一维黎曼问题

附录A 一维Riemann 问题数值解与计算程序

一维Riemann 问题，即激波管问题，是一个典型的一维可压缩无黏气体动力学问题，并有 解析解。对它采用二阶精度MacCormack 两步差分格式进行数值求解。同时，为了初学者入门和练习方便,这里给出了用C 语言和Fortran77编写的计算一维Riemann 问题的计算程序，供大家学习参考。

A-1利用MacCormack 两步差分格式求解一维Riemann 问题

1.一维Riemann 问题

一维Riemann 问题实际上就是激波管问题。激波管是一根两端封闭、内部充满气体的直管，如图A.1所示。在直管中由一薄膜将激波管隔开，在薄膜两侧充有均匀理想气体（可以是同一种气体，也可以是不同种气体），薄膜两侧气体的压力、密度不同。当0≤t 时，气体处于静止状态。当0t =时，薄膜瞬时突然破裂，气体从高压端冲向低压端，同时在管内形成激波、稀疏波和接触间断等复杂波系。

2.基本方程组、初始条件和边界条件

设气体是理想气体。一维Riemann 问题在数学上可以用一维可压缩无黏气体

Euler 方程组来描述。在直角坐标系下量纲为一的一维Euler 方程组为：

,11x t x

??+=-≤≤??0u f

(A.1) 其中 2,()u u u p E E p u ρρρρ???? ? ?

==+ ? ? ? ?+????

u f (A.2)

这里ρ、u 、p 、E 分别是流体的密度、速度、压力和单位体积总能。理想气体状态方程：

()()()221112p e E u v γργρ??

=-=--+????

（A.3）

初始条件：1111,0,1u p ρ===；2220.125,0,0.1u p ρ===。

图A.1 激波管问题示意图

边界条件：1x =-和1x =处为自由输出条件，01u u =,1N N u u -=。 3.二阶精度MacCormack 差分格式

MacCormack 两步差分格式：

()

12

1111

1222111

22n n n n

j

j j j n n n n n j

j j j j r r +

-+++++=--????=+-- ? ?????

u u f f u

u u f f (A.4)

其中t

r x

?=

?。计算实践表明，MacCormack 两步差分格式不能抑制激波附近非物 理振荡。因此在计算激波时，必须采用人工黏性滤波方法：

(),,1,,1,122

n n

n n n i j i j

i j i j i j η+-=+-+u u u u u (A.5) 为了在激波附近人工黏性起作用，而在光滑区域人工黏性为零，需要引入一个与密度（或者压力）相关的开关函数：

11

11

i i i i i i i i ρρρρθρρρρ+-+----=-+- (A.6)

由式(A.6) 可以看出，在光滑区域，密度变化很缓，因此θ值也很小；而在激波附近密度变化很陡，θ值就很大。带有开关函数的前置人工黏性滤波方法为：

(),,1,,1,122

n n

n n n i j i j

i j i j i j ηθ+-=+-+u u u u u (A.7) 其中参数η往往需要通过实际试算来确定，也可采用线性近似方法得到：

||||1t a t a x x η????

=

- ?????

(A.8)

由于声速不会超过3，所以取||3a =，在本计算中取0.25η=。

4.计算结果分析

计算分别采用标准的C 语言和Fortran77语言编写程序。计算中网格数取

1000，计算总时间为0.4T =。计算得到在0.4T =时刻的密度、速度和压力分布

如图A.2（C 语言计算结果）和图A.3（Fortran77语言计算结果）所示。采用两种不同语言编写程序所得到的计算结果完全吻合。

从图A.2和图A.3中可以发现，

MacCormack 两步差分格式能很好地捕捉激波，计算得到的激波面很陡、很窄，计算激波精度是很高的。采用带开关函数的前置

人工滤波法能消除激波附近的非物理振荡，计算效果很好。

从图A.2和图A.3中可以看出通过激波后气体的密度、压力和速度都是增加的；在压力分布中存在第二个台阶，表明在这里存在一个接触间断，在接触间断两侧压力是有间断的，而密度和速度是相等的。这个计算结果正确地反映了一维Riemann问题的物理特性，并被激波管实验所验证。

A-2 一维Riemann问题数值计算源程序

1. C语言源程序

// MacCormack1D.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。

//

/*-----------------------------------------------------------------------------------------------------

*利用MacCormack差分格式求解一维激波管问题（C语言版本）

*

-------------------------------------------------------------------------------------------------------*/

//#include "stdafx.h"

#include

#include

#include

#define GAMA 1.4//气体常数

#define PI 3.141592654

#define L 2.0//计算区域

图 A.2采用C语言程序得到的一维

Riemann问题密度、速度和压力分布

图 A.3采用Fortran77语言程序得到的一维

Riemann问题密度、速度和压力分布

#define TT 0.4//总时间

#define Sf 0.8//时间步长因子

#define J 1000//网格数

//全局变量

double U[J+2][3],Uf[J+2][3],Ef[J+2][3];

/*------------------------------------------------------- 计算时间步长

入口: U，当前物理量，dx，网格宽度；

返回: 时间步长。

---------------------------------------------------------*/ double CFL(double U[J+2][3],double dx)

{

int i;

double maxvel,p,u,vel;

maxvel=1e-100;

for(i=1;i<=J;i++)

{

u=U[i][1]/U[i][0];

p=(GAMA-1)*(U[i][2]-0.5*U[i][0]*u*u);

vel=sqrt(GAMA*p/U[i][0])+fabs(u);

if(vel>maxvel)maxvel=vel;

}

return Sf*dx/maxvel;

}

/*------------------------------------------------------- 初始化

入口: 无；

出口: U，已经给定的初始值，

dx, 网格宽度。

---------------------------------------------------------*/ void Init(double U[J+2][3],double & dx)

{

int i;

double rou1=1.0 ,u1=0.0,p1=1.0; //初始条件double rou2=0.125,u2=0.0,p2=0.1;

dx=L/J;

for(i=0;i<=J/2;i++)

U[i][0]=rou1;

U[i][1]=rou1*u1;

U[i][2]=p1/(GAMA-1)+rou1*u1*u1/2;

}

for(i=J/2+1;i<=J+1;i++)

{

U[i][0]=rou2;

U[i][1]=rou2*u2;

U[i][2]=p2/(GAMA-1)+rou2*u2*u2/2;

}

}

/*------------------------------------------------------- 边界条件

入口: dx，网格宽度；

出口: U，已经给定的边界。

---------------------------------------------------------*/ void bound(double U[J+2][3],double dx)

