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二重积分学习指导

二重积分学习指导
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微 积 分 下 册

第二章 二重积分

一、学习要求与内容提要

(一)学习要求

1.理解二重积分的概念,几何意义与基本性质。

2.熟练掌握在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分的常用方法。 3.会用二重积分解决简单的实际应用题(面积、体积)。 4.会计算简单广义二重积分。

重点 二重积分的概念,直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算,用二重积分解决简单的实际应用题。

难点 直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算,用二重积分解决简单的实际应用题。 (二)内容提要 9.1 曲顶拄体的体积

9.2 二重积分的定义与基本性质 9.3 二重积分的计算

在直角坐标系与极坐标系下计算二重积分。 9.4 广义二重积分

二 、主要解题方法

1.在直角坐标系下二重积分的计算 例1 计算

??

D

y x y

x

d d 2

其中D 由直线2=y ,x y =和曲线1=xy 所围成。

解 画出区域D 的图形如图所示,求出边界曲线的交点坐标A (

2

1,2), B (1,1),

C (2,2),选择先对x 积分,这时

D 的表达式为

12

1

y x y y ≤≤??

?≤≤??

于是

??

D

y x y

x

d d 2

=x y

x

y y

y

d d 1

2

21

??=y x

y y y

d ]3

[113

21

?

=?

-

21

4

2

d )1(3

1y y

y =

332

1

111()333

y y -+=

72

49

注 本题也可先对y 积分后对x 积分,但是这时就必须用直线1=x 将D 分1D 和2D 两部分。 其中

1D 1

12

12x y x ?≤≤???

?≤≤?? 2D 122x x y ≤≤??≤≤?

由此得

??

D

y x y

x

d d 2

=??

1

d d 2

D y x y

x

+??

2

d d 2

D y x y

x

=y y

x

x x

d d 2

1

21

2

1??+y y

x

x x

d d 22

2

1

?

?=?1

2

12

12

d ]

[ln x y x x

+?2

1

2

2d ][ln x y x x

=?+1

2

12

d ]ln 2[ln x x x +?-2

1

2d ]ln 2[ln x x x =

72

49 .

显然,先对y 积分后对x 积分要麻烦得多,所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键步骤。

例2 计算σ++??d )1(D

y x ,其中D :1≤+y x .

解 画出积分区域D 的图形, 观察被积函数,无论先对x 积分后对y 积分还是先对y 积分后对x 积分都需要将积分区域分成两部分,计算都较繁,这里选择先对y 积分后对x 积分,其中

1

1011x D x y x -≤≤?

?

--≤≤+?

20111x D x y x ≤≤?

?

-≤≤-?

因此σ++??d )1(D

y x =σ++??d )1(1

D y x +σ++??d )1(2

D y x

=σ++?

?+---d )1(d 1101

x x

y x x +σ++?

?--d )1(d 11

10

x x y x x

=4σ+?d )1(2

1

-x +4x x d )1(1

?-=

423

+103

=.

例3 已知 I =x y x f y y d ),(d 0

10

?

?+x y x f y y d ),(d 20

21

?

?- 改变积分次序.

解 积分区域21D D D +=,其中

1D 01

0y x y

≤≤??

≤≤? 2

D 12

0y x ≤≤???

≤≤?? 画出积分区域D 的图形, 改变为先对y 积分后对x 积分,

此时 D 2

01

2x x y x ≤≤??≤≤-?

因此

I =x y x f y y d ),(d 0

1

0?

?+x y x f y y d ),(d 20

21

?

?-=y y x f x x x

d ),(d 2

210

?

?- .

小结 把二重积分化为累次定积分的关键在于正确选择积分次序及积分的上、下限,这里要求上限大于下限.在具体计算重积分时,正确地利用对称性可以使计算简化,但是要注意:只有当积分区域和被积函数均关于所给坐标轴对称时,对称性才能应用,切不可只顾积分域而忘了被积函数。

2. 在极坐标系下二重积分的计算 例4 计算

??

