徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理与圆锥曲线切线的尺规作图法

徐文平发现椭圆内接四边形的四极点调和分割定理

徐文平

（东南大学南京210096）

椭圆内接四边形有许多优美的性质，与经典的几何定理有着千丝万缕的渊源，是研究二次曲线射影几何理论的试金石。作者在研究椭圆切线性质过程中，发现了椭圆内接四边形的四极点共线调和分割定理，深感奇妙，供大家鉴析。

徐文平定理1：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。

椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。

徐文平定理2：若椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对边延伸线两交点连线。

定理2是定理1的一种特殊情况，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC＝CB。

近年来，一些学者提出了的借助焦点的圆锥曲线切线的几何作图法，但其实用性不强。本文依据圆锥曲线的极点与极线的性质，针对圆锥曲线上一点或圆锥曲线外一点作切线的两种情况，分别提出了圆锥曲线切线的尺规作图简明方法，完全解决了椭圆、双曲线和抛物线切线的尺规作图问题，供大家鉴析。

命题1：已知椭圆的斜向割线AB，点J、K是椭圆的顶点，JA、BK交于E点，JB、AK 交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。

命题2：已知双曲线的斜向割线AB，点J、K是双曲线的顶点，JA、BK交于E点，JB、AK交于F点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是双曲线的切线。

命题3：已知抛物线的斜向割线AB，点J是抛物线的顶点，JA与B点竖垂线交于F点，JB与A点竖垂线交于E点，确定EF的中点N点，连线NA、NB就是抛物线的切线。

命题4（高斯方法）：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。

命题5：已知双曲线外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意双曲线割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与双曲线交于S、T两点，PS、PT就是双曲线的切线。

命题6：已知抛物线外一点P,过P点作PAB与PCD二条任意抛物线割线，AD、CB交于Q点，在y轴上确定一点R，连线QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线

命题7：已知抛物线外一点P，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，

过P点作竖向垂线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作竖向垂线与AC交于Q点。在y轴上确定一点R，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点

，PS、PT就是抛物线的切线。

命题8：已知抛物线外一点P，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，

过P点作水平线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作水平线与AC交于Q点。

在x轴上确定一点R，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点，

PS、PT就是抛物线的切线。

圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用 刘定勇 （安徽省宁国中学 ，242300） 圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力. 文[1]给出了两个较为简洁的结论： 命题1 椭圆122 22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x . 双曲线122 22=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b y y a x x . 抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px . 命题 2 圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应 的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性. 以上结论在文[2]中有证明. 如图给出椭圆的极点与对应极线的简图： 题1、（2010湖北文15）.已知椭圆12 :22 =+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2 2 00012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______，直线12 00=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____. P 在椭圆内 P 在椭圆外

解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得范围为 [)22,2. 第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的内部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 12 00=+y y x x 并不经过()00,y x P .还有学生看到 12 00=+y y x x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点. 事实上， 12 00=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12:22 =+y x C 的内部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够 用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了. 题2、（2010重庆文21）已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离 心率5 e = . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中 21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线 C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ?的值. 解析：（I ）C 的标准方程为.14 22 =-y x C 的渐近线方程为.2 1x y ± = （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和 44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线