{

int k;

//左边界

for(k=0;k<3;k++)U[0][k]=U[1][k];

//右边界

for(k=0;k<3;k++)U[J+1][k]=U[J][k];

}

/*------------------------------------------------------- 根据U计算E

入口: U，当前U矢量；

出口: E，计算得到的E矢量，

U、E的定义见Euler方程组。

---------------------------------------------------------*/ void U2E(double U[3],double E[3])

{

double u,p;

u=U[1]/U[0];

p=(GAMA-1)*(U[2]-0.5*U[1]*U[1]/U[0]);

E[0]=U[1];

E[1]=U[0]*u*u+p;

E[2]=(U[2]+p)*u;

}

/*-------------------------------------------------------

一维MacCormack差分格式求解器

入口: U，上一时刻的U矢量，Uf、Ef，临时变量，

dx，网格宽度，dt, 时间步长；

出口: U，计算得到的当前时刻U矢量。

---------------------------------------------------------*/

void MacCormack_1DSolver(double U[J+2][3],double Uf[J+2][3],double Ef[J+2][3],double dx,double dt)

{

int i,k;

double r,nu,q;

r=dt/dx;

nu=0.25;

for(i=1;i<=J;i++)

{

q=fabs(fabs(U[i+1][0]-U[i][0])-fabs(U[i][0]-U[i-1][0]))

/(fabs(U[i+1][0]-U[i][0])+fabs(U[i][0]-U[i-1][0])+1e-100); //开关函数

for(k=0;k<3;k++)

Ef[i][k]=U[i][k]+0.5*nu*q*(U[i+1][k]-2*U[i][k]+U[i-1][k]);//人工黏性项

}

for(k=0;k<3;k++)

for(i=1;i<=J;i++)U[i][k]=Ef[i][k];

for(i=0;i<=J+1;i++)U2E(U[i],Ef[i]);

for(i=0;i<=J;i++)

for(k=0;k<3;k++)

Uf[i][k]=U[i][k]-r*(Ef[i+1][k]-Ef[i][k]); //U(n+1/2)(i+1/2)

for(i=0;i<=J;i++)U2E(Uf[i],Ef[i]); //E(n+1/2)(i+1/2)

for(i=1;i<=J;i++)

for(k=0;k<3;k++)

U[i][k]=0.5*(U[i][k]+Uf[i][k])-0.5*r*(Ef[i][k]-Ef[i-1][k]); //U(n+1)(i)

}

/*-------------------------------------------------------

输出结果, 用Origin数据格式画图

入口: U，当前时刻U矢量，dx，网格宽度；

出口: 无。

---------------------------------------------------------*/

void Output(double U[J+2][3],double dx)

{

int i;

FILE *fp;

double rou,u,p;

fp=fopen("result.txt","w");

for(i=0;i<=J+1;i++)

{

rou=U[i][0];

u=U[i][1]/rou;

p=(GAMA-1)*(U[i][2]-0.5*U[i][0]*u*u);

fprintf(fp,"%20f%20.10e%20.10e%20.10e%20.10e\n",i*dx,rou,u,p,U[i][2]);

}

fclose(fp);

}

/*-------------------------------------------------------

主函数

入口: 无；

出口: 无。

---------------------------------------------------------*/

void main()

{

double T,dx,dt;

Init(U,dx);

T=0;

while(T

{

dt=CFL(U,dx);

T+=dt;

printf("T=%10g dt=%10g\n",T,dt);

MacCormack_1DSolver(U,Uf,Ef,dx,dt);

bound(U,dx);

}

Output(U,dx);

}

---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------

黎曼函数

它亦可以用积分定义： 对于所有实部>1的复数s。这和上面ζ（2）的表达式一起可以用来证明两 个随机整数互质的概率是6/π2。 \frac{}{}== 函数值==

黎曼函数在s > 1的情况 ζ函数满足如下函数方程： 对于所有C\{0,1}中的s成立。这里，Γ表示Γ函数。这个公式原来用 来构造解析连续性。在s = 1，ζ函数有一个简单极点其留数为1。上 述方程中有sin函数，的零点为偶数s = 2n，这些位置是 可能的零点，但s为正偶数时，为不为零的规 则函数（Regular function），只有s为负偶数时，ζ函数才有零点， 称为平凡零点。 当s为正整数 其中B2k是伯努利数。从这个，我们可以看到ζ(2)= π2/6, ζ(4) = π4/90, ζ(6) = π6/945等等。（序列A046988/A002432列在OEIS）。 这些给出了著名的π的无穷级数。奇整数的情况没有这么简单。 拉马努金在这上面做了很多了不起的工作。为正偶数时的函数值 公式已经由欧拉计算出。但当为正奇数时，尚未找到封闭式。 这是调和级数。 （OEIS中的数列A078434）

自旋波物理。 （OEIS中的数列 A013661） 是多少？ （OEIS中的数列A002117） 称为阿培里常数。 （OEIS中的数列 A0013662） 负整数[编辑] 同样由欧拉发现，ζ函数在负整数点的值是有 理数，这在模形式中发挥着重要作用，而且ζ 函数在负偶整数点的值为零。 复数值[编辑] ，x＞1。 幅角[编辑] ， 函数值表[编辑] ， ， ， ， ，

， ， ， ， ， ， ， ，

黎曼ζ函数

黎曼ζ函数 最小值马克斯 再保险-15年15 即时通讯-15年15 黎曼ζ函数是非常重要的特殊函数出现的数学和物理的集成和与周围很深的结果密切相关素数定理。虽然许多这个函数的性质进行了调查,仍有重要的基本猜想(最明显黎曼假设),还有待证实。黎曼ζ函数是为一个复杂的变量定义在复平面,通常表示是哪一个(而不是通常的)考虑到所使用的符号黎曼在他1859年的论文,创立了这个函数的研究(黎曼1859)。它的实现Wolfram语言作为ζ[s]。 上面的图显示了“山脊”为和。山脊的事实似乎减少单调并不是一个巧合,因为它证明,单调减少意味着黎曼假设(Zvengrowski和Saidak 2003;Borwein贝利,2003年,页95 - 96)。 在实线与,黎曼ζ函数可以定义的积分 (1)在哪里是γ函数。如果是一个整数,那么我们的身份 (2) (3)

