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高二数学随机变量及其概率分布1

2.1随机变量及其概率分布(1)

随机变量及其概率分布(1) 【教学目标】 1、在对具体问题的分析中,了解随机变量、离散型随机变量的意义,理解取有限值的离散性随机变量及其概率分布的概念。 2、会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布,认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。 3、提高学生的抽象概括能力,提高数学建模的能力,提高学生应用数学的意识。 4、随机变量是客观世界中极为普遍的,通过对各种现象及事件a 的分析,培养严谨的逻辑思维能力,激发学生学习兴趣,初步认识数学的应用价值、科学价值,并深刻体会数学是服务于实践的一门学科。 【教学过程】 1、相关知识回顾: (1)随机现象: 在一定条件下,某种现象可能发生,也可能不发生,事先也不能断定出现哪种结果的现象 (2)基本事件: 在一次试验中可能出现的每一个基本结果 (3)古典概型: 我们将具有:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; ②每个基本事件发生的概率相等. 满足这两个特点的概率模型称为古典概率模型 2、新课引入: (1)在一块地里种下10棵树苗,成活的树苗棵数X 是0,1,…,10中的某个数; (2)抛掷一颗骰子,向上的点数Y 是1,2,3,4,5,6中的某一个数; (3)新生婴儿的性别,抽查的结果可能是男,也可能是女。如果将男婴用0表示, 女婴用1表示,那么抽查的结果Z 是0和1中的某个数; 上述问题有哪些共同特点? 上述问题中的X ,Y ,Z ,ε实际上是把每个随机试验的基本事件都对应一个确定的实数,即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个映射。 例如:上面的植树问题中成活的树苗棵数X : X=0,表示成活0棵; X=1,表示成活1棵;…… 思考:“X>7”表示什么意思? 3、新授: 知识点1:随机变量: 一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫随机变量。 通常用大写拉丁字母X ,Y ,Z (或小写希腊字母ζηε,,)等表示,而用小写拉丁字母z y x ,,(加上适当下标)等表示随机变量取得可能值。 引入随机变量后,随机试验中我们感兴趣的事件就可以通过随机变量的取值表达出来。 注:(1)随机试验中,可能出现的恶结果都可以用一个数来表示。如掷一枚硬币,“正

频数分布表和频数分布图 ()

频数分布表与频数分布图 频数是指某一随机事件在n次试验中出现的次数。各种随机事件在n次试验中出现的次数分布就称为频数分布。对一批数据,将其频数分布用表格的形式表示出来就构成了频数分布表。 (1)编制频数分布表的步骤 编制频数分布表是数据整理的基本方法,下面我们结合一个实例来说明频数分布表的编制步骤。 例1.一次物理测验之后,某班48位同学的成绩如下。 86 77 63 78 92 72 66 87 75 83 74 47 83 81 76 82 97 69 82 88 71 67 65 75 70 82 77 86 60 93 71 80 76 78 57 95 78 64 79 82 68 74 73 84 76 79 86 68;根据这一成绩编制频数分布表,其具体步骤是: ①求全距(用R表示)。全距是原始数据中的最大值与最小值之差,即R=max{xi}-min{xi}。式中R 是全距,max{xi}为这批数据中的最大数,min{xi}为这批数据中的最小数。在本例中,max{xi}=97, min{xi}=47,因此R=97-47=50。 ②定组数(用K表示)。根据全距决定组数(K)。组数就是对这批数据分组的个数。一般而言,组数以10组为宜,多至20组,少至5组。若组数太多,便会失去实行分组化繁为简的作用;若组数太少,又会引起计算结果的失真。组数与数据的个数有关,若数据多时,要分10组以上;数据少时,可分5—10组。 ③定组距(用i表示)。组距就是每一个组内包含的间距,即组距(i)是指每个小组的组上限(即组的终点值)与组下限(即组的起点值)之间的距离。显然,在一批数据中,组距一般是相同的。组数与组距有关,组距越小,则组数越多;组距越大,则组数越少。根据上面的讨论,我们得到全距R、组距i、组数K三者之间的关系即 i=或K= 根据上式,由全距R、组距i决定组数时,将全距R除以组距后取整数即得组数i。在本例中,全距R=50,若取组距i=5,则组数K=10. ④列组限。组限是每一组在数尺上的起始点和终止点,即上下限。从最高分或最低分所在的区间上限或下限开始,以组距为单位依次分组。列组限时,相邻两组的起点和终点,即要连接又不要重叠。在本例中,各组限可写成100-96,95-91,90-86,……;或者99-95,94-90,89-85,……;也可以将组限写成100-,95-,……等。

