华理高数答案第8章
.
第8章（之1） 第37次作业
教学内容：§8.2.1无穷级数的基本概念 §8.2.2收敛级数的基本性质
1． 选择题： *（1）若级数
∑∞
=1
n n u 的部分和)12)(1(12
1
++=
n n n S n ，其一般项u n 是 （ ） （A ）n n ()+12； （B ）n n ()-12； （C ）()()
n n -+112
； （D ）n 22．
答：( D )
*（2）设级数
a
n
n =∞
∑1
收敛，其和为S ，则级数
()a
a a n
n n n +-++=∞
∑121
收敛于 （ ）
（A ）S a +1； （B ）S a +2； （C ）S a a +-12； （D ）S a a +-21．
答：（ B ）
*（3）若级数
u
n
n =∞
∑1
收敛，其和S ≠0，则下述结论成立的是 （ ）
（A ）()u S n n -=∞
∑1收敛；（B ）1
1u n n =∞
∑收敛；（C ）u n n +=∞∑11收敛；（D ）u n n =∞
∑1
收敛．
答：（ C ）
**（4）指出下列命题中之正确者为 （ ）
（A ）若lim n n u →∞=0，则
u
n
n =∞
∑1
收敛； （B ）若lim()n n n u u →∞+-=10，则
u
n
n =∞
∑1
收敛；
（C ）若
u
n
n =∞
∑1
收敛，则lim n n u →∞
=0； （D ）若
u
n
n =∞
∑1
发散，则lim n n u →∞
≠0．
答：（ C ）
*2．若lim ,n n n u u →∞
=+∞>0，则级数1111u u n n n -?? ?
?
??+=∞
∑之和为______ ．
答：11
u
**3．设{}a n 单调减少，且收敛于0，问级数
a
n
n =∞
∑1
是否收敛？
答：a n n =∞
∑1不一定收敛。例如11
2n n ,都单调减少而收敛于0，但11n
n =∞
∑发散，
而级数
1
21
n n =∞
∑收敛．
4．利用定义判断下列级数的敛散性，若收敛则求其和： *（1）
1121231
34
++++++???；
解：级数的部分和
S n n n n n n =
+++++++=-+-+++-=+-1121231
1
2132111 ()()()()
所以lim n n S →∞
=∞，故级数为发散．
*（2）
n
n n ()!+=∞
∑11
． 解：级数的一般项
u n n n n n =
+=-+()!!()!
111
1
级数部分和
S n n n n =-+-++-+=-
+(
!!)(!!)(!()!
)(`)!
1112121311111
1
所以lim n n S →∞
=1，此即级数收敛，且其和为1．
5．判断下列级数的敛散性： **（1）
sin
n n π6
1
=∞
∑； 解：u n n =sin
π6
， 因016
)312(sin
lim lim 312≠=+=∞
→+∞
→π
k u k k k
故lim n n u →∞
≠0，所以
sin
n n π
6
1
=∞
∑发散．
**（2）n e n n 111-??
?
??=∞
∑；
解：记u n e n n
=-?? ???11，由于lim lim
n n n n
u e n
→∞→∞=-=1
1
11，故u n n =∞
∑1
发散．
**（3）∑
∞
=+1
),()6(k b a k b a
为异于零的实数其中．
解：发散．
**6．求级数213441121
+---?? ?
??+=∞
∑()n n
n n 之和． 解：已知
2323
113
1113
13
113
14
11
1
n
n n n n =∞
+=∞
∑∑=-=-=+=
,()
又 4
412212
212
n n n -=--+，可得441
21n n -=∞
∑的部分和 S n n n n =-?? ???+-?? ???+???+--+?? ???=-
+22323252212212221
从而
4
41
222122
1
n
n n n -=-+?
? ???==∞
→∞∑lim ， 因此原级数收敛，且
∑∑
∑
∑
∞
=∞
=+∞
=∞
=+---+=???? ?
