序使用介绍： 必须先点击导入文件按钮，导入文件方可进行正确的计算，如果未导入文件就点击左片平差或右片平差或无妨坐标解算就会弹出如下对话框：

读取数据后点击其它按钮进行其它计算。 程序文件格式： 数据文件分为两部分，KnownPoint，UNKnownPoint，分别代表已知点信息和待求点信息当文件读取程序读到“KnownPoint”时开始读取已知点信息，已知点信息格式如下 GCP1,1214.0000,1032.0000,1046.5180,1071.6652,9.201742,-9.672384,-2.726064 分别代表点名、左片相片X坐标、左片相片y坐标、右片相片x坐标、右片相片y坐标物方坐标X、Y、Z; 当文件读取到“END KnownPoint”时结束已知坐标的读取 待求点信息类似：文件格式截图如下： 程序运行结果与评估： 本程序区1-10号点作为已知点计算l近似值11-20号点作为未知点解求其物方三维坐标；

程序运行结果与所给参考值相似，应该可以证明其运算是正确的，运行结果截图如下： 二、程序编程思想及相关代码 程序编程思想及相关函数： 本程序设计DLTCalculation类作为l系数结算主程序，其成员变量及成员函数与作用介绍如下： CSuLMatrix LL;//左片L系数矩阵 CSuLMatrix RL;//右片L系数矩阵 int m_iKnownPointCount;//已知点个数 CControlPoint *m_pKnownPoint;//已知点 int m_iUnKnownPointCount;//未知点个数 CControlPoint *m_pUnKnownPoint;//未知点 public: CString LoadData(const CString& strFileName);//读取文件函数 int ifLoda;//判断是否导入数据 CString Datainfor;//文件信息存储 CString *SplitString(CString str,char split, int& iSubStrs); //分割函数 void LFormApproL(CSuLMatrix &LL);//计算左片L系数近似值 void RFormApproL(CSuLMatrix &RL);//计算右片L系数近似值 void FormLErrorEquations(CSuLMatrix LL,CMatrix &LM,CMatrix &LW);//组成左片系数矩阵和常数项矩阵 void LAdjust();//左片平差主函数 void FormRErrorEquations(CSuLMatrix RL,CMatrix &RM,CMatrix &RW);//组成右片系数矩阵和常数项矩阵 void RAdjust();//右片平差主函数 void Output(const CString& strFileName);//输出结果主程序

Matlab+实现直接线性变换

直接线性变换Matlab实现的程序源代码 function re=DLT(A,B) %imco为像方坐标，输入单位是像素 imco=A; %此处为控制点像方坐标，格式为2×n，单位：像素 %obco为物方坐标，输入单位是毫米 obco=B; %此处为控制点物方坐标，格式为n×3单位：毫米 imco_be=[];B=[];M=[]; for i=1:size(imco,2) imco_be=[imco_be;imco(:,i)]; end for i=1:size(imco,2) A1=[obco(i,:),1,0,0,0,0]; A2=[0,0,0,0,obco(i,:),1]; M=[M;A1;A2]; B1=obco(i,:).*imco_be(2*i-1); B2=obco(i,:).*imco_be(2*i); B=[B;B1;B2]; end M=[M,B]; N=M(1:11,:); L=N\(-imco_be(1:11,:)); X0=-((L(1)*L(9)+L(2)*L(10)+L(3)*L(11))/(L(9)*L(9)+L(10)*L(10)+L(11)*L(11))); Y0=-((L(5)*L(9)+L(6)*L(10)+L(7)*L(11))/(L(9)*L(9)+L(10)*L(10)+L(11)*L(11))); L=[L;0];M3=[];W=[]; for i=1:size(imco,2) xyz=obco(i,:); A=xyz(1)*L(9)+xyz(2)*L(10)+xyz(3)*L(11)+1; r2=(imco_be(2*i-1)-X0)*(imco_be(2*i-1)-X0)+(imco_be(2*i)-Y0)*(imco_be(2*i)-Y 0); M1=[A*(imco_be(2*i-1)-X0)*r2;A*(imco_be(2*i)-Y0)*r2]; M2=-[M(2*i-1:2*i,:),M1]/A; M3=[M3;M2]; W=[W;-[imco_be(2*i-1);imco_be(2*i)]/A]; end WP=M3'*W; NBBN=inv(M3'*M3); LP=-NBBN*WP; v=M3*LP+W; imco_be=imco_be+v; X0=-(LP(1)*LP(9)+LP(2)*LP(10)+LP(3)*LP(11))/(LP(9)*LP(9)+LP(10)*LP(10)+LP (11)*LP(11)); Y0=-(LP(5)*LP(9)+LP(6)*LP(10)+LP(7)*LP(11))/(LP(9)*LP(9)+LP(10)*LP(10)+LP (11)*LP(11)); 1

