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讲稿16. 线性空间

线性代数应用案例

行列式的应用案例1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。解：设123,,x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组 123231 23365113337 1.1352347445 x x x x x x x x ++=?? +=? ?++=? 利用matlab 可以求得 x = 0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177 案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。假设在一段时间内，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间内，每人的总收入是多少？（总收入= 实际收入+支付服务费）解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题意，建立方程组 1232133 120.20.35000.10.47000.30.4600 x x x x x x x x x --=?? --=??--=? 利用matlab 可以求得

x = 1.0e+003 * 1.25648414985591 1.44812680115274 1.55619596541787 案例3 医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal 热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为123,,x x x 百克，根据题意，建立方程组 12312312360300600120039630906030300 x x x x x x x x x ++=?? ++=? ?++=? 利用matlab 可以求得 x = 1.52173913043478 2.39130434782609 0.65217391304348 矩阵的应用案例1 矩阵概念的引入（1）线性方程组 1111221121122222 1122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ??+++=? 的系数(,1,2,,),(1,2,,)i j j a i j n b j n == 按原来的位置构成一数表

(完整版)线性代数应用实例

线性代数应用实例 ● 求插值多项式右表给出函数()f t 上4个点的值，试求三次插值多项式23 0123()p t a a t a t a t =+++，并求(1.5)f 的近似值。解：令三次多项式函数23 0123()p t a a t a t a t =+++过表中已知的4点，可以得到四元线性方程组： ?????? ?=+++-=+++=+++=6 279318420 33 210321032100 a a a a a a a a a a a a a 对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入： >>A=[1,0,0,0;1,1,1,1;1,2,4,8;1,3,9,27], b=[3;0;-1;6], s=rref([A,b]) 得到x = 1 0 0 0 3 0 1 0 0 -2 0 0 1 0 -2 0 0 0 1 1 得到01233,2,2,1a a a a ==-=-=，三次多项函数为23 ()322p t t t t =--+，故(1.5)f 近似等于23 (1.5)32(1.5)2(1.5)(1.5) 1.125p =--+=-。在一般情况下，当给出函数()f t 在n+1个点(1,2,,1)i t i n =+L 上的值()i f t 时，就可以用n 次多项式2012()n n p t a a t a t a t =++++L 对()f t 进行插值。 ● 在数字信号处理中的应用----- 数字滤波器系统函数数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它的特点在于所有的相加节点都限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线性算子，它的标注符号为z -1。根据这样的结构图，也可以用类似于例7.4的方法，求它的输入输出之间的传递函数，在数字信号处理中称为系统函数。图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y 与输入u 之比。先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。

线性代数案例

线性代数案例 Cayler-Hamilton 定理【实验目的】 1．理解特征多项式的概念 2．掌握Cayler-Hamilton 定理【实验要求】掌握生成Vandermonde 矩阵的vander 命令、求矩阵特征多项式系数的poly()命令、求矩阵范数的norm 命令及矩阵多项式运算的polyvalm 命令【实验内容】 Cayler-Hamilton 定理是矩阵理论中的一个比较重要的定理，其内容为：若矩阵A 的特征多项式为 1121)det()(+-++++=-=n n n n n a s a s a s a A sI s f 则有()0,f A =亦即 11210 n n n n a A a A a A a E -+++ ++= 假设矩阵A 为Vandermonde 矩阵，试验证其满足Cayler-Hamilton 定理。【实验方案】 Matlab 提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly()，但是poly()函数会产生一定的误差，而该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨大的误差，从而得出错误的结论。在实际应用中还有其他简单的数值方法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数。例如，下面给出的Fadeev-Fadeeva 递推算法也可以求出矩阵的特征多项式。 ()1111,1,2,...,,,2,...,k k k k k c tr AR k n k R I R AR c I k n --?=-=?? ?==+=? 该算法首先给出一个单位矩阵I ，并将之赋给1R ，然后对每个k 的值分别求出特征多项式参数，并更新k R 矩阵，最终得出矩阵的特征多项式的系数k c 。该算法可以直接由下面的Matlab 语句编写一个( )1poly 函数实现： Function c=poly1(A) [nr,nc]=size(A); if nc==nr % 给出若为方阵，则用Fadeev-Fadeeva 算法求特征多项式 I=eye(nc); R=I; c=[1 zeros(1,nc)]; for k=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I;

数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)

