5月2日平行四边形的性质

龙文教育学科教师辅导讲义

学生: 教师: 日期: 2011年5月2日

课 题

平行四边形的性质和三角形的中位线

教学内容

知识点：平行四边性的性质

例．O 是ABCD 对角线的交点，OBC ?的周长为59，38=BD ，24=AC ，则=AD ________，若OBC ?与OAB ?的周长之差为15，则=AB ______，ABCD 的周长=______.

说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将OBC ?与OAB ?的周长的差转化为两条线段的差.

例．已知：如图，在ABCD 中，AB AD 2=，延长AB 到F ，使AB BF =，延长BA 到E ，使AB AE =，连结CE 和DF ，交AD ，BC 于G ，H .

求证：DF CE ⊥.

说明 本题主要考查利用平行四边形的性质及三角形的有关知识证明两条直线互相垂直. 解题关键是结合三角形的有关知识进行证明.

例．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，过O 点的直线EF 交AD 、BC 于E 、F .

求证：OF OE =

分析：要证OF OE =，只需证含有OE 、OF 的两个三角形全等即可，也就是说证明COF AOE ???或证BOF DOE ???. 这一点由平行四边形的性质容易证得.

说明：此题利用了平行四边形对角线互相平分的性质，通过证明三角形全等，证明了OF OE =. 那么由此题可以看出过平行四边形对角线交点的任一直线被一组对边所截得的线段，被对角线的交点平分.

例．如图，已知ABCD 周长为cm 32，3:5:=BC AB ，BC AE ⊥于E ，DC AF ⊥于F ，C EAF ∠=∠2， 求AE 和AF 的长.

例．求证：平行四边形的对角线的平方之和等于各边的平方之和.

说明：本题综合考查平行四边形的性质和勾股定理，易错点是不先写已知求证. 解题关键是作出辅助线.

例，已知：在ABCD 中，E 、F 分别是AC ，CA 的延长线上的点，且AF CE =. 求证：DE BF //.

分析：要证DE BF //，只需证明E F ∠=∠即可. 这一点可由证明CDE ABP ???或ADE CBF ???证得. 我们这里证明CDE ABF ???，这由已知条件容易得到.

说明：平行四边形的对边平行，可以看作是平行四边形的性质.

例．如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，E 为CD 上一点，F 为AD 上一点，且CF AE =，AE 、CF 相交于点P .

求证：BP 平分APC ∠.

分析：要证BP 平分APC ∠，即要证明CPB APB ∠=∠. 一般的方法是通过证明三角形全等来证明它，那么由给出的条件来看，证明图形中的任何两个三角形全等都比较困难. 所以我们换个角度考虑. 由到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上可知，我们只要能够证明B 点到APC ∠两边的距离相等，即B 点到CF ，B 点到AE 的距离相等就可以了. 因为已有条件AE CF =，所以我们可借助于面积来证明这一点.

说明 （l ）本题巧妙把证明角平分线转化成了等积问题，利用等积来证明等高，利用等高来证明是角平分线．（2）根据等底等高（或同底同高），在平行四边形任意一边上的任意一点，和它所对的边的两个顶点所连成的三角形面积是平行四边形面积的一半．

知识点二：三角形的中位线

例．如图，在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，BM 的延长线交AC 于N . 求证：.2

1

CN AN =

说明：本题考查平行线等分线段定理的推论，解题关键是过中点D 作BN 的平行线DE 交AC 于E ，证出E 是NC 的中点.

例．如图，已知：在梯形ABCD 中，BC AD //，BE AE =，BC EF //交DC 于F ，AF 、BC 延长线交于点G . 求证：BC AD BG +=.

分析：因为CG BC BG +=，所以为了证明BC AD BG +=只需证明CG AD =就可以了. 那么由GCF ADF ???很容易得到这点.

例．如图，已知：在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结BE 、DF 交AC 于G 、H 两点. 求证：HC GH AG ==.

分析：图中E 、F 是线段的中点，而求证中，G 应该为AH 中点，而H 应该是CG 的中点，因此，我们分析后判断，可能与平行线等分线段定理有一定联系.

说明 无论平行线出现三条、四条或更多条，截得的线段如果相等，在另一条直线上截得的各条线段也相等，两条平行线的出现往往关系到推论.

例．如图，已知：在梯形ABCD 中，BC AD //，BC DC ⊥，E 为AB 的中点. 求证：ED EC =.

分析：要证ED EC =，实际上只要证E 点在CD 的垂直平分线上，故过E 点作CD EF ⊥，因为CD BC ⊥，所以BC EF //. 由E 为AB 的中点. 根据平行线等分线段定理的推论可证出F 是CD 的中点. EF 是线段CD 的垂直平分线，从而有ED EC =.

例．如图，AB CB AB DA ⊥⊥,，M 是DC 的中点. 求证：MB MA =.

说明 证法一：是运用平分线等分线段定理证明的，二;是用补全基本图形的方法运用直角三角形斜边中线等于斜边一半证明的.

