.
第8章(之1) 第37次作业
教学内容:§8.2.1无穷级数的基本概念 §8.2.2收敛级数的基本性质
1. 选择题: *(1)若级数
∑∞
=1
n n u 的部分和)12)(1(12
1
++=
n n n S n ,其一般项u n 是 ( ) (A )n n ()+12; (B )n n ()-12; (C )()()
n n -+112
; (D )n 22.
答:( D )
*(2)设级数
a
n
n =∞
∑1
收敛,其和为S ,则级数
()a
a a n
n n n +-++=∞
∑121
收敛于 ( )
(A )S a +1; (B )S a +2; (C )S a a +-12; (D )S a a +-21.
答:( B )
*(3)若级数
u
n
n =∞
∑1
收敛,其和S ≠0,则下述结论成立的是 ( )
(A )()u S n n -=∞
∑1收敛;(B )1
1u n n =∞
∑收敛;(C )u n n +=∞∑11收敛;(D )u n n =∞
∑1
收敛.
答:( C )
**(4)指出下列命题中之正确者为 ( )
(A )若lim n n u →∞=0,则
u
n
n =∞
∑1
收敛; (B )若lim()n n n u u →∞+-=10,则
u
n
n =∞
∑1
收敛;
(C )若
u
n
n =∞
∑1
收敛,则lim n n u →∞
=0; (D )若
u
n
n =∞
∑1
发散,则lim n n u →∞
≠0.
答:( C )
*2.若lim ,n n n u u →∞
=+∞>0,则级数1111u u n n n -?? ?
?
??+=∞
∑之和为______ .
答:11
u
**3.设{}a n 单调减少,且收敛于0,问级数
a
n
n =∞
∑1
是否收敛?
答:a n n =∞
∑1不一定收敛。例如11
2n n ,都单调减少而收敛于0,但11n
n =∞
∑发散,
而级数
1
21
n n =∞
∑收敛.
4.利用定义判断下列级数的敛散性,若收敛则求其和: *(1)
1121231
34
++++++???;
解:级数的部分和
S n n n n n n =
+++++++=-+-+++-=+-1121231
1
2132111 ()()()()
所以lim n n S →∞
=∞,故级数为发散.
*(2)
n
n n ()!+=∞
∑11
. 解:级数的一般项
u n n n n n =
+=-+()!!()!
111
1
级数部分和
S n n n n =-+-++-+=-
+(
!!)(!!)(!()!
)(`)!
1112121311111
1
所以lim n n S →∞
=1,此即级数收敛,且其和为1.
5.判断下列级数的敛散性: **(1)
sin
n n π6
1
=∞
∑; 解:u n n =sin
π6
, 因016
)312(sin
lim lim 312≠=+=∞
→+∞
→π
k u k k k
故lim n n u →∞
≠0,所以
sin
n n π
6
1
=∞
∑发散.
**(2)n e n n 111-??
?
??=∞
∑;
解:记u n e n n
=-?? ???11,由于lim lim
n n n n
u e n
→∞→∞=-=1
1
11,故u n n =∞
∑1
发散.
**(3)∑
∞
=+1
),()6(k b a k b a
为异于零的实数其中.
解:发散.
**6.求级数213441121
+---?? ?
??+=∞
∑()n n
n n 之和. 解:已知
2323
113
1113
13
113
14
11
1
n
n n n n =∞
+=∞
∑∑=-=-=+=
,()
又 4
412212
212
n n n -=--+,可得441
21n n -=∞
∑的部分和 S n n n n =-?? ???+-?? ???+???+--+?? ???=-
+22323252212212221
从而
4
41
222122
1
n
n n n -=-+?
? ???==∞
→∞∑lim , 因此原级数收敛,且
∑∑
∑
∑
∞
=∞
=+∞
=∞
=+---+=???? ?
?---+1
2
1
1
1
1
211
44
3
1)
1(3
2
1443)1(2n n n n n n n n n n
n =+-=-114234
.