σD

x

y d arctan

,其中D 由

42

2=+y

x , 12

2=+y

x ,0=y ,x y =

所围成的第一象限内的区域。

解 画出积分区域D 的图形,由于积分区域 的边界曲线有圆周,所以选极坐标系积分. 此时 θ=x

y arctan

,于是

??

σD

x

y d arctan

=?θ

d ?

θ21

d r r =?

π

θθ40

d 2

1

2

]

2

[

r

=π2

40

322

θ?=

64

32

π.

例 5 求半球体2

2

2

0y

x a z --≤≤在圆柱ax y x =+2

2(0>a )D 内那部分的体

积。

解 把所求立体投影到y x o 面,即圆柱ax y x =+2

2(0>a )内部, 容易看出所求立

体的体积以D 为底,以上半球面2

22y

x a z --=为顶的曲顶柱体的体积。

2

x

由于积分区域的边界曲线为圆周,所以采用极坐标系较好。

此时 D ππ220cos r a θθ?

-≤≤

???≤≤?

故 V =y x y x a D

d d 2

22??

--

=?

2

π

2

πd ?

θ-cos 0

2

2d a r r r

a

=

3

33

20

(1sin )d a θθ-?

=(

3

π

9

4-

)3a .

小结 在计算二重积分时,当积分区域为圆形区域、圆环区域或扇形区域时,选择用极坐标为好,其他情况用直角坐标为宜。

三、学法建议

1.本章的重点是二重积分的概念,直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算,用二重积分解决简单的实际问题。

2.二重积分计算方法的核心就是把它化成累次定积分,然后去相继地计算那些定积分.化为累次定积分,首先要画出积分区域的图形,从而可以确定积分上下限,同时还可以根据图形选择积分方法,若在直角坐标系下计算,还要考虑积分次序,若在极坐标系下就是先r 后θ了。

θ

二重积分的概念

第一节 二重积分的概念与性质 一、内容要点 1、引例 例1曲顶柱体的体积 例2平面薄片的质量 通过两个实际意义不同的例子,引出所求量可归结为同一形式的和式的极限,进而一般地抽象出二重积分的定义。 2、二重积分的概念:注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。 3、二重积分的性质1-6,注意将其与定积分性质加以比较。 例3关于估值定理的应用 例4关于中值定理的应用 4、二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积。 二、教学要求和注意点 理解二重积分,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理。 第二节 二重积分的计算法 一、内容要点 利用直角坐标计算二重积分 1、从几何入手,利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法,将二重分化为二次积分: ①若D 为X —型区域:{}b x a x y x y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D x x b a dy y x f dx d y x f )()(21),(),(??σ ②若D 为Y —型区域:{}d y c y x y y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D y y d c dx y x f dy d y x f )()(21),(),(??σ ③若D 既非X —型,又非Y —型区域,则将D 划分为若干子区域,使每一个子区域为X —型或Y —型。 2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。 例1化二重积分为二次积分并求值,通过例子说明确定积分限的方法。 例2更换积分次序并计算,通过该例说明选择积分次序的重要性。

例3关于利用对称性计算二重积分的例子。 例4被积函数为绝对值函数、符号函数,取最大值或最小值等函数的例子。 利用极坐标计算二重积分 1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。 2、何时选用极坐标进行计算,一般说来,当积分域D 的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单,可考虑用积坐标计算。 3、确定积分上下限的办法。 例1将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分 例2利用二重积分计算概率积分 dx e x 2 0-+∞? 例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分 例4利用极坐标计算二重积分 二、教学要求和注意点 1、掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法 2、将重积分化为累次积分计算时,积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限,因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。 3、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。 第四节 三重积分 一、内容要点 1、三重积分的概念,存在性及性质 2、三重积分在直角坐标系下的计算 ①先单积分后二重积分 ②先二重积分后单积分 3、更换积分次序 例1将三重积分化为三次积分 例2更换积分次序 例3先二重积分后单积分 4、柱面坐标系下三重积分的计算。 5、何时选用柱面坐标——当Ω是柱形,锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其部分,或者被积函数含有式子)(22y x +?等时,常用柱面坐标计算。 6、球面坐标系下三重积分的计算。 7、何时选用球面坐标——当Ω是球体或其部分,或被积函数含有式子)(222z y x ++?

