第六章 数列高考知识点大扫描
第六章 数列高考知识点大扫描
2、等差数列
1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-
1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。 又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,
相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n 3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ， 12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则 2m n p q r a a a a a +=+=. 3、前n 项和公式 由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++ ， 相加得 12n n a a S n += ， 还可表示为1(1) ,(0)2 n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。 特别的，由1212n n a a a -+= 可得 21(21)n n S n a -=-。 3、等比数列 1、 定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1 (0)n n a q q a -=≠ , q 叫公比。 2、通项公式： 11n n m n m a a q a q --==, 在等比数列中，若2m n p q r +=+= , 则2 m n p q r a a a a a ?=?=. 3、前n 项和公式: 由 12231,n n n n n S a a a qS a a a a +=+++=++++ ， 两式相减， 当 1q ≠时，11(1),(1)11n n a a q a q S q q q --==≠-- ；当1q =时 ，1n s na = 。 关于此公式可以从以下几方面认识： ①不能忽视11(1)11n n a a q a q S q q --== -- 成立的条件：1q ≠。特别是公比用字母表示时，要分类讨论。②公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如，公差为d 的等差数列{}n a ，212n n n S a x a x a x =+++ ，则231121n n n n n xS a x a x a x a x +-=+++ ， 相减得 211(1)n n n n S x a x dx dx a x +-=+++- ， 当 1x ≠时，11 1(1)(1)1n n n n dx x S x a x a x x -+--=+--，12112 (1)1(1) n n n n a x a x dx x S x x +---=+-- 当1x =时 ，121(1)2 n n n n d S a a a na -=+++=+ ； 3）从函数角度看 n S 是n 的函数，此时q 和 1a 是常数。 4、等差与等比数列概念及性质对照表 5、递推数列 表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推 式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如 1()n n a a f n +=+递推数列的基本方法，其中数列 {()}f n 可求前n 项和，即 1211()()n n n a a a a a a -=+-++- ；累乘法是求形如 1()n n a g n a +=? 递推数列通项公式的基本方法， 其中数列 {()}g n 可求前n 项积，即 3 21121 ,(0)n n n a a a a a a a a a -=? ?≠ . 第一节 等差数列的概念、性质及前n 项和 题根一 等差数列{a n }中，69121520a a a a +++= ，求S 20 [思路]等差数列前n 项和公式11()(1) 22 n n a a n n n S na d +-= =+： 1、 由已知直接求a 1 ，公差d. 2、 利用性质q p n m a a a a q p n m +=+?+=+ [解题 ] 由69121520a a a a +++= ，615912120a a a a a a +=+=+ ，得 1202()20a a +=， 12010a a ∴+=，120()20 1002 n a a S +?∴= =。 [收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。 第1变 求和方法——倒序相加法 [变题1] 等差数列{a n }共10项，123420a a a a +++= ，12360n n n n a a a a ---+++=，求S n. [思路] 已知数列前四项和与后四项和，结合通项性质，联想S n 公式推导方法。 [解题] 已知123420a a a a +++=，12360n n n n a a a a ---+++=， 又 14()80n a a +=，得 120n a a +=，1()20 1010022 n n a a n S +?∴= =?=， [收获] 1、重视倒加法的应用，恰当运用通项性质：q p n m a a a a q p n m +=+?+=+，快捷准确； 1、 求出1n a a +后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。 第2变 已知前n 项和及前m 项和，如何求前n+m 项和 [变题2] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。 [思路] ,,m m n S S S +n 下标存在关系：m+n=m+n, 这与通项性质 q p n m a a a a q p n m +=+?