高一数学等差等比数列的性质和应用的考点解析及例题辅导
等差数列与等比数列的性质及其应用 高考要求
(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项
(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题
(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，井能解决简单的实际问题 知识点归纳 1一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =???≥-=-)2()1(11n S S n S n n
2等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d a n =a k +(n-k )d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数 3等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+ S n =2
)(1n a a n + S n =d n n na n 2
)1(-- 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式 4等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =1
212--n S n 5等差中项公式：A=2
b a + （有唯一的值） 6等比数列的通项公式： a n = a 1 q n-1 a n = a k q n -k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0)
7等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；
当q≠1时，S n =q
q a n --1)1(1 S n =q q a a n --11 8等比中项公式：G=ab ± （ab>0，有两个值） 9等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列 10等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+ 11等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ?=? 12等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列（当m 为偶数且公比为-1的情况除外） 13两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n -b n }仍为等差数列 14两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ?b n }、??????n n b a 、?
?????n b 1仍为等比数列 15等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 17三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 18三个数成等比的设法：a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3 (因为其公比为2q >0,对于公比为负的情况不能包括) 19{a n }为等差数列，则{}n
a c (c>0)是等比数列 20{
b n }（b n >0）是等比数列，则{log
c b n } (c>0且c ≠1) 是等差数列 题型讲解
例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q
解: 设等差数列的通项a n = a 1+(n-1)d (d ≠0)
根据题意得 a 32 = a 2a 6 即(a 1+2d)2 = (a 1+d)(a 1+5d),
解得 d a 2
11-= 所以.32
122121123=+-+-=++==d d d d d a d a a a q 例2 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足:a n 、b n 、a n+1成等差数列,b n 、a n+1、b n+1成等比数列,且a 1 = 1, b 1 = 2 , a 2 = 3 ,求通项a n ,b n
解: 依题意得:
2b n+1 = a n+1 + a n+2 ①
a 2n+1 =
b n b n+1 ②
∵ a n 、b n 为正数, 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a , 代入①并同除以1+n b 得: 212+++=
n n n b b b , ∴ }{n b 为等差数列
∵ b 1 = 2 , a 2 = 3 , 2
9,22122==b b b a 则 , ∴ 2
)1(),1(22)229)(1(22
+=∴+=--+=n b n n b n n , ∴当n ≥2时,2
)1(1+==-n n b b a n n n , 又a 1 = 1,当n = 1时成立, ∴2)1(+=
n n a n 例3在等比数列{a n }的前n 项中，a 1最小，且a 1+a n =66，a 2 a n -1=128，前n 项和S n =126, 求n 和公比q
解：∵{a n }为等比数列 ∴a 1·a n =a 2·a n -1