?---+1
2
1
1
1
1
211
44
3
1)
1(3
2
1443)1(2n n n n n n n n n n
n =+-=-114234
．
第8章（之2） 第38次作业
教学内容：§8.2.3正项级数的性质及其敛散性的判敛法
1． 选择题：
*（1）下列级数中，发散的是 （ ）
（A ）121n n =∞
∑； （B ）n n n sin 11=∞∑； （C ）e nx
n -=∞∑1()x >0； （D ）13
2
1n n =∞
∑．
答：（ B ）
*（2）下列级数中，收敛的是 （ ）
（A ）
???++-+
???+?+
?)
12)(12(15
313
11n n ；
（B ）11121141121+
++++???++-+???()
n ； （C ）
12141612+++???++???n
； （D ）121312131
21322+??
???++?? ???+???++?? ??
?+???n n ． 答：（ D ）
*（3）下列级数中，发散的是 （ ）
（A ）1232323
22+++???++???n
n ；
（B ）112131222+
++???++???n ； （C ）112131
+
++???++???!!!n ； （D ）1100112001130011
10001
+++???+++???n ．
答：（ D ）
2. 判断下列级数的敛散性：
*（1）∑∞
=+19
810n n
n n
； 解：由于 n n n n n n )910(2192109810=?>+， 而 ∑∞
=1
)910(21n n
发散， 所以 ∑∞
=+19
810n n
n n
发散． *（2）
∑
∞
=1
!n n n
n ； 解：由于 n
n n n
n n n !)1()!1(lim 1+∞→++n
n
n n n )1(l i m
+=∞→e n n n 1)11(1lim =+=∞→， 故由比值判断法知 ∑∞
=1!
n n
n n
收敛． *（3）
n
n n n )23(
1
∑∞
=+． 解：n
n n n n )23(
lim
+∞
→13
1
23lim <=+=∞→n n n ，
由根值判断法知级数n
n n n )2
3(
1
∑
∞
=+收敛．
**（4）),0(!
1e a a n
n a n n n ≠>∑∞
=；
解：由比值判别法
()()e a n a n an n n a n n a u u n n n n n n n n n n n
n n =?
?
? ??+=+=++=∞→∞→++∞→+∞→11lim )1(lim 1!
1lim lim 1
11
可见当0<时，级数发散．
*（5）cos ()21
1n
n n n +=∞
∑；
解：记()
u n
n n n =+cos 21，则 ()u n n n n ≤
+<1112, 而1
21n n =∞
∑收敛，因此u n n =∞
∑1
收敛．
*（6）n
n n n ∑∞
=???
?
??+1221arctan ；
解一：u n n n n
n =+?? ???
1?? ?
??=∞
∑n
n 收敛 ,
故原级数收敛．
解二： u n
n n n
=+?
? ?
??>arctan
2
210, 由于 lim limarctan n n n n u n n →∞→∞=+=2214π
，故而级数u n n =∞∑1
收敛． **（7）
n n
n n n +-=∞
∑2
2
； 解：记u n n n n n =
+->20，则 n n n n n n
n +->=22
1
， 而1
1n
n =∞
∑发散，故所论级数发散．
**（8）∑∞
=++++1
10099321n n
n
n n ； 解：由于n n n n n ??? ??<++++100999910099321 ，而∑∞
=???
?
?110099n n
收敛，
所以原级数∑∞
=++++1
10099321n n
n
n n 也收敛． **（9）
()∑∞
=++++1
!1!!21n n n ； 解：
()()1
1!1!!1!!21+=+++++n n n n n 〉 ，
而∑∞
=+111n n 发散， 故级数()∑∞
=++++1
!1!!21n n n 也发散．
**（10）n e n n 2
11
31sin -?? ?
??=∞
∑； 解：lim
sin x x e x
→-=01
1
所以
lim lim sin sin n n n n n e n e n →∞→∞-?? ???=-?? ?
??