第8章(之2) 第38次作业
教学内容:§8.2.3正项级数的性质及其敛散性的判敛法
1. 选择题:
*(1)下列级数中,发散的是 ( )
(A )121n n =∞
∑; (B )n n n sin 11=∞∑; (C )e nx
n -=∞∑1()x >0; (D )13
2
1n n =∞
∑.
答:( B )
*(2)下列级数中,收敛的是 ( )
(A )
???++-+
???+?+
?)
12)(12(15
313
11n n ;
(B )11121141121+
++++???++-+???()
n ; (C )
12141612+++???++???n
; (D )121312131
21322+??
???++?? ???+???++?? ??
?+???n n . 答:( D )
*(3)下列级数中,发散的是 ( )
(A )1232323
22+++???++???n
n ;
(B )112131222+
++???++???n ; (C )112131
+
++???++???!!!n ; (D )1100112001130011
10001
+++???+++???n .
答:( D )
2. 判断下列级数的敛散性:
*(1)∑∞
=+19
810n n
n n
; 解:由于 n n n n n n )910(2192109810=?>+, 而 ∑∞
=1
)910(21n n
发散, 所以 ∑∞
=+19
810n n
n n
发散. *(2)
∑
∞
=1
!n n n
n ; 解:由于 n
n n n
n n n !)1()!1(lim 1+∞→++n
n
n n n )1(l i m
+=∞→e n n n 1)11(1lim =+=∞→, 故由比值判断法知 ∑∞
=1!
n n
n n
收敛. *(3)
n
n n n )23(
1
∑∞
=+. 解:n
n n n n )23(
lim
+∞
→13
1
23lim <=+=∞→n n n ,
由根值判断法知级数n
n n n )2
3(
1
∑
∞
=+收敛.
**(4)),0(!
1e a a n
n a n n n ≠>∑∞
=;
解:由比值判别法
()()e a n a n an n n a n n a u u n n n n n n n n n n n
n n =?
?
? ??+=+=++=∞→∞→++∞→+∞→11lim )1(lim 1!
1lim lim 1
11
可见当0<时,级数发散.
*(5)cos ()21
1n
n n n +=∞
∑;
解:记()
u n
n n n =+cos 21,则 ()u n n n n ≤
+<1112, 而1
21n n =∞
∑收敛,因此u n n =∞
∑1
收敛.
*(6)n
n n n ∑∞
=???
?
??+1221arctan ;
解一:u n n n n
n =+?? ???? ???arctan 2214π, 而π4
1?? ?
??=∞
∑n
n 收敛 ,
故原级数收敛.
解二: u n
n n n
=+?
? ?
??>arctan
2
210, 由于 lim limarctan n n n n u n n →∞→∞=+=2214π
,故而级数u n n =∞∑1
收敛. **(7)
n n
n n n +-=∞
∑2
2
; 解:记u n n n n n =
+->20,则 n n n n n n
n +->=22
1
, 而1
1n
n =∞
∑发散,故所论级数发散.
**(8)∑∞
=++++1
10099321n n
n
n n ; 解:由于n n n n n ??? ??<++++100999910099321 ,而∑∞
=???
?
?110099n n
收敛,
所以原级数∑∞
=++++1
10099321n n
n
n n 也收敛. **(9)
()∑∞
=++++1
!1!!21n n n ; 解:
()()1
1!1!!1!!21+=+++++n n n n n 〉 ,
而∑∞
=+111n n 发散, 故级数()∑∞
=++++1
!1!!21n n n 也发散.
**(10)n e n n 2
11
31sin -?? ?
??=∞
∑; 解:lim
sin x x e x
→-=01
1
所以
lim lim sin sin n n n n n e n e n →∞→∞-?? ???=-?? ?
??
=2
113
331111
1
又11n n =∞
∑发散, 故n e
n
n 211
31sin -?? ???=∞∑发散.