(4)所以 (5)评估,让这和代入上述身份获得 (6) (7) (8)集成的最后表达(8)给取消的因素并给出了最常见的黎曼ζ函数, (9)这是有时被称为p系列. 黎曼ζ函数也可以定义的多重积分通过 (10)作为一个梅林变换通过 (11)为,在那里是小数部分(Balazard和赛亚于2000)。 它出现在单位平方积分 (12)有效期为(Guillera和Sondow 2005)。为一个非负整数,这个公式是由于Hadjicostas(2002),和特殊的情况和是由于Beukers(1979)。 请注意,ζ函数有一个奇点中,它可以减少发散调和级数. 黎曼ζ函数满足反射函数方程 (13) (哈代1999年,p . 14;“将军”1999,p . 160),一个类似的形式由欧拉猜想(欧拉、读取1749年,1768年出版,Ayoub 1974;Havil 2003,p . 193)。这种函数方程的对称形式给出 (14) (1974年Ayoub),证明了黎曼复杂(黎曼1859)。 如上所述,ζ函数与一个复数被定义为。然而,有一个独特的解析延拓对整个复平面,不包括,对应于一个简单的极与复杂的残渣1(“将军”1999年,p . 1999)。特别是,作为 ,遵循 (15)

黎曼假设

黎曼猜想是一个困扰数学界多年的难题，最早由德国数学家波恩哈德·黎曼提出，迄今为止仍未有人给出一个令人完全信服的合理证明。即如何证明“关于素数的方程的所有意义的解都在一条直线上”。 方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。 有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 黎曼(Riemann，George Friedrich Bernhard，1826-1866,德国数学家)是黎曼几何的创始人。他在读博士学位期间，研究的是复变函数。他把通常的函数概念推广到多值函数，并引进了多叶黎曼曲面的直观概念。他的博士论文受到了GAUSS的赞扬，也是他此后十年工作的基础，包括：复变函数在Abel积分和theta函数中的应用，函数的三角级数表示，微分几何基础等。 几千年前人类就已知道2，3，5，7，31，59，97这些正整数。除了1及本身之外就 没有其他因子，他们称这些数为素数（或质数Prime number），希腊数学家欧几里德 证明了在正整数集合里有无穷多的素数，他是用反证法证明。1730年，欧拉在研究调和级数： Σ1/n=1+1/2+1/3+...+1/n.....。(1) 时，发现： Σ1/n=(1+1/2+1/2^2+...)(1+1/3+1/3^2+...)(1+1/5+1/5^2+...)...... =Π(1-1/p)^-1。(2) 其中，n过所有正整数，p过所有素数，但稍加改动便可以使其收敛，将n写成n^s(s>1),即可。如果黎曼假设正确： Π（x)=Li(x)+O(x^1/2*logx).。(3) 证明了上式，即证明了黎曼猜想。 在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。 黎曼在1858年写的一篇只长8页关于素数分布的论文，就在这论文里他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。

黎曼猜想简介

黎曼猜想简介 数学是自然科学的女皇，数论是数学的女皇。 -----K.F.Gauss 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想 20 世纪70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠，仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，可是那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。但就在1995年，英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了358 年悬而未决的费马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。 当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶上的明珠。而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近160 年历史的黎曼猜想。 让我们从1858 年讲起吧。 1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上，忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做“论不大于一个给定值的素数的个数”。论文于1859 年发表，这是黎曼生前发表的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼先生提出了划时代的黎曼猜想。 黎曼(G. F. B. Riemann, 1826-1866)于1826 年9 月17 日出生在德国汉诺威的布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在6 个兄弟姐妹中排行老二。黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10 岁时，他的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。 14 岁时，黎曼进入文科中学，文科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的859 页的大 4 开本《数论》，并用 6 天时间

黎曼猜想被证明

一、什么是黎曼猜想 黎曼猜想——最重要的数学猜想 早在1737年，大数学家欧拉就发现了质数分布问题与Zeta函数的联系，给出并证明了欧拉乘积公式，使得Zeta函数成为研究质数问题的经典方法。 欧拉乘积公式，其中p为质数，n为自然数 黎曼猜想（Riemann Hypothesis）由大数学家黎曼在1859年首次提出，讨论黎曼Zeta函数的非平凡解问题。 黎曼猜想是众多尚未解决的最重要的数学问题之一，被克雷数学研究所列为待解决的七大千禧问题，悬赏百万美金证明或者证伪。一百年前希尔伯特就曾被问过一个问题“假定你能死而复生，你会做什么？”，他的回答是，“我会问黎曼猜想是否已经解决”。可见黎曼猜想多么吸引人 黎曼猜想是关于黎曼Zeta函数的零点分布的猜想。黎曼Zeta函数长这个样子： 黎曼Zeta函数有两种零点，一种是位于实数轴线上的零点，被称为平凡零点，另一种是位于其他复平面区域上的零点，被称为非平凡零点，目前数学家已经证明这些非平凡零点全部位于实部区间为0到1的复平面内，而黎曼则大胆猜想，这些非平凡零点全部位于实部为1/2的一条直线上。 “所有非平凡零点都位于实部为1/2的直线上”是一个尚未得到严格证明的猜想，但数学家们至今找到的上万亿个非平凡零点的确都位于这条直线上，无一例外。 黎曼猜想还跟幂律分布有关。 我们都知道幂律分布是指 其中x如果只能取1,2,3,...,n的整数，c为归一化常数，满足： 而这里面的

就是Zeta函数，黎曼猜想就是关于这个函数的，但是a可以取复数值。 黎曼猜想真的会被证明吗？ 质数分布没有简单规律，但质数出现的频率跟黎曼Zeta函数紧密相关。有数学家甚至认为黎曼猜想与强条件下的质数定理是等价的。目前已经验证了前1,500,000,000个质数对这个定理都成立，但至今没有完全证明。黎曼猜想得证，对质数研究、数论研究意义重大。 黎曼猜想对许多数学领域都意义重大，质数分布只是其中一个。有上千个数学命题都建立在黎曼猜想为真的基础上。多数数学家认为这个猜想是正确的，如果黎曼猜想被证伪，数学体系将失去重要根基。 二、黎曼猜想被证明了吗？ 如果这是真的，Atiyah爵士将不仅获得由克雷数学研究所悬赏的一百万美金奖励，更是他个人的至高荣誉和整个数学界的狂欢。 然而，根据我们目前的了解，Atiyah爵士极有可能是在自娱自乐逗大家玩…… 黎曼函数和黎曼猜想简介 大家这几天应该被动恶补了不少黎曼函数和黎曼猜想的介绍了，这里还是不厌其烦地再简单说下。 首先有无穷级数ζ(s) ： 当s取1时，它就是调和级数1+1/2+1/3+1/4+...，算数意义上不收敛。s=2时，级数收敛于π2/6。等等。当s的取值为复数s=x+iy时，它会把复平面上的点s(x,iy)映射到另一点s'(x',iy')。我们注意到这个级数要求s的实部大于1（x>1），否则这个级数不收敛，也就没有我们熟悉的数值和结果。 ζ(s)在复平面上的图像，Re(s)>1，此时图像全部分布在Re(ρ)=1/2线的右侧。图源3blue1brown 黎曼函数是ζ(s)在整个复平面的解析延拓，将s的定义域扩展到整个复平面。（值得说明的是，解析延拓是一种非常强的约束。如果一个函数存在解析延拓，那么解析延拓的结果是唯