由a 1·a n =128 ， a 1+a n =66 且 a 1最小
得a 1=2 ，a n =64
1264126,126,12611n n a a q q S q q
--=∴
==--即 解得2q = 1264,26,n n q -?=∴=
解得n =6,
∴n =6,q =2
例4 已知：正项等比数列{a n }满足条件：
① 12154321=++++a a a a a ；
② 25111115
4321=++++a a a a a ； 求{}n a 的通项公式n a
解：易知 0>q ，1≠q ，
由已知得 1211)1(51=--q
q a ①， 251)1(155=--q q a ② ①÷②得 2512151=a a ，即 25
12123=a ，∴ 5113=a ①×②得 2242555)1()1(=--q q q ，即 55124
32=++++q
q q q q ， 即056)1()1(2=-+++
q q q q ，∴71=+q q ，即 2537±=q
∴333)2
537(511--±==n n n q a a 例5在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m+2，S m+1成等差数列，则a m , a m+2, a m+1成等差数列
（１）写出这个命题的逆命题； （２）判断逆命题是否为真，并给出证明
解：（１）逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m , a m+2, a m+1成等差数列，则 S m ，S m+2，S m+1成等差数列
（２）设{a n }的首项为a 1，公比为q
由已知得2a m+2= a m + a m+1 ∴2a 1q m+1=a 11-m q +a 1q m
∵a 1≠0 q ≠0 ,∴2q 2－q －1=0 ,
∴q=1或q=2
1 当q=1时，
∵S m =ma 1， S m+2= (m+2)a 1，S m+1= (m+1)a 1，
∴S m +S m+1≠2 S m+2,
∴S m ，S m+2，S m+1不成等差数列 当q=－21时, 2212112[1()]4122113212
m m m a S a +++--????==--?? ???????+, 12111111[1()][1()]4122111321122
m m m m m a a S S a +++----????+=+=--?? ???????++
∴S m +S m+1=2 S m+2 ,
∴S m ，S m+2，S m+1成等差数列
综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q ≠1时，逆命题为真
点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题
例6 在1与2之间插入n 个正数a 1,a 2,a 3,…,a n 使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n 个正数b 1,b 2,b 3,…,b n 使这n+2个数成等差数列
记A n = a 1a 2a 3…a n , B n = b 1+b 2+b 3+…+b n
①求数列{A n }和{B n }的通项;
②当n ≥7时,比较A n 与B n 的大小,并证明你的结论
解: ①∵1,a 1,a 2,a 3,…,a n , 2成等比数列,
∴ a 1·a n = a 2·a n-1 = … = a k ·a n-k+1 = …=1×2 = 2
∴A 2n = (a 1·a n )( a 2·a n-1)…(a k ·a n-k+1)…(a n-1·a 2)(a n ·a 1) = 2n
∴ 2
2n
n A = ∵1,b 1,b 2,b 3,…,b n ,2成等差数列,
∴ b 1+ b n = 1+2 = 3 ， ∴2
321n n b b B n n =?+= ② ∵2
3,22
n B A n n n == , ∴49,2222n B A n n n == , 要比较A n 与B n 的大小,只需比较A 2n 与B 2n 的大小, 也即比较当n ≥7时,4922
n n
与的大小,
∵当n = 7时, 4
792,44991282
7?>?>即, ∴当n = 7时, 422
n > 经验证: n = 8 , n = 9时,均有命题4922
n n >成立 猜想当n ≥7时有4922
n n
>,用数学归纳法证明： (ⅰ) 当n = 7时, 已验证4922
n n
>, 命题成立 (ⅱ) 假设n = k ( k ≥7) 时,命题成立,即4922,4922
12k k k k
?>>+那么 又当k ≥7时,有k 2 > 2k + 1, ∴4)1(9)12(4922
21+=++?>+k k k k 这就是说,当n = k + 1时, 命题4922
n n
>成立 根据(ⅰ) (ⅱ),可知命题对于都成立
故当n ≥7时,A n > B n 例7 n 2( n ≥4)个正数排成n 行n 列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等已知a 24=1,16
3,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn 解: 设数列{1k a }的公差为d, 数列{ik a }(i=1,2,3,…,n)的公比为q
则1k a = a 11 + (k-1)d , a kk = [a 11 + (k-1)d]q k-1
依题意得:????