二重积分的概念及性质

二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了,定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念,在此我们不作详述,请大家参考有关书籍。 二重积分的定义 设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数: (1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n),其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n); (2)在每一个子域(△σk)上任取一点,作乘积; (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 (4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→+∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作: 即:= 其中x与y称为积分变量,函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域. 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶,以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。

如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续,那末二重积分必定存在。 二重积分的性质 (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末: ≤ (5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使 其中σ是区域(σ)的面积. 二重积分的计算法 直角坐标系中的计算方法 这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量,对y进行积分,然后在对x进行积分,或者是先把y看成常量,对x进行积分,然后在对y进行积分。为此我们有积分公式,如下:

二重积分的几种计算方法

二重积分的几种计算方法 二重积分是数学分析的重要组成部分,二重积分是定积分的推广,是二元函数在一个平面的一个区域的积分。计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分(即累次积分)加以计算。求积的困难主要来自两个方面:一是被积函数的复杂性,二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的,又是错选积分顺序导致积分无法计算,有的二重积分必须通过换元才能求出。计算二重积分的一般步骤如下: 1) 画出积分区域D 的草图; 2) 求交点; 3) 选择直角坐标系下计算,或极坐标系下计算; 4) 选择积分次序; 5) 化二重积分为二次积分; 6) 计算。 一.二重积分的直接计算方法 所谓连续函数(,)f x y 展步在有限封闭可求积二位域Ω内的二重积分乃是指数 max 0 max 0 (,)lim (,)i j i j x i j y f x y dxdy f x y x y ?→Ω ?→= ??∑∑?? 其中11,i i i j j j x x x y y y --?=-?=-,而其和为对所有j i ,,使Ω∈),(j i y x 的那些值来求的。 若域Ω有下面的不等式所给出 ,b x a ≤≤ )()(21x y y x y ≤≤ 其中)(1x y 和)(2x y 为闭区间[]b a ,上的连续函数,则对应的二重积分可按下面的公式计算 ???? Ω =b a x y x y j i dy y x f dx dxdy y x f ) () (21),(),( 例1. 计算??D xydxdy ,其中区域D 是由直线x y =与抛物线2x y =所围成的区域。 解: 积分区域D 如图1所示,有定义D 是简单区域,边界x y =与2x y =得交点为)0,0(和)1,1(。 若选择先对y 积分,则过x 轴上)1,0(内的任一点p 作y 轴的平行线,该线的与D 下边界交点在2x y =上,与D 上边界交点在x y =上,所求积分为 221 1 002x x x x D y xydxdy dx xydy x dx ?? ==??????????

二重积分的计算方法(1)

1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分,可以直接化成二次积分来解决.在直角坐标系下,被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时,若D 为x 型区域(如图1),即 {}12(,)()(),D x y x x x a x b ??=≤≤≤≤,其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续,则有 21() () (,)(,)b x a x D f x y d dx f x y dy ??σ=?? ?? ; (1) 若D 为y 型区域(如图2),即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤,其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续,则有 21() () (,)(,)d y c y D f x y d dy f x y dx ψψσ=?? ?? .[1] (2) 例1 计算2 2D y dxdy x ?? ,其中D 是由2x =,y x =,及1xy =所围成. 分析 积分区域如图3所示,为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤????.确定了积分区域然后可以 利用公式(1)进行求解. 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ?? ≤≤≤≤???? 则 2 2 21221x x D y y dxdy dx dy x x =???? y y=x xy=1 D2 D1 x O 2 1 1 2 图3 图1