第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案范文

第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一.选择题(每题2分共20分) 1.F(X)是随机变量X 的分布函数,则下列结论不正确的是( B ) A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析: A,C,D 都是对于分布函数的正确结论,请记住正确结论!B 是错误的。 2.设随机变量X 的分布函数律为如下表格:F(x)为其分布函数,则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析:由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3.下列函数可以作为随机变量分布函数的是( D ) 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析:由分布函数F(x)性质:01)(≤≤x F ,A,B,C 都不满足这个性质,选D 4 x 31<<-x 4.设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2

A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析:P{-2

频数分布表、直方图概念

一、数据的分组整理 将一组数据分成若干个数段,每个分数段是一个“组区间”,分数段两端的数值是“组限”,在一组两端数值中最大的数值为上限,最小的数值为下限,分数段的最大值与最小值的差为“组距”,分数段的个数是“组数”。 小结:分组整理的方法——⑴确定分组的方法并分组 ①计算极差; ②确定组距和组数,组距 极差组数 ≈,组数取大于商的最小整数; ③决定组限并分组。注意:各分数段中的分数,通常包括分数段的最低分,不包括最高分。 二、频数、频率与频数分布表 频数:落在各个小组内的数据的个数是这一小组的频数。(每个分数段的分数的个数) 频率:每个小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率。 计算公式: 数据的总个数 这组的频数每组的频率 = 想一想:根据上表,回答以下问题 ⑴组数是多少?举例说明组区间是什么? ⑵在“80~90”这一组中,组限各是什么?哪个是下限,哪个是上限?组距是多少?频数是多少?频率有多大? ⑶假设在“70~80”这一组中,如果频数已知,频率漏掉,怎样补上?如果频数漏掉,怎样补上?如果频数、频率都漏掉,又怎样补上? 小结规律: ①各小组的频数之和等于数据总数; ②各小组的频率之和等于1。 观察频数分布表,从以下几方面对数据分布信息进行分析: ⑴数据在哪个组分布最多最集中(称该组为众数组),在哪个组分布最少,各占总数的比值(或百分比)是多少。 ⑵各组数据分布的数量变化趋势是什么。 ⑶测算中位数在哪个组(该组称为中位数组),获得数据分布状态的信息。 ⑷测算平均数=各组组中值×该组频率的积之和(组中值=2 下限上限+),从 中体会频数分布的作用。 1.频数分布直方图 根据上节所列频数分布表,以每小组的组距为宽,频数为高,画出各小组的频数条形图,从而画出频数分布直方图。 注意: ①单位 ②连续性 ③科学性与美观兼顾 频数分布直方图的意义: 直观表示了一组数据在各小组分布的多少。 2.频数分布折线图 把“频数分布直方图”中的每个条形图的上边中点依次联结成折线段,就画成了频数分布折线图。 为了便于观察频数分布折线图两边的变化趋势,有时也用线段联结直方图最左边条形图上边中点和它外边等距区间的中点(条形图外用虚线),以及直方图最右边条形图上边中点和它外边等距区间的中点(条形图外用虚线)。 频数分布折线图直观的意义:表示了一组数据在各小组分布的变化趋势和整体分布形态。

