华师大版数学七下《第九章多边形》word学案

D

C

【学习课题】第1课时 三角形相关概念及三角形分类

【学习目标】1、认识三角形的基本元素：三顶点、三边、三角，会正确地用三种语言表示它们。 （一）解读教材 三角形的有关概念

在图9.1.3（1）中画着一个三角形ABC .三角形的顶点采用大写字母A 、B 、

C 或K 、L 、M 等表示，整个三角形表示为△ABC 或△KLM （参照顶点的字母）.

如图9.1.3（2）所示，在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠ACB ；三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如∠ACD 是与△ABC 的内角∠ACB 相邻的外角.图9.1.3（2）指明了△ABC 的主要成分.

图9.1.3

请结合教材内容，完成以下内容：

即时练习：如右图：

1、图中有三个三角形，分别是_______、_________、__________；.

2、△ABD 的三边为：______、________、_________；

3、△ADC 的三角为：______、________、_________；

4、在△ABC 中，∠C 的对边是______、BC 的对角是________。 二、阅读P60页试一试 做一做

C

??????????

不等腰三角形角形只有两边相等的等腰三等边三角形等腰三角形三角形???

???

?

??

?钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形F

E

D C

B

什么是等腰三角形 什么是等边三角形 回答图9.1.6问题做一做 在图9.1.6中找出等腰三角形、正三角形、 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.

填空：已知AB ⊥BC 直角三角形ABC 记作Rt △ABC,读作“RT 三角形ABC ”边是______________，∠___+∠____=90°

（二）挖掘教材： 三角形的分类：

按边分类： 按角分类：

（以上内容同学们在小学就涉及过，现在将它们整理在了一起，请同学们记忆。数学中的分类是很重要的知识，它将影响很多选择题或判断题） 【达标检测】

如图：已知CD ⊥AB ，DF ⊥AC

1、 图中有几个三角形？ 它们是______________________________________

2、 图中有______个直角三角形,它们是Rt △CDB 、___________________________________;

3、 据测量，图中有______个锐角三角形，它们是______________________;

4、 据测量，图中有______个钝角三角形，它们是______________________;

5、 在Rt △ACD ，两锐角是___________________，它们俩互_____，斜边是__________,直角边是

_______________, AC 的对角是_________; 6、下图中有几个三角形，你是怎么数的？

（ 达标检测 1——5题图） 6题图 【资源链接】数学的三种语言

数学语言是用于数学交流的表达方式，一般它包含三种语言：文字语言、符号语言、图形语言。这三种语言之间的关系，并不完全象英语与汉语的关系，要么英译汉，要么汉译英。在数学中，我们有时候要互相翻译它们，有时候又要一起用。例如“如图”，你就要盯着图往下看，“在△ABC 中”，这里面又有文字又有符号，我们无法将它们完全分开。所以，一道几何题，通常是三种语言一起表达才能说得清楚。

但有一点请注意，在几何题中，图形语言最重要，我们要一边读题，一边将题目中的条件用专用符号画到图形中，最后就只用盯着图推理了。所以，同学们要做有心人，当一类图形反复出现，就说明这类图形我们应当对它进行系统研究并记忆了。就象我们学习完全平方公式时对系数的记忆一样，在以后的学习

C

B

A

中会给我们带来极大的帮助。

【学习课题】 第2课时 三角形的三边关系

【学习内容】 三角形的三边关系

【学习目标】掌握“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”定理 【学习重点】会判断三条线段能否组成三角形 【学习难点】已知两边，会求第三边的范围 【学习过程】课前准备： 1、阅读教材65至67页； 2、三角板，铅笔。

3、线段公理：两点之间，_______________. （一）解读教材：三角形三边的关系

做一做 画一个三角形，使它的三条边长分别为7cm 、5cm 、4cm.