***3.利用级数理论,证明n →∞时,
1n n
是比1
n !高阶的无穷小.
证明:先判断级数
∑∞
=1
!
n n
n
n 的敛散性,由于
()()lim
!!n n n
n n n n e →∞
+-++=<1111
1,
所以,级数
n n
n
n !
=∞
∑1收敛,于是有 lim
!
n n n n →∞=0,
上式又可变为 lim !n n n n →∞=11
0, 故当n →∞时,1n
n 是比1
n !高阶的无穷小.
***4.将方程x x tan =的正根按递增次序排列,得数列{}n x ,试证明级数
∑∞
=1
21
n n
x
收敛,
而级数
∑∞
=11
n n
x 却发散. 证明:设()x x x F -=tan ,
()0tan 2'>=x x F ,
则 ()x F 在??
?
?
?+
-2,2
πππ
πk k 上严格单调, 又因
()-∞=+?
?? ?
?
π-π→x F k x 2lim
,
()+∞=-
?
?? ?
?
π+π→x F k x 2lim
,
则()x F 在??
?
?
?+
-
2,2
πππ
πk k 内有且仅有一个实根. 又因 0=x 为??? ??-
2,2ππ上的一个根, 所以最小正根在???
??23,2ππ上, 从而必有 () ,2,12,2
=??
?
?
?+
-
∈n n n x n πππ
π,
所以
2
22
2
21121
1?
??
?
?
-=
?
?? ?
?
-≤
n n x n
πππ,而
∑
∞
=?
?
? ??
-1
2
2211
n n π收敛,故
∑∞
=1
21
n n
x
收敛。
又 ()11
2
1
1
+≥
+
≥
n n x n
πππ,而 ()∑∞
=+1
11n n π 发散,故 ∑∞=11n n x 发散. ***5.若数列{}n a 为单增有界的正项数列,试证明级数
∑∞
=++???
? ??-111n n n n n a a a a 收敛. 证明:首先我们知道级数
∑∞
=+????
??-1111n n n
a a 收敛, 事实上,级数
∑∞
=+???? ??-1111n n n a a 的部分和为????
??-+11
11n a a , 所以以上结论显然成立。
设{}n a 的界为M ,即任何n 有M a n <,
由于
()()????
??-=-≤-+=-++++++++111111111122n n n n n n n n n n n n n n n n a a M a a a a M a a a a a a a a a a 故有
∑∞
=++???
?
??-111n n n n n a a a a 收敛.
第8章(之3) 第39次作业
教学内容: §8.2.4任意项级数的绝对收敛和条件收敛 §8.2.5交错级数 §8.3.1函数项级数的一般概念
1. 选择题: *(1) 若级数
∑∞
=1
n n
u
收敛,则 ( )
(A )
()∑∞
=++1
1n n n
u u
收敛;(B )∑∞
=1
2n n u 收敛;(C )∑∞
=+1
1n n n u u 收敛;(D )()∑∞
=-1
1n n n
u 收敛.
答:( A )
*(2)当级数
∑∞
=1
n n
u
收敛时,级数
()∑∞
=-1
1n n
n
u
( )
(A )必绝对收敛; (B )必发散;
(C )部分和序列有界; (D )可能收敛也可能发散.
答:( D )
*(3)若级数
∑∞
=1n n
u
和
∑∞
=1
n n
v
都发散,则下列级数中必发散的是 ( )
(A )
()∑∞
=+1
n n n
v u
; (B )()∑∞
=-1n n n v u ;
(C )
∑∞
=1
n n
n v
u ; (D )
()∑∞
=+1
n n n
v u
.
答:(D )
*(4)设α为常数,则级数
sin n n n n α
2
1
1-?? ???=∞
∑ ( ) (A )绝对收敛; (B )条件收敛;
(C )发散; (D )敛散性与α取值有关.