+=+是否有关？ [解题] 由S n =a,S m =S n +a n+1+a n+2+……+a m =b 得 a n+1+a n+2+……+a m =b-a, 即 a b n m a a m n -=-++)(2 1 ， 得 n m a b a a m n --=++21 由(n+1)+m=1+(n+m), 得a n+1+a m =a 1+a m+n 故).()(2)(211n m n m a b n m a a n m a a S m n n m n m +--=++=++= +++ 第3变 已知已知前n 项和及前2n 项和，如何求前3n 项和 [变题3] 在等差数列{a n }中，20S =10，40S =20，求 S 30 [思路] 由2030,,S S S 10寻找102030,,S S S S S --1020之间的关系。 [解题] 设数列{a n }公差为 d ，101210S a a a =+++ ， 2010111220S S a a a -=+++ ， 3020212230S S a a a -=+++ , 201010()1010S S S d ∴--=?, 30202010()()1010S S S S d ---=?， 所以 102030,,S S S S S --1020成等差数列，公差100d , 于是 2010302()()S S S S S -=+-1020，得 30203()32060S S S =-=?=10。 [收获] 1、在等差数列{a n }中，102030,,S S S S S --1020成等差数列，即 1210a a a +++ ，111220a a a +++ ， 212230a a a +++ ，……，成等差数列，且30203()S S S =-10。 3、 可推广为 535()n n S S S =-2n ，747()n n S S S =-3n ，……，(21)(21)[]k n kn S k S S -=--(k-1)n 。 第4变 迁移变换 重视Sx=Ax 2+Bx 的应用 [变题4] 在等差数列{a n }中，S n =m,，S m =n,(m>n)，求S n+m 的值。 [思路] 等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，若所求问题与1,a d 无关时，常设为S=An 2+Bn 形式。 [解题] 由已知可设 S n =An 2+Bn=m S m =Am 2+Bm=n , 两式相减 ，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n , 又m>n , 所以 ()1A n m B ++=-， 得 2 ()()()[()]() m n S A m n B m n m n A m n B m n +=+++=+++=-+。 [收获] “整体代换”设而不求，可以使解题过程优化。 第5变 归纳总结，发展提高 [题目] 在等差数列{a n }中，S n =a,S m =b,(m>n)，求S n+m 的值。（仍以变题2为例） 除上面利用通项性质q p n m a a a a q p n m +=+?+=+求法外，还有多种方法。现列举例如下： 1、 基本量求解： 由b d m m ma S a d n n na S m n =-+==-+=2) 1(,2)1(11， 相减得b a d n m a m n -=-++ -]21)[(1, d n m n m a n m S n m 2 ) 1)(()(1-++++=+ 代入得m n b a n m S n m --+=+) )((。 2、利用等差数列前x 项和公式Sx=Ax 2+Bx 求解 由Sx=Ax 2+Bx ，得 S n =An 2+Bn, S m =Am 2+Bm 两式相减 ，得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b 即m n b a B m n A --= ++)( 故)()()(2 b a m n m n n m B n m A S n m --+= +++=+ 3、利用关系式 B An n S n +=求解 由 B An n S n += 知 n S n 与n 成线性关系，从而点集{(n, n S n )}中的点共线，即(n, n S n ), (m, m S m ),(m+n, n m S n m ++)共线，则有 n n m n s n m s m n m s n s n n m m n -+-+=--+ ， 即m n a n m s m n m b n a n m -+=--+ ， 化简, 得 m n nb na a m n nb ma s n m n n m --=+--=++ ， 即)(b a m n m n s n m --+=+. 4、利用定比分点坐标公式求解 由A(n, n S n ), B(m, m S m ), P(m+n, n m S n m ++)三点共线,将点P 看作有向线段→AB 的定比分点,则 n m n m m n n m PB AP -=+--+==→→ )(λ ，可得 m n b a n m n b n a n m m s n m n s n m s m n n m --=-- =-+-+=++1)(1)(, 即)(b a m n m n s n m --+= +. 第二节 等比数列的概念、性质及前n 项和 题根二 等比数列{a n } ， 574,6a a ==, 求a 9。 [思路] 1、由已知条件联立，求，从而得 2、由等比数列性质，知成等比数列。 [解题1] 由 4651714,9a a q a a q ====, 两式相除，得 2 32q = ，2 973692 a a q ∴==?=。 [解题2] 由579,,a a a 成等比，得 22 795694 a a a ===。 [收获] 1、灵活应用性质，是简便解题的基础； 2、等比数列中，序号成等差的项，成等比数列。 [ 请你试试2 ——1] 等比数列{a n } ， 10,2a q >=，若 30123302a a a a ???= ，则36930a a a a ???