高等代数与解析几何第七章(1-3习题)线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵 习题 7.1 习题 7.1.1 判别下列变换是否线性变换？ （1）设是线性空间中的一个固定向量， （Ⅰ），， 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （Ⅱ），； 解：当时，显然是的线性变换； 当时，有，，则 ，即此时不是的线性变换。 （2）在中， （Ⅰ）， 解：不是的线性变换。因对于，有，，所以。 （Ⅱ）； 解：是的线性变换。设，其中，，则有 ，

。 （3）在（Ⅰ）解：是中， ， 的线性变换：设，则 ， ，。 （Ⅱ）解：是 ，其中 的线性变换：设 是中的固定数； ，则 ， ，。 （4）把复数域看作复数域上的线性空间， 共轭复数； 解：不是线性变换。因为取，时，有 ，即。，其中是的 ， （5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。 解：是的线性变换。对，，有 ， 。 习题7.1.2 在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由 轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向

旋转 900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。证明（表示恒等变换）， ， ； 并说明是否成立。 证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可 知：， ，， ； ； ， ， ， ，即，故。 因为因为 ， ，所以 ， ，所以 。 。 因为， ，所以。 习题 7.1.3 在中，，，证明。证明：在中任取一多项式，有 。所以。 习题 7.1.4 设，是上的线性变换。若，证明 。 证明：用数学归纳法证明。当时，有

命题成立。假设等式对成立，即。下面证明等式对 也成立。因有 ，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。习题 7.1.5 证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一； （2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且 。 证明：（进而（2）因1）设 ，都是 都是的逆变换，则有， 。即的逆变换唯一。 上的可逆线性变换，则有 。 ，同理有 由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得 。 习题7.1.6 设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。证明，，， 线性无关。 证明：设，依次用可得 ，得，而， 故即得 ；同理有： ；依次类推可得，即得 ，得， ，进而得。

第七章 线性变换.

第七章线性变换 计划课时：24学时.( P 307—334) §7.1 线性变换的定义及性质（2学时） 教学目的及要求：理解线性变换的定义，掌握线性变换的性质 教学重点、难点：线性变换的定义及线性变换的性质 本节内容可分为下面的两个问题讲授. 一. 线性变换的定义（P307） 注意：向量空间V到自身的同构映射一定是V上的线性变换，反之不然。 二. 线性变换的性质 定理7.1.1（P309） 定理7.1.2 （P309） 推论7.1.3 （P310） 注意：1.定理7.1.2给出了在有限维向量空间构造线性变换的方法，且说明了一个线性变换完全被它对基向量的作用所决定。 2.两个线性变换相等当且仅当它们对任意一个向量的作用结果相等，推论7.1.3 （P310）告诉我们，只要这两个线性变换对某个基中的每个基向量的作用结果相等即可。 作业：习题七P330 1，2，3. §7.2 线性变换的运算（4学时） 教学目的及要求：掌握线性变换的运算及线性变换可逆的条件 教学重点、难点：线性变换的运算及线性变换可逆的条件 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 加法运算 定义1 （P310） 注意：σ＋τ是V的线性变换. 二. 数乘运算 定义2（P311） 显然kσ也是V的一个线性变换. 定理7.2.1 L(V)对于线性变换的加法与数乘运算构成数域F上的一个向量空间. 三. 乘法运算 (1). 乘法运算 定义3 （P311-312） 注意：线性变换的乘法适合结合律，但不适合交换律及消去律. 两个非零线性变换的乘积可