答:( C )
2. 判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散? **(1)
()∑∞
=--1
1
23
1n n n
n
;
解:记 n
u n n 1231
-=
则 191
lim
1<=+∞→n
n n u u
故原级数绝对收敛. **(2)
()∑∞
=-+-1
21
1
1n n n n
; 解:记 1
2+=n n
u n ,因为 ()()()022112221<+++-+-=-+n n n n n u u n n ,且 0lim =∞→n n u ,
所以原级数收敛.
由于 11
1lim 2=+∞→n
n n
n , 故
∑∞
=+1
1
n n
n
n
发散,因此原级数条件收敛. **(3)
∑
∞
=-++-1
1102
1
)1(n n n n ;
解:设 1
)102(2100)(',
102
1
)(2++-=
++=
x x x x f x x x f ,
100>x 时,↓<)(,0)('x f x f ,
而当100>n 时,}102
1
{
++n n 为单调递减数列,且01021lim
=++∞→n n n , 故级数
102
1
)1(1
1
++-∑∞
=-n n n n 收敛.
另一方面 111021
)1(lim 1=++--∞→n
n n n n ,而∑∞=1
1
n n 发散。
综合以上讨论知,级数
102
1
)1(1
1
++-∑∞
=-n n n n 条件收敛.
**(4)()∑∞
=-1
8ln 1n n
n n
;
解:记()x x x f 8ln =, 则 ()()2
7'
ln ln 8x
x x x f -=,
当8
83e x >>时,()0'
,即()x f 单调递减. 故当8 3>n 时,数列? ?? ???n n 8ln 单调递减。 且0ln lim 8=∞→n n n , 所以级数()∑∞ =-1 8ln 1n n n n 收敛。 显见此级数不绝对收敛,故级数()∑∞ =-1 8ln 1n n n n 条件收敛。 3.***(1)若 ∑∞=1 n n a 是收敛的正项级数,试证 ∑∞ =1 2 n n a 一定收敛。 证明:因为 ∑∞ =1 n n a 为收敛的正项级数, 则 0lim =∞ →n n a , 所以00>?n ,当 0n n > 时,有 1|| 则 ()02 n n a a n n ><, 从而由比较判别法知 ∑∞ =1 2n n a 收敛。 ***(2)若级数 ∑∞ =1 2n n a 收敛, ∑∞ =1 n n a 一定收敛吗? 解:不一定。反例∑∞ =121n n 收敛,但∑∞ =11 n n 发散。 ***(3)若级数 ∑∞ =1 n n a 收敛, ∑∞ =1 2n n a 一定收敛吗? 解:不一定。反例 () ∑∞ =-1 11n n n 收敛(莱布尼兹型级数),但 ∑∞ =1 1 n n 发散。 ***(4)设 ∑∑n n b a ,都是收敛的正项级数,试证明级数 ,∑ n n b a 必收敛。 证明:由于2 n n n n b a b a +≤ , 且 ∑∑n n b a ,都是收敛的正项级数, 从而 ∑ ?? ? ??+2n n b a 收敛, 故级数 ∑ n n b a 必收敛。 ***4. 设级数 ()n n n n a 211 ∑∞ =-收敛,证明∑∞ =1 n n a 绝对收敛。 证明:由假设,有 02lim =∞→n n x a ,于是 02lim 21lim ==∞ →∞→n n x n n x a a , 而 ∑∞ =12 1 n n 收敛,因此 ∑∞ =1 n n a 绝对收敛。 ***5.求函数项级数 ++++++x x x x x n 4321的收敛域. 解: 级数可写成 ∑ ∑∞ =-∞ ==1 1 1 n x n x n n ,这是一个x p -=的p 级数, 其收敛的充要条件是1>p ,即1- 第8章(之4) 第40次作业 教学内容:§8.3.2幂级数及其收敛域 §8.3.3幂级数的性质 §8.3.4幂级数的求和 1.填空题: *(1)如果2lim 1 =+∞→n n n a a ,则幂级数()n n n x a 10-∑∞ =在开区间 内收敛。 答:()3,1- *(2)设幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径是4,则幂级数∑∞ =+0 12n n n x a 的收敛半径是 。 