高二理科数学选修2-1测试题
一、选择题(每小题5 分,共12小题,满分60分)
1. 已知命题tan 1p x R x ?∈=:
,使,其中正确的是 ( ) (A) tan 1p x R x ??∈≠:
,使
(B) tan 1p x R x ???≠:
,使 (C) tan 1p x R x ??∈≠:
,使
(D) tan 1p x R x ???≠:
,使 2. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是 ( ) (A )(a , 0) (B )(-a , 0) (C )(0, a ) (D )(0, -a ) 3. 设a R ∈,则1a >是
1
1a
< 的 ( ) (A )充分但不必要条件 (B )必要但不充分条件
(C )充要条件
(D )既不充分也不必要条件
4. 已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2),B (4,-3,7),C (0,5,1),则BC 边上的
中线长为 ( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )5 5.有以下命题:
①如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么,的关系是不共线;
②,,,O A B C 为空间四点,且向量,,不构成空间的一个基底,则点,,,O A B C 一定共面; ③已知向量,,是空间的一个基底,则向量,,-+也是空间的一个基底。
其中正确的命题是 ( ) (A )①② (B )①③ (C )②③ (D )①②③
6. 如图:在平行六面体1111D C B A ABCD -中,M 为11C A 与11D B 的交点。若a AB =,b AD =,=1则下列向量中与相等的向量是( )
(A ) ++-
2121 (B )++21
21 (C )c b a +--2121 (D )c b a +-2
1
21
7. 已知△ABC 的周长为20,且顶点B (0,-4),C (0,4),则顶点A 的轨迹方程是 ( )
(A )
1203622=+y x (x ≠0) (B )136202
2=+y x (x ≠0) (C )120622=+y x (x ≠0) (D )16202
2=+y x (x ≠0) 8. 过抛物线 y 2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1)B (x 2, y 2)两点,如果21x x +=6,
那么AB = ( ) (A )6 (B )8 (C )9 (D )10
9. 若直线2+=kx y 与双曲线62
2
=-y x 的右支交于不同的两点,那么k 的取值范围是 ( )
C1
(A )(315,315-
)(B )(315,0) (C )(0,315-) (D )(1,3
15
--)
10.试在抛物线x y 42-=上求一点P ,使其到焦点F 的距离与到()1,2-A 的距离之和最小,则该点 坐标为 ( ) (A )??? ??-
1,41 (B )??
?
??1,41 (C )()22,2-- (D )()
22,2- 11. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,如果AB=BC=1,AA 1=2,那么A 到直线A 1C 的距离为 ( )
(A )
3 (B ) 2 (C )3 (D ) 3
12.已知点F 1、F 2分别是椭圆22
221x y a b
+=的左、右焦点,过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点,
若△ABF 2为正三角形,则该椭圆的离心率e 为 ( )
(A )12 (B )(C )13
(D 二、填空题(每小题4分,共4小题,满分16分)
13.已知A (1,-2,11)、B (4,2,3)、C (x ,y ,15)三点共线,则x y =___________。
14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时,量得水面宽8米。当水面升高1米后,水面宽度
是________米。
15. 如果椭圆
19
362
2=+y x 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是___________。 16.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;
②在ABC ?中,“?=∠60B ”是“C B A ∠∠∠,,三个角成等差数列”的充要条件.
③12x y >??>?是32
x y xy +>??>?的充要条件;④“am 2 三、解答题(共6小题,满分74分) 17.(本题满分12分) 设p :方程210x mx ++=有两个不等的负根,q :方程2 44(2)10x m x +-+=无实根, 若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围. 18.(本题满分12分) 已知椭圆C 的两焦点分别为()() 12F F 、,长轴长为6, ⑴求椭圆C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度。. 19.(本题满分12分) 如图,已知三棱锥O ABC -的侧棱OA OB OC ,,两两垂直, 且1OA =,2OB OC ==,E 是OC 的中点。 (1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值; (2)求直线BE 和平面ABC 的所成角的正弦值。 20.(本题满分12分) 在平面直角坐标系x O y 中,直线l 与抛物线2y =2x 相交于A 、B 两点。 (1)求证:命题“如果直线l 过点T (3,0),那么OB OA ?=3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。 21.(本题满分14分) 如图,棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD , PA=AD=2,BD=22. (1)求证:BD ⊥平面PAC ; (2)求二面角P —CD —B 余弦值的大小; (3)求点C 到平面PBD 的距离. 22. (本题满分12分) 如图所示,F 1、F 2分别为椭圆C :)0(122 22>>=+b a b y a x 的左、右两个焦点,A 、B 为两个顶点, 已知椭圆C 上的点)2 3,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程和焦点坐标; (2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P 、Q 两点,求△F 1PQ 的面积. 高二理科数学选修2-1测试题 一、选择题: 二、填空题: 13、 2 14、24 15、 082=-+y x 16、③④ 三、解答题: 17、解:若方程2 10x mx ++=有两个不等的负根,则21240 m x x m ??