数学建模
制动器试验台的控制方法分析
摘 要
本文首先利用能量等效和扭矩平衡建立数学模型，解决前三个问题；其次以能量误差和控制稳定性等作为评定指标评价各控制方法的优劣；最后利用数字PID 、模糊自适应PID 等控制方法解决了最后两个问题。
问题一由于路试车辆指定的车轮在制动时所承受的载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时等效的转动惯量，所以根据能量守恒1E =2E ，求得的转动惯量J =51.9989 kg.m 2。
问题二根据公式()
2
2
2r R m J +=可计算出由3个飞轮组合成的8种惯量，再加上基础
惯量即得机械惯量，结果分别是10 kg.m 2、39.9931 kg.m 2、69.9862 kg.m 2、129.9724 kg.m 2、99.9793 kg.m 2、159.9655 kg.m 2、189.9586 kg.m 2、219.9517 kg.m 2；电动机补偿的惯量为12.0058 kg.m 2。
问题三，由于在制动过程中，制动器吸收的能量为dt t t T E B
ω?=
21，制动扭矩dt d J
T B ω=，电流产生的扭矩k I
T A =，根据m e J J J -=及A T 与B T 的关系式B m A T J
J J T ?-=，得到电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型()dt d J J k I m ω-=。将
问题三中给出的条件代入此模型，得到驱动电流为=I 174.83A 。 问题四利用三种方法对控制算法的优劣进行评价，第一种是计算能量误差的大小，通过所给数据求出能量绝对误差为1241.385682J ，能量相对误差为2.38%。第二种做出转速、制动扭矩、角减速度、时间之间的散点图，分析图形知该控制算法下角减速度变化频率很高，变化幅度在0到12（rad/s 2）之间。制动扭矩上升时间较长，上升速率较小；制动阶段制动力矩不稳定、波动比较大；波动的振幅约为10 N.m ，约为平均制动力矩的4.1%，而且振动频率高。第三种利用工程控制中的理论分析该控制算法对应的控制系统的性能，将其转化为一阶系统的单位阶跃响应；系统主要指标如延迟时间、上升时间较大、振荡次数过多。
问题五，经过大量模型的筛选，采用了两种较好的控制方法，第一种方法按照问题三中建立的数学模型进行基本预测计算，根据前一个时间段观测到的瞬时转速与瞬时扭矩，计算得出本阶段的电流值。第二种采用数字PID 控制方法，这主要考虑到在制动器试验台模拟应用中,被控过程机理复杂,具有非线性、时变不确定性和纯滞后等特点。 问题六，通过对问题五的分析，虽然数字PID 控制方法优于基本预测计算，但是其自适应能力较差，对系统参数扰动的鲁棒性不强。因此考虑采用模糊自适应PID 控制方法进行完善，该方法不仅PID 参数的整定不依赖于数学模型,并且稳定性能好,可靠性高，可以实时调整电机转速，能量损耗小于原来的20%。
关键词：制动器试验台 能量守恒 PID 控制方法 制动扭矩 仿人智能控制
一、问题重述
本论文是对制动器试验台控制方法的分析。为了检验制动器试验台设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。
路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。对于等效的转动惯量为45.7 kg·m2的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机械惯量设定为40 kg·m2，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。
一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。
评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。
本题要求解答如下问题：
1、设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转
动惯量。
2、飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、
0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪
些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为[-30, 30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？
3、建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。在问题1和问题2的条件下，假
设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。
4、对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·m2，机械惯量为35 kg·m2，主轴初转速
为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。
5、按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭
矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。
6、第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算
机控制方法，并作评价。
二、基本假设
1、假设路试时轮胎与地面的摩擦力无穷大，轮胎与地面无滑动；
2、假设模拟时，试验台仅安装试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动
器；
3、假设模拟实验中，主轴的角速度与车轮的角速度始终一致；
4、假设忽略车轮自身转动具有的能量；
5、假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比；
6、假设题目中给出的数据真实、可靠，能够正确反映出有关关系；
7、假设计算能量误差时，不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。
8、假设本制动器适应于水平制动的工况，不考虑垂直制动的工况。
三、符号说明
r：表示车轮的滚动半径；
r：表示飞轮的外直径；
1
r：表示飞轮的内直径；
2
h：表示飞轮的厚度；
ρ：表示钢材的密度；
V：表示飞轮的体积；
m：表示飞轮的质量；
M：表示车辆的质量；
G：表示制动时车轮承受的载荷；
v：表示车辆平动时的速度；
ω：表示飞轮和主轴等结构制动时的角速度；
J：表示主轴上负载的等效转动惯量；
J：表示基础惯量；
b
J：表示机械惯量；
m
J：表示电动机在一定控制电流下产生的等效惯量；
e
T：表示在制动试验过程中, 电动机输出的扭矩；
A
T：表示制动扭矩（在制动器实验台上可准确测出）；
B
m T ：制动器的扭矩
1E ：表示车辆平动时具有的能量；
2E ：表示飞轮和主轴等结构转动时具有的能量；
I ：表示试验台采用的电动机的驱动电流；
四、问题的分析
问题一要求根据题目中给出的滚动半径和制动时承受的载荷计算等效的转动惯量，因为路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，即等效的转动惯量。有能量守恒可以得到1E =2E ，整理代入数据即可得到等效的转动惯量。
问题二给出飞轮组可以由三个不同厚度的环形钢制飞轮组成，问可以组成哪些机械惯量。且对于问题一中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量。由飞轮
的内外直径，钢材密度求出每个飞轮的质量，再根据公式()
2
2
2r R m J +=得每个飞轮的单
惯量，任意选取飞轮个数组成飞轮组，计算出可组成的惯量和，再加上基础惯量即得机械惯量；对于问题一得到的等效机械惯量，可以把机械惯量设定为上述机械惯量的某一种，用等效转动惯量减去机械惯量就是要补偿的惯量，但电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30, 30] kg·m 2所以只能选取补偿惯量在[-30, 30] kg·m 2范围内的。 问题三要求建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型，并在问题一二的条件和问题三中给出的已知条件下计算驱动电流。惯性式制动器试验台上由固定飞轮和电机共同模拟产生的等效转动惯量一部分是由固定飞轮和主轴等机械部分得到，另一部分的惯量是制动试验过程中由电动机在一定规律的电流控制下产生的。在制动过程中，制动