?????=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ,解得:a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数,
∴a 11 = d = q = 21 , ∴a kk = k k 2 n n S 2
12132122132?++?+?+= , 14322
12132122121+?++?+?+=n n S , 两式相减得:n n n S 22121--
=- 小结：
1 等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式联系着五个基本量: a 1,d(或q),n,a n ,S n “知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最基本的思想方法 2列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段 3解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用
练习 1数列1,1/3,1/7,1/16,1/31,…的一个通项公式为a n =
答案：1/(2n ─1) ;
2数列a,b,a,b,…的一个通项公式a n =
答案：2
1[(a+b)+(─1)n ─1(a ─b)] ; 3数列{a n }的前n 项之和为S n =3+2n ,则其通项公式为a n =
答案：???>=-)1(2)1(51n n n ; 4数列{a n }满足a 1=1,a n =a n ─1/2+1 (n ≥2),求其通项公式
答案：2─1/2n ─1 5数列{a n }中，已知a 1=c,a n+1=pa n +q, (p ≠1),求a n 的通项公式
答案：（略） 6数列{a n }满足a 1=1/2,a 1+a 2+…+a n =n 2a n ,求a n
答案：a 1+a 2+…+a n =n 2a n ，a 1+a 2+…+a n ─1=2)1(-n a n ─1 ?a n /a n ─1=(n ─
1)/(n+1) 取n=2,3,4,…,n 代入上式，各式相乘得：
a n /a 1=3142532413211????--?--?-?+- n n n n n n n n =)1(21+n n a )1(1+n n （注意上述变形方法，一个式子可以变化成无穷多个式子，这就是函数思想）
7数列{a n }的前n 项之和S n 和第n 项a n 之间满足2lg 2
1+-n n a S =lgS n +lg(1─a n ),求a n 和S n
答案：原式可以变为(S n ─a n +1)2=4S n (1─a n )?a 1=1/2,
可以变为
(S n ─1+1)2=4S n (1+S n ─1─S n )?(S n ─1+1)2─4S n (S n ─1+1)+4S n 2=(S n ─1+1─
2S n )2=0 ?S n ─1+1=2S n ?S n =S n ─1/2+1/2,
如果有常数x ，使得S n +x=(S n ─1+x)/2,比较原式可得：
─x/2=1/2?x=─1,∴ S n ─1=(S n ─1─
1)/2?S n =(S 1─1)? 1)21(-n =─n )21(, 从而a n =S n ─S n ─1=n
)21(,
另解：直接由原式移项配方可得：
[S n ─(1─a n )]2=0?S n =1─a n , S n ─1=1─a n ─1两式相减得： a n =S n ─S n ─1=a n ─1─a n (适合n=1)?a n =a n ─1/2,{a n }为等比数列，a n =n )21(
点评：以上两种解题的思路有所不同，第一种方法是从a n 转向S n ,第二种方法是从S n 转向a n 8数列{a n }与{b n }的通项公式分别为a n =2n ,b n =3n+2,它们的公共项从小到大排成的数列是{c n },写出{c n }的前5项；(2)证明{c n }是等比数列
答案：(1){c n }的前5项为8,32,128,512,2048;
设a m =b p =c n ,则c n =2m =3p+2?a m+1=2m+1=2(3p+2)=3(2p+1)+1,
∴ a m+1不在{c n }中，
而a m+2=2m+2=4(3p+2)=3(4p+2)+2是{b n }中的项，
即c n+1=4c n {c n }是公比为4的等比数列 9如图：一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1),而后它接着按图所示的方向在与x 轴，y 轴平行的方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么1999秒时，这个粒子所处的位置为 答案：选择粒子到达对角点时的总时间为分析对象设粒子到达第n 个正方形的对角点所用的总时间为a n ,则有a n+1=a n +(n+1)+1+n=a n +2(n+1),
∴a 1=2
a 2=a 1+4
a 3=a 2+6
a 4=a 3+8
……
a n =a n ─1+2n
以上各式相加可得：
a n =n(n+1),比较a n 与1999
列式：n(n+1)=1999,
当n=44时，a n =1980,
当n=45时，a n =2070>1999,
因此粒子走到第44个对角点(44,44)后，在向左走19秒(经过奇数对角点后向下，经过偶数对角点后向左)，即(25,44) 本题的解题关键是构造数列，找出数列的递推式 10一楼至2楼共n 级台阶，上楼梯可以一步上一级台阶，也可以一步上两级台阶，问从一楼上到2楼共有多少种不同的走法？
答案：设从一楼到第k 级台阶共有a k 种走法，
则有关系式：a 1=1,a 2=2, a k+2=a k+1+a k ,（这是一个
假设存在两个常数p,q ，使得a k+2+pa k+1=q(a k+1+pa k )
设b k =a k+1+pa k , 便有b k =b 1q k ─1, 即 a k+1+pa k =(a 2+pa 1)q k ─1
用方程思想，假设有这样的p,q ，则有：?