20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质 极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义:已知曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0,则称点P(x 0,y 0)和直线l:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上,则直线l 是曲线 G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别为 p:ax p x+b 2 y x x y p p ++cy p y+d 2 p x x ++e 2 p y y ++f=0,q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点Q ?ax p x Q +b 2 Q p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2 p Q x x ++e 2 p Q y y ++f=0?点P(x p ,y p )在直线q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y + +f=0上?点Q 的极线也通过点P. 推论1:两点连线的极点是此二点极线的交点,两直线交点的极线是此二直线极点的连线; 证明:设两点A 、B 连线的极点是P,即点P 的极线经过点A 、B,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点P 是此二 点极线的交点;同理可证:两直线交点的极线是此二直线极点的连线. 推论2(共点共线):共线点的极线必共点;共点线的极点必共线. 证明:设点A 、B 均在直线l 上,直线l 对应的极点为P,由配极原则知点A 、B 的极线均过点P,即点A 、B 的极线必共 点;同理可证:共点线的极点必共线. 推论3(中点性质):若圆锥曲线G 过点P 的弦AB 平行于点P 的极线,则点P 是弦AB 的中点. 证明:设P(x 0,y 0),曲线G:ax 2+bxy+cy 2+2dx+2ey+f=0,则点P 的极线方程:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y + +f=0,故可设AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y ++λ=0,由点P(x 0,y 0)在直线AB 上?ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0+λ=0?λ=-(ax 02 +bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0)?直线AB:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y +=ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0? ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 0y y ++f=ax 02+bx 0y 0+cy 02 +2dx 0+2ey 0+f,而该直线为以为P 中点的中点弦方程,即点P 是弦AB 的中点. [比例定理]:若过点P(x 0,y 0)的直线l 与曲线G:ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f=0相交于A 、B 两点,与直线:ax 0x+b 2 00y x x y ++

尺规作图九种基本作图

a M 尺规作图 【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . 作法： （1） 作射线AP ； （2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的垂直平分线。 已知：如图，线段MN. 求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法： （１）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2 1 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ； （２）连接PQ 交MN 于O ． 则点PQ 就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ， 求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法： （1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA ，OB 于M ，N ； （2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于MN 2 1的线段长 为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。 则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

③ ② ① P B A P （4）题目四：作一个角等于已知角。 已知：如图，∠AO B 。 求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB 作法： （1）作射线O ’A ’； （2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。 （5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线AB 上一点。 求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2 1的长为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过D 、Q 作直线CD 。 则直线CD 是求作的直线。 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。 求作：直线CD ，使CD 经过点P ， 且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 圆心，大于MN 21 长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过P 、Q 作直线CD 。 则直线CD 就是所求作的直线。

极点极线及高中圆锥曲线必备公式

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极点极线 定义已知圆锥曲线С: A x+B y+C x+D y+E=0与一点P(x 0,y ) [其中A+B ≠0,点．P．不在曲线中心和渐近线上 ．．．．．．．．．．．].则称点P和直线L: A?x0x+B?y0y+C?x 0 +x 2 +D?y +y 2 +E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x 0x替换x，以 x +x 2 替换x，以y y替换y,以 y +y 2 替 换y则可得到极点P(x 0,y )的极线方程L. 特别地： (1)对于圆(x-a)+(y-b)=r,与点P(x 0,y )对应的极线方程为 (x 0-a)(x-a)+(y -b)(y-b)=r； (2)对于椭圆x a + y b =1，与点P(x ,y )对应的极线方程为 x x a + y y b =1； (3)对于双曲线x a - y b =1，与点P(x ,y )对应的极线方程为 x x a - y y b =1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x 0,y )对应的极线方程为y y=p(x +x)；

性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部 ．．．．．．．．．．．]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线； ②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是 斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x 0-a)(x-a)+(y -b)(y-b)= (x 0-a)+(y -b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为 x x a + y y b = x a + y b ；若是 双曲线,则此时中点弦的方程为x x a - y y b = x a - y b ；若是抛物线,则此时中点弦的 方程为y 0y-p(x +x)=y -2px )； ④当P(x 0,y )为圆锥曲线的焦点F(c,0)时，极线恰为该圆锥曲线的准线 ．．；

尺规作图学习知识归纳

考点名称：尺规作图 尺规作图：是指限定用没有刻度的直尺和圆规来完成的画图。一把没有刻度的直尺看似不能做什么，画一个圆又不知道它的半径，画线段又没有精确的长度。 其实尺规作图的用处很大，比如单用圆规找出一个圆的圆心，量度一个角的角度，等等。运用尺规作图可以画出与某个角相等的角，十分方便。 尺规作图的中基本作图： 作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角； 作线段的垂直平分线； 作已知角的角平分线； 过一点作已知直线的垂线。 还有： 已知一角、一边做等腰三角形 已知两角、一边做三角形 已知一角、两边做三角形 依据公理： 还可以根据已知条件作三角形，一般分为已知三边作三角形，已知两边及夹角作三角形，已知两角及夹边作三角形等，作图的依据是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。注意： 保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理。