器吸收的能量为dt t t T E B
ω?=
21，电动机输出一个扭矩A T ，其中制动扭矩与角减速度和等
效转动惯量的关系为dt
d J T B ω
=，由此可推导出A T 与制动扭矩B T 的关系式，因为一般假
设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比，继而推出电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。因为问题三中制动减速度为常数，即可把模型特殊化，再根据建立的模型求解出在已知条件下的驱动电流。
问题四要求利用某种控制方法试验得到的数据对该方法执行的结果进行评价。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下补偿由于机械惯量不足而缺少的能量。所以评价优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，即所设计的路试时的制动器与相应的实验台上制动器在制动过程中消耗的能量之差。除了从实验的总体效果上进行评价外，还可根据数据做出扭矩与时间的关系图、转速与时间的关系图、角减速度与时间的关系图、角减速度与扭矩的关系图等图来分析该控制算法的稳定性、灵敏性等的优劣。此外还可以利用工程控制中的理论分析该控制算法对应的控制系统的性能，如上升时间、稳定性能等。
问题五要求按照问题三导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。本论文
通过大量方法的筛选采用两种算法，第一种算法就是按照问题三中建立的数学模型进行计算，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与瞬时扭矩，得出本阶段的电流值。第二种算法则考虑到在制动器试验台电惯量模拟应用中,被控过程机理复杂,具有非线性、时变不确定性和纯滞后等特点，采用了数字PID 控制。最后对这两种算法的优缺点进行了评价。
问题六要求判断问题五给出的控制方法是否存在不足之处，若存在不足重新设计一个更完善的计算机控制方法，并作评价。问题五中采用了普通预测控制和数字PID 控制两种控制方法，普通预测控制精度、稳定性最低，上升时间长，数字PID 控制的精度、稳定性大大提高，上升时间变短。但是PID 算法自适应能力较差，对系统参数扰动的鲁棒性不强。因此考虑采用模糊自适应PID 控制, 在PID 控制稳定性能好,可靠性高的基础上，不仅PID 参数的整定不依赖于数学模型,并且PID 参数能够在线调整,以满足实时调整电机转速控制的要求。
五、模型的建立与求解
问题一：等效的转动惯量的计算
路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量在本题中称为等效的转动惯量。台架试验模拟的原理如图一[3]所示：
图一 惯性制动器试验台的工作原理图
1E 表示车辆平动时具有的能量，2E 表示飞轮和主轴等结构转动时具有的能量；
则
1E 22
1
Mv = ……………………（1.1）
2E =
2
2
1ωJ ……………………（1.2） 路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷即此题中的车辆的重力
G Mg = ……………………（1.3） 由于模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致，故有：
r v ω= ……………………（1.4）
由于车辆平动时具有的能量等效的转化为实验台上飞轮和主轴等结构转动时具有
的能量，
据此由能量守恒得
1E =2E ……………………（1.5）
把（1.1）、（1.2）、（1.3）、（1.4）式代入（1.5）式整理
J g
Gr 2
= ……………………（1.6） 其中r =0.286m ，6230=G N ，g =9.8N/kg ； 解得 J =51.9989kg.m 2
即车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m ，制动时承受的载荷为6230 N 时等效的转动惯量为51.9989 kg.m 2。 问题二：机械惯量以及补偿惯量
转动惯量是刚体绕轴转动惯量的度量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。
所以本题利用计算转动惯量的公式求解出三个飞轮每个飞轮的单惯量，又飞轮组可以选取若干个飞轮固定到主轴上，本题中有3个飞轮，根据题意可以组成32个飞轮组。
每个飞轮的体积()
h r r Sh V 2221-==π ……………………（2.1） 飞轮的质量m =V ρ ……………………（2.2） 环型飞轮组转动惯量的计算公式[1]：
()
2
2
2r R m J += ……………………（2.3）
把（2.1）、（2.2）式代入（2.3）式可得
()()()()
2
224
4222222r R h r R h r R r R m J -=+-=+=ρπρπ ……（2.4）
其中1r =0.5m ，2r =0.1 m ，ρ=7810kg/m 3，h 分别取0.0392 m ，0.0784 m ，0.1568 m ；把数值代入（2.4）式解得每个飞轮单惯量分别是：29.9931 kg.m 2、59.9862 kg.m 2、
119.9724 kg.m 2。
又因为b J =10 kg.m 2，所以可以组成的机械惯量有八种，分别为10 kg.m 2、39.9931 kg.m 2、69.9862 kg.m 2、129.9724 kg.m 2、99.9793 kg.m 2、159.9655 kg.m 2、189.9586 kg.m 2、219.9517 kg.m 2。
电动机能补偿的能量相应的惯量范围为[-30，30] kg.m 2，对于问题一中的等效转动惯量51.9989 kg.m 2，可以把机械惯量设定为39.9931 kg.m 2或者69.9862 kg.m 2，所以需要用电动机补偿的惯量为12.0058 kg.m 2或-17.9873 kg.m 2。因为基于消耗能量最小的原则，所以需要用电动机补偿的惯量为12.0058 kg.m 2。 问题三：建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型
制动器试验台的结构图如下所示：
图二 制动器试验台的结构图[4]
在制动过程中，制动器吸收的能量可由下式表示： dt t t T E B
ω?=
21 ……………………（3.1） 式中1t 表示制动开始时刻，2t 表示制动结束时刻； 制动扭矩
dt
d J
T B ω
= ……………………（3.2） 由（3.1）、（3.2）式推导出
()
212
22
1ωω-=
J E ……………………（3.3） 式中1ω表示制动开始时制动轴的角速度，2ω表示制动结束时制动轴的角速度。 为了满足（3.3）式，在惯性式制动器试验台上由固定飞轮和电机共同模拟产生的J 一部分是由固定飞轮和主轴等机械部分得到，另一部分e J 是制动试验过程中由电动机在一定规律的电流控制下产生的[2]。为此,在制动试验过程中, 电动机需输出一个扭矩A T ,A T 需满足以下两点：
（1）A T 与m J 共同作用后，保证制动器吸收相当于J 作用时的能量。 （2）A T 作用后，保证制动器按与（3.1）式一致的时间函数关系吸收能量。 机械惯量m J 与电动机在一定控制电流下产生的等效惯量e J 之间的关系为
m e J J J -= ……………………（3.4）
由（3.1）、（3.2）、（3.4）式推导出 dt t t dt
d J dt t t dt d J E
e m ωωωω??+=
2121 ………………（3.5）
根据（3.5）式可知：制动器吸收的机械能中
dt t t dt
d J
e ωω?21部分的能量需电动机产
生的。所以
A T =dt
d J e
ω
……………………（3.6） 由（3.2）、（3.4）、（3.6）式推出
B m
A T J
J J T ?-=
……………………（3.7） 本论文中假设试验台采用的电动机的驱动电流I 与其产生的扭矩A T 成正比（本论文中比例系数k =1.5 A/N·m）；所以 I 与A T 的关系可表示为
k
I
T A =
……………………（3.8） 把（3.2）、（3.8）式代入（3.7）式推导出 ()dt
d J J k dt d J J J J k I m m ω
ω-=?-?