2009-11-27 黎曼函数的极限

黎曼函数的极限 黎曼函数是指如下函数： *0,0,1(0,1)()1,(,,)x R x p x p q p q q q =??=?=<∈?? 或者内无理数既约分数, 容易知道R (x )的定义域为[0,1]. 因为(0,1)内任意有理数都可以表示成p /q (既约分数,p 0，使R (x )≥ε的x 只有有限个. (这里的有限个也包括0个. ) 我们只做简单分析，不做严格证明. 当x 不在[0,1]内时R (x )没有意义，从而也谈不上R (x )≥ε. 当x =0,1或者(0,1)内的无理数时，R (x )≥ε显然不成立. 当x 为(0,1)内的有理数时，x 可写成x=p /q (既约分数,p |r /s-p /q |=|(rq -sp )/sq |≥1/sq ，从而s >1/(q δ). 定理3 黎曼函数在(0,1)内任意一点的极限为0，在x =0处右极限为0，在x =1处左极限为0. 证明 (1)x 0为[0,1]内的无理数. 任给?ε>0. 若(0,1)内不存在有理数使得R (x )≥ε. 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|}. 就可以得到对?x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. 若(0,1)内存在有理数使得R (x )≥ε. 根据定理1知道，这样的有理数只可能有有限个，从而也是可列个. 设这些使R (x )≥ε的有理数为x 1,x 2,…,x n . 那么取δ=min{|x 0|,|1-x 0|,|x 1-x 0|,|x 2-x 0|,…,|x n -x 0|}>0. 这样就可以得到对?x ∈U o (x 0;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. (2)x 0为(0,1)内的有理数. 设x 0=p /q (既约分数,p 0，取δ=min{ε/q ,|x 0|,|1-x 0|}. 若x 为U o (p /q ;δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r 1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为U o (p /q ;δ)内无理数，则一定有R (x )=0<ε. 综合起来就是对?x ∈U o (p /q ;δ)有R (x )<ε. 这说明R (x )在x 0处的极限为0. (3)x 0=0. 任给?ε>0, 取δ=min{ε,1}. 若x 为(0,δ)内的有理数，x =r/s (既约分数,r 1/ε, 于是R (x )=1/s <ε. 若x 为

猜想在数学中的作用

数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。数学方法理论的倡导者Ｇ·波利亚曾说过，在数学领域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是负责任的态度。数学猜想能缩短解决问题的时间；能获得数学发现的机会；能锻炼数学思维。历史上许多重要的数学发现都是经过合理猜想这一非逻辑手段而得到的，例如，著名的“歌德巴赫猜想”、“四色猜想”等。因此，在小学数学教学中，运用猜想可以营造学习氛围，激起学生饱满的热情和积极的思维，培养学生克服困难的坚强意志，自始至终地主动参与数学知识探索的过程。 1．猜想在新课引入中的运用。 在众多引入新课的方法中，“猜想引入”以它独有的魅力，能很快地扣住学生的心弦，使其情绪高涨，思维活跃，产生良好的学习动机，从而步入学习的最佳境地。如在“圆面积的计算”教学中，先让学生猜一猜圆面积大约在什么范围呢？如图所示，边观察，边猜想。 提问：这个小正方形的面积是多少？（r2）这个大正方形的面积是多少？（4r2）猜一猜圆面积大约在什么范围呢？（圆面积＜4r2）。教师问：比4r2小一点，那到底是多少呢？大家知道吗？现在我们就来探讨解决这个问题。这样通过猜想，使学生初步勾勒出知识的轮廓，从整体上了解所学的内容，启动了学生思维的闸门，使其思维处于亢奋状态。 2.“猜想”在新知学习中的运用。 在学生学习数学知识过程中，加入“猜想”这一催化剂，可以促进学生多角度思维，加快大脑中表象形成的速度，从而抓住事物的本质特征，得出结论。如在圆的周长教学中，教师让学生拿出事先准备好的学具：若干个大小不一的圆、一根绳子、一把米尺、一个圆规。问“要研究圆的周长，你想提出什么样的方法？”学生经过观察、思索、动手操作，提出猜想：“用绳子量出圆的周长，再量绳子长度行吗？”“把圆直接放在直尺上滚动，量出圆的周长行吗？”“对于这个圆，用绳子量出它的两个直径的长度，试一试能否还围成这个圆。不行，再量出三、四个直径的长度，看可不可以围成这个圆。猜想：圆的周长是不是三、四个直径的长度？”显然这是一个很了不起的猜想。教师追问：“为什么你要提出这样的猜想？”学生回答：“用圆规画圆，半径越长，圆就越大，也就是直径越长，圆的周长就越长，所以，用直径求圆的周长，既准确，又省力。”由此可见，通过学生一系列的自主猜想，诱发了跳跃思维，加快了知识形成的进程。 3．“猜想”在新知巩固中的运用。 充分发挥学生的潜在能力是当今素质教育研究的重点。因此，教师要采取多种手段激活学生学习的内驱力，疏通学生潜能涌动的通道，以求迸发出智慧的火花。要想实现这一目标，教师可以充分利用猜想，在有利于发挥学生的潜能的最佳环节之一——知识巩固阶段，调动学生头脑中已有的数学信息（概念、性质），并对之进行移动和重组，开拓新思路，从而获得突破性的结论。如我经常设计一些活泼的情境题、开放题，引导学生猜想，有这样一道题：“学校围墙外面是大片草地，一只羊拴在桩上，绳净长5米，这只羊可在多大面积吃到草？”学生们动手寻找答案，很快学生提出猜想：“要求这只羊可在多大面积吃到草，就是求以绳