如图9.1.12，先画线段AB ＝7cm ；然后以点A 为圆心，5cm 长为半径画圆弧；再以点B 为圆心，4cm 长为半径画圆弧；两弧相交于点C ，连结AC 、BC.△ABC 就是所要画的三角形.

图

9.1.12

试一试 以下列长度的各组线段为边，能否画一个三角形？

（1）7cm,4cm,2cm; （2）9cm,5cm,4cm.

在上述画图的过程中，我们可以发现，并不是任意三条线段都可以组成一个三角形的.在三条线段中，如果两条较短线段的和不大于第三条最长的线段，那么这三条线段就不能组成一个三角形.

三角形的任何两边的和大于第三边.

用三根木条钉一个三角形，你会发现再也无法改变这一个三角形的形状和大小，也就是说，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这人性质叫做三角形的稳定性.用四根木条钉一个四边形，你会发现可以任意改变这个四边形的形状和大小，这说明四边形具有不稳定性. （二）挖掘教材：对三角形三边关系的理解 1、三角形任意两边之差会怎样？ (1) 做一做：如右图，测量、计算、判断

AB=_______cm, BC=_________cm, CA=________cm; AB-AC____BC, AC-BC____AB, AB-BC____AC

由上面得到结论：三角形任意_____________________________

(2)数学不仅需要测量、计算、判断，更重要的是推理。如何证明这个结论呢？（提示，前面已经得到了“任

意两边之和大于第三边”，可以由它来推导） 2、已知两边，求第三边的范围

（1）已知一个三角形有两条边长度分别是3cm 、5cm ，第三边长度可以为以下哪些数据？ 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm, 7cm, 8cm, 9cm,10cm.

（2）下图是上题中的3cm 的边保持不动，将5cm 的边在旋转，请观察第三边（虚线）的变化范围，你认为要构成三角形，虚线长度最短接近_______cm ，最长接近________cm 。

图3

（3）其实，前面完成学案中中我们已经得到了c b a >+和c b a <-两个结论了，所以，将它们综合一

下得到：b a c b

a +<<-，再保证一下长边减短边，最佳结论为：

b a

c b a +<<-||，这就是第

三边的范围了。

即时练习：已知一个三角形有两条边长度分别是4cm 、9cm ，则第三边x 的范围是________________. 反思拓展：

1、三边形的三边有什么关系？

2、如何迅速判断所给的三条线段如能不能构成三角形？

3、已知两边，如何求第三边的范围？ 【达标检测】

1、下列三边长度一定能组成三角形的有（ ）

（1）a+2，a+3，a+4（a > 0）；（2）比为2：3：5；（3）5；3、4；（4）3x ，5x ，2x+1。 2、以下列各组线段为边，不能组成三角形的是（ ）