第二章__随机变量及其概率分布_考试模拟题答案

第二章随机变量及其概率分布考试模拟题 (共90 分) 一.选择题(每题2分共20分) 1.F(X) 是随机变量X的分布函数,则下列结论不正确的是( B ) A.0 F( x) 1 B.F( x)=P{X=x} C.F( x)=P{X x} D.F( )=1, F( )=0 解析:A,C,D 都是对于分布函数的正确结论,请记住正确结论! B 是错误的。2.设随机变量X的分布函数律为如下表格:F(x)为其分布函数,则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析:由分布函数定义F(5)=P{X 5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3.下列函数可以作为随机变量分布函数的是 4x 0 x1 2x A.F(x)= B.F(x)= 其它其它 x<0 x<0 C.F(x)= 2x D.F(x)= 2x 0 x 0.5 其它≥0.5 解析:由分布函数F(x) 性质:0 F(x) 1,A,B,C 都不满足这个性质,选D 4.设X 的密度函数为f(x)=则P{-2

1 解析:根据密 度函数性质: A.有f(x) 0的情况,错; B.D. 不符合 f(x)dx 1错; 1 C. 1 12dx 21x|11 12 21 1 选 C 6.设随机变量 X~N(1 ,4), (1) 0.8413, (0) 0.5 ,则事件 {1 X 3 } 的概率为(D ) 解:P{1 X 3 }=F(3)-F(1)= (3 1) (1 1) (1) (0) 0.8413 0.5 0.3413 22 7.已知随机变量 X 的分布函数为( A ) 0 x 0 1 0 x 1 F(x)= 2 ,则 P X 1 = 2 1x3 3 1 x 3 112 A . 1 B . 1 C . 2 D . 1 623 A. 0 B. C. D. 848 解析: P {-2

联合概率分布:离散与连续随机变量

Joint Distributions,Discrete Case In the following,X and Y are discrete random variables. 1.Joint distribution(joint p.m.f.): ?De?nition:f(x,y)=P(X=x,Y=y) ?Properties:(1)f(x,y)≥0,(2) x,y f(x,y)=1 ?Representation:The most natural representation of a joint discrete distribution is as a distribution matrix,with rows and columns indexed by x and y,and the xy-entry being f(x,y).This is analogous to the representation of ordinary discrete distributions as a single-row table.As in the one-dimensional case,the entries in a distribution matrix must be nonnegative and add up to1. 2.Marginal distributions:The distributions of X and Y,when considered separately. ?De?nition: ?f X(x)=P(X=x)= y f(x,y) ?f Y(y)=P(Y=y)= x f(x,y) ?Connection with distribution matrix:The marginal distributions f X(x)and f Y(y) can be obtained from the distribution matrix as the row sums and column sums of the entries.These sums can be entered in the“margins”of the matrix as an additional column and row. ?Expectation and variance:μX,μY,σ2 X ,σ2 Y denote the(ordinary)expectations and variances of X and Y,computed as usual:μX= x xf X(x),etc. https://www.wendangku.net/doc/823086629.html,putations with joint distributions: ?Probabilities:Probabilities involving X and Y(e.g.,P(X+Y=3)or P(X≥Y)can be computed by adding up the corresponding entries in the distribution matrix:More formally,for any set R of points in the xy-plane,P((X,Y)∈R))= (x,y)∈R f(x,y). ?Expectation of a function of X and Y(e.g.,u(x,y)=xy):E(u(X,Y))= x,y u(x,y)f(x,y).This formula can also be used to compute expectation and variance of the marginal distributions directly from the joint distribution,without?rst computing the marginal distribution.For example,E(X)= x,y xf(x,y). 4.Covariance and correlation: ?De?nitions:Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=E((X?μX)(Y?μY))(Covariance of X and Y),ρ=ρ(X,Y)=Cov(X,Y) σXσY (Correlation of X and Y) ?Properties:|Cov(X,Y)|≤σXσY,?1≤ρ(X,Y)≤1 ?Relation to variance:Var(X)=Cov(X,X) ?Variance of a sum:Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)(Note the analogy of the latter formula to the identity(a+b)2=a2+b2+2ab;the covariance acts like a “mixed term”in the expansion of Var(X+Y).) 1

spss教程-常用的数据描述统计:频数分布表等--统计学

第二节常用的数据描述统计 本节拟讲述如何通过SPSS菜单或命令获得常用的统计量、频数分布表等。 1.数据 这部分所用数据为第一章例1中学生成绩的数据,这里我们加入描述学生性别的变量“sex”和班级的变量“class”,前几个数据显示如下(图2-2),将数据保存到名为“2-6-1.sav”的文件中。 图2-2:数据输入格式示例 1.Frequencies语句 (1)操作 打开数据文件“2-6-1.sav”,单击主菜单Analyze /Descriptive Statistics / F requencies…,出现频数分布表对话框如图2-3所示。 图2-3: Frequencies定义窗口 把score变量从左边变量表列中选到右边,并请注意选中下方的Display frequency table复选框(要求显示频数分布表)。如果您只要求得到一个频数分布表,那么就可以点OK按钮了。如果您想同时获得一