??==-11pq p q 解得：p=215-,q=215+,或p=─215+,q=─2
15- 将上述两组数据分别代入a k+1+pa k =(a 2+pa 1)q k ─1式，可得：
???
????-=-+-=+-+=+-+=-++-++-+111111)251()251)(2152(215)215()215)(2152(215k k k k k k k k a a a a 上述两式子相减得：])2
51()215[(51
11++--+=k k k a
高一数学等差数列知识点及练习题
高一数学等差数列知识点及练习题 专题九 等差数列 一．等差数列基本概念 1．等差数列定义 2.等差数列通项公式 n a =______________或n a =___________. 3.等差数列前n 项和 1)n S =________________2).n S =_________________ 4.等差中项 ：如果 ,,a b c 成等差数列，么b 叫做,a c 的等差中项，则有_________________ 5.等差数列的判定方法 1) 定义法： 2)中项公式法： 3)通项法：已知数列n a 的通项公式为n a pn q =+，则n a 为等差数列，其中首项为1a =________，公差d=________。 4)前n 项和法：已知数列n a 的前n 项和2n S An Bn =+，则n a 为等差数列，其中首项为 1a =________，公差d=________， 6.等差数列性质 1) 1212n n a a a a a -+=+=n L 2)当*,, ,m n p k N ∈，且m n p k +=+，则m n p k a a a a +=+；特别当 2m n p +=时 2m n p a a a += 特别注意“m n p +=时，m n p a a a +=”是不正确的. 3) 数列n a 的前n 项和为n S ，则232...,,m m m m m S S S S S --成大差数列
4）当n 为奇数时，12 n n S na += 二．例题分析 【类型1】求等差数列通项 【例1】.等差数列n a 中，5 1210,31a a ==，求1,,n d a a . 【变式1】四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，求这四个数. 【例2】等差数列n a 中，381312a a a ++=，381324a a a ??=，求通项公式n a . 【变式1】等差数列{}n a 中，51510,25,a a ==则25a 的值是 ． 【变式2】已知等差数列{}中．61018a a += 31a =，则13a = ．
2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
等差数列及其性质典型例题及练习(学生)
等差数列及其性质 典型例题： 热点考向一：等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中， （1） 已知81248,168S S ==，求1,a 和d （2） 已知6510,5a S ==，求8a 和8S 变式训练： 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知 102030,50a a ==. （1）求通项公式{}n a ； （2）若242n S =，求n . 热点考向二：等差数列的判定与证明. 例2：在数列{}n a 中，11a =，1114n n a a +=- ，221 n n b a = -，其中* .n N ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求证：在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈，都有 1n n a a +>. （3 ）设n b n c =，试问数列{n c }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，请说明理由. 跟踪训练：已知数列{n a }中，13 5 a = ，数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈，数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三：等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1）若120a =，并且1015S S =，求当n 取何值时，n S 最大，并求出最大值； （2）若10a <，912S S =，则该数列前多少项的和最小？ 跟踪训练3：设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知 .0,0,1213123<>=S S a （I ）求公差d 的取值范围； （II ）指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大，并说明理由。 热点考向四：等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点列(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝3 a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得 T n
(完整word版)高中数学必修五等差数列测试题
等差数列测试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2.在-1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a =2，b =5 B. a =-2，b =5 C. a =2，b =-5 D. a =-2，b =-5 3.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 4．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( ) A ．3 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．在等差数列}{n a 中，,0,01110>，则在n S 中最大的负数为 ( ) A ．17S B ．18S C ．19S D ．20S 6.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( ) A.a 11 B.a 10 C.a 9 D.a 8 7.设函数f (x )满足f (n +1)= 2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6S 8 ,则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中,a 3或a 4最大 C ．前三项之和S 3必与前11项之和S 11相等 D ．当n ≥8时，a n <0 二、填空题（每小题6分，共30分） 9．集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________. 10．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ，则13S =_____