（1）3cm ，4cm ，5cm （2）8cm ，7cm ，14cm （3）2cm ，9cm ，9cm （4）6cm ，7cm ，13cm 。

3、三角形的两边长为2和5，则第三边长的取值范围是多少？若他的周长是偶数。则第三边长应为多少？

4、三角形的各边长均为整数，若两边之和为3，，则此三角形的周长为多少？

5、已知⊿ABC 有两边长相等，周长为40，其中两边之比为3：2，求这个三角形各边的长。

6、设a 、b 、c 为△ABC 的三边，化简∣a ＋b ＋c ∣∣a ＋b －c ∣a －b －c ∣ 【学习课题】

第3课时 三角形的内角和定理

【学习过程】（一）课前准备

1、剪刀、三角板、量角器、铅笔

3、平角= ° 两直线平行 角相等 2、平行线的性质： 两直线平行 角相等

两直线平行 角互补

A

5、三角形的内角和感性认识

①用量角器测量三角形ABC 的三个内角，∠A=_______，∠B=_______，∠C= ，∠A+∠B+∠C= °

②自己做一个三角形，标上字母，并用剪刀将三个角剪下来，拼到一起，它是一个 角， ∠A+∠B+∠C= °

③做一个三角形纸片，它的三个内角分别为∠1，∠2和∠3

图1

图2

（如图2）将∠1撕下摆放，∠1的顶点与∠2的顶点重合。 观察：AB 与CD 的位置 （二）解读教材：

三角形内角和定理的理性认识：

8、在撕纸的过程中，我们发现了三角形内角和定理的证明方法

已知：△ABC

求证：∠A+∠B+∠ACB=180°

证明：过C 作AB 的平行线CE

∵ CE ∥AB （辅助线的作法）

∴ ∠A=∠ACE （两直线平行，内错角相等） 又∵ AB ∥CE

∴ ∠B+∠BCE=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°

挖掘教材 你还有其它的证明方法吗？

7、 过A 作BC 的平行线AE

∵AE ∥BC

∴∠2= （两直线平行 角相等）

∠1= （两直线平行 角相等） 又∵∠1+∠BAC+∠2= °（平角的定义） ∴ +∠ BAC+ = ° B

C

A

D 注意：原图中没有的线，因为解题的需要而添加，这样的线我们叫做辅助线。我们规定辅助线画为虚线。 过C 作C

E ∥AB 就是本题辅助线的作法，在证明中，它可以作理论依据。

证：

延长BC 至F 过C 作CE ∥AB

∵ CE ∥AB （辅助线的作法）

∴ ∠1= （两直线平行， ） ∠2= （两直线平行， ） ∵ BF 是直线（辅助线的作法）

∠BCA+∠1+∠2= °（平角的定义） ∴∠BCA+ + = °

9、三角形内角和定理的应用

即时练习：在△ABC 中，∠A=90°，∠B=60°，∠C= ° 在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C ，∠C= °

在△ABC 中，若∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为3∶3∶4，则三个角的度数为 反思小结：我们可以通过测量，撕纸，数学证明的方法得到三角形三个内角的和是180° 做平行线来证三角形的内角和是最常见的辅助线方法。 [达标测评] 10、在△ABC 中，∠A=∠B=∠C ，求∠A 的度数。 11、在△ABC 中，∠A=20°，∠C=50°，求∠B 的度数 12、在△ABC 中，∠A=150°，∠B=10°，求∠C 的度数 13、在△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，求∠C 的度数

14、在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=3∶2∶1，求∠A 、∠B 、∠C 的度数 15、在△ABC 中，∠A=55°，∠B 比∠C 大25°，则∠B 等于多少度 16、判断题：在一个三角形，三个内角的度数可以都小于60°

【学习课题】 第4课时 三角形的内角和与外角和

【学习目标】 1、熟记三角形内角和定理，会利用它求内角的大小

2、认识三角形的外角，经历三角形的外角定理的推导

3、会利用三角形的外角定理计算推导三角形外角和

【学习重点】利用三角形内角和定理及外角定理求角度

【学习难点】利用方程的思想求三角形内角的大小，理解三角形的外角定理并利用它计算 【学习过程】 学习准备：

1、三角形三个内角的和等于＿＿＿

2、在△ABC 中，已知∠A ＝80°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝＿＿＿

3、同角或等角的＿＿＿相等，同角或等角的＿＿＿相等 解读教材

利用三角形内角和定理，知道两个内角的大小可以求第三个角，事实上知道内角之间的关系也可以求内角的大小

例1：△ABC 中，∠A －∠B =40°，∠C －∠A=10°,判断△

解：由∠A －∠B =40°得∠B =∠A －40°，由∠C －∠A=10

∴设∠A 为x °，则∠B 为 ，∠C 为

又∵∠A ＋∠B ＋∠C =180°∴ （列方程）

解得x = ∴∠A= , ∠B = , ∠C = , ∴△为 三角形即时练习： 4、已知△ABC 中，∠A ＋∠B =100°，∠C －∠B=20°，求三个内角的大小 有两种方法