些统计量,及统计图表,还需要进一步设置。

①Statistics选项 单击Statistics按钮,打开对话框,请按图2-4自行设置。有关说明如下: (ⅰ)在定义百分位值(percentile value)的矩形框中,选择想要输出的各种分位数,SPSS提供的选项有: ●Quartiles四分位数,即显示25%、50%、75%的百分位数。 ●把数据平均分为几份。如本例中要求平均分为3份。 ●Percentile显示用户指定的百分位数,可重复多次操作。本例中要求15%、50%、85%的百分位数。(ⅱ) 在定义输出集中趋势(Central Tendency)的矩形框中,选择想要输出的集中统计量,常用的选项有: ●Mean 算术平均数 ●Median 中数 ●Mode 众数 ●Sum 算术和 (ⅲ)在定义输出离散统计量(Dispersion)的矩形框中,选择想要输出的离散统计量,常用的选项有:●Std. Deviation 标准差 ●Variance 方差 ●Range 全距 ●Minimum 最小值 ●Maximum 最大值 ●S.E. mean 平均数的标准误 (ⅳ)描述数据分布(Distribution)的统计量 ●Skewness 偏度,非对称分布指数。 ●Kurtosis 峰度,CASE围绕中心点的扩展程度。 另外,频数过程(Frequence)除了能够提供上面常用的统计量外,还可以对分组数据计算百分位数和中数(Values are group midpoints),即对于已经分组的数据,并且数据中的原始数据表示的是组中数的数据计算百分位数的值和中位数。

第二章 随机变量及其概率分布

第二章 随机变量及其概率分布 教学目的与要求 1. 熟练掌握一维离散型随机变量及其分布的概念,会求一维离散型随机变量的分布列; 2. 熟练掌握一维随机变量分布函数的概念与性质; 3. 熟悉一维离散型随机变量的分布函数与分布列的关系; 3. 理解一维连续型随机变量分布函数与分布密度的概念及其关系; 4. 熟记常见的几种分布的表达形式. 6. 熟悉随机变量函数的分布函数与分布密度的计算公式. 教学重点 一维离散型、连续型随机变量及其分布 教学难点 随机变量函数的分布 教学方法 讲解法 教学时间安排 第11-12学时 第一节 随机变量 第四节 随机变量的分布函数 第13-16学时 第二节 离散型随机变量 第三节 连续型随机变量 第17-18学时 第五节 随机变量函数的分布 习题辅导 教学内容 第一节 随机变量 一、随机变量 在上一章所讲的有些随机试验的样本空间中基本事件是用数值描述的,这就提示我们,无论什么随机试验,如果用一个变量的不同取值来描述它的全部可能结果,样本空间的表达及其相应的概率就显得更明了、更简单.事实上,这种想法是可以的,为此,引入一个新概念. 定义2.1 设E 维随机试验,()ωΩ=为其样本空间,若对任意的ω∈Ω,有唯一的实数与之对应,且对{},x R x ξ?∈≤为事件,则称()ξω为随机变量. 这样,事件可通过随机变量的取值来表示,随机变量,(),(),b a b ξξξ≤<≤L 等都表