高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案
等差等比数列综合应用 【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。 解：等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1） 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求： （1）求n n b a , （2）解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m
)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥
(完整版)等比数列经典例题范文
1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
等差数列经典题型
等差数列 第三课时 前N 项和 1、在等差数列{a n }中,已知d ＝2,a n ＝11, S n ＝35,求a 1和n . 2、设{a n }为等差数列, S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7＝7, S 15＝75, T n 为数列? ??? ? ? S n n 的前n 项和,求T n . (1)等差数列{a n }的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ; (2)两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3,求a 5 b 5 的 值. 3、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3,则使 得a n b n 为整数的正整数n 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 4、现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29 5、等差数列{a n }中, S 10＝4S 5,则a 1 d 等于( ) A.12 B.2 C.1 4 D.4
6、已知等差数列{a n}中,a23＋a28＋2a3a8＝9,且a n<0,则S10为() A.－9 B.－11 C.－13 D.－15 7、设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3＝9, S6＝36.则a7＋a8＋a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 8、在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为() A.765 B.665 C.763 D.663 9、一个等差数列的项数为2n,若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90,a2＋a4＋…＋a2n＝72,且a1－a2n＝33,则该数列的公差是() A.3 B.－3 C.－2 D.－1 10、设{a n}是公差为－2的等差数列,如果a1＋a4＋…＋a97＝50,那么a3＋a6＋…＋a99＝______. 11、在项数为2n＋1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为______.
高中数学导学案 等差数列
2．2 等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n na i n ⑵当q 1时，5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列 等比中项：a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列 通项公式：a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * ， q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0，首项：a 1;公比：q 推广：a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项： （1）如果a, A, b 成等比数 那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（ （2）数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义：对任意的 都有a n 1 qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0） {a n }为 a n
6、等比数列的证明方法: 依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 1 7、等比数列的性质： (2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。特别的，当m n 2k 时，得 2 a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式
等比数列的概念与性质练习题
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++ +＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．
数列教案、考点、经典例题_练习
澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
高中数学等差数列教案3篇
高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊
到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重
引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课
人教课标版高中数学必修5典型例题剖析：等差数列的通项与求和
等差数列的通项与求和 一、知识导学 1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列. 2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列 6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示． 8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2 b a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析 1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数. 2.一个数列的通项公式通常不是唯一的. 3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：???≥-==-).2(),1(1 1n S S n S a n n n 若 a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .
高一数学试题-高一数学等差数列练习题 最新
等 差 数 列 一、选择题 1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d = ，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前 3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为 n S ，则（ ） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3 n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2 +n n ，则前n 个奇数项的和为（ ） A ．)1(32 +-n n B ．)34(2-n n C ．2 3n - D ． 3 2 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为 140°，这个凸多边形的边比为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12
新课标高考数学题型全归纳：等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题
等比数列与等差数列概念及性质对比 1．数列的定义 顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列． 数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的． 数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义 顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列． 这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质． 3．等差数列的通项公式 等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具． 从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系． 4．等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是： 2b a A + =，或2 A=a＋b． 显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或 2b a A + =）是判断三数a，A，b成等差数列 的一个依据，并且，2 A=a＋b（或 2b a A + =）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或 2b a A + =）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列． 5．等差数列前n项的和
等比数列知识点总结与典型例题-(精华版)
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab = 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
小学奥数等差数列经典练习题
小学奥数等差数列经 典练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
小学奥数等差数列经典练习题 一、判断下面的数列中哪些是等差数列在等差数列的括号后面打√。0,2,6,12,20,30,36…… 6,12,18,24,30,36,42……700,693,686,679,673…… 90,79,68,57,46,35,24,13…… 1，3，5，7，10，13，16……5，8，11，14，17，20…… 1，5，9，13，17，21，23…90，80，70，60，50，……20，10 二、求等差数列3，8，13，18，……的第30项是多少 三、求等差数列8，14，20，26，……302的末项是第几项 四、一个剧院的剧场有２０排座位，第一排有３８个座位，往后每排比前一排多２个座位，这个剧院一共有多少个座位五、计算 11+12+13……+998+999+10002+6+3+12+4+18+5+24+6+30 3、求等差数列6，9，12，15，……中第99项是几 4、求等差数列46，52，58……172共有多少项 5、求等差数列245，238，231，224，……中，105是第几项 6、求等差数列0，4，8，12，……中，第31项是几在这个数列中，2000是第几项 7、从35开始往后面数18个奇数，最后一个奇数是多少、已知一个等差数列的第二项是8，第3项是13，这1个等差数列的第10项是多少 1、计算：100+200+300+……21001+79+……+17+15+13 2、有20个同学参加聚会，见面的时候如果每人都和其他同学握手一次，那么参加聚会的同学一共要握手多少次 3、请用被4
等差等比数列练习题(含答案)
一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （ ） （A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 （C ）存在且唯一 （D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ ） （A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为 （ ） （A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ） 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ） （A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 （ ） （A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ） （A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ） z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列 （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为 （ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为 （ ） （A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为 （ ） （A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列 的前n 项和为 （ ）
高中数学典型例题大全数列等比数列的前n项和
【例1】 设等比数列的首项为a(a ＞0)，公比为q(q ＞0)，前n 项和为80，其中最大的一项为54，又它的前2n 项和为6560，求a 和q ． 解 由S n =80，S 2n =6560，故q ≠1 a q q a q q n n () ()11112----????????=80=6560 q =81n ① ②③ ∵a ＞0，q ＞1，等比数列为递增数列，故前n 项中最大项为a n ． ∴a n =aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q －1 ⑤ ③ ④ 化简得⑥3a =2q 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 【例2】求证：对于等比数列，有＋＋．S S =S (S S )n 22n 2 n 2n 3n 证 ∵S n =a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n-1 S 2n =S n ＋(a 1q n ＋a 1q n+1＋…＋a 1q 2n-1) =S n ＋q n (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n-1) =S n ＋q n S n =S n (1＋q n ) 类似地，可得S 3n =S n (1＋q n ＋q 2n ) ∴＋＋＋＋S +S =S [S (1q )] =S (22q q )n 22n 2n 2n n 2n 2n 2n S (S S )=S [S (1q )S (1q q )] =S (22q q ) S S =S (S S ) n 2n 3n n n n n n 2n n 2n 2n n 22n 2 n 2n 3n ＋＋＋＋＋＋＋∴＋＋ 说明 本题直接运用前n 项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地
处理了S 2n 、S 3n 与S n 的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 【例3】 一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 分析 设等比数列为{a n }，公比为q ，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q 2，首项分别为a 1，a 1q ． 解 设项数为2n(n ∈N*)，因为a 1=1，由已知可得q ≠1． ∴① ② a q q a q q q n n 122 1221111() ()----???????=85=170 ① ②得：把代入① 得 ∴q =2q =2=85 4=256 n =4 n 14 14 --n 即公比为2，项数为8． 说明 运用等比数列前n 项和公式进行运算、推理时，对公比q 要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的． 【例4】 选择题：在等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有S n =2n －，则＋＋…＋等于1a a a 1222n 2 [ ] A (21) B (21) C 21 D (41) n 2n 2 n n ．－．－．－．－1 3 13 解 D ． ∵a 1=S 1=1，a n =S n －S n-1=2n-1 ∴a n =2n-1
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