5、如图，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D

①图中有 个Rt △，它们分别是 ②图中有 对互余的角，写出来，如∠A ＋∠ACD ＝90°

③∠ACD 与∠B

④图中共有 对相等的角？把它们写出来。

一定要记住图中的等角和余角，在后面全等三角形找相等的角时经常会用到；实际上，利用面积相等法还可以求出线段的长度，如AC ＝3，BC=4,AB=5,则CD ＝ ，此外这个图在学相似三角形和三角函数时还会经常出现。、

挖掘教材：

将△ABC 的BC 边延长，则∠ACD 称作△ABC 的一个外角 ①△ABC 有多少个外角？你能画出来吗？

②探索∠ACD 与△ABC 内角的关系

∵∠A+∠B+∠ACD=180°（ ），

∴∠A+∠B=

又∵∠ACB+∠ACD=180°（ ） ∴∠ACD= , ∴∠ACD ∠A+∠B

用文字叙述为： 三角形的一个外角 和它不相邻的两个内角的和

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 三角形的外角和等于360°（63页做一做） B

D

A

C

D

B

例2：已知D 为AC 上的一点，∠A=∠ABD ，∠ABC =∠C=∠BDC ，求△ABC 各内角的度数 解：设∠A 为x °，则∠ABD 为x °，又∵∠BDC 为△ABD 的一个外角， ∴∠BDC= + = °（ ）， 又∵∠ABC=∠C=∠BDC(已知), ∴∠ABC=∠C= °.

在△ABC 中，∵∠ABC+∠C+∠A=180°（ ）

∴ （列方程），解得x= ，∴∠A= ，∠ABC= ，∠ACB= 即时练习：

① 已知∠A=60°，∠B=50°,则∠ACD= ②已知∠ACD=100°，∠B=40°,则∠A= ③ D 为AC 上的一点，P 为BD 上的一点，且∠A=50°, ∠ABD=30°, ∠DCP=40°,求∠BPC 的度数

课堂小结：①三角形的内角和定理 ②三角形的外角定理 ③方程的思想 课堂达标练习：

6、三角形的第一个角是第二个角的两倍，第三个角比第一个角小20°，则这个三角形的三个内角分别

是 ，它是 三角形

7、∠A ＝

21∠B ＝3

1

∠C,则∠A ＝ ，∠B ＝ ，∠C ＝ ，它是 三角形

8、∠A ＋∠C ＝105°，∠C －∠B ＝20°，∠A ＝ ，∠B ＝ ，∠C ＝ 9、如图：AC ∥DE ，∠A=70°，∠D=105°，则∠ABD= 10、如图，你认为∠A 和∠D 有何关系？为什么？

两种方法：①从同角的余角考虑 ②从等角的余角考虑

【学习课题】第5课时 三角形的角平分线、中线、 高

【学习目标 】1、通过折叠，了解三角形的内角平分线、中线、 2、能在具体的三角形中作出三角形的角平分线、中线 3、能根据三角形的角平分、中线的定义进行相关的推理和计算。 【学习过程】 学习准备：

工具准备：直尺、三角尺、量角器、圆规，不同形状、大小的纸质三角形若干 知识准备：

角平分线的定义：如果一条 线把一个角分成两个 的角，这条 线叫做这个角的平分线。

线段的中点：把一条线段分成两条 的线段的点叫做线段的中点。

解读教材

如图9.1.7所示，取△A B C 边AB 的中点E ，

D

B

E

C

C

B

C

边结CE ，线段CE 就是△ABC 的一条中线；作△ABC 的内角∠BAC 的平分线交对边BC 于D ，线段AD 就是△ABC 的一条角平分线；过顶点B 作△ABC 边AC 的垂线，垂足为F ，结段BF 就是△ABC 的一条高.

显然，△ABC 有三条中线、三条角平分线、三条高. 做一做

下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高

.