尺规作图方法： 任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法： ·通过两个已知点可作一直线。 ·已知圆心和半径可作一个圆。 ·若两已知直线相交，可求其交点。 ·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 ·若两已知圆相交，可求其交点。 【学习目标】 1．了解什么是尺规作图． 2．学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：(1)画一条线段等于已知线段；(2)画一个角等于已知角；(3)画线段的垂直平分线；(4)过已知点画已知直线的垂线；(5)画角平分线．3．了解五种基本作图的理由． 4．学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程． 5．学会利用基本作图画三角形等较简单的图形． 6．通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美． 【基础知识精讲】 1．尺规作图： 限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图． 注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛．

尺规作图基本作图方法

初中尺规作图基本方法 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； （1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a . 求作：线段AB，使AB = a . 作法： （1）作射线AP； （2）在射线AP上截取AB=a . 则线段AB就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的垂直平分线。 已知：如图，线段MN. 求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）. 作法： 1 （１）分别以M、N为圆心，大于MN 2 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P，Q； （２）连接PQ交MN于O． 则点PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交OA，OB于M，N； 1的线段长 （2）分别以M、Ｎ为圆心，大于MN 2 为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ； （3）作射线OP。 则射线OP就是∠AOB的角平分线。 （4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，∠AOB 。 求作：∠A ’O ’B ’，使A ’O ’B ’=∠AOB 作法： （1）作射线O ’A ’； （2）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ； （3）以O ’为圆心，以OM 的长为半径画弧，交O ’A ’于M ’； （4）以M ’为圆心，以MN 的长为半径画弧，交前弧于N ’； （5）连接O ’N ’并延长到B ’。 则∠A ’O ’B ’就是所求作的角。 （5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线AB 上一点。 求作：直线CD ，是CD 经过点P ，且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 为圆心，大于MN 2 1的长为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过D 、Q 作直线CD 。 则直线CD 是求作的直线。 （6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知：如图，直线AB 及外一点P 。 求作：直线CD ，使CD 经过点P ， 且CD ⊥AB 。 作法： （1）以P 为圆心，任意长为半径画弧，交AB 于M 、N ； （2）分别以M 、N 圆心，大于MN 2 1长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q ； （3）过P 、Q 作直线CD 。 则直线CD 就是所求作的直线。 （7）题目七：已知三边作三角形。 已知：如图，线段a ，b ，c. 求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法： （1） 作线段AB = c ； （2） 以A 为圆心，以b 为半径作弧， 以B 为圆心，以a 为半径作弧与 前弧相交于C ； （3） 连接AC ，BC 。 则△ABC 就是所求作的三角形。 （8）题目八：已知两边及夹角作三角形。 已知：如图，线段m ，n, ∠ .

专题：五种基本作图的详细作图过程

尺规作图的基本步骤和作图语言 一、作线段等于已知线段 已知：线段a 求作：线段AB ，使AB ＝a 作法：1、作射线AC 2、在射线AC 上截取AB ＝a ，则线段AB 就是所要求作的线段 二、作角等于已知角 已知：∠AOB 求作：∠A ′O ′B ′,使∠A ′O ′B ′=∠AOB. 作法: (1)作射线O ′A ′. (2)以点O 为圆心,以任意长为半径画弧,交OA 于点C,交OB 于点D. (3)以点O ′为圆心,以OC 长为半径画弧,交O ′A ′于点C ′. (4)以点C ′为圆心,以CD 长为半径画弧,交前面的弧于点D ′. (5)过点D ′作射线O ′B ′.∠A ′O ′B 三、作角的平分线 已知：∠AOB, 求作：∠AOB 内部射线OC,使：∠AOC=∠BOC, 作法：(1)在OA 和OB 上，分别截取OD 、OE ，使OD=OE ． (2)分别以D 、E 为圆心，大于的 DE 2 1 长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． (3)作射线OC ．OC 就是所求作的射线． 四、作线段的垂直平分线（中垂线）或中点 已知：线段AB 求作：线段AB 的垂直平分线 作法： (1)分别以A 、B 为圆心，以大于AB 的一半为半 径在AB 两侧画弧，分别相交于E 、F 两点 (2)经过E 、F ，作直线EF （作直线EF 交AB 于 点O ）直线EF 就是所求作的垂直平分线 （点O 就是所求作的中点） A O

