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概率论课后习题答案

概率论与数理统计习题及答案

习题一

4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )]

=1-[0.7-0.3]=0.6

6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，

P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率.

【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )

14+14+13-112=34

13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.

343

233377C C C 184(),

()C 35

C 35

P A P A ====

故 232322()()()35

P A A P A P A =+=

23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()

()()()()()

P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==

+- 0.70.51

0.70.60.54

=+-

33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，1

，求将此密码破译出的概率.

【解】设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则

1231231

()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-

423

10.6534

??= 34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3

由全概率公式，得

()(|)()i i i P A P A B P B ==∑

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只

球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】

3,4,51

(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6

C X P X P X P X ======

==== 故所求分布律为

4.（1）设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=!

k a

λ，

其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为

P {X =k }=a/N ， k =1，2，…，N ，

试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知

1()e !

k k P X k a a k λλ∞∞

======∑∑

故 e

a λ

(2) 由分布律的性质知

1()N N

k k a

P X k a N

======∑∑

即 1a =.

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则

14223

55C (1)C (1)p p p p -=-

故 1

p =

所以 4

51210(4)C ()

3243

P X ===. 21.设X ~N （3，22），

（1）求P {2

22X P X P ---??

<≤=<≤

???

11(1)(1)1220.841310.69150.5328

ΦΦΦΦ????

=--=-+ ? ?

????=-+=

433103(410)2

22X P X P ----??

-<≤=<≤ ???

770.999622ΦΦ????

=--=

? ?????

(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-

323323222

215151122220.691510.99380.6977

X X P P ΦΦΦΦ-----????=>+< ? ?

????????????

=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=

333

(3)(

)1(0)0.522

X P X P Φ->=>=-=- (2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.06

0.06X P X P ?-?

->=>

???

1(2)(2)2[1(2)]0.0456

ΦΦΦ=-+-=-=

24.设随机变量X 分布函数为

F （x ）=e ,0,

(0),00.xt A B x ,

x λ-?+≥>?

（1）求常数A ，B ；

（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）.

【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞

→+

→-=???=??得11A B =??=-?

（2） 2(2)(2)1e P X F λ-≤==-

33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=

(3) e ,0

()()0,

0x x f x F x x λλ-?≥'==?

44.若随机变量X 在（1，6）上服从均匀分布，则方程y 2+Xy +1=0有实根的概率是多少？

【解】

,16

()5

0,x f x ?<

(40)(2)(2)(2)5

P X P X P X P X -≥=≥+≤-=≥=

习题三

（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布；（2） X 与Y 是否相互独立？【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表

(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===? 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.

习题四

1.设随机变量X 的分布律为

求【解】(1) 11111

()(1)012;82842

E X =-?

+?+?+?= (2) 22

22211115()(1)012;82844

E X =-?+?+?+?=

(3) 1

(23)2()32342

E X E X +=+=?+=

5.设随机变量X 的概率密度为

f （x ）=??

??≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x

求E （X ），D （X ）. 【解】12

()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞

-∞

=+-?

32011 1.33x x x ??

??=+-=???????

22320

()()d d (2)d 6

E X x f x x x x x x x +∞

-∞

==+-=

?? 故 2

1()()[()].6

D X

E X E X =-=

7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ），

D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3.

E X Y E X E Y -=-=?-?=

(2) 2

(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?=

习题七

2.设总体X 的密度函数

f （x ,θ）=22

(),0,

.x x θθθ?-<

X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数θ的矩法估计. 【解】2302

2()()d ,233

x x E X x x x θ

θθ

θθθθ??=

-=-= ????

令E (X )=A 1=X ,因此

=X 所以θ的矩估计量为 ^

3.X θ=

3.设总体X 的密度函数为f （x ，θ），X 1，X 2，…，X n 为其样本，求θ的极大似然估计.

（1） f （x ，θ）=,0,0,0.e x x x θθ-?≥?

（2） f （x ，θ）=1,01,

.x x θθ-?<

【解】（1）似然函数1

(,)e

e e

i n n

x x n

n i

i i L f x θ

θθ

θθθ=---==∑=

==∏∏

ln ln n

i i g L n x θθ===-∑

由1

d d ln 0d d n

i i g L n x θθθ===-=∑知 1

i n

==∑

所以θ的极大似然估计量为1

=. (2) 似然函数1

,01n

i i i L x x θ

θ-==<<∏

,i =1,2,…,n.

ln ln (1)ln n

i i L n x θθ==+-∏

由1

d ln ln 0d n

i i L n x θθ==+=∏知

1?ln ln n

i i n n

x θ

===-=-

∑∏

所以θ的极大似然估计量为 1

?ln n

i n

==-∑

10.设某种砖头的抗压强度X ~N （μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg ·cm -2）：

64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 （1）求μ的置信概率为0.95的置信区间. （2）求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==

/20.0252

/20.025

0.975(1)(19)

2.093,

(1)(19)

32.852,(19)

8.907

t n t n ααχχ

χ-==-===

(1) μ的置信度为0.95的置信区间

/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ????

-== ? ?????

(2)2

σ的置信度为0.95的置信区间

222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.852

8.907n s n s n n ααχχ-??--??=??= ?

?--????

其中θ(0<θ<

)是未知参数，利用总体的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和极大似然估计值. 【解】

13?(1)()34,()4 2

i x E X E X x x x θθ

=-=-====∑令得又所以θ的矩估计值31

?.44

x θ

-== （2）似然函数8

241

(,)4(1)(12).i

i L P x θθ

θθ==

=--∏

ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),

d ln 628628240,d 112(1)(12)

L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==----

解2

628240θθ-+=

得 1,2θ=

由于

,122

所以θ的极大似然估计值为 7?2

概率论复习题及答案

复习提纲（一）随机事件和概率（1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。（2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。（3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式，以及应用这些公式进行概率计算。（4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。（5）掌握Bernoulli 概型及其计算。（二）随机变量及其概率分布（1）理解随机变量的概念。（2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。（3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。（4）会求简单随机变量函数的概率分布。（三）二维随机变量及其概率分布（1）了解二维随机变量的概念。（2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。（3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。（4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。（5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。（6）理解二维均匀分布和二维正态分布。（四）随机变量的数字特征（1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。（2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。（3）会计算随机变量函数的数学期望。（4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。（五）大数定律和中心极限定理（1）了解Chebyshev 不等式。（2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。（3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习题一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。解（1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。（ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题 1. 在下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（）成立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（）．

概率论套练习题及答案

《概率论与数理统计》同步练习册学号＿＿＿＿＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿＿＿＿专业＿＿＿＿＿＿＿＿班级＿＿＿＿＿＿＿＿

省电子技术学校继续教育部二O一O年四月

练习一一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示（A）A，B，C中至少有一个发生；（B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生；（D）A，B，C都不发生。2．已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X～B（n，p），则有（A）E（2X－1）＝2np；（B）E（2X＋1）＝4np＋1；（C）D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1；（D）D（2X－1）＝4np（1－p）。4．X的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a＝（）（A）1/3；（B）0；（C）5/12；（D）1/4。5．常见随机变量的分布中，数学期望和差一定相等的分布是（A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2

7．已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。则整个电路断电的概率是______________________. 三、证明题 8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(；（2）P （1 )(2)-=ξ。