示为事件,其中,a b 表示任意实数.即用随机变量的各种取值状态和取值范围来表示随机事件. 二、分布函数的定义与性质 定义2.2 定义在样本空间Ω上,取值于实数域的函数()ξω,称为是样本空间Ω上的(实值)随机变量,并称 ()(()), (,)F x P x x ξω=≤∈-∞∞ 是随机变量()ξω的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质: (1)单调性 若12,x x <则12()()F x F x ≤; (2)()lim ()0x F F x →-∞ -∞== ()lim ()1x F F x →+∞ +∞== (3)右连续性 (0)()F x F x += 反过来,任一满足这三个性质的函数,一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此,满足这三个性质的函数通常都称为分布函数. 由分布函数还可以下列事件的概率: {()}1(){()}(0) {()}1(0){()}()(0) P x F x P x F x p x F x P x F x F x ξωξωξωξω>=-<=-≥=--==-- 由此可见,形如12121212{()},{()},{()},{()}x x x x x x x x ξωξωξωξω≤≤<<<≤≤<这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率,都可以由()F x 算出来,所以()F x 全面地描述了随机变量()ξω的统计规律. 第二节 离散型随机变量 一、离散型随机变量的概念及其分布 定义 2.2 定义在样本空间Ω上,取之于实数域R ,且只取有限个或可列个值的变量 ()ξξω=,称作是一维(实值)离散型随机变量,简称为离散型随机变量.称

频数分布表和频数分布图

频数分布表和频数分布图 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.

频数分布表与频数分布图 频数是指某一随机事件在n次试验中出现的次数。各种随机事件在n次试验中出现的次数分布就称为频数分布。对一批数据,将其频数分布用表格的形式表示出来就构成了频数分布表。 (1)编制频数分布表的步骤 编制频数分布表是数据整理的基本方法,下面我们结合一个实例来说明频数分布表的编制步骤。 例1.一次物理测验之后,某班48位同学的成绩如下。 86 77 63 78 9272 66 87 75 83 74 47 83 8176 82 97 69 82 88 71 6765 75 70 82 77 86 60 9371 80 76 78 57 95 78 6479 82 68 74 73 84 76 7986 68;根据这一成绩编制频数分布表,其具体步骤是: ①求全距(用R表示)。全距是原始数据中的最大值与最小值之差,即R=max{xi}-min{xi}。式中R 是全距,max{xi}为这批数据中的最大数,min{xi}为这批数据中的最小数。在本例中,max{xi}=97, min{xi}=47,因此R=97-47=50。 ②定组数(用K表示)。根据全距决定组数(K)。组数就是对这批数据分组的个数。一般而言,组数以10组为宜,多至20组,少至5组。若组数太多,便会失去实行分组化繁为简的作用;若组数太少,又会引起计算结果的失真。组数与数据的个数有关,若数据多时,要分10组以上;数据少时,可分5—10组。 ③定组距(用i表示)。组距就是每一个组内包含的间距,即组距(i)是指每个小组的组上限(即组的终点值)与组下限(即组的起点值)之间的距离。显然,在一批数据中,组距一般是相同的。组数与组距有关,组距越小,则组数越多;组距越大,则组数越少。根据上面的讨论,我们得到全距R、组距i、组数K三者之间的关系即 i=或K= 根据上式,由全距R、组距i决定组数时,将全距R除以组距后取整数即得组数i。在本例中,全距R=50,若取组距i=5,则组数K=10. ④列组限。组限是每一组在数尺上的起始点和终止点,即上下限。从最高分或最低分所在的区间上限或下限开始,以组距为单位依次分组。列组限时,相邻两组的起点和终点,即要连接又不要重叠。在本例中,各组限可写成100-96,95-91,90-86,……;或者99-95,94-90,89-85,……;也可以将组限写成100-,95-,……等。 ⑤求出组中值(用m0表示)。组中值是各组的中点值。组中值等于该组的组限右端点与左端点的值的平均数。

随机变量及其概率分布

第二章 随机变量及其概率分布 【内容提要】 一、随机变量及其分布函数 设()X X ω=是定义于随机试验E 的样本空间Ω上的实值函数,且x R ?∈, {}()X x ωω≤是随 机事件,则称()X X ω=为随机变量,而称()()()F x P X x ω=≤为其概率分布函数。 随机变量()X X ω=的概率分布函数()()()F x P X x ω=≤具有如下性质: ⑴.非负性: x R ?∈,有0()1F x ≤≤; ⑵.规范性: ()0,()1F F -∞=+∞=; ⑶.单调性: 若12x x ≤,则12()()F x F x ≤; ⑷.右连续性: x R ?∈,有(0)()F x F x +=。 二、离散型随机变量 1.离散型随机变量及其概率分布律 若随机变量()X X ω=只取一些离散值12n x x x -∞<<=其中而。 三、连续型随机变量