函数黎曼可积性

函数黎曼可积性深究 罗俊逸 以下的“可积”皆指“黎曼可积”。 定义1：称有界函数f 为[a,b]上的次级离散函数（简称次离散函数）， 若：1、f 仅有有限个间断点； 或：2、f 有无限个间断点，所有这些间断点仅有有限个聚点。 定义2：在闭区间[a,b]上，连续函数与次离散函数统称次级函数。 定义3：称有界函数f 为[a,b]上的超级离散函数（简称超离散函数），若f 有无限个间断点且它们有无限个聚点。 性质：[a,b]上的任何有界离散函数，要么是次离散函数，要么是超离散函数。（这是显然的） 根据定义和性质，[a,b]上的所有有界函数的集合关系如下： 定理1：所有次级函数可积。 推论1：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积。 推论2：若f 是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积。 定义4：设f 为[a,b]上的超离散函数，若存在[a,b]上的次级函数g ，任取I ∈ [a,b]，g 在I 上有f 上的无穷个点，则称f 在[a,b]上可聚，g 称为f 的聚集函数（简称聚函数）。 定理2（可聚性定理）：任何超离散函数f 可聚，即f 至少有一个聚函数。 定理3：超离散函数f 可积的充要条件．．．． 是：f 唯一可聚，即f 仅有唯一的聚函数。 定理4：设f 是定义在[a,b]上的可积超离散函数，其聚函数是g ， 则：= 连续函数 次级离散函数 超级离散函数 次级函数 离散函数

补充： 为方便叙述，笔者自做了些定义，若有冒犯前辈的文献，请谅解。本文的主要思想是函数的划归，点有聚点，函数也可有聚函数。

数学家黎曼

波恩哈德·黎曼 格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼[1]（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日－1866年7月20日）德国数学家[1]，黎曼几何学创始人，复变函数论创始人之一。 生平 他出生于汉诺威王国（今德国下萨克森）的小镇布列 斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎 曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。 1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。 1842年祖母去世后，他搬到吕讷堡的约翰纽姆 （Johanneum）。1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入 哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些 数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到 父亲的允许后，他改学数学。 1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅可比、狄利克 雷和斯坦纳门下。两年后他回到哥廷根。 1854年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设” 的演讲，开创了黎曼几何学，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。 1862年，他与爱丽丝·科赫（Elise Koch）结婚。 1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世。 贡献 他对数学分析和微分几何做出了重要贡献，对微分方程也有很大贡献。 他引入三角级数理论，从而指出积分论的方向，并奠定了近代解析数论的基础，提出一系列问题；他最初引入黎曼曲面这一概念，对近代拓扑学影响很大；在代数函数论方面，如黎曼-诺赫定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建立黎曼几何学。 他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，柯西-黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。 黎曼猜想 黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。它是数学中一个重要而又著名的未解决的问题。多年来它吸引了许多出色的数学家为之绞尽脑汁。 黎曼猜想： 黎曼ζ函数，。非平凡零点(在此情况下是指s 不为-2、-4、-6等点的值)的实数部份是?。

黎曼

黎曼 黎曼(G．F．B．Riemann、1826。9．17一1866．7．20)是德 国数学家，生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡 村的穷苦牧师。他6岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁 按其父亲的意愿进入哥丁根大学攻读哲学和神学，以便将来继承 父志也当一名牧师。由于从小酷爱数学，他在学习哲学和神学的 同时，也听些数学课。当时的哥丁根大学是世界数学的中心之一。 —些著名的数学家，如高斯(C．F．Guass)、韦伯(H．Wcbcr)、斯 持尔(Sten)在校执教，黎曼被这里的数学教学和数学研究的气氛所 感染，决定放弃神学，专攻数学。1847年他转到柏林大学学习， 成为雅可比(C．G．J．Jacobi)、狄利克雷(P．G．L．Dirichlet)、 施泰纳(J．Steiner)、艾森斯坦(F．G．M．E1Senstein)的学生。1849年重回哥丁很大学攻读博士学位。成为高斯晚年的学生。l851年获数学博士学位。l854年被聘为哥丁根大学的编外讲师。1857年晋升为副教授，1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。因长年贫困、劳累，1862年婚后不到一个月患胸膜炎和肺结核，先后三次到意大利治病、疗养。1366年病逝于意大利、终年39岁。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 (一)复函数论的奠基人 l9世纪数学最独特的创造是复函数理论的创立。它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。1850年以前柯西(A．L．Cauchy)、雅可比、高斯、阿贝尔(N．H．Abcl)、外尔斯特拉斯(K．T．W．Weierstrass)已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅柯西和皮瑟(V．Puiseux)有些孤立的结论。 1851年黎曼在高斯指导下完成的题为“单复变函数的一般理论的基础”的博士论文，以及后来在《数学杂志》上发表的四篇重要文章对其博士论文中思想的进一步阐述，一方面总结前人关于单值解析函数的成果，并用新的工具予以处理，同时创立多值解析函数的理论基础。并由此为几个不同方向的进展铺平了道路。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世人公认的复函数论的主要奠基人，而且后来证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，外尔斯特拉斯的思想逐渐从柯西一黎曼观点推导出来。 在黎曼对多值函数的处理个，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中。尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼一罗赫(G．Roch)定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用。将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。 (二)黎曼几何的创始人 黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何，乃至数学和科学各分支的发展产生巨大的影响。

黎曼猜想原始论文中文译注-《论小于某给定值的素数的个数》(1)

论小于某给定值的素数的个数 （黎曼提出黎曼猜想的原始论文） 黎曼（Riemann ）原稿 谢国芳（Roy Xie ）译注 Email:roixie@https://www.wendangku.net/doc/833258034.html, 承蒙（柏林）科学院接纳我为通讯院士，我想表达被赐予这份殊荣的感谢之情的最好方式是立即利用由此得到的许可向其通报一项关于素数分布密度的研究，考虑到高斯和狄利克雷曾长期对此问题抱有浓厚的兴趣，它似乎并不是完全配不上这样性质的一个报告。 我以欧拉的发现、即下面这个等式作为本研究的起点： 11 1 s s p n -=- ∑∏ 其中等式左边的p 取遍所有质数，等式右边的n 取遍所有自然数，我将用()s ζ表记由上面这两个级数（当它们收敛时）表示的复变量s 的函数。 {注1： 即定义复变函数 1 1 ()1s s s n p ζ-= =-∑ ∏} 上面这两个级数只有当s 的实部大于1时才收敛，但很容易找到一个（对任意s ）总是有效的函数()s ζ的表达式。 {注2：用现代数学语言讲，即要对复变函数()s ζ进行解析延拓，而解析延拓的最好方法是寻找一个该函数的更广泛有效的表示如积分表示或适当的函数方程。} 利用等式 {注3：()s ∏是高斯引入的伽玛函数记号，现在一般把伽玛函数记作()s Γ，