能是零变换. (2). 线性变换σ 的方幂 四. 可逆线性变换 定义4 （P 313） 线性变换可逆的充要条件 例2 （P 314） 线性变换的多项式的概念 (阅读内容). 作业：P 330 习题七 4，5. §7.3 线性变换的矩阵（6学时） 教学目的及要求：理解线性变换关于一个基的矩阵的定义，掌握ξ 与σ (ξ)关于同一个基的坐标 之间的关系、线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系、 同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的理论，掌握L (V )与M n (F )的同构理 论。 教学重点、难点： 1. 线性变换关于一个基的矩阵的定义。 2. L (V )与M n (F )的同构理论，线性变换与它们的和、数乘、乘积在同一个基下的矩阵的关系。 本节内容分为下面四个问题讲授： 一. 线性变换σ关于基的矩阵 定义 （P 316） 。 注意：取定n 维向量空间V 的一个基之后，对于V 的每一个线性变换，有唯一确定的n 阶矩阵与它对应. 例1 （P 316） 注意：一个线性变换在不同基下的矩阵通常是不同的. 例2 （P 317） 例3 （P 317） 二. ξ与σ (ξ)关于同一个基的坐标之间的关系. 定理7.3.1 例4 （P 318） 三. L (V )与M n (F )的同构 定理7.3.2 （P 320） 定理7.3.3 （P 320） 注意：1. 定理7.3.2 （P 320）的证明是本章的难点，在证明之前应复习证明所用到的知识点。 2.由于L (V ) 同构于)(F M n ，所以就把研究一个很复杂的向量空间L (V )的问题转化成研究一个很直观具体的向量空间)(F M n 的问题。同构是高等代数课程的一个基本概念。 3. 定理7.3.3不仅给出了在有限维向量空间判定一个线性变换可逆的方法，而且给出了求

第七章线性变换习题答案

第七章线性变换3．在P[x]中，Af(x)f(x)，Bf(x)xf(x)，证明： ABBA=E． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明任取f(x)P[x]，则有 =(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x)) (xf(x))xf(x)f(x)Ef(x)， 于是ABBA=E． 4．设A,B是线性变换，如果ABBA=E，证明： kkk k1,k1ABBAA． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明当k2时，由于ABBA=E，可得 22()()2 ABBAAABBAA B BAAA， 因此结论成立． 假设当ks时结论成立，即ssss1 ABBAA．那么，当ks1时，有 s1s1(s s)()ssss(s1)s ABBAAABBAA B BAAAAA， 即对ks1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k1结论都成立． 『特别提醒』由 AE可知，结论对k1也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用 A 作用左右两边，得到A AAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1()1() 1()1() 1V A，使得 1 AA(A)，即A是满射．于是A是双射．

-1-

『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构． 6．设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当 A1,A2,,A n线性无关． 证法1若A是可逆的线性变换，设k AkAkA0 ，即 1122nn A(kkk nn)0． 1122 而根据上一题结论可知A是单射，故必有k kk0，又由于 1,2,,n是线性无关的， 1122nn 因此k 1k2k n0．从而A1,A2,,A n线性无关． 反之，若A 1,A2,,A n是线性无关的，那么A AA也是V的一组基．于是，根据 1,2,,n 教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A i)i，i1,2,,n．显然 BA(i)i，A B(A i)A i，i1,2,,n． 再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的． 证法2设A在基 1,2,,n下的矩阵为A，即 A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A． 121212 由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆． 因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A 1,A2,,A n也是V的一组基，即是线性无 关的．反之，如果A AA是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基 1,2,,n到1,2,,n A1,A2,,A n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换． 『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆． 9．设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为 aaa 111213 A aaa． 212223 aaa 313233 1）求A在基3,2,1下的矩阵；