= ………（3.9） 即得到电动机驱动电流I 依赖于可观测量的数学模型如下：
()
dt
d J J k I m ω
-= 由问题三假设制动减速度为常数即dt
d ω
为常数，设飞轮转动的方向为正方向，所以dt
d ω取正，由初始速度0v =50km/h=9125m/s ，末速度t v =0m/s ，时间t =5.0s ，
r =0.286m ；
由加速度a =
t
v v t 0-，dt d ω=r a
由问题一、二知：J =51.9989 kg.m 2，m J =40 kg.m 2
由模型解得 =I 174.83A
问题四：对控制方法的评价 评价指标一：能量误差的大小
本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制
动过程中消耗的能量之差。为了使模型简化忽略掉观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。
1E 表示车辆平动时具有的能量，2E 表示飞轮和主轴等结构转动时具有的能量，即
1E 221
Mv = …………………（4.1）
2E =
2
2
1ωJ …………………（4.2） 路试车辆的指定车轮在制动时承受的载荷在车辆平动时具有的能量等效地转化为
试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，据此可以得到：
21E E = …………………（4.3）
由于模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致，故有：
r v ω= …………………（4.4）
由（4.1）、（4.2）、（4.3）、（4.4）式可以推导出：
J =2Mr …………………（4.5）
主轴的初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，在这个过程中，每隔10 ms 为一段进行数据采集，共进行了468次，每次的角速度表示为i ω（=i 0，1，2……467），每次的转速表示为i n （=i 0，1，2……467）；
60
2i
i n πω=
…………………（4.6） 路试时车辆刹车消耗的能量为：
22032121t Mv Mv E -==()
2
020022
1t Mr ωω- …………（4.7）
其中，00ω主轴的初始角速度，t 0ω主轴的末角速度；
相对应试验台上制动器再制动过程中消耗的能量为：
∑=+??? ??-=467
02124212
1i i i J J E ωω=()∑=+-4670212
21i i i J ωω ……（4.8）
利用EXCEL 处理表中的数据，得到的结果见附录（一）。
能量消耗的绝对误差为：34E E d -= …………（4.9）
已知J =48（kg.m 2），由附件中给出的数据计算得3E =52150.2001J ，
4E =53391.58578J
把（4.5）、（4.6）、（4.7）、（4.8）式代入（4.9）式
解得
d = 1241.385682J
能量消耗的相对误差为：
%1003
?=
E d
A = 2.38% 能量消耗的相对误差在工程误差的允许范围(5%)之内,可见该控制算法有一定的可取之处.但是能量消耗的绝对误差比较大,多余的能量消耗是由于控制算法的缺陷导致电动机额外做功进行补偿的(忽略掉制动过程中风阻、轴承摩擦等阻力产生的与飞轮的旋转方向相反而导致的能量损耗)。 评价指标二：
该控制算法下的控制系统的性能，如上升时间、稳定性能。
对论文所附带的数据利用MATLAB做转矩、转速与时间的散点图分别如图三、图四所示。
图三制动扭矩与时间的关系图
从图三中可以看出，在0-0.5s之间，制动扭矩快速增加，在0.7s之后制动扭矩趋于稳定，处于波动状态。在稳定制动阶段，即制动力矩增加到平稳制动状态时，平均制动力矩约为281.3478N.m,而制动力矩波动的振幅约为10 N.m，约为平均制动力矩的4.1%，显然制动力矩的波动比较大，而且振动频率高，导致一些能量的损耗。这些都显示出该控制算法的内在缺陷。
图四转矩与时间的关系图
从图四可以看出在0-1s的时间内，转速变化很不均匀，而在1-4.67s之间从总体上看转速随时间是均匀变化的，由此可见该控制算法的目的在于使得转速均匀减小，
即匀减速制动。在匀减速阶段施加的制动扭矩是稳定的。
结合图三、图四可以发现：在开始时由于施加的制动扭矩是变化的，没有达到稳定值，因此不是匀减速制动，而路试时车辆刹车认为始终是匀减速的，开始阶段的非匀减速制动导致了能量的额外消耗，这是能量消耗误差的主要来源。可见该算法在的上升时间有些长，上升速率有些慢。
总之，图三、图四显示该控制算法的不足之处主要有：上升时间较长，上升速率较小。制动阶段制动力矩不稳定、波动比较大、振动频率高。
图五角减速度与时间的关系图
如图五所示，随时间的变化，角减速度变化频率很高，变化幅度为0-12rad/s2，变化幅度比较大，平衡点约为5.1rad/s2。
图六角减速度与制动扭矩的关系图
图六中，随着制动扭矩的逐渐增大，最终稳定在区间[269.2805 293.4153 ]N.m,角减速度稳定在[0 12]rad/s2。
由上面图五、图六可以得到在该控制算法下角减速度变化频率很高，变化幅度比较大。实际上，将图四放大可以发现，速度总体上是匀减速，但相邻点的速度值频繁的浮动变化，这是由于角减速度变化频率很高，变化幅度比较大导致的，这也显示出该控制算法存在一些不足；下面用一些定量的数据来描述该方法。
评价指标三：
利用图三中制动扭矩与时间的关系可以分析该控制算法下的控制系统性能。
描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标[5-6]。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号（在本题中输入量为角减速度，刚开始时为零）作用前处于静止状态，而且输出量及其各阶导数
均等于零。对于大多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。
图七 单位阶跃响应
d t ：表示延迟时间，即响应曲线第一次达到其终值一半时间所需的时间； r t ：表示上升时间，即响应从终值10%上升到终值90%所需的时间；
p t ：表示峰值时间，即响应超过其终值到达第一峰值所需的时间；
s t ：表示调节时间，即响应到达并保持在终值±5%内所需的最短时间；
%σ：表示超调量，即响应的最大偏离值与终值的差与终值比的百分比
%σ=
()()
%100max ?∞∞-c c c ； ()p t h ：表示最大偏离值；
()∞h ：表示终值，终值是通过对后面的振荡数据利用最小二乘法原理计算得出的。
因为%σ=
()()
()
?∞∞-h h t h p 100%，则若()p t h <()∞h ,响应无超调。
对数据段中所存的数据经过统计，由图三可以得出如下的性能指标。
终值： 281.3479N.m 上升时间：0.455s 延迟时间：0.315s
最大超调量：题目中的最大值是在中间出现的，应视为异常值，无超调量。 稳态变化范围：269.2805N.m-293.4153 N.m 1、如果是作为二阶系统，其典型的传递函数是：
()2
22
22n
n n
s S ωζωω++=Φ， 由于上面的系统无超调量，显然是过阻尼系统（即 ζ>1）,通过下面的两个公式：
???