人教新课标版数学高二-人教选修2-3学案设计独立重复试验与二项分布

2.2.3 独立重复试验与二项分布 问题导学 一、独立重复试验 活动与探究1 某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率; (2)5次预报中至少有2次准确的概率; (3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率. 迁移与应用 1.(2013四川广元模拟)打靶时,某人每打10发可中靶8次,则他打100发子弹有4发中靶的概率为() A.C41000.84×0.296B.0.84 C.0.84×0.296D.0.24×0.296 2.某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为__________. (1)n次独立重复试验的特征: ①每次试验的条件都完全相同,有关事件的概率保持不变; ②每次试验的结果互不影响,即各次试验相互独立; ③每次试验只有两种结果,这两种可能的结果是对立的. (2)独立重复试验概率求解的关注点: ①运用独立重复试验的概率公式求概率时,要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验,判断时可依据n次独立重复试验的特征. ②解此类题常用到互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式. 二、二项分布 活动与探究2 某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医,方便管理”的原则,参加保险人员

可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社会医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A,B,C三家社区医院,并且他们的选择相互独立.设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X,求X的分布列. 迁移与应用 1.某射手每次射击击中目标的概率是0.8,现在连续射击4次,则击中目标的次数X 的概率分布列为__________. 2.如图,一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域,用力旋转转盘,转盘停止转动时,箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动),且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中,要求每位家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘,得分情况记为(a,b)(假设儿童和成人的得分互不影响,且每个家庭只能参加一次活动).若规定:一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品. (1)求某个家庭获奖的概率; (2)若共有5个家庭参加家庭抽奖活动,记获奖的家庭数为X,求X的分布列. 利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型,也就是看它是否是n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布,否则就不服从二项分布. 三、二项分布的综合应用 活动与探究3 甲、乙两队参加世博会知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一 分,答错者得零分.假设甲队中每人答对的概率均为2 3,乙队中3人答对的概率分别为 2 3, 2 3, 1 2,且各人答对正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分. (1)求随机变量ξ的分布列; (2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB). 迁移与应用

人教版高数选修2-3第二章2.1随机变量及其分布(教师版)

随机变量及其分布 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解随机变量的概念. 2.熟练掌握随机变量的概率分布及其性质. 3.能熟练应用两点分布. 4.能熟练运用超几何分布. 1.随机变量: 一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量,通常用大写拉丁字母X ,Y ,Z (或小写希腊字母,,ξηζ)等表示,而用小写拉丁字母x ,y ,z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值. 注意:(1)一般地,一个试验如果满足下列条件:i)试验可以在相同的情形下重复进行;ii)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验,为了方便起见,也简称试验. (2)所谓随机变量,即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系,这种对应关系是人为建立起来的,但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的,只不过在函数概念中,函数f (x )的自变量是实数,而在随机变量的概念中,随机变量的自变量是试验结果. (3)一般情况下,我们所说的随机变量有以下两种: 如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来,这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. (4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别: 离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果,但二者之间又有着根本的区别:对于离散型随机变量来说,它所可能取的值为有限个或至多可列个,或者说能将它的可能取值,按一定次序一一列出,而连续型随机变量可取某一区间内的一切值,我们无法将其中的值一一列举. 2.随机变量的概率分布 一般地,假定随机变量X 有n 个不同的取值,它们分别是12,, ,,n x x x 且()i P X x == ,1,2,3, ,i p i n =①,则称①为随机变量X 的概率分布列. 3.随机变量概率分布的性质 (1)对于随机变量的研究,我们不仅要知道随机变量取哪些值,随机变量所取的值表示的随机试验的结果,而且需要进一步了解随机变量:取这些值的概率. (2)随机事件A 的概率满足0≤P (A )≤1,必然事件U 的概率P (U )=1.若离散型随机变量X 所有可能取的值为12,, ,.n x x x X 取每一个值i x (i =1,2,…,n )的概率为(),i i P X x p ==○ 10,1,2,3,,;i p i n ≥=○2123 1.n p p p p ++++=不满足上述两条性质的分布列一定是错误的, 即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件. (3)由离散型随机变量分布列的概念可知,离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.

