数学试题(理)

数 学 试 题（理）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

第一部分 选择题（共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1．集合{}1,0,1-=P ，Q={|cos ,y y x x R =∈},则P Q ?= （ ）

A ．P

B ．Q

C ．{—1,1}

D ．{}1,0 2 ．若复数()2

1i a ?+（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数=a

（ ）

A ．1±

B ．1-

C ．0

D ．1

3．下列有关命题的说法正确的是 （ ）

深 圳 中 学 广东广雅中学 华南师大附中 广东省实验中学

2011届高三上学期期末四校联考

（第5题图）

A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若2

1x =，则1x ≠”．

B ．“1x =-”是“2

560x x --=”的必要不充分条件．

C ．命题“存在,R x ∈使得2

10x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈ 均有2

10x x ++<”．

D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．

4．已知函数()3sin(6f x x π

ω=-

(0)ω>和()3cos(2)g x x ?=+的图象的对称中心完全相同，若[0,2

x π

∈，则()

f x 的取值范围是

（ ）

A ．3

[,3]2

-

B ．[3,3]-

C ．1[2-

D ． 5．阅读如图的程序框图．若输入6,4==n m ，则输出的

i a ,分别等于

（ ）

A ．12，2

B ．12，3

C ．24，2

D ．24，3 6． =+-?

-dx x x )1(1

1

2

（ ）

A ．π

B ．2

π

C ．1+π

D ．1-π

7．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动： 电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并

且向左移动的概率为23，向右移动的概率为1

3

，则电子

兔移动五次后位于点(1,0)-的概率是 （ ）

A ．

4

243

B ．

8243 C ．40243 D ．

80

243

8．已知等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 首项为b ，公比为a ，其中,a b 都是大于1的正整数，且

1123,a b b a <<，对于任意的*n N ∈，总存在*m N ∈，使得3m n a b +=成立，则n a =

（ ）

A ．21n +

B ．31n -

C ．53n -

D ．62n -

第二部分 非选择题（110分）

二、填空题:（本大题共6小题,每小题5分,共30分）． （一）必做题（9～13题）：

9．在()()()3

4

7

111x x x +++???++的展开式中，含x 项的系数是 ．（用数字作答）

10．已知函数3log ,0,

()1,0,3x x x f x x >??

=???≤?????

?那么不等式()1f x ≥的解集为 ．

11．如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若

N 为正方形内（含边界）任意一点，则AM

·的最大值

为

12．从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种

几何体（或平面图形）的

4个顶点，这些几何体（或平面图形）是___________（写出所有正确的结论的编号） ①矩形 ②不是矩形的平行四边形 ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体

④每个面都是等边三角形的四面体 (,)A x y 的纵坐标与

13．如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿

x 轴滚动，设顶点 横坐标的函数关系式是()y f x =，则()f x 在区间[]2,1-上的解析式是 ；（说明：“正三角形PAB 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．；类似地，正三角形PAB 也可以沿x 轴负方向

逆时针滚动）

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都选的只计算14题的得分．） 14．《坐标系与参数方程》选做题：

B C

M

已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,5

4x t y t ?=-+???=?

（t 为参数）．

设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，则MN 的最大值为 ． 15．《几何证明选讲》选做题：

如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为

垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 ．

三、解答题:（本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．．

16．（本题满分12分）在三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a b c 、、且222

b c bc a +=+ （１）求∠A ；

（２）若a =2

2

b c +的取值范围。

17．（本题满分13分）高三第一学期期末四校联考数学第I 卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一

个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生： （1）得40分的概率

（2）得多少分的可能性最大？ （3）所得分数ξ的数学期望

18．（本题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且

A

B

A

C

A 1

B 1

C 1

12AB AC A B ===．

（1）求棱1AA 与BC 所成的角的大小；

（2）在线段11

B C 上确定一点P ，使AP 1P AB A --的平面角的余弦值．

19．．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短半轴长为1，动点(2,)M t (0)t > 在直线2

(a x a c

=为长半轴，c 为半焦距）上。

（1）求椭圆的标准方程

（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求

出这个定值。 20．（本题满分14分）某园林公司计划在一块O 为圆心,R （R 为常数，单位为米）为半径的半圆形（如图）地上种植

花草树木，其中弓形CMDC 区域用于观赏样板地，OCD ?区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售．已知观赏样板地的成本．．是每平方米2元，花木的利润．．是每平方米8元，草皮的利润．．是每平方米3元． （1）设(COD θ∠=单位：弧度）, ,用θ表示弓形CMDC 的面积()S f θ=弓; （2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的θ （参考公式:扇形面积公式211

22

S R Rl θ=

=，l 表示扇形的弧长）

21．（本题满分14

已知函数()f x =(4,2)、(16,4)两点． （1）求()f x 的解析式；

（2）若函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于直线y x =对称，若不等式()(2)22g x g x ax +-<+恒成立,求实

数a 的取值范围；

（3）若123,,,,,n P P P P 是函数()f x 图像上的点列，123,,,,,n Q Q Q Q 是x 正半轴上的点列，

O 为坐标原点，111221,,,,n n n OQ P QQ P Q Q P -??? 是一系列正三角形，记它们的边长是123,,,,,n a a a a ，探求数列{}n a 的通项公式，并说明理由．

B

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9．25 10． (,0][3,)-∞+∞

11．6 12．①③④

13．12,21,12x y x ??∈--???

?=??