把锐角三角形换成直角三角形或钝角三角形，再试一试，你发现了什么？ 可以发现，三角形的三条中线、三条角平分线、三条高________。 阅读教材61—62页：边读，边做。

挖掘教材

例1：如图1，Rt △ABC 中，∠A=90

∴∠CBA=50o ∵BD 是角平分线

∴∠ABD=25o ∴∠ADB=90o-∠ABD=90o-25o=65o 变式训练：如图2，△ABC 中，∠ABC=∠C ，BD 是∠ABC 的平分线，∠BDC=105o，求∠A 的度数。 8、例2，如图4，若BC 是Rt △ADB 中DA 边上的中线，∠D=90o，AB=2BD ，且△BDC 的周长是7， 比△ABC 的周长少2，求BD ，BA 的长。

解： ∵BC 是Rt △ADB 中DA 边上的中线， ∴DC=AC

∵ △BDC 的周长比△ABC 的周长少2 即（AB+BC+CA ）-（BD+BC+DC ）=2 AB-BD=2

又∵AB=2BD

∴2BD-BD=2 ∴BD=2 ∴BA=2BD=4

C

B

变式训练：如图8，在△ABC 中，AB=AC ，中线BD 把这个三角形的周长分成15和16两部分，求BC 边的长。

反思小结

1、 叫三角形的角平分线。

2、 叫三角形的中线。 【达标检测】

1、如图5，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ADB=110o，∠B=40o，则∠C= 度

2、如图6，在△ABC 中，BD 是AC 边上的中线，且AB=6，BC=3，则△ABD 和△DBC 的周长差是

3、如图1，∠A ：∠C ：∠ABC=9：4：5，BD 平分∠ABC ，求∠C 和∠CDB 的度数。

资源链接：O 是△ABC 内一点，且BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB

（1） 若∠B=80°，∠C=60°，求∠BOC 的度数。 （2） 若∠A=40 o，求∠BOC 的度数。 （3） 若∠A=ａ，用ａ含的代数式表示∠BOC

资源链接：

经过四边形的一个顶点画对角线，可以画几条？把四边形分成多少个三角形？四边形的内角和为多少度？经过五边形的一个顶点画对角线，可以画几条？把五边形分成多少个三角形？五边形的内角和为多少度？六边形呢？由此你能得出n 边形的内角和公式吗？在三角形的每个顶点处各取一个外角，三个外角的和叫做三角形的外角和，那么三角形的外角和为多少度？

【学习课题】 第6课时 三角形的高

C

D B

j

C

D B C

D

B

A

【学习目标】1 理解三角形的高的概念，能够用直角三角尺画三角形的高。并感悟高线与垂线的区别联系 2、能用数学语言叙述三角形的高并会用式子表示。 【学习重点】 三角形的高的概念及几何语言表述 【学习难点】 画三角形的高 【学习过程】 学习过程

1、垂线：如果两直线相交成 ，则两直线互相 ，其中一条直线是另一条直线的 。

2、分别过A 、B 、两点作线段a 的垂线 ·C A ·

3、过C 点作线段a 的垂线段 ·

a B

解读教材：

4、理解三角形的高线

阅读教材填空：

〈1〉类比上节课学习的内容谈谈你对三角形高线的认识 〈2〉 高线的叙述： ①AD 是△ABC 的 边上的高。

②AD BC 垂足为D ③∠ =∠ =90°

④ 三角形BC 边上的高AD 是 (线段 射线 直线) 〈3〉三角形高线的定义：

〈4〉识别三角形的高: 如图

① △ABC 中:BC 边上的高 AB 边上的高 AC 边上的高

②OD 是△BOC 的BC 边上的高也是△ 和△ 的高5画高线:

〈1〉 用三角尺画出下列三角形的高线

C

B

C

B

C

B

〈2〉画高线的方法: 放 移: (延长线)

画 标: 〈3〉填表

挖掘教材：

6：指出AD 是哪一个三角形的高线?

