2019华东师大初中数学八年级上册《整式的乘除》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

《整式的乘除》全章复习与巩固—知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 理解正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；

2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；

3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；

4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、幂的运算

1.同底数幂的乘法：

(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：

(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：

(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.

5.零指数幂：()0

10.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

要点二、整式的乘法和除法

1.单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

2.单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).

3.多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.

要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2

x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除

把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.

5.多项式除以单项式

先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.

即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++

要点三、乘法公式

1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

22()()a b a b a b +-=-

要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”

的平方减去“相反项”的平方.

2. 完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. ()2

222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=- 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.

要点四、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法等.

要点诠释：落实好方法的综合运用：

首先提取公因式，然后考虑用公式；

两项平方或立方，三项考虑完全平方；

四项以上想分组，分组分得要合适；

几种方法反复试，最后须是连乘式；

因式分解要彻底，一次一次又一次.

【典型例题】

类型一、幂的运算

1、（2016春?东台市期中）已知：5a =4，5b =6，5c =9，

（1）52a +b 的值；

（2）5b -2c 的值；

（3）试说明：2b =a +c ．

【思路点拨】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法等即可得答案．

【答案与解析】

解：（1）52a +b =52a ×5b =（5a ）2×5b =42×6=96

（2）5b ﹣2c =5b ÷（5c ）2=6÷92=6÷81=227

（3）5a +c =5a ×5c =4×9=36

52b =62=36，

因此5a +c =52b 所以a +c =2b ．

【总结升华】本题考查了幂的相关运算，熟记法则的同时要注意逆用公式才是解题关键． 举一反三：

【变式】（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.

（2）比较3020103,9,27大小。

【答案】

解：（1）<

3279=<

提示：（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为12；

（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.

类型二、整式的乘除法运算

2、（2015?杭州模拟）已知代数式（mx 2+2mx ﹣1）（x m +3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m ，n 的值，并求出一次项系数．

【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x 的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．

【答案与解析】

解：（mx 2+2mx ﹣1）（x m +3nx+2）=mx m+2+3mnx 3+2mx 2+2mx m+1+6mnx 2+4mx ﹣x m ﹣3nx ﹣2，

因为该多项式是四次多项式，

所以m+2=4，

解得：m=2，

原式=2x 4+（6n+4）x 3+（3+12n ）x 2+（8﹣3n ）x ﹣2

∵多项式不含二次项，

∴3+12n=0，

解得：n=，

所以一次项系数8﹣3n=8+34=354

． 【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x 的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．

举一反三：

【变式】若()13x m x ??++

???的乘积中不含x 的一次项，则m 等于______． 【答案】13

-；

类型三、乘法公式

3、计算：(1)()()a b c d a b c d -+---+；(2)()()231235x y x y ----+．

【思路点拨】（1）中可以将两因式变成a b -与c d -的和差.（2）中可将两因式变成23y -与23x -的和差.

【答案与解析】

解：(1)原式22[()()][()()]()()a b c d a b c d a b c d =-+----=--- 222222a ab b c cd d =-+-+-．

(2)原式[(23)(23)][(23)(23)]y x y x =-+----

()()22

2323y x =---

229412125y x y x =--+-.

【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．

举一反三：

【变式】计算：2483(21)(21)(21)1++++．

【答案】

解：24822483(21)(21)(21)1(21)(21)(21)(21)1++++=-++++ 448(21)(21)(21)1=-+++

881616(21)(21)12112=-++=-+=．

4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.

【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .

【答案与解析】

解：222

246140x y z x y z ++-+-+= ()()()

2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=

所以20122012()00x y z --==.

【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.

举一反三：

【变式1】配方2222

14a b a b ab +++=，求a b +＝________.

【答案】

解：原式＝()()22222221210a b ab a ab b ab a b -++-+=-+-= 所以,1a b ab ==，解得1a b ==±

所以±2a b +=.

【变式2】（2015春?祁阳县期末）课堂上老师指出：若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac=0，请判断该三角形的形状．小明在与同学一起合作探究这个问题时，说出了自己的猜想及理由，得到了老师的赞扬．请你写出小明的猜想和理由．

【答案】 解：依题意得：

所以（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2=0

所以a=b ，b=c ，c=a ．

故△ABC 是等边三角形．

5、求证：无论x y ，为何有理数，多项式222616x y x y +-++的值恒为正数．

【答案与解析】

解：原式＝()()221360x y -+++>

所以多项式的值恒为正数.

【总结升华】通过配方，将原式变成非负数＋正数的形式，这样可以判断多项式的正负. 举一反三： 【变式】证明:不论,a b 为何值 , 多项式22

22354

a b a b ab -----的值一定小于0. 【答案】 证明：22

22354

a b a b ab -----

＝ 22

22[(1)(2)4]4

a b ab a b ab -++++++ ＝()22(

1)42

ab a b -+-+- ∵ 0)12

(2≥+ab ,()02≥+b a ∴2(1)02ab -+≤, ()20a b -+≤ ∴ 原式一定小于0.

类型四、因式分解

6、若()()()232p q q p q p E ---=-，则E 是（ ）

A ．1q p --

B ．q p -

C ．1p q +-

D ．1q p +-

【答案】C ；

【解析】

解：()()23p q q p ---=()()2

1q p p q -+-．故选C ．

【总结升华】观察等式的右边，提取的是()2q p -，故可把()2p q -变成()2q p -，即左边＝()()21q p p q -+-.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．

举一反三：

【变式】把多项式()()()111m m m +-+-提取公因式()1m -后，余下的部分是（ ）

A ．1m +

B ．2m

C ．2

D ．2m +

【答案】D ；

解：()()()111m m m +-+-，

＝()()111m m -++，

＝()()12m m -+．

7、分解因式：

（1）2()4x y +-； （2）22

16()25()a b a b --+； （3）22(2)(21)x x +--． 【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）2

16()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式里的a 和

b ．

（3）把(2)x +、(21)x -看作一个整体进行分解． 【答案与解析】

解：（1）222

()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-．

（2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+ [4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+

(9)(9)a b a b =+--

(9)(9)a b a b =-++．

（3）22

(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+-- (31)(3)x x =+-．

【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式.

举一反三：

【变式】将下列各式分解因式：

（1）()()22259a b a b +--； （2）()2

2234x y x -- （3）33x y xy -+； （4）32436x xy -；

【答案】

解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--????????

()()()()8228444a b a b a b a b =++=++

（2）原式＝()()232232x y x x y x -+--

＝()343y x y --

（3）原式()()()22xy x y

xy x y x y =--=-+- （4）原式()()()2249433x x y

x x y x y =-=+-