=2
113
331111
1
又11n n =∞
∑发散, 故n e
n
n 211
31sin -?? ???=∞∑发散．
***3．利用级数理论，证明n →∞时，
1n n
是比1
n !高阶的无穷小．
证明：先判断级数
∑∞
=1
!
n n
n
n 的敛散性，由于
()()lim
!!n n n
n n n n e →∞
+-++=<1111
1,
所以，级数
n n
n
n !
=∞
∑1收敛，于是有 lim
!
n n n n →∞=0,
上式又可变为 lim !n n n n →∞=11
0, 故当n →∞时，1n
n 是比1
n !高阶的无穷小．
***4．将方程x x tan =的正根按递增次序排列，得数列{}n x ，试证明级数
∑∞
=1
21
n n
x
收敛，
而级数
∑∞
=11
n n
x 却发散． 证明：设()x x x F -=tan ，
()0tan 2'>=x x F ，
则 ()x F 在??
?
?
?+
-2,2
πππ
πk k 上严格单调， 又因
()-∞=+?
?? ?
?
π-π→x F k x 2lim
，
()+∞=-
?
?? ?
?
π+π→x F k x 2lim
，
则()x F 在??
?
?
?+
-
2,2
πππ
πk k 内有且仅有一个实根． 又因 0=x 为??? ??-
2,2ππ上的一个根， 所以最小正根在???
??23,2ππ上， 从而必有 () ,2,12,2
=??
?
?
?+
-
∈n n n x n πππ
π，
所以
2
22
2
21121
1?
??
?
?
-=
?
?? ?
?
-≤
n n x n
πππ，而
∑
∞
=?
?
? ??
-1
2
2211
n n π收敛，故
∑∞
=1
21
n n
x
收敛。
又 ()11
2
1
1
+≥
+
≥
n n x n
πππ，而 ()∑∞
=+1
11n n π 发散，故 ∑∞=11n n x 发散． ***5．若数列{}n a 为单增有界的正项数列，试证明级数
∑∞
=++???
? ??-111n n n n n a a a a 收敛． 证明：首先我们知道级数
∑∞
=+????
??-1111n n n
a a 收敛， 事实上，级数
∑∞
=+???? ??-1111n n n a a 的部分和为????
??-+11
11n a a ， 所以以上结论显然成立。
设{}n a 的界为M ，即任何n 有M a n <，
由于
()()????
??-=-≤-+=-++++++++111111111122n n n n n n n n n n n n n n n n a a M a a a a M a a a a a a a a a a 故有
∑∞
=++???
?
??-111n n n n n a a a a 收敛．
第8章（之3） 第39次作业
教学内容： §8.2.4任意项级数的绝对收敛和条件收敛 §8.2.5交错级数 §8.3.1函数项级数的一般概念
1． 选择题： *（1） 若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则 （ ）
（A ）
()∑∞
=++1
1n n n
u u
收敛；（B ）∑∞
=1
2n n u 收敛；（C ）∑∞
=+1
1n n n u u 收敛；（D ）()∑∞
=-1
1n n n
u 收敛．
答：（ A ）
*（2）当级数
∑∞
=1
n n
u
收敛时，级数
()∑∞
=-1
1n n
n
u
（ ）
（A ）必绝对收敛； （B ）必发散；
（C ）部分和序列有界； （D ）可能收敛也可能发散．
答：（ D ）
*（3）若级数
∑∞
=1n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
都发散，则下列级数中必发散的是 （ ）
（A ）
()∑∞
=+1
n n n
v u
； （B ）()∑∞
=-1n n n v u ；
（C ）
∑∞
=1
n n
n v
u ； （D ）
()∑∞
=+1
n n n
v u
．
答：（D ）
*（4）设α为常数，则级数
sin n n n n α
2
1
1-?? ???=∞
∑ （ ） （A ）绝对收敛； （B ）条件收敛；
（C ）发散； （D ）敛散性与α取值有关．
答：（ C ）
2. 判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散？ **（1）