C

D

B

C

B

A

B

C

B

D

C

D

E

B

7:例:已知AD 是三角形ABC 的中线

求证: S △ABD ＝S △ACD

8: 画画看：（1）作BC 边上的高线AE

（2）作BC 边上的中线AF （3）作∠BAC 的平分线AH

（4）过A 点作BC 的并行线MN

反思小结：（1）今天学习内容是 语言叙述 式子表示 （2）作高线方法 【达标测评】

1、下列说法正确的是（ ）

A 、三角形的三条高线都在三角形内部

B 、三角形的高线、中线、角平分线都是线段

C 、三角线高线是垂线

D 、三角形角平分线是射线

2已知：∠ACB=90°，CD 是△ABC 的高线∠A=30°

求：∠ACD 、 ∠BCD

3、已知：∠ACB=90° CD ⊥AB AB=13 BC=12

AC=5

求：（1）S △ABC （2）CD 长

4、在△ABC 中，AD 、AE 分别是高和角平分线 ∠B=35°∠C=55°

求∠CAD ∠EAD

第7课时 多边形的内角和与外角和

试一试

三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形（但我们习惯称为三角形）．我们已经知道什么叫三角形，你能说出什么叫四边形、五边形吗？

图9.2.1（1）是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD ；图9.2.1（2）是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE ．一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n 边形，又称为多边形．

图

9.2.1

注 意

我们现在研究的是如图9.2.1所示的多边形，也就是所谓的凸多边形. 与三角形类似，如图9.2.2所示，∠A 、∠D 、∠C 、∠ABC 是四边形ABCD 的四个内角，∠CBE 和∠ABF 都是与∠ABC 相邻的外角，两者互为对顶角.

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形（regular polygon ）.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等.

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边

形的对角线.例如，图9.2.3（1）中，线段AC 是四边形ABCD 的一条对角线；图9.2.3（2）、（3）中，虚线表示的线段也是所画多边形的对角线.

图

9.2.3

试一试

由图9.2.3可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形．我们已知一个三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形呢？由此，n 边形的内角和等于多少呢？

探 索

为了求得n 边形的内角和，请根据图9.2.4所示，完成表9.2.1．

图

9.2.2

图9.2.4 表

9.2.1

由此，我们得出

n 边形的内角和为_________________． 例1 求八边形的内角和的度数．

解 （n －2）×180°=（8－2）×180°=1 080°.

试一试

如图9.2.5，在n 边形内任取一点P ，连结点P 与多边形的每一个顶点，可得几个三角形？（图中取n ＝6的情形）你能否根据这样划分多边形的方法来说明n 边形的内角和等于（n －2）×180°？

与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角．从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．如图9.2.6所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是四边形ABCD 的外角和． 探 索

根据n 边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角，可以求得n 边形的 外角和．为了求得n 边形的外角和，请将数据填入表9.2.2．

表

9.2.2

因此，任意多边形的外角和都为________． 练 习 1. 填空：

（1） 十边形的内角和是________，外角和是_________；如果十边形的各个内角都相等，那么它

的一个内角是_________.

（2） 已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是_______. 2. 在一个多边形中，它的内角最多可以有几个是锐角？

图

9.2.5

图

9.2.6

【达标测评】

先任意画一个五边形，然后画出它所有的对角线，数一数，一共有多少条对角线？

1.在n边形某一边上任取一点P，连结点P与多边形的每一个顶点，可得多少个三角形？你能否根据这

样划分多边形的方法来说明n边形的内角和等于（n－2）×180°？（图中取n＝5的情形）

（第2题）（第3题）

2.根据上图填空：

（1）∠1＝∠C＋___________，∠2＝∠B＋______________；

（2）∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝_________＋∠1＋∠2＝_________．

3.想一想，这个结论对任意的五角星是否都成立．

4.一个多边形的外角和是内角和的

7

2

，求这个多边形的边数．