例．如图，梯形ABCD 中，BC AD //，BC DC ⊥，?=∠60B ，BC AB =，E 为AB 的中点. 求证：ECD ?为等边三角形

说明 本题综合考查了平行线等分线段定理的推论及等边三角形的判定与性质，解题关键是作辅助线.

例．如图，有一块直角三角形菜地，分配给张、王、李三家农户耕地. 已知张、王、李三家人口分别为2人，4人，6人，菜地分配方法要按人口比例，并要求每户土地均有一部分紧靠水渠AB . P 点处是三家合用的肥料仓库，所以P 点必须是三家地的交界处. 已知PAB Rt ?的?=∠90P ，20=PA 米，?=∠60PAB . （1）计算出每家应分配的菜地面积；（2）用尺规在图中作出各家菜地的分界线（保留痕迹，不写作法，标出户名）.

说明：本题考查了平行线等分线段定理的应用，解题的易错点是忽视运用?30的直角三角形的性质，关键是运用平行线等分线段定理的作图

例．如图，已知：在ABC ?中，D 、E 、F 分别为BC 、AD 和AB 的中点，已知ABC ?的周长为cm 46. 求：DEF ?的周长.

分析：由于D 、E 、F 分别是三角形三边的中点，所以DE 、DF 、EF 都是ABC ?的中位线. 那么根据三角形的中位线的性质，可知它们的长度分别为第三边的一半，所以DEF ?的周长为ABC ?的一半.

说明 三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，它不同于三角形的中线，要分清楚三角形的中位线和中线的区别和联系．那么三角形的中位线定理提供了三角形中的线段的关系，解题时要注意运用这一关系． 例．如图，已知：在四边形ABCD 中，AD 、BC 不平行，E 、F 分别是AB 、CD 的中点.

求证：)(2

1

BC AD EF +<

分析：考虑到三角形任意两边之和大于第三边，我们可以把AD 、BC 或EF 转到一个三角形之中，也可能与中点E 、F 构成相关的中位线，从而达到解题的目的.

说明：构造中位线的方法如能恰当使用，能使证题走上捷径.

例．如图，在ABC ?中，C B ∠=∠2，BC AD ⊥于D ，M 为BC 的中点.

求证：AB DM 2

1

=

.

说明 本题考查了三角形中位线定理的应用，解题关键是取AB 的中点N ，连结ND ，NM ，利用三角形中位线定理及等腰三角形的判定证明.

例．已知：在ABC ?中，AC AB =，CD 是中线，延长AB 到E ，使AB BE =，连结CE .

求证：CE CD 2

1

=

.

证法1 如图，取CE 的中点F ，连结BF ，则BF 是ACE ?的中位线.

∴AC BF 21

//

. 又AC AB AB BD ==,2

1

，

∴BD BF = ∵AC BF //， ∴ACB ∠=∠2 ∵AC AB =， ∴ACB ∠=∠1

又BC BC =， ∴BCF BCD ??? ∴CF CD =

∵CE CF 21

=

， ∴CE CD 2

1

=

证法2 如图，取AC 中点F ，连结BF ，则BF 是ACE ?的中位线.

∴ CE BF 2

1=

∵AC AB A A AB AD AF =∠=∠==,,2

1

，

∴ ACD ABF ??? ∴CD BF =

∴CE CD 2

1

=

证法3 如图，取BC 中点G ，BE 中点F ，连结DG ，FG. 则CE FG 2

1

=，AC DG //. ∴ABC ACB DGB ∠=∠=∠. ∴FBG DGC ∠=∠

∵BG GC BF BE AC DG ====

,2

1

21 ∴FBG DGC ???. ∴FG CD =

∴CE CD 2

1

=

说明 构造和利用中位线是解题关键 知识点：中心对称：

例：如图，已知：四边形ABCD 关于O 点成中心对称图形. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.

分析：因为四边形ABCD是中心对称图形，所以A点与C点，B点与D点是对称点. 所以线段AC过O点，线段BD也过O点，且两条线段都被O点平分，故四边形ABCD是平行四边形.

说明：要应用轴对称或中心对称解决问题，应该判断清楚图形的对称的特点，找到对称点.

例05．（南昌市，1999）按要求画一个图形：所画图形中同时要有正方形和圆，并且这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形.

分析这是一道具有开放特色的考题，题中给定的两个图形都既是轴对称图形，也是中心对称图形，故按要求画出的图形只要让两个图形的对称中心重合即可．这样的图形观出很多．

说明本题考查轴对称图形和中心对称图形的应用，解题关键是要探索出两个图形的对称中心重合．

知识点：逆命题和逆定理

1.下列定理中，哪些有逆定理？若有，请说出逆定理．

（1）平行四边形的两组对边分别相等．

（2）全等三角形的对应角相等．

（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

2．写出命题“如果连结一个四边形四边的中点构成的四边形是一个平行四边形，那么原四边形也是平行四边形”的逆命题，判断逆命题的真假，并证明你的结论．

3．写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题，?并证明这个逆命题的真假．