()∑∞
=--1
1
23
1n n n
n
；
解：记 n
u n n 1231
-=
则 191
lim
1<=+∞→n
n n u u
故原级数绝对收敛． **（2）
()∑∞
=-+-1
21
1
1n n n n
； 解：记 1
2+=n n
u n ，因为 ()()()022112221<+++-+-=-+n n n n n u u n n ，且 0lim =∞→n n u ，
所以原级数收敛．
由于 11
1lim 2=+∞→n
n n
n ， 故
∑∞
=+1
1
n n
n
n
发散，因此原级数条件收敛． **（3）
∑
∞
=-++-1
1102
1
)1(n n n n ；
解：设 1
)102(2100)(',
102
1
)(2++-=
++=
x x x x f x x x f ，
100>x 时，↓<)(,0)('x f x f ，
而当100>n 时，}102
1
{
++n n 为单调递减数列，且01021lim
=++∞→n n n ， 故级数
102
1
)1(1
1
++-∑∞
=-n n n n 收敛．
另一方面 111021
)1(lim 1=++--∞→n
n n n n ，而∑∞=1
1
n n 发散。
综合以上讨论知，级数
102
1
)1(1
1
++-∑∞
=-n n n n 条件收敛．
**（4）()∑∞
=-1
8ln 1n n
n n
；
解：记()x x x f 8ln =， 则 ()()2
7'
ln ln 8x
x x x f -=，
当8
83e x >>时，()0'
，即()x f 单调递减． 故当8 3>n 时，数列? ?? ???n n 8ln 单调递减。 且0ln lim 8=∞→n n n ， 所以级数()∑∞ =-1 8ln 1n n n n 收敛。 显见此级数不绝对收敛，故级数()∑∞ =-1 8ln 1n n n n 条件收敛。 3．***（1）若 ∑∞=1 n n a 是收敛的正项级数，试证 ∑∞ =1 2 n n a 一定收敛。 证明：因为 ∑∞ =1 n n a 为收敛的正项级数， 则 0lim =∞ →n n a ， 所以00>?n ，当 0n n > 时，有 1|| 则 ()02 n n a a n n ><， 从而由比较判别法知 ∑∞ =1 2n n a 收敛。 ***（2）若级数 ∑∞ =1 2n n a 收敛， ∑∞ =1 n n a 一定收敛吗？ 解：不一定。反例∑∞ =121n n 收敛，但∑∞ =11 n n 发散。 ***（3）若级数 ∑∞ =1 n n a 收敛， ∑∞ =1 2n n a 一定收敛吗？ 解：不一定。反例 () ∑∞ =-1 11n n n 收敛(莱布尼兹型级数)，但 ∑∞ =1 1 n n 发散。 ***（4）设 ∑∑n n b a ,都是收敛的正项级数，试证明级数 ,∑ n n b a 必收敛。 证明：由于2 n n n n b a b a +≤ ， 且 ∑∑n n b a ,都是收敛的正项级数， 从而 ∑ ?? ? ??+2n n b a 收敛， 故级数 ∑ n n b a 必收敛。 ***4． 设级数 ()n n n n a 211 ∑∞ =-收敛，证明∑∞ =1 n n a 绝对收敛。 证明：由假设，有 02lim =∞→n n x a ,于是 02lim 21lim ==∞ →∞→n n x n n x a a , 而 ∑∞ =12 1 n n 收敛，因此 ∑∞ =1 n n a 绝对收敛。 ***5．求函数项级数 ++++++x x x x x n 4321的收敛域. 解: 级数可写成 ∑ ∑∞ =-∞ ==1 1 1 n x n x n n ,这是一个x p -=的p 级数, 其收敛的充要条件是1>p ,即1- 第8章（之4） 第40次作业 教学内容：§8.3.2幂级数及其收敛域 §8.3.3幂级数的性质 §8.3.4幂级数的求和 1．填空题： *（1）如果2lim 1 =+∞→n n n a a ，则幂级数()n n n x a 10-∑∞ =在开区间 内收敛。 答：()3,1- *（2）设幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径是4，则幂级数∑∞ =+0 12n n n x a 的收敛半径是 。 答：2 **（3）设幂级数 ∑∞ =0 n n n x c 在收敛区间()R R ,-上的和函数为()x s ，则幂级数 ()∑ ∞ =++-0 11 1n n n n n x c 的收敛区间是__________，它在收敛区间上的和函数是 ___________。 