=->?+=-, …………2分 所以2m >,即:2p m >. ………………………………………………………3分 若方程244(2)10x m x +-+=无实根,则216(2)160m ?=--<, …………5分 即13m <<, 所以:13p m <<. …………………………………………………6分 因为p q ∨为真,则,p q 至少一个为真,又p q ∧为假,则,p q 至少一个为假. 所以,p q 一真一假,即“p 真q 假”或“p 假q 真”. ……………………………8分 所以213m m m >?? ≤≥?或或2 13 m m ≤??< …………………………………………………10分 所以3m ≥或12m <≤. 故实数m 的取值范围为(1,2][3,)+∞ . …………………………………………12分 18 、解:⑴由( )() 12F F 、,长轴长为6 得:3c a ==所以1b = ∴椭圆方程为22 191 x y += …………………………………………………5分 ⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22 191 x y +=①, ∵直线AB 的方程为 2y x =+② ……………………………7分 把②代入①得化简并整理得21036270x x ++= ∴12121827,5 10 x x x x +=-= ……………………………10分 又AB ……………………………12分 19、解:(1)以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E ……………………………3分 (2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1)EB AC =-=-=- COS<,EB AC > 2 , 5=- ……………………………5分 所以异面直线BE 与AC 所成角的余弦为 5 2 ……………………………6分 (2)设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z = 则 11:20;n AB n AB x z ⊥?=-= 知 11:20.n AC n AC y z ⊥?=-= 知取1(1,1,2)n = , ………8分 则30 30 6 5012,cos 1= +->= 30 30 …………12分 20、证明:(1)解法一:设过点T(3,0)的直线l 交抛物线2y =2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2). 当直线l 的钭率下存在时,直线l 的方程为x =3,此时,直线l 与抛物线相交于 A(3,6)、B(3,-6),∴3=?OB OA 。 ……………………………3分 当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为y =k (x -3),其中k≠0. ?? ?-==) 3(22x k y x y 得ky 2 -2y -6k =0,则y 1y 2=-6. 又∵x 1=21y 12, x 2=21y 22, ∴?=x 1x 2+y 1y 2=21221)(4 1 y y y y +=3. ……………………………7分 综上所述, 命题“......”是真命题. ……………………………8分 解法二:设直线l 的方程为my =x -3与2 y =2x 联立得到y 2 -2my-6=0 OB OA ?=x 1x 2+y 1y 2 =(my 1+3) (my 2+3)+ y 1y 2=(m 2+1) y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=(m 2 +1)× (-6)+3m ×2m+9=3 ………8分 (2)逆命题是:“设直线l 交抛物线y 2 =2x 于A 、B 两点,如果3=?,那么该直线过点T(3,0).” …………………………………………………10分 该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点A(2,2),B( 2 1 ,1),此时3=?=3, 直线AB 的方程为y = 3 2 (x +1),而T(3,0)不在直线AB 上. ………………………………12分 点评:由抛物线y 2 =2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)满足3=?,可得y 1y 2=-6。或y 1y 2=2,如果 y 1y 2=-6,可证得直线AB 过点(3,0);如果y 1y 2=2, 可证得直线AB 过点(-1,0),而不过点(3,0)。 21、解:方法一:证:⑴在R t △BAD 中,AD =2,BD =22, ∴AB =2,ABCD 为正方形,因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD ,∴BD ⊥PA .又∵PA ∩AC =A ∴BD ⊥平面PAC . 解:(2)由PA ⊥面ABCD ,知AD 为PD 在平面ABCD 的射影,又CD ⊥AD , ∴CD ⊥PD , 知∠PDA 为二面角P —CD —B 的平面角. 又∵PA =AD ,∴∠PDA=450 . (3)∵PA =AB =AD =2,∴PB =PD =BD =22 ,设C 到面PBD 由PBD C BCD P V V --=,有d S PA S PBD BCD ??=????3 1 31, 即d ???=????0 260sin )22(21312222131,得332= d 方法二:证:(1)建立如图所示的直角坐标系, 则A (0,0,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2).………………2在R t △BAD 中,AD =2,BD =22, ∴AB =2.∴B (2,0,0)、C (2,2,0), ∴)0,2,2(),0,2,2(),2,0,0(-===BD AC AP ∵0,0=?=?,即BD ⊥AP ,BD ⊥AC ,又AP ∩AC =A ,∴BD ⊥平面PAC . …………4分 解:(2)由(1)得)0,0,2(),2,2,0(-=-=. 设平面PCD 的法向量为),,(1z y x n =,则0,011=?=?n n , 即?? ?=++-=-+00020220x z y ,∴? ??==z y x 0 故平面PCD 的法向量可取为)1,1,0(1=n ∵PA ⊥平面ABCD ,∴)01,0(=为平面ABCD 的法向量. ……………………………7分 设二面角P —CD —B 的大小为θ,依题意可得2 2 cos = = θ . ……………………………9分 (3)由(Ⅰ)得)2,2,0(),2,0,2(-=-=,设平面PBD 的法向量为),,(2z y x n =, 则0,022=?=?n n ,即?? ?