????1,12a 上是增函数，存在最小值222a a +，与a 有关，不符合题意．
当22102≤<
a ，即42≥a 时，)(t h 在??????22,12a 上是减函数，在???????1,22上是增函数，当22=t 即1
log 22
a x =-
时，)(t h 取最小值22，与a 无关． 综上所述，a
的取值范围是)
,+∞．
【例4】已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数
)(x f 的局部对称点．
（1）若a 、∈b R 且0≠a ，证明：函数a bx ax x f -+=2)(必有局部对称点； （2）若函数c x f x +=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数c 的取值范围； （3）若函数324)(21-+?-=+m m x f x x 在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】见解析
【解析】（1）由a bx ax x f -+=2)(得a bx ax x f --=-2)( 代入0)()(=+-x f x f 得，(
)(
)
02
2
=--+-+a bx ax a bx ax ，
得到关于x 的方程02=-a ax （0≠a ），其中24a =?，由于R a ∈且0≠a ，所以0>?恒成立，
所以函数a bx ax x f -+=2
)(（0≠a ）必有局部对称点．
（2）方程0222=++-c x x 在区间]2,1[-上有解，于是x
x c -+=-222， 设x
t 2=（21≤≤-x ），
421≤≤t ， t t c 12+=-，其中41712≤+≤t t ， 所以18
17
-≤≤-c ． （3）324)(21-+?-=-+--m m x f x x
， 由于0)()(=+-x f x f ，
所以)324(324
2121-+?--=-+?-++--m m m m x x x x
，
于是0)3(2)22(2)44(2
=-++-+--m m x x x x ……（*）在R 上有解，令t x x =+-22（2≥t ），
则2442
-=+-t x x ，
所以方程（*）变为08222
2=-+-m mt t 在区间),2[+∞内有解，需满足条件：
??
???≥-+≥--=?22)
8(420
)4(84222m m m m ，即?????≤≤-≤≤-2
2312222m m ，化简得2231≤≤-m ．
【巩固训练】
1．记函数2
()cos (,)
3cos f m R m R θθθθ
=++∈∈+的最大值为()g m ，则()g m 的最小值为___________． 【难度】★★★ 【答案】34
2．已知函数
11
()||||f x x x x x
=+
--，关于x 的方程2()()0f x a f x b ++=（,a b R ∈）恰有6个不同实数解，则a 的取值范围是 . 【难度】★★★
【答案】(4,2)--
2、函数与方程思想在数列中的应用
【例5】不等式
111
71231
a n n n ++>-+++对一切自然数n N *∈都成立，则自然数a 的最大值为____________. 【难度】★★ 【答案】8
【例6】设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，前n 项和为n S ，满足2222
23457,7a a a a S +=+=，则
使得
1
2
m m m a a a ++?为数列{}n a 中的项的所有正整数m 的值为 . 【难度】★★★ 【答案】2
【例7】已知数列{}n a 为等差数列，满足142()n n a a n n *++=+∈N ，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+对任意的n *∈N 恒成立． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）是否存在,p q *∈N ，使得2
22()392p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由； （3）记集合|
,n
n S M n n b λ*??=≥∈????
N ，若M 中共有5个元素，求实数λ的取值范围． 【难度】★★★
【答案】2,n a n =2n n b =；=4,=3p q ；2115,3216??
??
? 【解析】（1）由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+=
所以31242a a d d -==?=，所以12a =，故2,n a n = 因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+ ① 对任意的n *
∈N 恒成立
则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=?≥
又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=?∈N ，所以2n n b = （2）假设存在,p q *
∈N 满足条件，则2
44)2392q
p +-=（ 化简得2
324472
q p p -+-=
由p *
∈N 得2
2447p p +-为奇数，所以3
2
q -为奇数，故3q =
得2
2
244712240p p p p +-=?+-= 故46()p p ==-或舍去
所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ．
（3）易得2
n S n n =+，则22
n n
n S n n
b +=， 下面考察数列2()2
n
n n
f n +=的单调性， 因为2211
(1)1(1)(2)
(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=
所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f ==
，5(4),4f =15
(5),16
f =
21
(6),32
f =
因为M 中的元素个数为5，所以不等式
,n
n
S n b λ*≥∈N 解的个数为5， 故λ的取值范围是2115,3216??
???
．
【巩固训练】
1．对于数列{n a }，定义数列{n n a a -+1}为数列{n a }的“差数列”，若21=a ，{n a }的“差数列”的通项公式为n
2，则数列{n a }的前n 项和n S =_______． 【难度】★★ 【答案】1
22n +-
2．若数列{},{}n n a b 为等比数列，且当3n ≤时，n n b a n -=，若数列{}n a 唯一，则1a =_________. 【难度】★★★ 【答案】13或43
-
3、函数与方程思想在立体几何中的应用
【例8】若三棱锥S ABC -的底面是边长为2的正三角形，且AS SBC ⊥平面，则三棱锥-S ABC 的