答:2 **(3)设幂级数 ∑∞ =0 n n n x c 在收敛区间()R R ,-上的和函数为()x s ,则幂级数 ()∑ ∞ =++-0 11 1n n n n n x c 的收敛区间是__________,它在收敛区间上的和函数是 ___________。 解:由条件 ()()R R x x s x c n n n ,0 -∈=∑∞ =, 以x -代x ,得 () ()x s x c n n n n -=-∑∞ =0 1, 两边从0到x 积分,得 ()()?∑-=+-∞ =+x n n n n dt t s n x c 00111 即 ()()()R R x dt t s n x c x n n n n ,1 10 1 -∈-=+-?∑ ∞ =+。 **2.设已知1-=x 属于幂级数 () +-+-+2 2101)1(x a x a a 的收敛区域,问2=x 以及3=x 是否一定属于收敛域?试解释之。 解:由于1-=x 属于幂级数的收敛域, 由此知道收敛半径不小于211=--, 而收敛域至少包含有区间()3,1-,而()()3,13,3,12-?-∈, 故可判定2=x 属于收敛域,而3=x 却不一定。 3.求下列幂级数的收敛域: **(1) ∑ ∞ =---1 1 41 414n n n x n ; 解:()()()() ()( ) 44141 1414 1144141434lim 1 41414114lim x n x n x n x n n n n n n n n n =-?--+=----+∞→--++∞→ 由1414 =-?--±1 2 1 421414n n n n ,由 0lim ≠∞ →n n u ,得其发散, 故原幂级数的收敛域为( ) 2,2- . **(2)试求幂级数()n n n n x n ∑∞ =?? ????-+113的收敛域。 解:由于()()013lim lim =-+=∞→∞ →x n x u n n n n n , 所以R=∞,收敛域是()∞∞-,. **(3) ()()∑ ∞ =+++-0 121211n n n n x . 解:()()221113 21 2lim lim +=+++=∞→+∞ →x x n n a a n n n n , 当 1)1(2<+x 即 02<<-x 时,级数收敛;当1)1(2 >+x 即 2- 级数发散, ∴收敛半径为1,即在()0,2-收敛。 当2-=x 时,原级数为 ()()()∑ ∑ ∞ =+∞ =++-=+--0 10 1 21 211 211n n n n n n n 收敛, 当0=x 时,原级数为 ()∑∞ =+-0 121n n n 收敛, ∴所以该幂级数的收敛域为[]0,2-. ***4.求函数项级数 ()()∑ ∞ =--1 11n n x n e n 的收敛域. 解:()()()() () 111 lim 1111 1lim 1 1-=-+=---+-∞→++∞ →x x n n x n n x n n e e n n e n e n , 则由11<-x e ,得 2ln <<∞-x 。 当2ln =x 时,原级数为()∑ ∞ =-1 1n n n 收敛。 故收敛域为]2ln ,(-∞. ****5.设数项级数 ∑∞ =0 n n a 条件收敛,试证明幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 的收敛半径1=r 。 证明:以1=x 代入, ∑∑∞ =∞ ==0 n n n n n a x a 收敛,知收敛半径1≥r 。 若级数收敛半径1>r ,则由阿贝尔定理知必有 ∑∞ =0 n n n x a 在点 1=x 处绝对收敛,即∑∞ =0 n n a 必绝对收敛。 得到矛盾。 ∴1=r . **6.设()∑∞ ==12n n n x x f ,试求()()dx x f x x g x '?=2 0的幂级数,并指出收敛域。 解:幂级数()∑∞ ==12n n n x x f 的收敛域是[]1,1- 当()1,1-∈x 时,有 ()∑∞ =-='1 1 n n n x x f , ()?∑??? ? ??=∞=+x n n dx n x x g 011 ()∑∞ =++=12 2n n n n x . 又因为当1=x 时,()∑∞ =++1 2 2n n n n x 收敛, 所以 ()()∑∞ =++=1 2 2n n n n x x g ,[]1,1-∈x . **7.设()()()x w x v x u ,,分别是下列三个幂级数在实轴上的和函数,即 ()()() ++++=++++=++++ =10 7411 8529 63! 