?
???++=++=n r n d t t ωζζωζζ2
25.112.06.01 可以计算出：=ζ-1.353，7598.1=n ω或ζ=0.46，n ω=4.1851
由于不满足ζ>1,因此该系统不是二阶系统，由于高阶系统的性能是很复杂的，而
且有些性能可以简化为二阶系统进行分析，因此将本题系统作为一阶系统进行描述。 2、作为一阶系统，其典型的传递函数是：
1
1
)(+=
Ts s φ 其中暂态性能指标为：上升时间：0.455s ，延迟时间：0.315s
振动次数N 是在调节时间内，响应曲线偏离终值的振荡次数，显然本题中只要不停止就会一直振荡下去。
r t =2.2T,由图三和题目中给出的数据可知r t =0.58s ，故T=0.264s ，
图八 制动扭矩与角减速度的关系图
输入量为角减速度，由图八可知，输入量可以认为是单位脉冲响应。转换到时域，输出就是=h 1-T t e /-=1-t e 79.3-。
波动原因分析：
由图三可以看出，在稳定制动阶段，施加的制动力矩波动较大。从试验计算结果及系统的运动特性分析，其波动较大的原因主要与三个方面有关：
（1）在制动过程中，驱动电机虽然频率降到零，不再有电磁力矩作用，但由于转速在不断下降与波动，驱动电机转子所需的惯性力也不断波动，使弹簧给摩擦片的压
力有一定波动，从而使制动力矩也发生较大的波动。
（2）与制动弹簧有关，在制动过程中，弹簧一直处于振动状态。 （3）控制算法存在一定缺陷。 问题五：设计计算机控制方法及评价
方法一：
在本题中,由于计算机采集到的是离散量,可以采集到扭矩和转速，根据问题三中角速度与转速的关系，可由转速推出角速度。下面用角速度进行推导。每隔t ?时间采集一次数据，将制动时间分为多段。只要取得t ?足够小，就可以认为t
t t t ?-?+=)
()(ωωβ，
在时间段[t t t ?+）内，根据问题三中建立的模型进行推导： 设t 时刻时的角速度为)(t ω，t t ?+时刻的角速度为)(t t ?+ω，
=?)(t ω)(t t ?+ω－)(t ω
)()(t J
t
T t t m ωω+?=
?+ t 时刻时的电流为)(t I ，t t ?+时刻的电流为)(t t I ?+,根据时间段[t t t ?+）内的角速度变化量推导出t t ?+时刻的电流
)(t t I ?+=K(J －m J ) )(t ω?
根据t t ?+时刻的电流，又可以推出t t ?+2时刻的角速度为：
)2(t t ?+ω=
+-?+?)260)((602J
T K t t I t m
ππ)(t t ?+ω 依此类推，便可以得到I 、n 、t 等量的关系。
基于上述思想进行迭代计算，基本预测算法的程序流程图如图九所示，
图九基本预测算法的程序流程图
用MATLAB进行编程，基本预测算法的代码见附录（二），随后用问题四的数据进行了测试，其具体代码见附录（三）。
图十 基本预测方法得到的图像
与图三相比，图十中的上升时间有所缩短，振动幅度也减小了。但上升时间并不足够小，而且还存在明显的振荡。
该种算法能够根据前一小段时间的转速变化来得到下一段时间的电流输入值，依次迭代下去。但显然该算法存在较多问题，例如对于外来扰动处理有些不足。因为根据问题三建立的数学模型推导出来的模型忽略掉了很多因素，在制动器试验台电惯量模拟应用中,被控过程机理复杂,具有非线性、时变不确定性和纯滞后等特点。在噪声、负载扰动等因素的影响下,过程参数甚至模型结构均会随时间和工作环境的变化而变化。
方法二：PID 控制方法 （1）模拟PID 控制的原理
[7]
PID 控制是最早发展起来的控制策略之一，因为其调节器结构简单，容易实现，参数易于整理，适用面广，此外PID 控制方案并不要求受控对象的精确的数学模型，而直接根据偏差的比例、积分和微分进行控制，控制效果一般是比较令人满意的。 PID 控制的原理如下：在控制系统中，PID 调节是把设定速度值和实际速度值相减，得到控制偏差，偏差经比例、积分、微分运算后通过线性组合构成控制量，然后对电动机转速进行控制。模拟PID 控制原理如图十一：
图十一 模拟PID 控制原理
比例、积分、微分在算法中的作用如下：
比例环节：即成比例的反映控制环节的偏差信号()t e ，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。
积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱取决于积分时间常数1T ，1T 越大，积分作用越弱，反之则越强。
微分环节：能反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。
（2）数字PID 调速的原理
广义上说，控制器也是一种滤波器，故要求出与模拟PID 控制器等效的数字式PID 。利用数字PID 控制原理进行电机调速控制。模拟PID 控制器的是通过三种控制作用的适当配合来控制一个变量。控制作用的数学表达式如下：
()t m =()()()??
?
??
?++
?t
d
i dt t de T dt t e T t e K 0
1
…………………（5.1） 式中：()t e ：表示控制器的输入信号；
()t m ：表示控制器的输出信号；
K ：表示比例增益； i T ：表示积分时间； d T ：表示微分时间。
数字式的PID 控制原理如图十二：
图十二 数字式的PID 控制原理图
模拟PID 的传递函数为：
()()()??
????++==
s T s T K s E s M s G d i 11 …………………（5.2） 将（5.1）式离散化并利用梯形求和近似积分项：
()()()()()[]()()()[]?
?????
--+??????+-+++=T T K e KT e T KT e T K e T e e T T KT e K KT m d i 121...20 =()()()[][]?