=-+=-+0 2200 202z y z x ,∴x =y =z ,故可取为)1,1,1(2=n . ……………11分 ∵)2,2,2(-=,∴C 到面PBD 的距离为3 3 2= = d …………………14分 22、解:(1)由题设知:2a = 4,即a = 2, 将点)23,1(代入椭圆方程得 1)(2122 232=+b ,解得b 2 = 3 ∴c 2 = a 2-b 2 = 4-3 = 1 ,故椭圆方程为13 42 2=+y x , ……………………………5分 焦点F 1、F 2的坐标分别为(-1,0)和(1,0) ……………………………6分 (2)由(Ⅰ)知)3,0(),0,2(B A -,23 ==∴AB PQ k k , ∴PQ 所在直线方程为)1(2 3-=x y , 由????? ??=+-=134 )1(23 2 2 y x x y 得 093482=-+y y 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则8 9 ,232121-=?-=+y y y y , ……………………………9分 2 21894434)(2122121=?+= -+=-∴y y y y y y .2 212212212121211=??=-?= ∴?y y F F S PQ F ……………………………12分 数学选修2-1知识点总结 第一章:命题与逻辑结构 知识点: 1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句. 真命题:判断为真的语句.假命题:判断为假的语句. 2、“若p ,则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件,q 称为命题的结论. 3、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p ,则q ”,它的逆命题为“若 q ,则p ”. 4、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ,则q ”,则它的否命题为“若p ?,则q ?”. 5、对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定,则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题,另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p ,则q ” ,则它的否命题为“若q ?,则p ?”。 6 ()1两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ()2两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 7、若 p q ?,则p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p q ?,则p 是q 的充要条件(充分必要条件). 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∧. 当p 、q 都是真命题时,p q ∧是真命题;当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时,p q ∧是 假命题. 用联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来,得到一个新命题,记作p q ∨. 当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时,p q ∨是真命题;当p 、q 两个命题都是假命题时,p q ∨是假命题. 对一个命题p 全盘否定,得到一个新命题,记作p ?.若p 是真命题,则p ?必是假命题;若p 是假命题,则p ?必是真命题. 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“?”表示. 含有全称量词的命题称为全称命题. 全称命题“对M 中任意一个x ,有()p x 成立” ,记作“x ?∈M ,()p x ”. 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“?”表示.含有存在量词的命题称为特称命题. 特称命题“存在M 中的一个x ,使()p x 成立” ,记作“x ?∈M ,()p x ”. 10、全称命题p :x ?∈M ,()p x ,它的否定p ?:x ?∈M ,()p x ?。全称命题的否定是特称命题。 特称命题 p :x ?∈M ,()p x ,它的否定p ?:x ?∈M ,()p x ?。特称命题的否定是全称命题。 高二数学(文)选修1-2测试题(60分钟) 满分:100分 考试时间:2018年3月 姓名: 班级: 得分: 附:1.22 (),()()()() n ad bc K n a b c d a b a c b c b d -= =+++++++ 2.“X 与Y 有关系”的可信程度表: P (K 2≥k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 一、 单项选择题(每题4分,共40分。每题只有一个选项正确,将答案填在下表中) 1、下列说法不正确的是( ) A .程序图通常有一个“起点”,一个“终点” B .程序框图是流程图的一种 C .结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成 D .流程图与结构图是解决同一个问题的两种不同的方法 2. 给出下列关系:其中具有相关关系的是( ) ①考试号与考生考试成绩; ②勤能补拙; ③水稻产量与气候; ④正方形的边长与正方形的面积。 A .①②③ B .①③④ C .②③ D .①③ 3、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案: 则第n 个图案中的白色地面砖有( ). A .4n -2块 B .4n +2块 C .3n +3块 D .3n -3块 4、如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图,则直 接影响“计划” 要素有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 5、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )。 A.假设三内角都不大于60度; B. 假设三内角都大于60度; C. 假设三内角至多有一个大于60度; D. 假设三内角至多有两个大于60度。 6、在复平面内,复数 103i i +的共轭复数应对应点的坐标为( ) A . (1,3) B .(1,-3) C .(-1,3) D .(3 ,-1) 7、已知两个分类变量X 和Y ,由他们的观测数据计算得到K 2的观测值范围是3.841数学选修2-1知识点总结
人教版高中高二文科数学选修1-2测试题教学教材
高二数学期末试卷(理科)