32 121 3x x y dx x ??= ???? 2 51 133x dx x ?? =- ???? 221412761264x x ??=+= ??? 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算 当被积函数的原函数比较容易求出,但积分区域并 不是简单的x 型或y 型区域,不能直接使用公式(1)或者(2)进行计 算,这是可以将复 杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域,然后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? (3) 进行计算, 例2 计算二重积分D d σ??,其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域. 分析:积分区域D 如图5所示,区域D 既不是x 型区域也不 是y 型区域,但是将可D 划分为 ()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型区 域,进而通过公式 (3)和(1)可进行计算. 解 D 划分为 ()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤???? , (){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤- 则 1 2 D D D d d d σσσ=+??????12230 12 2 x x x x dx dy dx dy -=+?? ?? 1 20112322x x dx x dx ? ???=-+-- ? ???? ??? 1 2 22013333442x x x ??? ?=+-=??????? ? 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 3D o x y 1 D 2D 图 4 y x O x=2y y=2x x+y=3 图5

二重积分学习总结

高等数学论文 《二重积分学习总结》 :徐琛豪 班级:安全工程02班 学号:1201050221 完成时间:2013年6月2日

二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质,了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系,会用性质比较二重积分的大小,估计二重积分的取值围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限,如何改换二次积分的积分次序,并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法,会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1.二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义,必须首先引入二重积分的两个“原型”,一个是几何的“原型”-曲顶柱体的体积如何计算,另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发,对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中,必须要特别注意其中的两个“任意”,一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意,二是在每个 小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”, 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限,才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2.明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0,则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底,以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地,当(,)f x y =1时,(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。

二重积分说课

《高等数学》(下)——说课稿 说课教师:方政蕊(经济与数学系) 各位评委、老师:大家好! 我是经济与数学系的数学教师方政蕊,很荣幸能够参加此次的说课活动,希望各位评委、老师对我的说课内容提出宝贵意见。 下面我将就本学期我所担任的《高等数学》这门课程所使用的教材、该课程的地位作用、教学方法的选择、学生学法的指导和教学过程的设计等几个方面来向大家做一简要介绍。 一、教材介绍 这门课所使用的教材是同济大学出版社出版的面向21世纪普通高等教育规划教材《高等数学》的下册,该教材内容符合教学大纲的要求,知识系统、体系结构清晰、例题丰富、语言通俗易懂,讲解透彻难度适中,在上册一元函数微积分的基础上进一步较系统地介绍多元函数微分学,多元函数积分学,无穷级数和微分方程等高等数学的知识。 二、课程介绍 1、地位和作用 高等数学在当今社会的各个领域都有广泛的应用,因而“高等数学”是理工类本科教学重要基础课之一,通过本课程的教学,旨在使学生掌握该课程的基本概念、基本理论和方法,提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力,为学生继续学习后续相关专业课奠定必要的数学基础。 2、教学目标 (1)、理解多元函数的概念、会求二元函数的偏导数和全微分 (2)、能将多元函数应用到几何上,会求极值 (3)、理解多元函数的概念、性质,掌握二重积分的计算方法 (4)、掌握三重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法 (5)、理解无穷级数的概念、性质,掌握判别级数收敛性的方法 (6)、会将函数展开成幂级数或傅里叶级数 (7)、理解微分方程的概念,掌握求微分方程的解的方法 3、教学重点和难点 (1)、求二元函数的偏导数、极值 (2)、求二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分 (3)、无穷级数的收敛性判别、将函数展开成幂级数或傅里叶级数 (4)、解微分方程 二、教学方法 科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍,达到教与学的和谐完美统一。数学是本科教学中的重要基础课,是一门培养和发展人的思维的重要学科,因此,在教学中,不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。 根据教学内容、教学目标和学生的认知水平,我主要采取教师启发讲授、适当点拨和学生探究学习的教学方法。教学过程中,教师可以系统的传授知识,充分发挥教师的主导作用,根据教材提供的线索,安排适当的教学情境,让学生展

二重积分的计算方法

重庆三峡学院数学分析课程论文 二重积分的计算方法 院系数学与统计学院 专业数学与应用数学(师范) 姓名 年级 2010级 学号 指导教师刘学飞 2014年5月

二重积分的计算方法 (重庆三峡学院数学与统计学院10级数本1班) 摘 要 :本文总结出了求二重积分的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 :函数极限;计算方法;洛必达法则; 四则运算 引言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何、物理、力学等方面有着重 要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被 积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求 二重积分的方法很多且非常灵活,本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作(),D J f x y d σ= ??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????.