解：由条件 ()()R R x x s x c n n n ,0 -∈=∑∞ =， 以x -代x ，得 () ()x s x c n n n n -=-∑∞ =0 1， 两边从0到x 积分，得 ()()?∑-=+-∞ =+x n n n n dt t s n x c 00111 即 ()()()R R x dt t s n x c x n n n n ,1 10 1 -∈-=+-?∑ ∞ =+。 **2．设已知1-=x 属于幂级数 () +-+-+2 2101)1(x a x a a 的收敛区域，问2=x 以及3=x 是否一定属于收敛域?试解释之。 解：由于1-=x 属于幂级数的收敛域， 由此知道收敛半径不小于211=--， 而收敛域至少包含有区间()3,1-，而()()3,13,3,12-?-∈， 故可判定2=x 属于收敛域，而3=x 却不一定。 3．求下列幂级数的收敛域： **（1） ∑ ∞ =---1 1 41 414n n n x n ； 解：()()()() ()( ) 44141 1414 1144141434lim 1 41414114lim x n x n x n x n n n n n n n n n =-?--+=----+∞→--++∞→ 由1414 =-?--±1 2 1 421414n n n n ，由 0lim ≠∞ →n n u ，得其发散， 故原幂级数的收敛域为( ) 2,2- ． **（2）试求幂级数()n n n n x n ∑∞ =?? ????-+113的收敛域。 解：由于()()013lim lim =-+=∞→∞ →x n x u n n n n n , 所以R=∞，收敛域是()∞∞-,． **（3） ()()∑ ∞ =+++-0 121211n n n n x ． 解：()()221113 21 2lim lim +=+++=∞→+∞ →x x n n a a n n n n ， 当 1)1(2<+x 即 02<<-x 时，级数收敛；当1)1(2 >+x 即 2- 级数发散， ∴收敛半径为1，即在()0,2-收敛。 当2-=x 时，原级数为 ()()()∑ ∑ ∞ =+∞ =++-=+--0 10 1 21 211 211n n n n n n n 收敛， 当0=x 时，原级数为 ()∑∞ =+-0 121n n n 收敛， ∴所以该幂级数的收敛域为[]0,2-． ***4．求函数项级数 ()()∑ ∞ =--1 11n n x n e n 的收敛域． 解：()()()() () 111 lim 1111 1lim 1 1-=-+=---+-∞→++∞ →x x n n x n n x n n e e n n e n e n ， 则由11<-x e ，得 2ln <<∞-x 。 当2ln =x 时，原级数为()∑ ∞ =-1 1n n n 收敛。 故收敛域为]2ln ,(-∞． ****5．设数项级数 ∑∞ =0 n n a 条件收敛，试证明幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径1=r 。 证明：以1=x 代入， ∑∑∞ =∞ ==0 n n n n n a x a 收敛，知收敛半径1≥r 。 若级数收敛半径1>r ，则由阿贝尔定理知必有 ∑∞ =0 n n n x a 在点 1=x 处绝对收敛，即∑∞ =0 n n a 必绝对收敛。 得到矛盾。 ∴1=r ． **6．设()∑∞ ==12n n n x x f ，试求()()dx x f x x g x '?=2 0的幂级数，并指出收敛域。 解：幂级数()∑∞ ==12n n n x x f 的收敛域是[]1,1- 当()1,1-∈x 时，有 ()∑∞ =-='1 1 n n n x x f ， ()?∑??? ? ??=∞=+x n n dx n x x g 011 ()∑∞ =++=12 2n n n n x ． 又因为当1=x 时，()∑∞ =++1 2 2n n n n x 收敛， 所以 ()()∑∞ =++=1 2 2n n n n x x g ，[]1,1-∈x ． **7．设()()()x w x v x u ,,分别是下列三个幂级数在实轴上的和函数，即 ()()() ++++=++++=++++ =10 7411 8529 63! 101!71!41! 