五、过直线外一点作直线的垂线. （1）已知点在直线外 已知：直线a 、及直线a 外一点A.(画出直线a 、点A) 求作：直线a 的垂线直线b ，使得直线b 经过点A. 作法： (1)以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交直线a 于点 C 、D. (2)以点C 为圆心，以AD 长为半径在直线另一侧画弧.(3)以点D 为圆心，以AD 长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点B. (4)经过点A 、B 作直线AB. 直线AB 就是所画的垂线b.(如图) （2）已知点在直线上 已知：直线a 、及直线a 上一点A. 求作：直线a 的垂线直线b ，使得直线b 经过点作法： (1) 以A 为圆心，任一线段的长为半径画弧， 交a 于C 、B 两点 (2) 点C 为圆心，以大于CB (3) 以点B 为圆心，以同样的长为半径画弧， 两弧的交点分别记为M (4) 经过A 、M ，作直线AM 直线AM 常用的作图语言： （1）过点×、×作线段或射线、直线； （2）连结两点××； （3）在线段××或射线××上截取××＝××； （4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×； （5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×； （6）延长××到点×，使××＝××。 二：作图题说明 在作图中，有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一句话概括叙述就可以了。 （1）作线段××＝××； （2）作∠×××＝∠×××； （3）作××（射线）平分∠×××； （4）过点×作××⊥××，垂足为点×； （5）作线段××的垂直平分线××

高中数学极点极线及高中圆锥曲线必备公式

极点极线 定义 已知圆锥曲线С: A x +B y +C x +D y +E=0与一点P(x 0,y 0) [其中A +B ≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A ?x 0x +B ?y 0y +C ?x 0+x 2+D ?y 0+y 2+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x ，以x 0+x 2 替换x ，以y 0y 替换y ,以y 0+y 2 替换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L. 特别地： (1)对于圆(x-a) +(y-b) =r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为 (x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ； (2)对于椭圆 x a +y b =1，与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为x 0x a +y 0y b =1 ；

(3)对于双曲线x a - y b =1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 x0x a - y0y b =1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)； 性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线内部 ．．．．．．．．．．．]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线； ②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P在曲线С内,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= (x0-a)+(y0-b)；若是椭圆,则此时中点弦的方程为x0x a + y0y b = x0 a + y0 b ；若是 双曲线,则此时中点弦的方程为x0x a - y0y b = x0 a - y0 b ；若是抛物线,则此时中点弦的 方程为y0y-p(x0+x)=y0-2px0)；

尺规作图方法大全(正式).

尺规作图 知识回顾】 1、尺规作图的定义： 尺规作图是指用没有刻度的直尺 和圆规作图。最基本 , 最常用的尺规作图 ,通常称 基本 作图 。 些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段 的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； 1）题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段 AB ，使 AB = a . 作 法： （ 1） 作射线 AP ； （2） 在射线 AP 上截取 AB=a . 则线段 AB 就是所求作的图形。 （2）题目二：作已知线段的中点。 已知：如 图，线段 MN. 求作：点 O ，使 MO=N （O 即 O 是 MN 的中 点） . 作法： （１）分别以 M 、 N 为圆心，大于 的相同线段 为半径画弧， 两弧相交于 P ， Q ； （２）连接 PQ 交 MN 于 O ． 则点 O 就是所求 作的ＭＮ的中点。 （3）题目三：作已知角的角平分线。 已知：如 图，∠ AOB ， 求作：射线 OP, 使∠ AOP ＝∠ BOP （即 OP 平分∠ 作法： （ 1）以 O 为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交 OA ，OB 于 M ， N ； （ 2）分别以 M 、Ｎ为圆心，大于 的线段长 为半径画弧，两弧交∠ AOB 内于Ｐ； （ 3） 作射线 OP 。 作法： （ 1）作射线 O ' A '； 则射线 OP 就是∠ AOB 的角平分线。 （4）题目四：作一个角等于已知 角。 已知：如图，∠ AOB 。 B P A AO B ）。 A M P