211二重积分概念

第二十一章 二重积分 §1 二重积分概念 教学目的 掌握二重积分的定义和性质. 教学内容 二重积分的定义和性质. (1) 基本要求:掌握二重积分的定义和性质,二重积分的充要条件,了解有界闭区域上的连续函数的可积性. (2) 较高要求:平面点集可求面积的充要条件. 教学建议 (1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质,知道有界闭区域上的连续函数必可积.由于二元函数可积的充要条件与定积分类似,这方面的内容可作简略介绍. (2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明,并布置有关习题. 教学程序 一、平面图形的面积 (一)、内、外面积(约当,黎曼外内测度)的概念 直线网T 分割平面图形P ,T 的网眼中小闭矩形i ?的分类: (ⅰ)i ?含的全是P 的内点, (ⅱ)i ?含的全是P 的外点(不含P 的点), (ⅲ)i ?内含有P 的边界点, 记()T s P 为T 的第ⅰ类i ?的面积的和. 记()T S P 为T 的第ⅰ和第三类i ?的面积的和. 记P I =(){}T s P T sup ,称为P 的内面积. 记P I = (){}T S P T inf ,称为P 的外面积. 定义1 若平面图形P 的内面积P I 等于它的外面积P I ,则称P 为可求面积,并称其共同值P I =P I =P I 为P 的面积(约当,黎曼测度)

定理21.1 平面有界图形P 可求面积的充要条件是:对任给的0>ε,总存在直线网T ,使得 ()()ε<-T s T S P P . (2) 证明 [必要性]设平面有界图形P 的面积为P I .由定义1,有P I =P I =P I .对任给的ε,由P I 及P I 的定义知道,分别存在直线网1T 与2T ,使得 (),21ε->P P I T s ()22ε +

P P I T s ()2ε +

ε,存在直线网T ,使得(2)式成立.但 ()()T S I I T s P P P P ≤≤≤, 所以 ()()ε<-≤-T s T S I I P P P P , 由ε的任意性,因此P I =P I ,因而平面图形P 可求面积. 推论 平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0=P I ,即对任给的0>ε,存在直线网T ,使得, ()εε,平面图形P 能被有限个其面积总和小于ε的小矩形所覆盖. 定理21.2 平面有界图形P 可求面积的充要条件是:P 的边界K 的面积为零. 证明 由定理21.1,P 可求面积的充要条件是:对任给的0>ε,存在直线网T ,使得()()ε<-T s T S P P .由于 ()=T S K ()()ε<-T s T S P P , 所以也有()ε

二重积分的概念与性质教案

7.1二重积分的基本概念(教案) 主讲人:孙杰华 教学目的:理解二重积分的概念、性质 教学重难点:二重积分的概念、二重积分的几何意义. 教学方法:讲授为主 教学内容: 一、二重积分的概念 1.曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =,称这种立体为曲顶柱体. 与求曲边梯形的面积的方法类似,我们可以这样来求曲顶柱体的体积V : (1)用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?,2σ?, ,n σ?,以这些小区 域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω,2?Ω, ,n ?Ω. (假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.),从而1 n i i V ==?Ω∑. 图7.1 (2)由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大.因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是

(,),((,))i i i i i i i f ξησξησ?Ω≈??∈?. (3)整个曲顶柱体的体积近似值为 1 (,)n i i i i V f ξησ=≈?∑. (4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩.为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,则 1 lim (,),(,)n i i i i i i i V f λξησξησ→==??∈?∑. 2.二重积分的定义 设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域 12,,,,n σσσ??? 其中,i σ?既表示第i 个小区域,也表示它的面积, i λ表示它的直径. 1max{}(,)i i i i i n λλξησ≤≤=?∈?, 作乘积(,)(1,2 ,)i i i f i n ξησ?=, 作和式 1 (,)n i i i i f ξησ =?∑, 若极限()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记 作 (),D f x y d σ??.即 (),D f x y d σ=??()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑. 其中:(),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素, ,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域. V n

二重积分的计算方法

第二节 二重积分的计算法 教学目的:熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点:利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点:化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容: 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ; 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为

一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了,利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2)

显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限; 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域.