()(1)()s s s s ∏=Γ+=Γ，10 ()s x s x e d x ∞ --Γ= ?，令积分号中的哑变量x n x →即可导出上式。} 可得 {注4：11 1 1111 x nx x x x n e e e e e -∞ ---==-==---∑ } 现在考虑积分 {注5：按现代数学记号，该积分应记成 1 () 1s x C x dx e ---? 或（考虑到一般用z 表示复数）1 ()1s z C z dz e ---?， 其中的积分路径C 如下面的图1所示。} 积分路径沿从到、包含值0但不包含被积函数的任何其他奇点的区域的 正向边界进行。 {注6：参见下面的图1。} 图1 易得该积分的值为

数学家黎曼简介

Riemann Georg Friedrich Bernhard （1826--1866） 黎曼，G.F.B.(Riemann Georg Friedrich Bernhard) 1826 年9 月17 日生於德國漢諾威(Hanover) 的布拉斯倫茲(Breselenz) ; 1866 年7 月20 日卒於意大利謝拉斯卡 (Selasca)。 德國數學。 C1846年入格丁根大學學習哲學和神學，不久轉向數學，成為高斯晚年的學生。1847 後曾到柏林就讀，在那裡受到狄利克雷、雅可比、施泰納和愛森斯坦等數學家的影響。1850年回到格丁根。1851 年以《單複變函數的一般理論基礎》一文獲博士學位。1854年成為格丁根大學講師，並發表了著名的就職演說《關於幾何基礎的假設》。1859年接替狄利克雷的教授職務，同年當選為德國科學院院士。黎曼是19世紀極富創造性的數學家之一。在複變函數論、傅立葉級數、幾何學基礎、素數分佈等方面都有重要貢獻。他的工作為19世紀複變函數論的全面發展奠定了基礎。黎曼於1854年的就職演說更成為著名的歷史文獻，其中發揚了高斯關於曲面的微分幾何研究，闡述了曲率和流形的概念，建立了黎曼空間的概念，為幾何學開拓了更廣闊的研究領域──黎曼幾何學，這些工作後來成為廣義相對論的數學基礎。1859年，黎曼提出了關於黎曼－ζ函數的6個猜想，包括著名的黎曼猜想：ζ(s)的全體非平凡零點都位於σ= 1/2直線上。黎曼廣泛使用解析函數的工具研究數論，開創了解析數論這一新的分支。此外，他在阿貝爾函數、積分論、橢圓函數論、超幾何級數微分方程等許多方面都有成就。在數學物理方面也發表了一些創造性的論文。

猜想突破 数论研究

猜想突破数论研究 千禧年世界数学难题《黎曼假设》又名《黎曼猜想》，著名世界数学难题《哥德巴赫猜想》，《孪生素数猜想》等猜想突破解析、解答与证明。 研究项目课题: 《基础数论六进制级数筛法( 阴/阳、三奇/三偶、裂变/聚变) 新学说》 (1) 素数分布规則: 2000年5月24日世界数学会在法国法兰西科学院宣布的千禧年世界数学难题第四题《黎曼假设》破解证明。颠覆、淘汰了旧概念，沒有釆用黎曼使用《ζ函数理论》。应用筛法新学说理论解析。 篇幅內容： ①《黎曼假设》(1) 素数分布规则。 ②《黎曼假设》(2) 孪生素数分布规则 ③《黎曼假设》(3) 素数个数公式共三篇数论。 (2) 素数组合规则 1900年，世界数学会主席、德国数学家希尔伯特宣布的，世界数学难题23个问题第8题《哥德巴赫猜想》破解证明，颠覆、淘汰了旧观念，沒有釆用国际学术上延用的《殆素数理论》，应用筛法新学说理论解析。 篇幅內容： ①素数组合规则解答(1) 俗称:《哥德巴赫猜想》偶数个数1+1 。 ②素数组合规则解答(2) 俗称:《哥德巴赫猜想》奇数个数1+1+1 ③自然数顶层设计一一素数组合规则(3) 等共三篇数论。 以上共六篇是继承发扬中国传统《周易》古老哲学智慧，应用创新演化成的新学说，逻辑思维中式演算。 独特之处是：不存在陷入小数泥潭难以自拔窘境，不釆用含糊数学术语、个性化代替规则的数字闹剧。 是交叉学科的枢纽学术精髓，是大数据芯片“和”与“积”区分智能程序，是世界数学不可思议素数问题顶级难题突破，是基础前沿科学烧脑系统工程。 为突破世界数学难题一一素数问题各种猜想僵局开创先河，从怎样发现素数系统到自然数构造自成体系论述，新学说见到了“光明”。 体现中国文化成为能够影响世界未来的优秀文化，东方还有易经理论可超越ζ函数、殆素数理论的中国六爻轮回级数筛法，更明智的解析理念、创新方法！ 有中国文化自信，作为共和国的长子“老三届”就有新学说理论自信，让世界再分享新时代中国文明文化传承！ 还研究了奇葩世界数学难题，著作了《角谷猜想解析》，《周氏猜测解说》，《数的新模式》，还有…… 拙作均已发表在百度文库成为共享文档，为适应读者了解其内容特写此提示，欢迎世界永久评阅！ 作者：中国数论研究者江西省景德镇市乐平林登发职称经济师