(完整版)初中最基本的尺规作图总结

尺规作图 一、理解“尺规作图”的含义 1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的． 2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差. 二、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1.用直尺作图的几何语言： ①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××； ②连结两点××；或连结××； ③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×； 2.用圆规作图的几何语言： ①在××上截取××＝××； ②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）； ③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×； ④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×. 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤： 1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法. 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要. 尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线；

极点极线及高中圆锥曲线必备公式

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极点极线 定义 已知圆锥曲线С: A x +B y +C x +D y +E=0与一点P(x 0,y 0) [其中A +B ≠0,点．P ．不在曲线中心和渐近线上．．．．．．．．．．．].则称点P 和直线L: A ?x 0x +B ?y 0y +C ?x 0+x 2 +D ?y 0+y 2+E=0是圆锥曲线С的一对极点和极线. 即在圆锥曲线方程中,以x 0x 替换x ，以 x 0+x 2 替换x ，以y 0y 替换y ,以 y 0+y 2 替换y 则可得到极点P(x 0,y 0)的极线方程L. 特别地： (1)对于圆(x-a) +(y-b) =r ,与点P(x 0,y 0)对应的极线方程为 (x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=r ；

(2)对于椭圆x a+ y b=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 x0x a+ y0y b=1； (3)对于双曲线x a- y b=1，与点P(x0,y0)对应的极线方程为 x0x a- y0y b=1； (4)对于抛物线y=2px，与点P(x0,y0)对应的极线方程为y0y=p(x0+x)； 性质一般地,有如下性质[焦点所在区域为曲线部 ．．．．．．．．．． ]: ①若极点P在曲线С上,则极线L是曲线С在P点的切线； ②若极点P在曲线С外,则极线L是过极点P作曲线С的两条切线的切点连线； ③若极点P在曲线С,则极线L在曲线С外且与以极点P为中点的弦平行[仅是斜率相等]( 若是圆,则此时中点弦的方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=

高考数学_极点、极线与圆锥曲线的位置关系

一道高考解析几何题的背景溯源 ──极点、极线与圆锥曲线的位置关系 湖北省阳新县高级中学邹生书 题目已知椭圆的两个焦点，点满足，则 的取值范围是，直线与椭圆的公共点的个数是. 这是2010年高考湖北卷文科第15题，本题是一道涉及到点、直线与圆锥曲线的位置关系的判定的考题．从高等几何的观点知，这里的点和直线就是椭圆 的一对极点与极线，本题第二问实际上是：已知椭圆的极点在椭圆内，判断极线与椭圆的位置关系．据笔者之前发表的文章中圆锥曲线极点和极线的几何性质可得如下结论： 定理已知点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线．（1）若极点在曲线上，则极线与曲线的相切于点；（2）若极点在曲线内，则极线与曲线的相离；（2）若极点在曲线外，则极线与曲线的相交． 由该定理不难知道，考题中的直线与椭圆相离，故公共点个数为0．若运用几何画板进行实验操作动态演示，不仅可以验证确认该结论，而且还可获得直观感知从而加深印象强化理解．本文将借用判别式法给出该定理的另一种证明． 为了表达方便我们给出圆锥曲线内部和外部的定义．圆、椭圆是封闭图形其内部和外部不言而喻，抛物线、双曲线不是封闭的是开的，我们参考一些杂志专著，对双曲线和抛物线的内部和外部给出如下定义：焦点所在的平面区域称为该曲线的内部，不含焦点的平面区域称为曲线的外部，曲线上的点既不在内部也不在外部．关于点与圆锥曲线位置关系我们有如下结论（这里证明从略）． 引理1已知点和抛物线．则（1）点在上 ；（2）点在内；（3）点在外． 引理2已知点和椭圆（或圆）．则（1）点在 上；（2）点在内；（3）点在外．