归纳二重积分的计算方法

归纳二重积分的计算方法 摘 要 :本文总结出了求二重积分的几种方法,比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 :函数极限;计算方法;洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活,本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??.

1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有

二重积分的计算法教案

教 案 参赛教师: 职称: 助教 所在院系: 数学与统计学院 所授课程: 高等数学 20XX年5月 第十章重积分 第二节二重积分的计算法 (第1课时) 教学目的:理解二重积分计算公式导出的方法,理解公式中符号的意义;熟练掌握X-型区域与Y-型区域上的积分公式,并能根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分.重点:X-型区域上二重积分的积分公式;根据条件选择恰当的积分次序计算二重积分. 难点:选择合适的方法计算二重积分. 教学方法:直观教学,启发式讲授. 教学过程: 一、利用直角坐标系计算二重积分 1.积分区域D的分类

(1)积分区域D 为X-型区域 图1 图2 图1,图2表示的区域都是X-型区域. X-型区域的特点:穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 的边界的交点个数不超过两个. 用不等式组表示为 ).()(21x y x b x a D ??≤≤≤≤,: (2)积分区域D 为Y-型区域 图3 图3,图4表示的都是Y-型区域. Y-型区域的特点:穿过D 的内部平行于y 轴的直线与D 边界交点的个数不多于两个. 当积分区域为Y-型区域时,即 12:,()() D c y d y x y ψψ≤≤≤≤ 2.二重积分计算公式 (1)积分区域D 为X-型区域时 (,)D f x y d σ ??的计算公式. 当0),(≥y x f 时,由二重积分的几何意义 (,)D f x y d σ ??的值等于以D 为底,以(,)z f x y =为顶的 曲顶柱体(图5)的体积V . 即 ??=D d y x f V σ ),(. 过x 轴上 x 点作平行于yOz 的平面 x π, 0a x b ≤≤ . 图5 x π截V 得一以1020[(),()]x x ??长为底,0(,)z f x y =为曲边的曲边梯形, 其面积为 2010() 00() ()(,)x x A x f x y dy ??=? . y x O ) (2y d c

二重积分的概念及计算法(一)

习题9-1,9-2 二重积分的概念及计算法(一) 1.填空题: (1)由二重积分的几何意义得 ∫∫≤+=??122221y x d y x σ . (2)根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: ① ,其中是三角形区域,三顶点为(1,0),(1,1),(2,0),则 ∫∫+=D d y x I σ)ln(1∫∫ +=D d y x I σ22)][ln(D 1I 2I . ②,,其中是由∫∫++=D d y x I σ21)1(∫∫ ++=D d y x I σ32)1(D x 轴与直线围成的区域,则 1,0?==+x y x 1I 2I . (3)化二重积分为两种不同次序下的二次积分,其中是直线D 2,==x x y 及双曲线)0(1f x x y =所围成的闭区域,= ∫∫d y x f σ),(D = (4)①交换积分次序: ∫∫??=22221),(x x x dy y x f dx ②交换积分次序: ∫∫∫∫?=+y y dx y x f dy dx y x f dy 20313010),(),( 2.利用二重积分的性质,估计积分的值: ∫∫++=D d y x I σ)94(22,其中是圆形闭区域:. D 422≤+y x 3.计算下列二重积分: (1)∫∫+= D d x x y I σ2)1(cos ,其中是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和(0,1)的梯形闭区域. D (2),其中是由∫∫+=D y x d e I σD 1≤+y x 所确定的闭区域. 4.计算二次积分∫∫101dx e dy y x y . 5.交换积分次序,证明: ∫∫∫???=a y a x a m x a m dx x f e x a dx x f e dy 000)()()()()(. 6.设平面薄片所占的闭区域是由直线D x y y x ==+,2和x 轴所围成,它的面密度