101!71!41! 111!81!51!21!91!61!311x x x x x w x x x x x v x x x x u 试证明在整个实轴上有133 3 3 +=++uvw w v u 。 证明:显然()()()x w x v x u ,,的定义域为()+∞∞-,, 且()()x v x u =', ()()x w x v =', ()()x u x w ='。 记 ()u v w w v u x f 33 3 3 -++=,则 ()0 333333' 3'3'3'3'3'3'222222222=---++=---++=v u uw w v u w w v v u uvw w uv vw u w w v v u u x f )(x f ∴ 在),(+∞-∞上为一常数. 由()()()000,10===w v u 可知 ()()10==≡f c x f , ∴ 13333+=++u v w w v u . 8.求下列幂级数在收敛域内的和函数,并求对应数项级数的和: **(1) ∑∞ =-1 1 n n nx , ∑ ∞ =-1 n n ne ; 解:考虑由 ()111 <-= ∑∞ =x x x x n n , 两边求导,得 () 2 1 111 x nx n n -= ∑∞ =-, 令1 -=e x ,得 () 2 11 111 -∞ =+--= ∑e ne n n , ∴ ( )() 2 2 11111-= -= -∞ =-∑e e e e ne n n . **(2) ()∑∞ =--2 21n n x n n , ()∑ ∞ =-2 2 1n n n n . 解:由上题 ()2 1 1 11 x nx n n -= ∑∞ =-,两边求导, ()()3 2 2 12 1x x n n n n -=-∑∞ =-, 令2 1 =x ,代入上式得 ()162112 2 =??? ??-∑∞ =-n n n n , ∴()4212 =-∑∞ =n n n n . 第8章(之6) 第41次作业 教学内容:§8.4.1泰勒级数 §8.4.2几个初等函数的麦克劳林展开式 ***1. 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导,那么幂级数()()()∑∞ =?? ? ? ??-000!n n n x x n x f 的和函数为 ( ) (A) 必是()x f , (B)不一定是()x f , (C)不是()x f , (D)可能处处不存在。 答:(B ) **2、 试求()()1,0sin ≠>=a a a x f x 的麦克劳林级数至含3x 的项。 解:由于 ()a x a x f x ln cos sin ??=' ()x x a x a x a a x f s i n 2s i n 2 s i n ln cos ln ??-??='' ()x x x x a x a a x a a x a a x a x f sin 2sin sin 2sin 332sin ln 2 1 cos ln 2sin ln cos ln ??-??-??-??='''所以 ()()()a f a f f 2ln 0,ln 0, 10=''='=, ()() 1ln ln 02-='''a a f . 故麦克劳林级数为: () +-++?+3 2226 1ln ln 2ln ln 1x a a x a x a . ****3. 设()∑∞ == n n n x a x f 的收敛半径为1,试将()()x x f x F -= 1展开为x 的幂级数. 解:因为 ()1,1,111 32-∈++++++=-x x x x x x n , ())1,1(,332210-∈++++++=x x a x a x a x a a x f n n . 所以 当()1,1-∈x 时,有 ()(=x F ++++++n x x x x 321)( ++++++n n x a x a x a x a a 332210) ++++++++++=3 32102210100)()()(x a a a a x a a a x a a a ++++++n n x a a a a )(210 ∑∑∞ ==?? ? ??=00n n n k k x a . 第8章(之6) 第42次作业 教学内容:§8.4.3函数展开为幂级数举例 间接展开法 §8.4.4函数幂级数展开式的应用 ***1. 若 ()∑∞ == 0n n n x c x f ,试证:()x f 为偶函数时必有() ,2,1,0012==+k c k . 