111!81!51!21!91!61!311x x x x x w x x x x x v x x x x u 试证明在整个实轴上有133 3 3 +=++uvw w v u 。 证明：显然()()()x w x v x u ,,的定义域为()+∞∞-,， 且()()x v x u ='， ()()x w x v ='， ()()x u x w ='。 记 ()u v w w v u x f 33 3 3 -++=，则 ()0 333333' 3'3'3'3'3'3'222222222=---++=---++=v u uw w v u w w v v u uvw w uv vw u w w v v u u x f )(x f ∴ 在),(+∞-∞上为一常数． 由()()()000,10===w v u 可知 ()()10==≡f c x f ， ∴ 13333+=++u v w w v u ． 8．求下列幂级数在收敛域内的和函数，并求对应数项级数的和： **（1） ∑∞ =-1 1 n n nx ， ∑ ∞ =-1 n n ne ； 解：考虑由 ()111 <-= ∑∞ =x x x x n n ， 两边求导，得 () 2 1 111 x nx n n -= ∑∞ =-， 令1 -=e x ，得 () 2 11 111 -∞ =+--= ∑e ne n n ， ∴ ( )() 2 2 11111-= -= -∞ =-∑e e e e ne n n ． **（2） ()∑∞ =--2 21n n x n n ， ()∑ ∞ =-2 2 1n n n n ． 解：由上题 ()2 1 1 11 x nx n n -= ∑∞ =-，两边求导， ()()3 2 2 12 1x x n n n n -=-∑∞ =-， 令2 1 =x ，代入上式得 ()162112 2 =??? ??-∑∞ =-n n n n ， ∴()4212 =-∑∞ =n n n n ． 第8章（之6） 第41次作业 教学内容：§8.4.1泰勒级数 §8.4.2几个初等函数的麦克劳林展开式 ***1. 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导，那么幂级数()()()∑∞ =?? ? ? ??-000!n n n x x n x f 的和函数为 ( ) (A) 必是()x f ， (B)不一定是()x f ， (C)不是()x f ， (D)可能处处不存在。 答：（B ） **2、 试求()()1,0sin ≠>=a a a x f x 的麦克劳林级数至含3x 的项。 解：由于 ()a x a x f x ln cos sin ??=' ()x x a x a x a a x f s i n 2s i n 2 s i n ln cos ln ??-??='' ()x x x x a x a a x a a x a a x a x f sin 2sin sin 2sin 332sin ln 2 1 cos ln 2sin ln cos ln ??-??-??-??='''所以 ()()()a f a f f 2ln 0,ln 0, 10=''='=， ()() 1ln ln 02-='''a a f ． 故麦克劳林级数为： () +-++?+3 2226 1ln ln 2ln ln 1x a a x a x a ． ****3． 设()∑∞ == n n n x a x f 的收敛半径为1，试将()()x x f x F -= 1展开为x 的幂级数． 解：因为 ()1,1,111 32-∈++++++=-x x x x x x n , ())1,1(,332210-∈++++++=x x a x a x a x a a x f n n ． 所以 当()1,1-∈x 时，有 ()(=x F ++++++n x x x x 321）（ ++++++n n x a x a x a x a a 332210） ++++++++++=3 32102210100)()()(x a a a a x a a a x a a a ++++++n n x a a a a )(210 ∑∑∞ ==?? ? ??=00n n n k k x a ． 第8章（之6） 第42次作业 教学内容：§8.4.3函数展开为幂级数举例 间接展开法 §8.4.4函数幂级数展开式的应用 ***1. 若 ()∑∞ == 0n n n x c x f ，试证:()x f 为偶函数时必有() ,2,1,0012==+k c k . 