?????--++-+∑=T K e KT e T T hT e T h e T T KT e K d
k h i 12)(])1[(1 …………………（5.3）
式中：)(KT m 、)(KT e 分别为数字式PID 控制器的输出、输入时间序列。 定义 )(2
)
()]1[(hT f hT e h e =+-且有f )0(=0 …………………（5.4）
则
)()(2)(])1[(1
1kT y hT f hT e T h e k
h k
h ==+-∑∑== ………………（5.5） 于是 [])()1()(kT f T k y kT y =-- 对上式进行Z 变换，得
)()()(1z F z Y z z Y =-- 化简即是
)(11
)(1
z F z
z Y --=
对（5.5）进行Z 变换：
[])()()(2)(])1[(11z Y kT y Z hT f Z hT e T h e Z k h k h ==??
????=??????+-∑∑== 再对（5.5）进行反Z 变换： [])()()(211z F z E z E z =+-=[]
)(12
1
1z E z -+ 所以
??
????+-∑=k h hT e T h e Z 12)(])1[(= )(112111z E z z ---+ 再将（5.3）式进行Z 变换： )()1(11)(11z E z K z K K z M D I
P ??
????
-+-+=-- ……………（5.6） 式中 ：I i P K K T T K K 2
1
)21(-=-= ……比例增量 i
I T T
K K = ……积分增量 T
T K
K d
D = ……微分增量 由上式可得数字式PID 控制器的脉冲传递函数为 )1(1)()
()(11
---+-+==
z K z
K K z E z M z G D I P D ………………（5.7） 即（5.7）式称为位置式PID 控制器的脉冲传递函数，也是式（5.2）所表征的模拟式
PID 控制器的等效数字式PID 控制器。 （3）数字PID 调速的实现
试验台电机调速系统中，要通过单片机控制变频器，从而控制电动机的转速，采用 串行通讯的方式控制变频器的输出，由脉冲编码盘采集速度作为反馈信号输入单片机， 由单片机进行PID 控制运算，将计算结果通过串口输出到变频器。键盘用来设置转速， 液晶显示制动时的转速。 （4）PID 控制方法的评价
采用PID 控制具有结构简单,稳定性能好,可靠性高等优点,但是在制动器试验台电惯量模拟应用中,被控过程机理复杂,具有非线性、时变不确定性和纯滞后等特点。在噪声、负载扰动等因素的影响下,过程参数甚至模型结构均会随时间和工作环境的变化而变化，因此试验台的自动控制部分采用模糊自整定PID 控制算法。
问题六：完善计算机控制方法及评价
试验台的自动控制部分采用模糊自整定PID 控制算法。PID 控制具有结构简单,稳定性能好,可靠性高等优点，但是在制动器试验台电惯量模拟应用中，被控过程机理复杂,具有非线性、时变不确定性和纯滞后等特点。在噪声、负载扰动等因素的影响下，过程参数甚至模型结构均会随时间和工作环境的变化而变化。模糊自适应PID控制,不仅PID 参数的整定不依赖于数学模型,并且PID参数能够在线调整,以满足实时调整电机转速控制的要求。被控制量是制动轴的转速 ，控制量为控制变频器输出频率的变化量u，设定值为理想条件制动轴的转速。计算得到与理想制动轴转速的差值e以及转速差值的变化率ec作为模糊控制器和PID 控制器输入,而变频器的调节频率的变化量u是PID控制器的输出。
模糊自整定PID 参数控制系统结构[8]主要由参数可调节PID和模糊控制系统两部分组成，如图十三所示。其中模糊控制器是模糊控制系统的核心,其主要完成对输入量的模糊化、规则库设计、推理机和输出量反模糊化等任务。
图十三模糊自整定PID参数控制系统
模糊自整定PID程序流程图如图十四所示。
数学建模典型例题
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
数学建模与计算机的重要性
数学建模与计算机的联系及重要性 摘要：在当今科技发达的今天，计算机已经得到了广泛的应用，也为数学建模的计算提供了有力工具。本文浅谈了数学建模与计算机在人类生产和生活中的重要性。 关键词：数学建模计算机重要性 当今社会计算机已经被广泛的应用了，在计算机的协助下许多问题的求解变得简单、方便、快捷。而数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,验证模型的合理性,并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。在科技迅猛发展的今天计算机和数学建模在人类的生存和发展中都具有举足轻重的作用。 一、数学建模与计算机息息相关 其一、我们在模型求解时,有些计算单纯的用纸和笔是难以完成的，这就需要利用计算机上机计算、编制软件、绘制图形等,当结果通过计算机算出后也必须通过打印机随时进行输出。其二、数学建模的学习对计算机能力的培养也起着极大推动作用,如报考计算机方向的研究生时,对数学的要求非常高;在进行计算机科学的研究时,也要求有极强的数学功底才能写出具有相当深度的论文,计算机科学的发展也是建立在数学基础之上的,许多为计算机的发展方面做出杰出贡献的人，在数学方面也颇有造诣。我们在遇到一些实际问题时往往需要计算机和数学建模同时应用才能解决问题，否则问题将无法进行。数学问题与计算机通常采用一些数学软件（lingo,Matlab,MathCAD 等等）的命令来描述算法，既简单又容易操作。例如下面有这样一道
题就是利用数学软件lingo 求解的。 例1 某工厂有两条生产线,分别用来生产M 和P 两种型号的产品,利润分别为200元每个和300元每个,生产线的最大生产能力分别为每日100和120,生产线没生产一个M 产品需要1个劳动日(1个工人工作8小时称为1个劳动日)进行调试、检测等工作,而每个P 产品需要2个劳动日,该工厂每天共计能提供160个劳动日,假如原材料等其他条件不受限制,问应如何安排生产计划,才能使获得的利润最大？ 解 设两种产品的生产量分别为1x 和2x ,则该问题的数学模型 为: 目标函数 12max 200300z x x =+ 约束条件 1212100,120,160, 0,1,2. i x x x x x i ≤??≤??+≤??≥=? 编写LINGO 程序如下: MODEL: SETS: SHC/1,2 /:A,B,C,X; YF/1,2,3 /:J; ENDSETS DATA: A=1,2 ; B=100,120; C=200,300; ENDDATA
什么是数学模型与数学建模
1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。
数学建模竞赛简介