第二章随机变量及其函数的概率分布

第二章 随机变量及其函数的概率分布 §2.1 随机变量与分布函数 §2.2 离散型随机变量及其概率分布 一、 填空题 1. 某射手每次命中目标的概率为0.8,若独立射击了三次,则三次中命中目标次数为k 的概率==)(k X P 3,2,1,0,) 2.0()8.0(33=-k C k k k ; 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2()1(===X P X P ,则==)4(X P 0.0902 ; 3. 设X 服从参数为p 的两点分布,则X 的分布函数为 ?? ? ??≥<≤-<=1 ,110 ,10 ,0)(x x p x x F ; 4. 已知随机变量X 的概率分布:P(X =1)=0.2, P(X =2)=0.3, P(X =3)=0.5, 则其分布 函数)(x F = 0 10.2 120.5 231 3x x x x =λ==则且,0),,2,1()(b k b k X P k 为(B ) (A) λ>0的任意实数; (B) ;11+=b λ (C) λ=b +1; (D) 1 1 -=b λ. 三、 计算下列各题 1. 袋中有10个球,分别编号为1~10,从中任取5个球,令X 表示取出5个球的最大号码,试求X 的分布列。 解 X 的可能取值为5,6,7,8,9,10 且10,9,8,7,6,5 ,)(5 10 41 ===-k C C k X P k 所以X 的分布列为

概率论与数理统计随机变量及其分布问题

随机变量及其分布问题 1、假设随机变量X 的绝对值不大于1,1(1),8P X =-= 1 (1).4 P X ==在事件(11)X -<<出现的条件下,X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求X 的分布函数()()F x P X x =≤ 解:当1x <-时,()0F x =。 当1x =-时,()()(1)(1)F x P X x P X P x x =≤=≤-+-<≤ 1 (1)8 P X x = +-<≤ 而 5(11)1(1)(1)8 P X P X P X -<<=-=--==, 因此 (1)(1,11)P X x P X x X -<≤=-<≤-<< (11)(111)P X P X x X =-<<-<<-<< 5155 8216 x x ++=?= , 于是,得 5155 ()8216 x x F x ++=?= 当1x ≥-时,()1F x =。 故所求分布函数为 0, 1 55(), 11161, 1 x x F x x x <-??+? =-≤≤??≥?? 评述 分由函数可以完整地描述任何类型随机变量的取值规律,这里的随机变量包括离散 型、连续型和混合型在类。 2、一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿号灯的路口,每个路口的信号灯为红或绿与其他路口的信号灯为红或绿相互独立,且红、绿两 种信号显示的时间相等。以X 表示该汽车遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布。 解 设i A =“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”(i =1,2,3)。依题意,1A ,2A ,3A 相互独立。X 的可能取值是0,1,2,3。于是,得X 的概率分布为 11 (0)(),2 P X P A ===

高中数学独立重复试验与二项分布综合测试题(附答案)

高中数学独立重复试验与二项分布综合测试题(附答案) 独立重复试验与二项分布 一、选择题 1.某一试验中事件A发生的概率为p,则在n次这样的试验中,A发生k次的概率为() A.1-pk B.(1-p)kpn-k C.(1-p)k D.Ckn(1-p)kpn-k [答案] D [解析] 在n次独立重复试验中,事件A恰发生k次,符合二项分布,而P(A)=p,则P(A)=1-p,故P(X=k)=Ckn(1-p)kpn-k,故答案选D. 2.在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为6581,则事件A在1次试验中发生的概率为() A.13 B.25 C.56 D.34 [答案] A [解析] 事件A在一次试验中发生的概率为p,由题意得1-