∈- ??? 141 15．4

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

16．（本题满分12分）

【解析】①由余弦定理知：cos A ＝bc

a c

b 22

22-+＝21

∴∠A ＝

3

π

………………4分 ②由正弦定理得：

2sin sin sin ===C

c

B b A a

∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ………………6分 ∴b 2＋c 2＝4（sin 2B ＋sin 2C ）＝2（1－cos2B ＋1－cos2C ）

＝4－2cos2B －2cos2（

32π

－B ） ＝4－2cos2B －2cos （3

4π

－2B ）

＝4－2cos2B －2（－

21cos2B －2

3sin2B ） ＝4－cos2B ＋3sin2B

＝4＋2sin （2B －

6

π

） ………………10分 又∵0＜∠B ＜23π ∴6π

-＜2B －6π＜76

π

∴1-＜2sin （2B －6

π

）≤2

∴3＜b 2＋c 2≤6 ………………12分 17．（本题满13分）

【解析】（1）某考生要得得60分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为1

2

，有一道题目做对的概率为

13

，有一道做对的概率为

14

，所以所得40

分的概率为

111123424

P =

??= ………………4分

（2）依题意，该考生得分的范围为{}25,30,35,40

得25分做对了5题，其余3题都做错了，所以概率为112312344

P =

??= 得30分是做对5题，其余3题只做对1题，所以概率为212311312111

23423423424P =??+??+??=

得35分是做对5题，其余3题做对2题，所以概率为3

11312111112342342344

P =??+??+??= 得40分是做对8题，，所以概率为41

24

P =

所以得30分的可能性最大 ………………10分

（3）由（2）得ξ的分布列为：

ξ

25 30 35 40

P

14 1124 14 1

24

所以111117305

25303540304244242412

E ξ=?+?

+?+?== ………………13分

18．（本题满分14分） 【解析】（1）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，

则()()()()11200020022042C B A B ，，，，，，，，，，，，

()1022AA =，， ，()11220BC B C ==-，，

．

1111cos 2AA BC AA BC AA BC

???==

=-?，

， 故

1

AA 与棱BC 所成的角是

π3

． ………………6分

（2）设()111220B P BC λλλ==-，

，

，则()2422P λλ-，，． 于是

12AP λ==

（3

2

λ=舍去）， 则P 为棱11B C 的中点，其坐标为()132P ，，． ……………8分

设平面1P AB A --的法向量为1n

(),,x y z =，

则1100

n AP n AB ?=??=??

, 即32020x y z y ++=??=? 令1z = 故1n

()201=-，， ……………11分

而平面1ABA 的法向量2n 2=（1,0,0）

，则121212

cos ,n n n n n n ===

故二面角1P AB A -

-． ………………14分 19．（本题满分14分）

【解析】（1）又由点M 在准线上，得2

2a c

= ……………2分

C 1

故2

12c c

+=，1c ∴=

从而a = 所以椭圆方程为2

212

x y += ……………4分 （2）以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-=

即2

2

2(1)()124

t t x y -+-=+

其圆心为(1,)2t ,

半径r = ……………6分

因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2 所以圆心到直线3450x y --=

的距离d =2

t

=

……………8分 所以

32552

t t

--=，解得4t = 所求圆的方程为2

2

(1)(2)5x y -+-= ……………10分 （3）方法一：由平几知：2

ON OK OM =

直线OM ：2t y x =

，直线FN ：2

(1)y x t

=-- ……………12分 由22(1)t y x y x t ?

=????=--??

得244K x t =+

2

224(1)22

44

ON t t ∴==+??=+所以线段ON

……………14分

方法二、设00(,)N x y ，则 000000(1,),(2,)

(2,),(,)

FN x y OM t MN x y t ON x y =-==--=

0000,2(1)0,22FN OM x ty x ty ⊥∴-+=∴+=

……………12分

又2200000000,(2)()0,22MN ON x x y y t x y x ty ⊥∴-+-=∴+=+=

所以，ON == 为定值 ……………14分

20．（本题满分14分）

【解析】（1）2

12S R θ=

扇，21sin 2

OCD S R θ?=, 21

()(sin )2

S f R θθθ==-弓． ……………3分

（2）设总利润为y 元，草皮利润为1y 元，花木地利润为2y ，观赏样板地成本为3y

221113()22y R R πθ=-，221sin 82y R θ=?，231

(sin )22

y R θθ=-?,

22221231111

3()sin 8(sin )22222

y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+?--? ．

21

[3(510sin )]

2R πθθ=--

．……………8分 设()510sin g θθθ=- (0,)θπ

∈． '()510cos g θθ=-

'1()0,cos ,()2g g π

θθθθ<>∈在（0, ）

3

上为减函数；

'1()0,cos ,()2g g π

θθθθπ><∈在（，）

3

上为增函数． ……………12分 当3

πθ=

时，()g θ取到最小值,此时总利润最大．

答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成3

π时，总利润最大． ……………14分

21．（本题满分14分）

【解析】（1）24416k k

b b

?=+?=+?1

0,2b k ?=

=()f x ?= …………… 3分 （2）2

()(0)g x x x =≥

()(2)22g x g x ax +-<+22

20(2)22

x x x ax -≥?

??+-<+? 原问题等价于1

2a x x >+

-在[2,)x ∈+∞恒成立 ……………6分 利用函数12y x x =+-在区间[2,)+∞上为增函数可得1

2

a >

……………8分

（3

）由11233y x a y ?=??=?=?

=?? …………… 9分

由110)

n n y x y x S --?=?

?-=?=?=-??

将x

代人112()3n n a x S -=-=+ 已知2111()(112)39n n a S --=?+且12

3a =，求n a …………… 11分

又2111()(112)39n n a S +-=?+，两式相减可得：221114

()()333n n n a a a +---=

?22111()()33n n a a +-=+112

()()03

n n n n a a a a ++?+--=

又，因为0n a >，所以12

03

n n a a +--=

2 3为首项，

2

3

为公差的等差数列，即

2

3

n

n

a ……………14分

从而{}

n

a是以