医药数理统计第六章习题(检验假设和t检验)

第四章抽样误差与假设检验 练习题 一、单项选择题 1. 样本均数的标准误越小说明 A. 观察个体的变异越小 B. 观察个体的变异越大 C. 抽样误差越大 D. 由样本均数估计总体均数的可靠性越小 E. 由样本均数估计总体均数的可靠性越大 2. 抽样误差产生的原因是 A. 样本不是随机抽取 B. 测量不准确 C. 资料不是正态分布 D. 个体差异 E. 统计指标选择不当 3. 对于正偏态分布的的总体, 当样本含量足够大时, 样本均数的分布近似为 A. 正偏态分布 B. 负偏态分布 C. 正态分布 D. t分布 E. 标准正态分布 4. 假设检验的目的是 A. 检验参数估计的准确度 B. 检验样本统计量是否不同 C. 检验样本统计量与总体参数是否不同 D. 检验总体参数是否不同 E. 检验样本的P值是否为小概率 5. 根据样本资料算得健康成人白细胞计数的95%可信区间为7.2×109/L～ 9.1×109/L，其含义是 A. 估计总体中有95%的观察值在此范围内 B. 总体均数在该区间的概率为95% C. 样本中有95%的观察值在此范围内 D. 该区间包含样本均数的可能性为95% E. 该区间包含总体均数的可能性为95%

答案：E D C D E 二、计算与分析 1.为了解某地区小学生血红蛋白含量的平均水平，现随机抽取该地小学生450人，算得其血红蛋白平均数为101.4g/L，标准差为1.5g/L，试计算该地小学生血红蛋白平均数的95%可信区间。 [参考答案] 样本含量为450，属于大样本，可采用正态近似的方法计算可信区间。 101.4 X=， 1.5 S=，450 n=，0.07 X S=== 95%可信区间为 下限： /2.101.4 1.960.07101.26 X X u S α=-?= －(g/L) 上限： /2.101.4 1.960.07101.54 X X u S α +=+?=(g/L) 即该地成年男子红细胞总体均数的95%可信区间为101.26g/L～101.54g/L。 2.研究高胆固醇是否有家庭聚集性，已知正常儿童的总胆固醇平均水平是175mg/dl，现测得100名曾患心脏病且胆固醇高的子代儿童的胆固醇平均水平为207.5mg/dl，标准差为30mg/dl。问题： ①如何衡量这100名儿童总胆固醇样本平均数的抽样误差？ ②估计100名儿童的胆固醇平均水平的95%可信区间； ③根据可信区间判断高胆固醇是否有家庭聚集性，并说明理由。 [参考答案] ①均数的标准误可以用来衡量样本均数的抽样误差大小，即 30 S=mg/dl,100 n= 3.0 X S=== ②样本含量为100，属于大样本，可采用正态近似的方法计算可信区间。 207.5 X=，30 S=，100 n=，3 X S=，则95%可信区间为 下限： /2.207.5 1.963201.62 X X u S α=-?= －（mg/dl）

三种常用的T检验

独立样本的T检验 （independent-samples T T est） 对于相互独立的两个来自正态总体的样本，利用独立样本的T 检验来检验这两个样本的均值和方差是否来源于同一总体。在SPSS 中，独立样本的T检验由“Independent-Sample T Test”过程来完成。 例：双语教师的英语水平有高低之分，他们（她们）所教的学生对双语教学的态度是否有显著差异？ 例题分析： ——研究目的：寻找差异 ——自变量：双语教师的英语水平（ordinal data等级变量），有两个水平：；level1低水平，level2 高水平 ——因变量：学生的双语教学态度（interval data等距变量） SPSS操作步骤 ·Analyze→Compare Means→Independent Samples T Test ·Click the 双语教学态度to the column of “Test V ariable(s)” and the 教师英语水平分组to the column of “Grouping variable” ·Click the button of “Define Groups…” and put the group numbers “1” and “3” into Group 1 and Group 2, and “Continue” back, then “OK”.