数学建模竞赛简介 数学建模就是建立、求解数学模型的过程和方法，首先要通过分析主要矛盾，对各种实际问题进行抽象简化，并按照有关规律建立起变量，参数间的明确关系，即明确的数学模型，然后求出该数学问题的解，并通过一定的手段来验证解的正确性。 数学建模竞赛于1985年起源于美国，起初竞赛题目通常由工业部门、军事部门提出，然后由数学工作者简化或修正。1989年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990年我国开始创办我国自己的大学生数学建模竞赛。1993年国家教委（现教育部）高教司正式发文，要求在全国普通高等学校中开展数学建模竞赛。从1994年开始，大学生数学建模竞赛成为教育部高教司和中国工业的应用数学学会共同主办，每年一届的，面向全国高等院校全体大学生的一项课外科技竞赛活动。2010年全国共有30省(市、自治区)九百多所院校一万多个队三万多名大学生参赛，成为目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动。数学建模竞赛是教育主管部门主办的大学生三大竞赛之一。 现在的竞赛题目来源于更广泛的领域，都是各行各业的实际问题经过适当简化，提炼出来的极富挑战性的问题，每次两道题，学生任选一题，可以使用计算机、软件包，可以参阅任何资料(含上网参阅任何资料)。竞赛以三人组成的队为单位，三人之间通力合作，在三天三夜内完成一篇论文。不给论文评分，而是按论文的水平为四档：全国一等奖、全国二等奖、赛区一等奖，赛区二等奖，成功参赛奖。我校于2001年开始参加这项竞赛活动。多次获全国一等奖、二等奖、湖北赛区一等奖、二等奖。 数学建模竞赛活动培养了学生的创造力、应变能力、团队精神和拼搏精神，适应了21世纪经济发展和人才培养的挑战。不少参加过全国大学生数学建模竞赛的同学都深有感触，他们说：“参加这次活动是我们大学四年中最值得庆幸的一件事，我们真正体会这几年内学到了什么，自己能干什么。”“那不寻常的三天在我们记忆中留下了永恒的一瞬，真是一次参赛，终身受益。”团队精神贯穿在数学建模竞赛的全过程，它往往是成败的关键。有些参赛队员说：“竞赛使我们三个人认识到协作的重要性，也学会了如何协作，在建模的三天中，我们真正做到了心往一处想，劲往一处使，每个人心中想的就是如何充分发挥自己的才华，在短暂的时间内做出一份尽量完善的答卷。三天中计算机没停过，我们轮流睡觉、轮流工作、轮流吃饭，可以说是抓住了每一滴可以抓住的时间。”“在这不眠的三天中，我们真正明白了团结就是力量这个人生真谛，而这些收获，将会伴随我们一生，对我们今后的学习，工作产生巨大的影响。”
2017全国数学建模竞赛B题
2017年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） B题“拍照赚钱”的任务定价 “拍照赚钱”是移动互联网下的一种自助式服务模式。用户下载APP，注册成为APP的会员，然后从APP上领取需要拍照的任务（比如上超市去检查某种商品的上架情况），赚取APP对任务所标定的酬金。这种基于移动互联网的自助式劳务众包平台，为企业提供各种商业检查和信息搜集，相比传统的市场调查方式可以大大节省调查成本，而且有效地保证了调查数据真实性，缩短了调查的周期。因此APP成为该平台运行的核心，而APP中的任务定价又是其核心要素。如果定价不合理，有的任务就会无人问津，而导致商品检查的失败。 附件一是一个已结束项目的任务数据，包含了每个任务的位置、定价和完成情况（“1”表示完成，“0”表示未完成）；附件二是会员信息数据，包含了会员的位置、信誉值、参考其信誉给出的任务开始预订时间和预订限额，原则上会员信誉越高，越优先开始挑选任务，其配额也就越大（任务分配时实际上是根据预订限额所占比例进行配发）；附件三是一个新的检查项目任务数据，只有任务的位置信息。请完成下面的问题： 1.研究附件一中项目的任务定价规律，分析任务未完成的原因。 2.为附件一中的项目设计新的任务定价方案，并和原方案进行比较。 3.实际情况下，多个任务可能因为位置比较集中，导致用户会争相选择，一种 考虑是将这些任务联合在一起打包发布。在这种考虑下，如何修改前面的定价模型，对最终的任务完成情况又有什么影响？ 4.对附件三中的新项目给出你的任务定价方案，并评价该方案的实施效果。 附件一：已结束项目任务数据 附件二：会员信息数据 附件三：新项目任务数据
数学建模的作用意义
数学建模的背景： 人们在观察、分析和研究一个现实对象时经常使用模型，如展览馆里的飞机模型、水坝模型，实际上，照片、玩具、地图、电路图等都是模型，它们能概括地、集中地反映现实对象的某些特征，从而帮助人们迅速、有效地了解并掌握那个对象。数学模型不过是更抽象些的模型。 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子（称为数学模型），然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个全过程就称为数学建模。 近半个多世纪以来,随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用,而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。 不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并计算求解。人们常常把数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用比喻为如虎添翼。 数学建模日益显示其重要作用，已成为现代应用数学的一个重要领域。为培养高质量、高层次人才，对理工、经济、金融、管理科学等各专业的大学生都提出“数学建模技能和素质方面的要求”。 数学建模在现代社会的一些作用 (1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻，虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出了许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。(2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不再仅仅作为一门科学，它是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。国际上一位学者提出了“高技术本质上是一种数学技术”的观点。 (3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才
数学建模常用方法
数学建模常用方法 建模常用算法,仅供参考： 1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必 用的方法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通 常使用L i n d o、L i n g o软件实现） 4、图论算法（这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用） 7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种 暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计 算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用） 10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文 中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理） 一、在数学建模中常用的方法： 1.类比法 2.二分法 3.量纲分析法 4.差分法 5.变分法 6.图论法 7.层次分析法 8.数据拟合法 9.回归分析法 10.数学规划（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划） 11.机理分析 12.排队方法
大学生数学建模竞赛的由来与发展