线性代数建模案例汇编目录案例一. 交通网络流量分析问题 0 案例二. 配方问题 (3) 案例三. 投入产出问题 (4) 案例四. 平板的稳态温度分布问题 (6) 案例五. CT图像的代数重建问题 (9) 案例六. 平衡结构的梁受力计算 (11) 案例七. 化学方程式配平问题 (13) 案例八. 互付工资问题 (14) 案例十. 电路设计问题 (17) 案例十一. 平面图形的几何变换 (19) 案例十二. 太空探测器轨道数据问题 (21) 案例十三. 应用矩阵编制Hill密码 (22) (屏幕制造商需要调整矩阵元素一适应其RGB屏幕.) 求将电视台发送的数据转换成电视机屏幕所要求数据的方程. (25) 案例十五. 人员流动问题 (25) 案例十六. 金融公司支付基金的流动 (27) 案例十七. 选举问题 (29)

案例一. 交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。【模型准备】某城市单行线如下图所示, 其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量(单位: 辆). 图3 某城市单行线车流量 (1) 建立确定每条道路流量的线性方程组. (2) 为了唯一确定未知流量, 还需要增添哪几条道路的流量统计? (3) 当x 4 = 350时, 确定x 1, x 2, x 3的值. (4) 若x 4 = 200, 则单行线应该如何改动才合理? 【模型假设】 (1) 每条道路都是单行线. (2) 每个交叉路口进入和离开的车辆数目相等. 【模型建立】根据图3和上述假设, 在①, ②, ③, ④四个路口进出车辆数目分别满足 500 = x 1 + x 2 ① 400 + x 1 = x 4 + 300 ② x 2 + x 3 = 100 + 200 ③ x 4 = x 3 + 300 ④ 【模型求解】根据上述等式可得如下线性方程组 12142334500100300300x x x x x x x x +=??-=-??+=??-+=? 其增广矩阵 (A , b ) =1100500100110001103000011300?? ?-- ? ? ?-??????→初等行变换10011000101600001130000000--?? ? ?-- ? ?? ?

数学建模案例分析线性代数建模案例例

线性代数建模案例汇编目录

142434 100600300x x x x x x -=-??+=??-=-? 即 14243 4100600300x x x x x x =-??=-+??=-?. 为了唯一确定未知流量, 只要增添x 4统计的值即可. 当x 4 = 350时, 确定x 1 = 250, x 2 = 250, x 3 = 50. 若x 4 = 200, 则x 1 = 100, x 2 = 400, x 3 = ?100 < 0. 这表明单行线“③?④”应该改为“③?④”才合理. 【模型分析】(1) 由(A , b )的行最简形可见, 上述方程组中的最后一个方程是多余的. 这意味着最后一个方程中的数据“300”可以不用统计. (2) 由142434100600300x x x x x x =-??=-+??=-?可得213141500200100x x x x x x =-+??=-??=+?, 123242500300600x x x x x x =-+??=-+??=-+?, 13234 3200300300x x x x x x =+??=-+??=+?, 这就是说x 1, x 2, x 3, x 4这四个未知量中, 任意一个未知量的值统计出来之后都可以确定出其他三个未知量的值. Matlab 实验题某城市有下图所示的交通图, 每条道路都是单行线, 需要调查每条道路每小时的车流量. 图中的数字表示该条路段的车流数. 如果每个交叉路口进入和离开图4 某城市单行线车流量 (1)建立确定每条道路流量的线性方程组. (2)分析哪些流量数据是多余的. (3)为了唯一确定未知流量, 需要增添哪几条道路的流量统计.

线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素及另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 2322 21 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

数学建模案例分析--线性代数建模案例(20例)

线性代数建模案例汇编张小向东南大学数学系 2012年6 月

案例一. 交通网络流量分析问题错误!未定义书签。案例二. 配方问题错误!未定义书签。案例三. 投入产出问题错误!未定义书签。案例四. 平板的稳态温度分布问题错误!未定义书签。案例五.CT图像的代数重建问题错误!未定义书签。案例六. 平衡结构的梁受力计算错误!未定义书签。案例七. 化学方程式配平问题错误!未定义书签。案例八. 互付工资问题错误!未定义书签。案例九. 平衡价格问题错误! 未定义书签。案例十. 电路设计问题错误!未定义书签。案例十一. 平面图形的几何变换错误!未定义书签。案例十二. 太空探测器轨道数据问题错误!未定义书签。案例十三. 应用矩阵编制Hill 密码错误!未定义书签。案例十四. 显示器色彩制式转换问题错误!未定义书签。案例十五. 人员流动问题错误!未定义书签。案例十六. 金融公司支付基金的流动错误!未定义书签。案例十七. 选举问题错误!未定义书签。案例十八. 简单的种群增长问题错误!未定义书签。案例十九. 一阶常系数线性齐次微分方程组的求解错误!未定义书签案例二十. 最值问题错误!未定义书签。附录数学实验报告模板错误!未定义书签。

这里收集了二十个容易理解的案例.和各类数学建模竞赛的题目相比，这些案例确实显得过于简单.但如果学生能通过这些案例加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解，培养数学建模的意识，那么我们初步的目的也就达到了. 案例一.交通网络流量分析问题城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础。根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵。图1某地交通实况图2某城市单行线示意图【模型准备】某城市单行线如下图所示，其中的数字表示该路段每小时按箭头方向行驶的车流量（单位：辆）.