引理3已知点和双曲线．则（1）点在上 ；（2）点在内；（3）点在外．圆锥曲线把平面上的点分成三个部分：曲线上的点、曲线内的点和曲线外的点，每一部分的点的坐标对于曲线方程的左右两边的值具有相同的大小关系，真是“物以类集，人以群分”．下面将圆锥曲线分为抛物线、椭圆（圆）和双曲线三种情形，借用判别式法对定理给出如下证明． 定理1已知点和直线是抛物线的一对极点与极线．则（1）点在上直线与相切于点；（2）点在 内直线与相离；（3）点在外直线与相交． 证明由得，，将其代入抛物线方程得， ，所以．所以，（1）点在上 直线与相切于点；（2）点在内 直线与相离；（3）点在外直线与相交． 定理2已知点和直线是椭圆（圆） 的一对极点与极线．则（1）点在上直 线与相切于点；（2）点在内直线与相离；（3）点在 外直线与相交． 证明当时，．则（1）点在 直线与相切于点；（2）点在内

(完整版)初中最基本的尺规作图总结

尺规作图 一、熟练掌握尺规作图题的规范语言 1?用直尺作图的几何语言： ①过点X、点X作直线XX;或作直线XX;或作射线XX； ②连结两点XX；或连结XX; ③延长XX到点X;或延长（反向延长）XX到点X,使XX = XX ;或延长XX交X X于点X; 2?用圆规作图的几何语言： ①在XX上截取XX = XX; ②以点X为圆心，XX的长为半径作圆（或弧）； ③以点X为圆心，XX的长为半径作弧，交XX于点X; ④分别以点X、点X为圆心，以XX、XX的长为半径作弧，两弧相交于点X、X 三、了解尺规作图题的一般步骤 尺规作图题的步骤: 1?已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件； 2?求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件； 3?作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程?当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹?对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法? 在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要? 五种基本作图： 1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线；

题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a .求作：线段AB使AB = a . 作法： (1)作射线AP; (2)在射线AP上截取AB=a . 则线段 AB 就是所求作的图形。 题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点0,使M0=NQ即0是MN的中点) 作法： (1)分别以M N为圆心，大于二 的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P，Q; (2)连接PQ交MNT 0. 则点0就是所求作的MN的中点。 (试问：PQ与MN有何关系？) (1)作射线0!“！; (2)在图(1) 上，以0为圆心，任意长为半径 作弧，交 0M于点A，交0N于点B; ( 3)以。1为圆心，0A的长为半径作弧，交。1皿1于点C; (4)以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D; ( 5)过点D作射线01D . (作线段写于已知线段) 乂Q (作线段的中点) 题目三：作已知角的角平分线。 已知求作作法 (1) 如图，/ A0B 射线0P,使/A0圧/ B0P(即0P平分/ A0B。 以0为圆心，任意长度为半径画弧， 分别交0A 0B于M N; 分别以M N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧交/ A0B内于P; (2) (3)作射线0P 则射线0P就是/ A0B勺角平分线。题目四：作一个 角等于已知角。求作一个角等于已知角/ M0N (如图1). (作角平分技)

圆锥曲线极点极线问题

圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用 定勇 （省宁国中学 ，242300） 圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力. 文[1]给出了两个较为简洁的结论： 命题1 椭圆122 22=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x . 双曲线122 22=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-b y y a x x . 抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px . 命题 2 圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应 的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性. 以上结论在文[2]中有证明. 如图给出椭圆的极点与对应极线的简图： 题1、（2010文15）.已知椭圆12 :22 =+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2 2 00012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值围为_______，直线12 00=+y y x x 与椭圆C 的公共 点个数_____. P 在椭圆内 P 在椭圆外

解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆部.画出图形，由数形结合可得围为[) 22,2. 第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12 :22 =+y x C 的部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线 12 00=+y y x x 并不经过()00,y x P .还有学生看到 12 00=+y y x x 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点. 事实上，12 00=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12:22 =+y x C 的部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用 极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了. 题2、（2010文21）已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率 5e = . （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程； （Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中 21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线 C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ?的值. 解析：（I ）C 的标准方程为.14 22 =-y x C 的渐近线方程为.2 1x y ± = （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和 44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线 MN 的方程为.44=+y y x x E E MN 的方程求出后剩下工作属常规计算.