大学生数学建模竞赛的由来和发展 自古以来，各种竞赛方式历来是各行各业培养、锻炼和选拔人才的重要手段。凡竞赛实际上都有准备阶段、临场发挥和赛后总结、提高三个阶段。参赛者通过这三个阶段来接受挑战并锻炼提高自己。当然，也不是参加竞赛的人都能成为人才，获得优胜的选手参赛者如果不善于总结自己的长处和缺点，不断提高的话，也未必能发展成为优秀人才。诚然，如果太强调竞赛的功利性，也可能产生各种各样的弊病，副作用会大过正作用，使竞赛变了味，也就可能失去了培养、锻炼和选拔人才的功能。 就培养选拔科技人才而言，各种学科的竞赛也起到了很大的作用。就数学科学来说，很多国家都有面向中学生或大学生的数学竞赛，甚至还有国际或地区性的数学竞赛。例如，就后者而言，有从1959年开始举办的中学生国际奥林匹克数学竞赛(The International Mathematical Olympiad (IMO), 有兴趣的读者可以访问网址http://www.imo.math.ca/), 有从1994年开始举办的国际大学生数学竞赛(International Mathematics Competition for Universtiy Students, IMC, 有兴趣的读者可以访问网址https://www.wendangku.net/doc/844054942.html,/ ), 北美(美国和加拿大)普特南大学生数学竞赛(The William Lowell Putnam Mathematical Competition, 有兴趣的读者可以访问网址https://www.wendangku.net/doc/844054942.html,/或https://www.wendangku.net/doc/844054942.html,/ )。 因为大学生数学建模竞赛诞生于美国，而且其源起与普特南数学竞赛有关，加之这个竞赛是培养出许多优秀数学家和科学家的竞赛，所以在本章，我们从普特南数学竞赛谈起。 本章包括普特南(Putnam)数学竞赛、大学生数学建模竞赛、为什么要参加大学生数学建模竞赛和怎样参加大学生数学建模竞赛四节。 1 普特南(Putnam)数学竞赛 普特南和他的想法 W. L. 普特南(William Lowell Putnam, 1861 ~ 1924, 美国律师和银行家), 1882年毕业于哈佛大学。他深信在正规大学的学习中组队竞赛的价值. 他在哈佛毕业生杂志1921年12月那期上写了一篇文章中阐述了大学间智力竞赛的价值和优点。在他去世后，他的遗霜Elizabeth Lowell Putnam (1862-1935)于1927年建立了“普特南大学间对抗纪念基金(William Lowell Putnam Intercollegiate Memorial Fund)”。第一个由该基金资助的是校际英语竞赛。由该基金资助的第二次试验性竞赛是于1933年举行的10名哈佛大学的学生和10名西点军校的学生间一次数学竞赛。由于那次竞赛十分成功，于是就产生了举行所有感兴趣的大学和学院都可以参加的类似的年度竞赛的想法。但是直到1935年Elizabeth去世都没有举行过这样的竞赛。到了1938年才决定由美国数学协会来管理这个基金和组织了第一次正式的竞赛。 普特南数学竞赛 现在普特南数学竞赛的时间是每年12 月第一周的星期六，共进行两试，每试3 小时、6道题，每题10分。该竞赛是彻底闭卷的考试, 在限定的时间内主要测试参赛者思维敏捷、推理和计算的能力。竞赛分个人和团体(组队)，一个学校可以组织一个由三名学生组成队，名列前茅者有奖金奖励。竞赛前几年，团体前三名的奖金分别为$500、$300 和$200，个人前五名每人可获奖金$50，并成为Putnam 会员(Putnam fellow)。近年来，奖励团体前五名的大学的数学系的奖金分别为$25000(每个队员可得到$1000奖金)、$20000(每个队员可得到$800奖金)、$15000(每个队员可得到$600奖金)、$10000(每个队员可得到$400奖金) 和$5000(每个队员可得到$200奖金)。个人前五名每人可获奖金$2500，并成为Putnam 会员。5-15名每人可获奖金$1000，16-26名每人可获奖金$250。当然更重要的不是金钱奖励，而是
全国大学生数学建模竞赛论文
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名)：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：指导教师组 日期：年月日 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
论文标题 摘要 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。 一般说来，摘要应包含以下五个方面的内容： ①研究的主要问题； ②建立的什么模型； ③用的什么求解方法； ④主要结果（简单、主要的）； ⑤自我评价和推广。 摘要中不要有关键字和数学表达式。 数学建模竞赛章程规定，对竞赛论文的评价应以： ①假设的合理性 ②建模的创造性 ③结果的正确性 ④文字表述的清晰性 为主要标准。 所以论文中应努力反映出这些特点。 注意：整个版式要完全按照《全国大学生数学建模竞赛论文格式规范》的要求书写，否则无法送全国评奖。
数学建模比赛的选拔问题
数学建模比赛的选拔问题 卢艳阳 王伟 朱亮亮 （黄河科技学院通信系，） 摘要 本文是关于全国大学生数学建模竞赛选拔的问题，依据数学建模组队的要求，每队应具备较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件等的综合实力，在此前提下合理的分配队员，利用层次分析法，建立合理分配队员的数学模型，利用MATLAB ，LONGO 工具求出最优解。、 问题一：依据建模组队的要求，合理分配每个队员是关键，主要由团队精神、建模能力、编程能力、论文写作能力、思维敏捷以及数学知识等等，经过讨论分析，确定良好的数学基础、建模能力，编程能力为主要参考因素。 问题二：根据表中所给15人的可参考信息，我们对每个队员的每一项素质进行加权，利用层次分析法选出综合素质好的前9名同学，然后利用0-1规划的相关知识对这9人进行合理分组，利用MATLAB 、LINGO 得到其中一个如下的分 组：'1s 、10s 、4s ；2s 、11s 、14s ；6s 、13s 、8s 问题三：我们将所选出的这9名同学和这个计算机编程高手的素质进行量化加权，然后根据层次分析法，利用MATLAB 工具进行求解，得出了最佳解。由于我们选取队员参考的是这个人的综合素质，而不是这个人的某项素质，并由解出的数据可以看出这个计算机编程高手不能被直接录用。所以说只考虑某项素质，而不考虑其他的素质的同学是不能被直接录用的。 问题四：根据前面三问中的分组的思路，我们通过层次分析法先从所有人中依据一种量化标准选出符合要求的高质量的同学，然后利用0-1变量进行规划，在根据实际问题的约束，对问题进行分析，然后可以得出高效率的分组。
2020全国大学生数学建模竞赛试题