解:()∑∞ == n n n x c x f , ()()∑∞ =-=-0n n n x c x f , ∴()()∑∞ =++= --=0 121 220k k k x c x f x f , ∴012=+k c (函数0的任意阶导数都为零). 2.展开下列函数)(x f 在指定基点0x 处的幂级数: **(1) ( )0,10 3 =+=x e y x ; 解:因为 13323+++=x x x e e e y , 而 ),(,! 0+∞-∞∈=∑∞ =t n t e n n t . 所以 1!3!23!300 0++?+=∑∑∑∞=∞ =∞=n n n n n n n n n x n x n x y ()+∞∞-∈+?++=∑∞ =,,!323381 x x n n n n n . **(2)()() 0, 1ln 03 2=-+-=x x x x x f ; 解:()()()()[] x x x x x x f -+=-+-=11ln 1ln 232 () ()x x -++=1ln 1ln 2 ()()∑ ∑ ∞ =∞ =+-+-= 1 1 2111n n n n n n x x n 11(2 ≤<-x 且 )11≤-<-x 65432613151412131211x x x x x x ?? ? ??-+-??? ??+--??? ? ?- +-= -?? ? ??---8 7814171x x , ()11<≤-x . **(3)()2,03 42==--x e x f x x 。 解:()()2 21--=x e x f , 由于 ∑∞ ==0 !n n t n t e ,()+∞∞-∈,t ∴()()()∑ ∞ =----= 222!12 n n n x x n e , ∴()()()()()∑ ∞ =--+∞∞-∈--==0221,2! 12 n n n x x x n e e x f . **(4)()e a x x f ==, ln ; 解:()()[]?? ? ?? ? -+ +=-+=e e x e x e x f 1ln 1ln ()()()∑ ∞ =-≤<--+ =1 12011n n n n e x e x ne . **(5)()4 ,)4 sin(0π π = + =x x x f ; 解:())(,4)!2()1(4cos 42sin 20+∞<<-∞??? ??π--=??? ?? π-=????????? ? ?π-+π=∑∞=x x n x x x f n n n . **(6)()4,2 31 2 -=++=a x x x f ; 解:()()()2 411 2134113121112112312+-?++-?-=+-+=++=++= x x x x x x x x x f ()()2643121011-<<-+????? ?-=∑ ∞ =++x x n n n n . **(7)()() 21ln x x x f ++=,00=x . 解:])1[ln(2'++x x 2 11x += 2 1 2) 1(- +=x ∑ ∞ =+----+=1 2)(!)121()23)(21(1n n x n n ∑ ∞ =--+ =1 2!!)2(!!)12()1(1n n n x n n )11(<<-x , )1ln(2 x x ++? ∑ ∞ =--+ = x n n n x x n n 0 1 2d ]! )!2(!)!12()1(1[ ()()()∑∞ =++--+=` 11 2)12(!!2!!121n n n x n n n x )11(<<-x , 当1±=x 时, 级数成为 ()()()∑∞ =+±+--+±`112)1() 12(!!2! !1211n n n n n n 是莱布尼兹型收敛级数, ∴( ) ()()()∑∞ =++--+=++` 11 22 )12(!!2!!1211ln n n n x n n n x x x ()11≤≤-x . **(8)0arctan ()x x f x dx x = ?, 00=x . 解:因为 ()?????=≠='01 a r c t a n x x x x x f , 而 ()∑?∞ =++-=+=0 120212111arctan n n n x n x dx x x , ]1,1[-∈x . 所以当0≠x 时, ()]1,0()0,1[,121a r c t a n 0 2?-∈+-=∑∞=x n x x x n n n . 而 () )0(112100 2f n x x n n n '==+-=∞ =∑.