线性代数案例02(配方问题)

案例二. 配方问题在化工、医药、日常膳食等方面都经常涉及到配方问题. 在不考虑各种成分之间可能发生某些化学反应时, 配方问题可以用向量和线性方程组来建模 . 图5 日常膳食搭配图6 几种常见的作料【模型准备】一种佐料由四种原料A 、B 、C 、D 混合而成. 这种佐料现有两种规格, 这两种规格的佐料中, 四种原料的比例分别为2:3:1:1和1:2:1:2. 现在需要四种原料的比例为4:7:3:5的第三种规格的佐料. 问: 第三种规格的佐料能否由前两种规格的佐料按一定比例配制而成? 【模型假设】 (1) 假设四种原料混合在一起时不发生化学变化. (2) 假设四种原料的比例是按重量计算的. (3) 假设前两种规格的佐料分装成袋, 比如说第一种规格的佐料每袋净重7克(其中A 、B 、C 、D 四种原料分别为2克, 3克, 1克, 1克), 第二种规格的佐料每袋净重6克(其中 A 、 B 、 C 、 D 四种原料分别为1克, 2克, 1克, 2克). 【模型建立】根据已知数据和上述假设, 可以进一步假设将x 袋第一种规格的佐料与y 袋第二种规格的佐料混合在一起, 得到的混合物中A 、B 、C 、D 四种原料分别为4克, 7克, 3克, 5克, 则有以下线性方程组 24,327,3,2 5. x y x y x y x y +=??+=?+=?+=? 【模型求解】上述线性方程组的增广矩阵 (A , b ) =214327113125???????????? ????→初等行变换101012000000????????????, 可见{ 1,2.x y == 又因为第一种规格的佐料每袋净重7克, 第二种规格的佐料每袋净重6克, 所以第三种规格的佐料能由前两种规格的佐料按7:12的比例配制而成. 【模型分析】(1) 若令α1 = (2, 3, 1, 1)T , α2 = (1, 2, 1, 1)T , β = (4, 7, 5, 3)T , 则原问题等价于“线性方程组Ax = b 是否有解”, 也等价于“β能否由α1, α2线性表示”. (2) 若四种原料的比例是按体积计算的, 则还要考虑混合前后体积的关系(未必是简单的叠加), 因而最好还是先根据具体情况将体积比转换为重量比, 然后再按上述方法处理. (3) 上面的模型假设中的第三个假设只是起到简化运算的作用. 如果直接设x 克第一种规格的

线性代数练习题2及答案

线性代数练习题一选择题 1B A ,都是n 阶矩阵，且0=AB , 则必有:（） (A) 0A =或0=B . (B) 0A B == . (C) 0=A 或.0=B (D) 0A B == 2设1011,1101a b c d -??????= ??? ?-?????? 则a b c d ?? = ???（） (A)01. 11?? ?-?? (B)11. 10-?? ??? (C)11. 11-?? ??? (D)11. 01?? ?-?? 3若 A 为n m ?矩阵,且n m r A R <<=)(则( )必成立. （A ）A 中每一个阶数大于r 的子式全为零。（B ）A 是满秩矩阵。（C ）A 经初等变换可化为??? ? ??000r E （D ）A 中r 阶子式不全为零。 4 向量组 s ααα ,,21,线性无关的充分条件是( ) （A ） s ααα ,,21均不是零向量. （B ） s ααα ,,21中任一部分组线性无关. （C ） s ααα ,,21中任意两个向量的对应分量都不成比例. （D ） s ααα ,,21中任一向量均不能由其余S-1个向量线性表示. 5 齐次线性方程组0AX =是非齐次线性方程组AX B =的导出组,则( )必定成立. （A ）0AX =只有零解时, AX B =有唯一解. （B ）0AX =有非零解时, AX B =有无穷多解. （C ）α是θ=AX 的任意解,0γ 是AX B =的特解时,0γα+是AX B =的全部解. （D ）12γγ，是AX B =的解时, 21γγ+ 是0AX =的解. 6若θ≠B ,方程组B AX =中, 方程个数少于未知量个数，则有( )