世界数学未解难题

世界数学难题 千禧年大奖难题的悬赏题目 克雷数学研究所所设立的千禧年大奖难题悬赏的七个待解问题中仍未得到解决六个题目是： 复霍奇猜想（数学） 黎曼猜想（数学） 杨-米尔斯存在性与质量间隙（量子力学） 纳维-斯托克斯存在性与光滑性（计算流体力学） 贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（数学） 堆垒数论 哥德巴赫猜想及哥德巴赫弱猜想 华林问题中的和的值 考拉兹猜想（猜想、角谷猜想） 吉尔布雷斯猜想 数论：素数 孪生素数猜想 是否存在无穷多个四胞胎质数 是否存在无穷多个三胞胎质数 是否存在无穷多个x2+1素数 是否存在无穷多个表兄弟素数 是否存在无穷多个六质数 是否存在无穷多个梅森素数（OEIS中的数列OEIS:A000688，Lenstra-Pomerance-Wagstaff此问题的等价问题是，是否存在无穷多个偶完全数 是否存在无穷多个规则素数，且其分布密度是 是否存在无穷多个卡伦素数（OEIS中的数列OEIS:A005849） 以10为基数时是否存在无穷多个回文素数（OEIS中的数列OEIS:A002385）当时，是否每个费马数（OEIS中的数列OEIS:A000215）都是合数？ 78,557是否是最小的谢尔宾斯基数（OEIS中的数列OEIS:A076336）？509,203是否是最小的黎瑟尔数（OEIS中的数列OEIS:A101036）？ 是否存在无穷多个欧几里得数 普通数论 abc猜想 是否存在奇完全数（OEIS中的数列OEIS:A000396）？ 是否存在拟完全数（quasi-perfect number）？

是否存在奇的奇异数（weird number）？ 证明196是利克瑞尔数 证明10是个孤独数（solitary number）（OEIS中的数列OEIS:A095739）对任意给定的，幸福结局问题的解法 拉姆齐理论 拉姆齐数的值，特别是 范·德·华登数的值 普通代数 希尔伯特第16问题 阿达马猜想 是否存在完美长方体 组合数学 幻方（OEIS中的数列A006052）的数目 通过随机选择的两个元素产生对称群的概率的公式 图论 Erd?s-Gyárfás猜想 图的同构问题 关于单位距离的图的色数的Hadwiger-Nelson问题 为逾渗阈值得到一种闭式表达式，特别是（二维方格模型） 分析 Schanuel猜想 Lehmer猜想 Pompeiu问题 欧拉-马歇罗尼常数是否无理数 每个被有限表达的周期群是否都是有限的？ 逆伽罗瓦问题 普遍化的星号嵌套深度问题 不变子空间问题 黑洞归并的建模 天使问题

数学家的故事16 黎曼

黎曼 数学享有崇高的声誉还有一个原因，是数学为精密的自然科学提供了某种可靠的变量，没有数学，它们是无法做到的。 ——爱因斯坦 最美妙的对比 作家曹雪芹(约1715—1763)一生只写了一部《红楼梦》，可是这部作品值得用金边把它镶嵌起来。这用来形容黎曼的工作同样十分恰当。在短促的一生中，黎曼的全部著述合起来只有不厚的一卷，可是他的每一篇论文无不具有深远的革命意义。可以这样说，没有黎曼的工作，近代科学思想的伟大革命就不可能实现，除非后来有人创造出黎曼所发明的概念和数学方法。可惜在他发明的大树结出硕果以前，他已经与世长辞。要是当时的医学达到今天的水平，他至少还能多活二三十年，那么，在科学史上将会用金光闪闪的大字这样写着：“黎曼——19世纪的牛顿、爱因斯坦!” 1826年9月17日，乔治·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼诞生于德国北部汉诺威的伯莱塞兰士村。父亲乔治是村里路德新教的牧师，年轻的时候曾经参加过反对拿破仑的战争。母亲卡萝廷·爱芭是法庭顾问的女儿。他们俩一共生育了6个子女，伯恩哈德排行第二。汉诺威当时相当落后，农村里因为缺少牲口，还普遍在用人力拉犁。偏僻乡村的小牧师的薪金少得可怜。要养活偌大的8口之家，不能不显得捉襟见肘，力不从心。因此，黎曼家的孩子个个身体瘦弱，营养不良，他们大都过早地离开了人世。母亲也在孩子们长大以前结束勤劳的一生。但是，物质生活的清苦，没有剥夺黎曼一家生活的温暖和愉快。父母亲善良的心地和

温和的性格给子女们以良好的影响。兄弟姐妹们相亲相爱，其乐融融。伯恩哈德一生始终保持着儿时生活的美好回忆，并对故乡怀有深深的思念之情。 小黎曼生性十分胆小，羞怯。他不敢在公众场合中露面，更害怕在大庭广众中讲话。一切熟悉黎曼的朋友都喜爱他腼腆谦逊的性格。可是，在科学思想上，他却是出奇地大胆。他蔑视一切困难险阻，在科学的领地上纵横驰骋，创造出一个又一个奇迹。这实在是在一个人的身上可能有的最最美妙的对比。 不久，父亲调到魁克彭工作。5岁的小黎曼开始在父亲指导下学习。老黎曼是位优秀的教师。他娓娓动听的讲解激起孩子强烈的求知欲望。小黎曼对历史最感兴趣。波兰人民争取独立和自由的历史，深深震撼着孩子幼小的心灵。他含着热泪，一遍又一遍地听父亲讲述这些可歌可泣的历史的诗篇。 小黎曼在6岁学习算术。在兄弟姐妹当中，他的数学天赋一开始就显得异常突出。父亲绞尽脑汁出的难题不但难不倒他，反而激起他更大的热情。很快，他就学父亲的样子，编题目给弟弟妹妹做。他的题目构思巧妙，别具一格，甚至把老黎曼也吸引住了。没有丰盛的食物，没有漂亮的衣服，一家人围着一张破旧的小圆桌，在数学百花园里追逐游戏，在面红耳赤的争论中享受到最大的乐趣。创造的喜悦使小黎曼激动万分。等到大家好不容易地越过他设计的第一个“陷阱”，他已经布置好了又一座更加引人人胜的“迷宫”。一上l0岁，小黎曼跟从一位名叫肖尔兹的老师学习几何和更高深的算术。肖尔兹是当地有名的教师。可是他很快发现，自己已经落在学生的后面。小黎曼对问题的解答常常比自己的更快更好。 读书在当时的汉诺威是属于少数有钱人家的奢侈品。黎曼夫妇看到伯恩哈德比其他的孩子聪明得多，决心尽一切力量把他培养成一个有学问的人。小黎曼14岁的时候，父亲送他到汉诺威的祖父家中，进了当地的大学预科学校。离开温暖可爱的家庭，来到一个陌生的环境，小黎曼感到很不适应。他寒伧的穿着和羞涩内向的性格成了富家子弟们取笑的对象。他感到孤独。即使自己的学习成绩总是在全班名列前茅，也不能使他得到安慰。只有在亲人们的生日临近的日子里，他才感到真正的快乐：他可以借这个难得的机会来施展一下自己创造的才能。虽然口袋里只有少得可怜的几文钱，小黎曼每次总能够准备出一份使亲人们惊叹不已的礼物。第二年，在母亲生日的时候，小黎曼设计制作了一张可以永久使用的日历，来祝愿她老人家健康长寿。这件精致的、别出心裁的作品产生了预想不到的效果。小黎曼的创造天才受到全班一致的公认。从此以后，连最调皮的同学都来向他讨好，再也没有人来嘲笑和欺侮他了。 两年以后，祖父不幸病逝。在汉诺威已经没有别的亲人。小黎曼只好转学来到罗尼堡的