C04p0(1-p)4=6581,所以1-p=23,p=13,故答案选页 1 第 A. 3.流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002,流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为() A.3.3210-5 B.3.3210-9 C.6.6410-5 D.6.6410-9 [答案] B [解析] 相当于1个流星独立重复10次,其中落在地面上的有4次的概率P=C4100.0024(1-0.002)63.3210-9,应选B. 4.已知随机变量X服从二项分布,X~B6,13,则P(X=2)等于() A.316 B.4243 C.13243 D.80243 [答案] D [解析] 已知X~B6,13,P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k,当X =2,n=6,p=13时有P(X=2)=C261321-136-2= C26132234=80243. 5.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是() A.16625 B.96625

随机变量的概率分布

随机变量的概率分布 一、填空题 1.某射手射击所得环数X 的概率分布为 解析 P (X >7)=P (X =8)+P (X =9)+P (X =10)=0.28+0.29+0.22=0.79. 答案 0.79 2.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X 去描述1次试验的成功次数,则P (X =0)等于________. 解析 由已知得X 的所有可能取值为0,1, 且P (X =1)=2P (X =0),由P (X =1)+P (X =0)=1, 得P (X =0)=1 3. 答案 1 3 3.(优质试题·常州期末)设X 是一个离散型随机变量,其概率分布为: 则q 的值为________解析 由概率分布的性质知??? ?? 2-3q ≥0, q 2 ≥0, 13+2-3q +q 2 =1, 解得q =32-33 6. 答案 32-33 6 4.设离散型随机变量X 的概率分布为

解析由概率分布的性质,知 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,∴m=0.3. 由Y=2,即|X-2|=2,得X=4或X=0, ∴P(Y=2)=P(X=4或X=0) =P(X=4)+P(X=0) =0.3+0.2=0.5. 答案0.5 5.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则“放回5个红球”事件可以表示为________. 解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6. 答案ξ=6 6.(优质试题·南通调研)从装有3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是________. 解析如果将白球视为合格品,红球视为不合格品,则这是一个超几何分布 问题,故所求概率为P=C23C14 C37= 12 35. 答案12 35 7.已知随机变量X只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差d 的取值范围是________. 解析设X取x1,x2,x3时的概率分辊为a-b,a,a+d,则(a-d)+a+(a

高中数学二项分布及其应用知识点+练习

二项分布及其应用 要求层次 重难点 条件概率 A 了解条件概率和两个事件相互独立的概念, 理解n 次独立重复试验的模型及二项分布, 并能解决一些简单的实际问题. 事件的独立性 A n 次独立重复试验与二项 分布 B (一) 知识内容 条件概率 对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件概率,用符号“(|)P B A ”来表示.把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =I (或D AB =). 知识框架 例题精讲 高考要求 条件概率 事件的独立性 独立重复实验 二项分布 二项分布及其应用 板块一:条件概率

(二)典例分析: 【例1】在10个球中有6个红球,4个白球(各不相同),不放回的依次摸出2个球,在第1次摸出红球的条件下,第2次也摸出红球的概率是() A.3 5B.2 3 C.5 9 D.1 3 【例2】某地区气象台统计,该地区下雨的概率是 4 15 ,刮风的概率是2 15 ,既刮风又下雨的概率是1 10 , 设A=“刮风”,B=“下雨”,求()() P B A P A B ,. 【例3】设某种动物活到20岁以上的概率为0.7,活到25岁以上的概率为0.4,求现龄为20岁的这种动物能活到25岁以上的概率. 【例4】把一枚硬币抛掷两次,事件A=“第一次出现正面”,事件B=“第二次出现反面”,则()_____ P B A=. 【例5】抛掷一颗骰子两次,在第一次掷得向上一面点数是偶数的条件下,则第二次掷得向上一面点数也是偶数的概率为. 【例6】设某批产品有4%是废品,而合格品中的75%是一等品, 任取一件产品是一等品的概率是_____. 【例7】掷两枚均匀的骰子,记A=“点数不同”,B=“至少有一个是6点”,求(|) P A B与(|) P B A.【例8】甲、乙两班共有70名同学,其中女同学40名.设甲班有30名同学,而女生15名,问在碰

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