二重积分

第十章 二重积分 一、内容概要 1.二重积分的定义 定义 设函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上有定义. 分割 用任意两组曲线将区域D 分成n 个小区域,分别记为 12,,,n σσσ??? .并以i σ?代表第i 个小区域的面积. 求和 在每个小区域i σ?上任意一点(,)i i x y 作乘积(,)i i i f x y σ?,并求和 1 (, )n i i i i f x y σ=?∑. 取极限 记λ为n 个小区域12,,,n σσσ??? 中的最大的直径,如果 0 1l i m (,)n i i i i f x y λσ→=?∑. 存在,且此极限值不依赖区域D 的分法,也不依赖于点(,)i i x y 的取法,则称此极限值为函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分,记为 1 (, )l i m (,)n i i i i D f x y d f x y λσσ→==?∑??, 称d σ为面积元素. 2.二重积分的几何解释 由二重积分的定义可知,二重积分为一个数值.从几何上可以解释为: 若在区域D 上,(,)f x y 0≥,则二重积分的值等于以区域D 为底,以曲面 (,)z f x y =为顶的曲顶直柱体的体积.若在区域D 上,(,)f x y 0≤,则二重积分的 值的绝对值等于以D 为底,以曲面(,)z f x y =为曲顶的直柱体体积,此时二重积分的值为负值.若在区域D 上的某些子区域上(,)f x y 0≥,而另一些子域上 (,)f x y 0≤,则二重积分的值等于这些子区域上,以(,)z f x y =为曲顶的直柱体 体积的代数和,其中(,)f x y 0≥的直柱体体积值前取“+”,在(,)f x y 0≤的直柱体体积前取“-”.

二重积分计算中的积分限的确定

二重积分计算中积分限的确定 摘要:二重积分计算中积分限的确定对于初学者是一个重点更是一个难点.本文旨在介绍一种二重积分计算中确定积分限的简单易行的方法. 关键词:二重积分累次积分积分限积分次序 引言:高等数学学习过程中,二重积分计算是个难点。原因在于将二重积分化为累次积分时,对于积分限的确定学生难以掌握。本人结合自己的教学过程和自己的学习体会总结出一个口诀,发现在教学过程中效果不错可以很好的帮助学生解决这一难题。 1.高等数学中计算二重积分的方法 在高等数学课本中,在直角坐标系下计算二重积分的步骤为:]1[。 (1)画出积分区域 (2)确定积分区域是否为X-型或Y-型区域,如既不是X-型也不是Y-型区域,则要将 积分区域化成几个X-型和Y-型区域,并用不等式组表示每个X-型和Y-型区域. (3)用公式化二重积分为累次积分. (4)计算累次积分的值. 在教学的过程中我发现学生对于此种方法掌握的很不好,尤其是在第二步中,确定积分区域从而确定累次积分的积分限是一个薄弱环节.下面就本人在教学中的体会谈谈在这方面的一点心得. 2.教学过程中总结的方法 本人的心得可用下面的口诀概括:后积先定限,限内画条线,先交下限取,后交上限见.下面简单解释一下该口诀,然后以具体的例题加以说明.在将二重积分转化为累次积分的时候对于两个积分变量必然会有个先后顺序,这就要求对后积分的那个变量我们要根据积分区域确定其上下限(所谓确定是指根据积分区域图将其上下限定为常数).确定了这个变量的上下限以后,我们在其上下限内画一条和上下限平行的直线,该直线沿着坐标轴的正方向画过来,这样该直线如果和积分区域总是有两个交点,先交的即为另一个积分变量的积分下限,后交的即为其积分上限. 3.例题解析 例1 计算?? D xydxdy,其中D是由直线x y y x= = =,1 ,2所围成的区域. 解:作出积分区域D的图形 x 页脚内容1

二重积分计算方法

1利用直角坐标系计算1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分,可以直接化成二次积分来解决.在直角坐标系下,被积分函数(,) f x y在积分区域D上连续时,若D为x型区域(如图1),即 {} 12 (,)()(), D x y x x x a x b ?? =≤≤≤≤,其中 12 (),() x x ??在[,] a b上连续,则有 2 1 () () (,)(,) b x a x D f x y d dx f x y dy ? ? σ= ????;(1) 若D为y型区域(如图2),即{} 12 (,)()(), D x y y y y c y d ψψ =≤≤≤≤,其中 12 (),() y y ψψ在[,] c d上连续,则有 2 1 () () (,)(,) d y c y D f x y d dy f x y dx ψ ψ σ= ????.[1](2)例1 计算 2 2 D y dxdy x ??,其中D是由2 x=,y x =,及1 xy=所围成. 分析积分区域如图3所示,为x型区域()1 D=,12, x y x y x x ?? ≤≤≤≤ ?? ?? .确定了积分区