结果在论文中的呈现方式 独立样本T检验结果显示，双语教师的英语水平不同，其所教学生对双语教学的态度有显著差异（t=-3,249, df=72, p<0.05）。双语教师英语水平较低所教的学生，他们对双语教学态度的得分也显著低于英语水平较高的双语教师所教的学生（MD=-0.65）。这可能是因为…… 练习：文科生和理科生对双语教学的态度是否有显著差异？ 配对样本T检验（Paired-samples T Test） 配对样本T检验，用于检验两个相关的样本（配对资料）是否来自具有相同均值的总体。 例：本次调查中，学生对自己英语能力水平和英语知识水平的评价之间是否有显著差异？ 例题分析： ——研究目的：寻找差异 ——自变量：学生的评价对象（norminal data定类数据）,有两个水平：level1对自身英语能力水平的评价，level2对自身英语知识水平的评价。 ——因变量：学生自身英语能力和知识的评价分数

第七章 线性变换练习题参考答案

第七章 线性变换练习题参考答案 一、填空题 1．设123,,εεε是线性空间 V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε?==++∈则 σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100?? ? ? ??? 满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ?? ? ? ??? . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r . 3．复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于1n ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于 ||A . 4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 . 5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ?同构. 6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设???? ??=2231A ，则向量??? ? ??11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若????? ? ?--=100001011A 与1010101k B k ?? ?=-- ? ???相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．

基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究

基于直接线性变换算法的普通数码相机检校的应用研究 孔 建 黄建魏 沈 周 (西南交通大学 四川成都 610031 中铁十局 山东济南 520000) 摘要：本文采用直接线性变换（DLT ）算法，完成了普通数码相机检校的应用研究。通过编程实验，解算普通数码相机在不同焦距情况下内方位元素（00,x y ,f ）以及畸变参数（径向畸变系数1k ，2k 、偏心畸变系数1p ，2p ），同时对直接线性变换方法中l 初值的问题给出解决方案。提出了解决控制点布设在一个近似平面上解算l 系数初始值的方法，并且依据实验数据分析了在不同焦距下，相机内方位元素和光学畸变参数的变化情况。 关键字：直接线性变换；相机检校；径向畸变；偏心畸变 Abstract In this paper, to complete a common application of digital camera calibration by using the direct linear transformation algorithm. This paper have solved different elements of interior orientation （00,x y ,f ）and distortion parameters （Radinal Distortion 1k ， 2k ,Decentering Distortion 1p ，2p ）of ordinary digital camera focal length by the programming experiments and meanwhile, put forward the solutions of the initial value problem in the direct linear transformation method. Proposed a solution in an approximate control points for solving plane initial value coefficient method, and analyzed the changes of the camera orientation elements and optical distortion parameters in the base of experimental data at different focal lengths. 1 概述 在数字摄影测量中，数字影像的获取，通常采用的是专业的摄影设备。这些专业设备的价格昂贵，对非专业部门是无法应用的。随着数码相机技术的发展与进步，普通数码相机在数字摄影测量领域中得到了广泛的应用，尤其是在近景数字摄影测量、无人机低空摄影测量的应用中，表现出了巨大的优势。普通数码相机不仅价格便宜，且操作方便，是专业摄影机不能比拟的。随着数码相机技术的

35 直接线性变化的基本原理和解算方法.

立体摄影测量的基本原理 421 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 3.5 直接线性变化的基本原理和解算方法

4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 一、直接线性变化的关系式 111333222333s s s i i i ()()()0()()()()()()0()()(),,,,s a b c i f s s s s s s s s s s s s a X X b Y Y c Z Z x f a X X b Y Y c Z Z a X X b Y Y c Z Z y f a X X b Y Y c Z Z X Y Z X Y Z -+-+-?+=? -+-+-? ? -+-+-? +=?-+-+-? 中心构像方程： 其中：为物点的空间坐标 为光心的空间坐标 ，，（＝1，2，3）旋转矩阵 所测x y 像片的主距 ，像点在摄影坐标系的坐标