复变函数2.1 解析函数的概念与柯西-黎曼条件

§ 1 解析函数的概念与柯西—黎曼条件 1. 复变函数的导数与微分 复变函数的导数定义，形式上和数学分析中单元函数的导数定义一致。因此， 微分学中几乎所有的求导基本公式，都可不加更改地推广到复变函数上来。 定义2.1 设函数w=f(z)在点z 0的邻域内或包含z 0的区域D 内有定义，考虑 比值: z z z f z f z w 00)()(--=??=)0()()(00≠??-?+z z f z f z z ， 如果当Z 按任意方式趋于z 0时，即当z ?按任意方式趋于零时，比值z w ??的 极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数f (z )在点z 0的导数，并记为0()f z '， 即: 00000()()()lim lim z z z f z f z w f z z z z →→-?'==?-, (2.1) 这时称函数f (z )于点z 0可导。 （2.1）的极限存在要求与z ?趋于零的方式无关，对于函数的这一限制，要 比对于实变量x 的实值函数y=)(x ?的类似限制严得多。事实上，实变函数导数 存在性的要求意味着：当点x x ?+0由左（0?x ）两个方向趋 于x 0时，比值x y ??的极限都存在且相等。而复变函数导数存在性的要求意味着： 当点z z ?+0沿联接点z 0的任意路径趋于 点z 0时，比值z w ??的极限都存在， 并且这些极限都相等。 和导数的情形一样，复变函数的微分定义，形式上与实变函数的微分定义一 致。 设函数w=f(z)在点Z 可导。于是 )(lim 0z f z w z '=??→?, 即是: 0lim ,)(0=+'=??→?ηηz z f z w ， ∈+?'=?z z f w )(。

解析函数柯西黎曼方程

1 引言 解析函数是复变函数论研究的主要对象．Cauchy-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件，它在复变函数论中的重要作用和地位是不言而喻的．文献[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件，文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann 方程等价形式． 现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多，这些文章已经将它们证明研究得比较深刻，但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多，至于应用也很少提到．所以对它的进一步研究和总结还是有其积极意义的． 本文先介绍可微、解析定义，给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程，再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式．

2 基本概念与定理 定义2．1 [1] 设函数()w f z =定义于区域D ， 0z D ∈．如果极限 000 ()() lim z z z D f z f z z z →∈-- 存在，则称()f z 在0z 点可导或可微，其极限值称为函数()f z 在0z 点的导数，记为0'()f z 或 (z z df z dz =） ．即 000 ()() lim '()z z f z f z f z z z →-=-． 有了函数在一点可微的概念以后，下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数． 定义2．2 [1] 如果函数()w f z =在区域D 内每一点都可微，则称()f z 在D 内解析， 并称()f z 是区域D 内的解析函数． 如果函数()f z 在0z 的某一邻域内解析，则称()f z 在0z 点解析．而函数()f z 在闭区域D 上解析，即存在区域G ，使D G ?，而()f z 在G 内解析． 若在区域D 内除了可能有些例外点外，函数()f z 在D 内其它各点都解析，则这些例外点称为()f z 的奇点． 例1 试证明(Re f z z z =） 在0z =点可微，但在z 平面上任何点都不解析． 证： 先证(f z ）在0z =点可微．因 0 00()(0)Re lim lim lim Re 00z z z f z f z z z z z →→→-===- 故(f z ）在0z =点可微，且'(0)0f =． 设00z ≠，令000z x iy =+，则0x ，0y 至少有一个不为零．又令z x iy =+，考虑极限

黎曼猜想：跨世纪难题

科技前沿博学丛书 黎曼猜想：跨世纪难题 叶鹰编著 内容提要 这是一册对著名开放数学难题“黎曼猜想”进行系统阐述的高级科普读物。作者对这一延续近150年的跨世纪难题作了独到诠释，并对7个千禧年数学大奖问题作了介绍。全书风格简明，文笔健朗，将历史故事穿插于数学公式之间，兼顾知识性、趣味性和学术性，既有启发意义，又有研究价值，可供大学生、研究生阅读和数学爱好者参考。 跨世纪难题黎曼猜想一览无余 千禧年大奖七大问题尽在其中

目录 序潘云鹤开篇词 1 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想 比“明珠”更亮的“宝珠”在闪光…… 2 理解黎曼猜想 黎曼猜想的表述…… 3 壮志难酬英雄何处 一代又一代数学家的努力付之东流…… 4 纯粹数学航标 解决黎曼猜想的意义…… 5 解决费马猜想的启示 用迂回战术解决黎曼猜想的思路…… 6 激励数学进步的猜想 数学猜想小会聚…… 7 未来展望 开放难题征解…… 深入研究参考文献 结束语 丛书后记

序 科学技术正在以惊人的速度突飞猛进，这一状况导致的后果之一是科学技术前沿离公众能理解和接受的平台越来越远；同时，科学技术也正在以前所未有的深度和广度影响着经济发展和社会生活，这一状况又导致公众对科学技术前沿的关注和了解的热情更加高涨。因此，通过科普著作，拉近公众与科学技术前沿的距离、让公众认识并理解科学技术前沿的精粹，是一项具有重大现实价值和深远意义的工作。科技前沿博学丛书的策划和出版正好能符合这一需求。 科技前沿博学丛书包含的黎曼猜想、统一场论、碳笼化学、基因工程、信息科技、纳米技术等，都是科学技术前沿的著名难点和热点。作者采集大量最新信息，以通俗易懂的视角和语言形式将深奥的科学问题与技术成就简明扼要地展现在读者面前，可以说既是对科学技术前沿的发展综述，也是对现有科学技术成果普及化的再组织。 出版科技前沿博学丛书是一项具有战略眼光的工作，这套丛书兼顾知识趣味性和学术严谨性，将科技前沿的基础知识和最新进展浓缩在不多的篇幅中，适合现代快节奏生活中的人们阅读，并将在启迪青年学生的科学兴趣方面独具特色，进而为科教兴国做出积极贡献。 中国工程院院士 浙江大学校长 2002年7月12日