解：()∑∞ == n n n x c x f ， ()()∑∞ =-=-0n n n x c x f ， ∴()()∑∞ =++= --=0 121 220k k k x c x f x f ， ∴012=+k c （函数０的任意阶导数都为零）． 2．展开下列函数）（x f 在指定基点0x 处的幂级数： **（1） ( )0,10 3 =+=x e y x ； 解：因为 13323+++=x x x e e e y , 而 ),(,! 0+∞-∞∈=∑∞ =t n t e n n t ． 所以 1!3!23!300 0++?+=∑∑∑∞=∞ =∞=n n n n n n n n n x n x n x y ()+∞∞-∈+?++=∑∞ =,,!323381 x x n n n n n ． **（2）()() 0, 1ln 03 2=-+-=x x x x x f ； 解：()()()()[] x x x x x x f -+=-+-=11ln 1ln 232 () ()x x -++=1ln 1ln 2 ()()∑ ∑ ∞ =∞ =+-+-= 1 1 2111n n n n n n x x n 11(2 ≤<-x 且 )11≤-<-x 65432613151412131211x x x x x x ?? ? ??-+-??? ??+--??? ? ?- +-= -?? ? ??---8 7814171x x , ()11<≤-x ． **（3）()2,03 42==--x e x f x x 。 解：()()2 21--=x e x f ， 由于 ∑∞ ==0 !n n t n t e ，()+∞∞-∈,t ∴()()()∑ ∞ =----= 222!12 n n n x x n e ， ∴()()()()()∑ ∞ =--+∞∞-∈--==0221,2! 12 n n n x x x n e e x f ． **（4）()e a x x f ==, ln ； 解：()()[]?? ? ?? ? -+ +=-+=e e x e x e x f 1ln 1ln ()()()∑ ∞ =-≤<--+ =1 12011n n n n e x e x ne ． **（5）()4 ,)4 sin(0π π = + =x x x f ； 解：())(,4)!2()1(4cos 42sin 20+∞<<-∞??? ??π--=??? ?? π-=????????? ? ?π-+π=∑∞=x x n x x x f n n n ． **（6）()4,2 31 2 -=++=a x x x f ； 解：()()()2 411 2134113121112112312+-?++-?-=+-+=++=++= x x x x x x x x x f ()()2643121011-<<-+????? ?-=∑ ∞ =++x x n n n n ． **（7）()() 21ln x x x f ++=，00=x ． 解：])1[ln(2'++x x 2 11x += 2 1 2) 1(- +=x ∑ ∞ =+----+=1 2)(!)121()23)(21(1n n x n n ∑ ∞ =--+ =1 2!!)2(!!)12()1(1n n n x n n )11(<<-x ， )1ln(2 x x ++? ∑ ∞ =--+ = x n n n x x n n 0 1 2d ]! )!2(!)!12()1(1[ ()()()∑∞ =++--+=` 11 2)12(!!2!!121n n n x n n n x )11(<<-x ， 当1±=x 时, 级数成为 ()()()∑∞ =+±+--+±`112)1() 12(!!2! !1211n n n n n n 是莱布尼兹型收敛级数， ∴( ) ()()()∑∞ =++--+=++` 11 22 )12(!!2!!1211ln n n n x n n n x x x ()11≤≤-x ． **（8）0arctan ()x x f x dx x = ?， 00=x ． 解：因为 ()?????=≠='01 a r c t a n x x x x x f , 而 ()∑?∞ =++-=+=0 120212111arctan n n n x n x dx x x , ]1,1[-∈x ． 所以当0≠x 时， ()]1,0()0,1[,121a r c t a n 0 2?-∈+-=∑∞=x n x x x n n n ． 而 () )0(112100 2f n x x n n n '==+-=∞ =∑．