4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 直接线性变化法 ?直接线性变换（DLT —Direct Linear Transformation ）算法是直接建立像点坐标与物点空间坐标关系式的一种算法。 ?该算法在机算中，不需要内、外方位元素。而直接通过像点解算物点。

4 2 1 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 二、线性误差的修正 1、线性误差： ?底片均匀变形、不均匀变形 ?畸变差 ?x ，y 坐标轴不垂直 2、线性修正?系数 假设主点坐标为（0，0）

2。2线性变换的基本性质

§2.2线性变换的基本性质 教学目标: 一、知识与技能： 会证明定理1和定理2；理解矩阵变换把平面上的直线变成直线，即)(21βλαλ+A ＝ βλαλA A 21+ 二、方法与过程 分析可逆的线性变换将直线变成直线，平行四边形变成平行四边形这一结论，得到定理1和定理 2的证明，寻求线性变换在向量上的作用等式。 三、情感、态度与价值观 感受数学活动充满探索性和创造性，激发学生乐于探究的热情。增强学生的符号意识，培养学生的逻辑推理能力。 教学重点:定理的探究及证明 教学难点：定理的探究 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念 （1）二阶矩阵：由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表??? ? ??d c b a 称为二阶矩阵。特别地， 称二阶矩阵???? ??0000为零矩阵，简记为0。称二阶矩阵??? ? ??1001为二阶单位矩阵，记为2E 。 （2）向量：向量（y x ,）是一对有序数对，y x ,叫做它的两个分量，且称??? ? ??y x 为列向量，（y x ,）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换 在平面直角坐标系中，把形如???+=+=dy cx y by ax x ``（其中a ，b ，c ，d 为常数）的几何变换叫做线性 变换。 （2）旋转变换

坐标公式为???+=-=α αααcos sin sin cos ``y x y y x x ，变换对应的矩阵为??? ? ??-αα αα cos sin sin cos （3）反射变换 ①关于x 的反射变换坐标公式为???-==y y x x ``对应的二阶矩阵为? ??? ??-1001； ②关于y 的反射变换坐标公式为???=-=y y x x ``对应的二阶矩阵为???? ??-1001； ③关于x y =的反射变换坐标公式为???==x y y x ``对应的二阶矩阵为? ?? ? ??0110； （4）伸缩变换 坐标公式为???==y k y x k x 2`1`对应的二阶矩阵为??? ? ??21 0k k ； （5）投影变换 ①投影在x 上的变换坐标公式为???==0``y x x 对应的二阶矩阵为???? ??0001； ②投影在y 上的变换坐标公式为???==y y x ``0对应的二阶矩阵为???? ??1000 （6）切变变换 ①平行于x 轴的切变变换坐标公式为???=+=y y sy x x ``对应的二阶矩阵为???? ??101s ? ??? ??101s ②平行于y 轴的切变变换坐标公式为???+==y sx y x x ``对应的二阶矩阵为??? ? ??101s 二、新课讲解 定理1 设A ＝??? ? ??d c b a ，???? ??=111y x X ，???? ??=222y x X ，t ，k 是实数。则以下公式成立： （1） A （t 1X ）＝t （A 1X ） （2） A 1X ＋A 2X ＝A （1X ＋2X ） （3） A （t 1X ＋k 2X ）＝t A 1X ＋k A 2X

第七章 线性变换 习题答案

第七章 线性变换 3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明： -=A B BA =E ． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有 ()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B (())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ， 于是-=A B BA =E ． 4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明： 1 ,1k k k k k --=>A B BA A ． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明 当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得 22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ， 因此结论成立． 假设当k s =时结论成立，即1 s s s s --=A B BA A ．那么，当1k s =+时，有 1 1 ()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+A B BA A A B BA A B BA A A A A ， 即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由0 =A E 可知，结论对1k =也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1 -A 作用左右两边，得到1 1 ()()--===ααββA A A A ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在 1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射． 『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．