域然后可以利用公式(1)进行求解. 解 积分区域为x 型区域 ()1D=,12,x y x y x x ??≤≤≤≤???? 则 1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计 算 当被积函数的原函数比较容易求出, 是简单的x 型或y 型区域,不能直接使用公式(1行计 算,这是可以将复杂的积分区域划分为若干x 型或 y 型区域,然 后利用公式 1 2 3 (,)(,)(,)(,)D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? (3) 进行计算, 例2 计算二重积分D d σ??,其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域. 分析:积分区域D 如图5所示,区域D 既不是x 型区域也不是y 型区域,但是将可D 划 分为()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤?? ??=≤≤≤≤-均为x 型 区域, 进而通过公式(3)和(1)可进行计算. 解 D 划分为

9.1二重积分的定义 (1)

《高等数学》第二十一次网络课导学 学习内容:二重积分的定义 重点内容:二重积分的概念与定义;二重积分的几何意义;微元法理解二重积分;二重积分的性质 课程要求:理解二重积分的定义;理解二重积分的几何意义并加以使用;理解微元法思想;掌握二重积分的重要性质 学习步骤:签到——阅读《高等数学》教材9.1(前半部分内容)二重积分的概念与性质——观看视频3.5.1二重积分的定义——完成测验——讨论问题——完成课后作业,共6个步骤 课后作业: 1.二重积分??≤+D y x D d 的值为1:,22σ( ) A.1 B.2 C.3 D.π 2.二重积分的积分区域D 是1≤+y x ,则??=D dxdy ( ) A.2 B.1 C.0 D.4 3.设积分区域222:D x y a +≤, 且 9D dxdy π=??, 则a =( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.设积分区域D 为2214x y ≤+≤, 2D dxdy =??( ) A.π2 B.π4 C.π6 D.π8 5.二重积分()??D d y x f σ,在空间直角坐标系中的几何意义是( ) A.平面区域D 的面积 B.空间曲面()y x f z ,=的面积 C.空间曲面()0,=y x f 的面积 D.以平面区域D 为底,曲面()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积 6.已知二重积分 ??=D dxdy 1,则平面区域D 可以由下列哪些曲线围成( ) A.21||=x ,3 1||=y B.x 轴,y 轴及022=-+y x C.x 轴,2=x 及x y = D.1=+y x ,1=-y x

7.设??+=1221D y x dxdy e I ,??+=2222D y x dxdy e I , 其中区域22,11:1≤≤-≤≤-y x D , 20,10:2≤≤≤≤y x D ,则下列四式中正确的是( ) A.214I I > B.214I I = C.214I I < D.212I I = 8.下列不等式正确的是( ) A. 0)(33122>+??≤+σd y x y x B.0)(22122>+??≤+σd y x y x C. 0)(122>+??≤+σd y x y x D.0)(122>-?? ≤+σd y x y x 9.设1D 是由x 轴,y 轴及直线1=+y x 所圈成的有界闭域,f 是区域D :1≤+y x 上的连续函数,则二重积分22(,)D f x y dxdy =??__________1 22(,)D f x y dxdy ?? A.2 B.4 C.8 D. 12 10.设777123[ln()],(),sin ()D D D I x y dxdy I x y dxdy I x y dxdy =+=+=+??????其中D 是由0=x ,0=y ,12 x y += ,1=+y x 所围成的区域,则321,,I I I 的大小顺序是( ) A.321I I I << B.123I I I << C.231I I I << D.213I I I << 11.设??≤+++= 2 22sin cos 1πy x y x dxd I ,则I 满足( ) A. 13 2<

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