20.极点与极线的性质

20.极点与极线的性质

第15讲:极点与极线的性质 125 第15讲:极点与极线的性质 极点与极线是高等几何中的基本且重要的概念,虽然中学数学没有介绍,但以此为背景命制的高考试题经常出现.掌握极点与极线的初步知识,可使我们“登高望远”,抓住问题的本质,确定解题方向,寻找简捷的解题途. 定义: 已知曲线G:ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, 则称点P(x 0,y 0)和直线 l:ax 0x+b 200y x x y ++cy 0y+d 20x x ++e 2 y y ++f=0是曲线G 的一对极点与极线,点P 称为直线l 关于曲线G 的极点;直线l 称为点P 关于曲线G 的极线.称点P 与直线l 有“配极关系”,或“对偶关系”,相互为对方的“配极元素”,或“对偶元素”. 特别地,当点P 在曲线G 上时,点P 关于曲线G 的极线是曲线G 在点P 处的切线;圆锥曲线的焦点对应的极线是该焦点对应的准线;圆锥曲线的准线对应的极点是该准线对应的焦点. [位置关系]:已知点P 关于圆锥曲线G 的极线是直线l,则三者的位置关系是:①若点P 在曲线G 上, 则直线l 是曲线G 在点P 处的切线;②若点P 在曲线G 外,则直线l 是由点P 向曲线G 引两条切线的切点弦;③若点P 在曲线G 内,则直线l 是经过点P 的曲线G 的弦的两端点处的切线交点轨迹.如图: l l l P M P A D M P N C N B [配极原则]:如果点P 的极线通过点Q,则点Q 的极线也通过点P. 证明:设圆锥曲线G:ax 2 +bxy+cy 2 +2dx+2ey+f=0,点P(x p ,y p ),Q(x Q ,y Q ),则点P 、Q 关于曲线G 的极线方程分别 为p:ax p x+b 2 y x x y p p ++cy p y+d 2 p x x ++e 2 p y y ++f=0,q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y ++f=0,则点P 的极线通过点 Q ?ax p x Q +b 2Q p Q p y x x y ++cy p y Q +d 2 p Q x x ++e 2 p Q y y ++f=0?点 P(x p ,y p ) 在 直 线 q:ax Q x+b 2 y x x y Q Q ++cy Q y+d 2 Q x x ++e 2 Q y y + +f=0上?点Q 的极线也通过点P.

(完整)极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高考试题 王文彬 （江西省抚州市第一中学 344000） 极点与极线是高等几何中的重要 概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查 的范围， 但由于极 点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题中必然会有所反映， 试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师， 应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律 1. 从几何角度看极点与极线 定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 . 由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所 对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线 于点 A, B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 . 定理 1（1） 当 P 在圆锥曲线 上时，则点 P 的极线是曲线 在 P 点处的切线； （2） 当 P 在 外时，过点 P 作 的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则 点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所 在的直线 ） ； （3）当P 在 内时，过点 P 任作一割线交 于A,B ，设 在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q 的轨迹 . 自然也会成为高考 只有这样， 才能“识 定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的极线为 ①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段 关于圆锥曲线 的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线 和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 . 推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的调和共轭 2 1 1 点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于 调和共轭 . 可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQ PA PB . 特别地，我们还有 推论 2 如图 3，设点 的中心，则有 OR 2 证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交 于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ） 的调 即可得 PR RQ RQ RQ 2 OR 2 OP PR ，即点 P 关于有心圆锥曲线 （设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线 OQ ，反之若有此式成立，则点 的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OP P 与 Q 关于 调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出 P 与 Q 关于 调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线 的一条 P 图2 AB ，或称点 R 图 3