A题炉温曲线 在集成电路板等电子产品生产中，需要将安装有各种电子元件的印刷电路板放置在回焊炉中，通过加热，将电子元件自动焊接到电路板上。在这个生产过程中，让回焊炉的各部分保持工艺要求的温度，对产品质量至关重要。目前，这方面的许多工作是通过实验测试来进行控制和调整的。本题旨在通过机理模型来进行分析研究。 回焊炉内部设置若干个小温区，它们从功能上可分成4个大温区：预热区、恒温区、回流区、冷却区（如图1所示）。电路板两侧搭在传送带上匀速进入炉内进行加热焊接。 图1 回焊炉截面示意图 某回焊炉内有11个小温区及炉前区域和炉后区域（如图1），每个小温区长度为30.5 cm，相邻小温区之间有5 cm的间隙，炉前区域和炉后区域长度均为25 cm。 回焊炉启动后，炉内空气温度会在短时间内达到稳定，此后，回焊炉方可进行焊接工作。炉前区域、炉后区域以及小温区之间的间隙不做特殊的温度控制，其温度与相邻温区的温度有关，各温区边界附近的温度也可能受到相邻温区温度的影响。另外，生产车间的温度保持在25oC。 在设定各温区的温度和传送带的过炉速度后，可以通过温度传感器测试某些位置上焊接区域中心的温度，称之为炉温曲线（即焊接区域中心温度曲线）。附件是某次实验中炉温曲线的数据，各温区设定的温度分别为175oC（小温区1~5）、195oC（小温区6）、235oC（小温区7）、255oC（小温区8~9）及25oC（小温区10~11）；传送带的过炉速度为70 cm/min；焊接区域的厚度为0.15 mm。温度传感器在焊接区域中心的温度达到30oC时开始工作，电路板进入回焊炉开始计时。 实际生产时可以通过调节各温区的设定温度和传送带的过炉速度来控制产品质量。在上述实验设定温度的基础上，各小温区设定温度可以进行oC范围内的调整。调整时要求小温区1~5中的温度保持一致，小温区8~9中的温度保持一致，小温区10~11中的温度保持25oC。传送带的过炉速度调节范围为65~100 cm/min。 在回焊炉电路板焊接生产中，炉温曲线应满足一定的要求，称为制程界限（见表1）。 表1 制程界限 界限名称 最低值 最高值
第1章 数学建模与误差分析
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
系统的描述与数学建模
系统的描述与数学建模 [摘要]数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。 [关键词]系统的建模数学建模 数学建模就是利用数学方法将系统的文字语言描述转化成数学方式表达。由于影响系统的因素多种多样，当用数学表达系统时，我们要求尽可能要使得数学建模既能从本质上反映系统，又能使得系统的数学模型具有简单性。一个极其复杂的数学模型对于分析系统毫无帮助。 为了说明这种数学建模的方法，我们举一个简单的例子。比如我们研究某一地区人口的健康状况。假定在我们的研究时段内没有人口的自然死亡，按照自然规律人口总是以一定的概率，变成亚健康、或者患上某种轻疾病、或者患上重疾病。在一定的环境和医疗条件下，部分亚健康者和患者会得以康复，这是一种简单运算的系统描述，并没有具体地给出定量表达。为了能用数学的方法表达这个描述，我们按照以下方式将人口分类：（1）健康人。（2）亚健康人。（3）患轻病人。（4）患重病人。 根据上面的关系和一些假定条件，我们可以得到相应的微分方程，至于方程的详细导出我们以后再讨论。这里我们需要指出，前面我们只是一种说明性的举例，在实际建模过程中，要依赖于系统所在的环境，按照前面方法得到的应是确定性模型，在随机环境中，上面所述的量应当对应成相应状态的概率。 再比如排队系统，是最常见的一种系统，这类系统主要描述顾客到达，接受服务然后离开这一过程。系统由顾客与服务员两个单元组成。这类问题主要由以下四个因素决定：（1）顾客来到窗口的频率。（2）窗口的个数。（3）排队规则。（4）服务时间分布；所以我们必须对它们作适当的假定。 在单个服务台的排队系统模型M/M/1，即系统只设一个服务台床的情况。假定顾客是相互独立地到达系统，而且顾客到达系统的间隔时间服从负指数分布 F(t)=1-e -λt (输入过程)，又服务窗为每一位顾客的服务时间也同时服从负指 数分布H(t)=1-e -μt (运行方式)。对这种最简单的排队模型，我们将依照不同的系统规则确定排队系统所满足的微分方程。 M/M/1损失制排队模型是指系统内只设一个服务窗，系统容量为1（即有一个排队位置而无排队等待位置），顾客到达和窗口服务时间均为负指数分布，且
全国数学建模大赛题目
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
数学建模中常见的十大模型讲课稿
数学建模中常见的十 大模型
精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测
2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
数学建模优化问题经典练习
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
数学建模中的重要问题解答
数模模拟赛论文 我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为：B12 职务姓名学号学院专业和班级 队长张林10251003201 数学与计算科学学院2010数学与应用数 学2班 队员陈强10251003106 数学与计算科学学院2010数学与应用数 学1班 队员庞阳华10251003230 数学与计算科学学院2010数学与应用数 学2班
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 北京市水资源短缺风险综合评价 一．摘要 本文以北京地区水资源短缺风险问题及北京市水资源短缺情况数据来进行综合评价，首先构造隶属函数]5[以评价水资源系统的模糊性，其次利用logistic 回归模型模拟和预测水资源短缺风险发生的概率，而后建立了基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型，最后利用判别分析识别出水资源短缺风险敏感因子并提出改进方案。 本文最大的亮点是采用采用Logistic回归模型来模拟缺水量系列的概率分布，logistic回归方法具有对因变量数据要求低、计算结果唯一、模型精度高等优点。 二．问题重述 近年来，我国水资源短缺问题日趋严重，尤其是北京水资源短缺已成为焦
数学建模 自习室管理系统
一．问题重述： 近年来，大学用电浪费比较严重，集中体现在学生上晚自习上，一种情况是去某个教室上自习的人比较少，但是教室的灯却全部打开，第二种情况是晚上上自习的总人数比较少，但是开放的教室比较多，这要求提供一种最节约、最合理的管理方法。根据题目所给出的数据，有以下问题。数据见表。 1．假如学校有8000名同学，每个同学是否上自习相互独立，上自习的可能性为0.7. 要使需要上自习的同学满足程度不低于95%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过90%。问该安排哪些教室开放，能达到节约用电的目的。 2．在第一问基础上，假设这8000名同学分别住在10个宿舍区，现有的45个教室分为9个自习区，按顺序5个教室为1个区，即1,2,3,4,5为第1区，…， 41,42,43,44,45为第9区。这10个宿舍区到9个自习区的距离见表2。学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系，距离近则满意程度高，距离远则满意程度降低。假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。请给出合理的满意程度的度量，并重新考虑如何安排教室，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。另外尽量安排开放同区的教室。3．假设临近期末，上自习的人数突然增多，每个同学上自习的可能性增大为0.85，要使需要上自习的同学满足程度不低于99%，开放的教室满座率不低于4/5，同时尽量不超过95%。这时可能出现教室不能满足需要，需要临时搭建几个教室。 假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。搭建的教室紧靠在某区，每个区只能搭建一个教室，搭建的教室与该区某教室的规格相同（所有参数相同），学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。问至少要搭建几个教室，并搭建在什么位置，既达到节约用电目的，又能提高学生的满意程度。