= _______。 第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列 [变题2] 等比数列{a n } ，1234562,6a a a a a a ++=++=，求 101112a a a ++。 [思路] 等比数列中，连续若干项的和成等比数列。 [解题] 设11232456,b a a a b a a a =++=++，……，4101112b a a a =++， 则{}b n 是等比数列，12,3b q ==，33412354b b q ∴==?=，即 10111254a a a ++=。 [收获] 等比数列{a n } ， 1q ≠- 时，232 ,,k k k k k S S S S S --，…… 成等比数列，但总有 2322()()k k k k k S S S S S ?-=- 。当k 为偶数时，0k q >恒成立。 第2变 396,,S S S 成等差，则 396,,a a a 成等差 [变题3] 等比数列{a n } 中， 396,,S S S 成等差，则 396,,a a a 成等差 。 [思路] 396,,S S S 成等差，得3692S S S +=，要证 396,,a a a 等差，只需证 3692a a a +=。 [解题]由 396,,S S S 成等差，得3692S S S +=， 当 q=1时，3161913,6,9S a S a S a === , 由 10a ≠ 得 3692S S S +≠，1q ∴≠。 由3692S S S +=， 得 36 9 111 (1)(1) 2(1)111a q a q a q q q q ---+= ---， 整理得 3692q q q +=，0q ≠ ，得 3612q q +=， 两边同乘以 3a ， 得 3692a a a +=，即 396,,a a a 成等差。 [收获] 1、等比数列{a n } 中，396,,S S S 成等差，则 285,,a a a 成等差。 2、等比数列{a n } 中，,,n m k S S S 成等差，则 ,,n d m d k d a a a +++ （其中*,,,m d n d k d N d Z +++∈∈ ）成等差 3、等比数列{a n } 中，,,n m k a a a 成等差，则,,n d m d k d a a a +++ （其中*,,,m d n d k d N d Z +++∈∈）成等差。 第3变 {}n S 是等比， {}n a 也是等比数列 [变题4]数列{}n a 中，10a ≠ 且 12,,,,n S S S ，是等比数列，公比 q (1q ≠)，求证{}n a (2n ≥) 也是等比数列。 [思路] 1n n n a S S -=- ,欲证 {}n a 为等比数列，只需证 1 n n a a -为常数。 [解题] 1n n n a S S -=- ，11n n n a S S ++=-，（2n ≥）, 得 111 n n n n n n a S S a S S ++--= -，而 1n n S S q -=?，211n n S S q +-=?，111(1) (1)n n n n a S q q q a S q +--?-∴ ==-，（2n ≥ ）, 故{}n a 从第二项起，构成等比数列，公比为 q 。 第三节 常见数列的通项及前n 项和 [题根3] 求分数数列 111 ,,,122334 ??? 的前n 项和n S [思路] 写出数列通项公式，分析数列特点：分母中两因数之差为常数1。 [解题] 数列通项公式 1 (1) n a n n = +，亦可表示为111n a n n =-+ ， 所以 11111111223111 n n S n n n n =- +-+---=+++ 。 [收获] 将数列每一项裂为两项的差，再相加，使得正负抵消。 第1变 分母中两因数之差由常数1由到d [变题1] 求分数数列 111,,,133557 ??? 的前n 项和n S 。 [思路] 写出通项公式，裂项求和。， [解题] 1111(21)(21)22121n a n n n n ?? = =?- ?-+-+?? ， 11111111112335212122121 n n S n n n n ????∴=?-+-++-=?-= ? ? -+++???? 。 [收获]1、求分数数列的前n 项和n S 时，将数列每一项裂为两项的差，称裂项法。 2、用裂项法可求解： （1） 若{}n a 为等差数列，0,1,2,n a k ≠= ，公差为d ，则 122334111 1111n n n n a a a a a a a a a a ++++++= ????? . 3、常见裂项法求和有两种类型：分式型和根式型。如分式型1111(3)33n a n n n n ?? = =?- ?++?? ； 根式型 n a = = 1 a b =-。另外还有：nn!=(n+1)!-n!， 11m m m n n n C C C -+=-。 第 2变 分母中因数由2到3 [变题2] 求分数数列 111,,,123234345 ?????? 的前n 项和n S 。 [思路] 数列中的项的变化：分母因数由两个变为三个，是否还可裂项呢？ [解题] 由1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ??= =?-??+++++?? ， 得 1111111 ()()212232334(1)(1)(2)n S n n n n ??∴= ?-+-++- ??????+++?? 111(3) 212(1)(2)(1)(2) n n n n n n ??+=?-= ? ?++++??。 [收获] 1、分母为连续三因数的积，仍拆为两项的差，再相加，使得正负抵消。 2、对于公差为d (0d ≠)的等差数列{}n a ,有12121231111 ()(1)k k k a a a k d a a a a a a -=?-?-?? . 第3变 由分数数列到幂数列 [变题3] 求数列2221,2,3,……的前n 项和n S 。 [思路] 利用恒等式 332(1)331k k k k +-=++，取k=1 , 2 , 3 ,……，相加正负抵消可解。 [解题] 由恒等式 332(1)331k k k k +-=++ 取k=1、2、3……， 得 3322131311-=?+?+ 3323232321-=?+?+ ………… 332(1)331n n n n +-=++ 各式相加得 332 2 2 (1)13(12)3(12) n n n n +-=+ ++ +++++ 得 2 2 2 3 3 1 1(1)12[(1)3(12)1](1)313 32n n n S n n n n n n +??=+++=+-+++--=+-?--???? 1 (1)(21)6 n n n = ++ 。 [收获] 利用恒等式4432(1)4641k k k k k +-=+++ ，类似可得 33312n S n =+++ 2 (1)2n n +?? =???? 。 注意：正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。 第4变 由幂数列到积数列 [变题4] 求数列12,23,34,???……的前n 项和n S 。 [思路1]写通项公式，由通项特征求解。 [解题1]2 (1)n a n n n n =+=+ ， 222(11)(22)()n S n n ∴=++++++ 222(12)(12)n n =+++++++ 1(1)1(1)(21)(1)(2)623 n n n n n n n n += +++=++。 [思路2] 利用[]1 (1)(1)(2)(1)(1)3 n a n n n n n n n n =+=++--+ 裂项相加。 [解题2] 由[]1 (1)(1)(2)(1)(1)3 n a n n n n n n n n =+= ++--+ 得 122334(1)n S n n =?+?+?+++ []1 (123012)(234123)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n = ??-??+??-??++++--+ 1 (1)(2)3n n n =++。 [收获] 对于通项为两因数的积，可推广到通项为k 个因数的积，如求数列 123,23(1),34(2),k k k ???+?+ ……的前项和n S 。 由1 (1)(1)[(1)()(1)(1)],1 n a n n n k n n n k n n n k k =?+?+-=++--+-+ 将每一项裂为两项的差，相加即可正负抵消。 [思路3] 联想组合数公式，可见 2 1 (1)2 n n n C = +，利用组合数性质可得。 [解题3] 由2 (1)2 n n a n n C =+=，得 2 222 23122()2n n n S C C C C ++=+++= 1(1)(2)3n n n =++。 第4变 由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列 [变题5] 在数列{}n a 中，210(1)11n n a n n n ?? =+?=+ ??? ，（1） 分别求出10n n a a +-> 和 10n n a a +-<的n 取值范围；（2）求数列最大项；（3）求数列前n 项和n S 。 [思路] 1、解正整数不等式，2、利用函数单调性，3、利用错位相消法。 [解题] （1）由 1 11010910(2)(1)11111111n n n n n n a a n n ++-?? ???? -=+?-+?=? ? ? ??? ???? ，当n<9时，10n n a a +-> ， 即 1n n a a +>；当 n<9时 ，10n n a a +-<， 即 1n n a a +<。 （2） 当n=9时，9109991001111a a -??-=?= ??? ，9 910101011a a ?? ∴==? ???是数列的最大项。 （3） 设 2 10101023(1)111111n n S n ???? =?+?+++? ? ????? (1) 则 2 3 1 1010101023(1)11111111n n S n +?????? =?+?+++? ? ? ? ?????? (2) 相减得 2 3 110101010102(1)111111111111n n n S n ????????=?+?++-+? ? ? ? ????????? 12010(12)1111n n ??=-+? ??? 。 第四节 递推数列的通项公式及前n 项和 1、利用不动点求数列通项 [题根三] 数列 {}n a 满足11a =，121n n a a +=+，求通项公式n a 。 [思路] 1、写出 1234,,,a a a a ，由不完全归纳法得n a 表达式。 2、构造新数列，转化成等比数列求解。 [解题] 在的121n n a a +=+ 两边加1，则数列 {1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列， 得 1122n n a -+=?，即 122121n n n a -=?-=-即为所求。 [收获] 1(1)n n a pa q p +=+≠型递推数列，当p=1时, 数列为等差数列；当0,0q p =≠时,数列为等比数列。 下面给出1p ≠时递推式的通项公式的求法： 方法1、因为 1,p ≠ 所以一定存在 α 满足 p q αα=+ ， 从而得 1q p α= -， 此为函数()f x px q =+的不动点。 由 1()()n n n a p a q p q p a ααα+-=+- +=-，得{}n a α-是首项为 1a α-，公比为p 的等比数列，于是 11()n n a a p αα--=-, 即 11()n n a a p αα-=+- ，将 1q p α= - 代入上式， 得 通项公式为 11().11n n q q a a p p p -= +--- ………………（I ） 方法2、由1n n a pa q +=+,1n n a pa q -=+， 得11()n n n n a a p a a +--=-，令1n n n b a a +=- ， 则1n n b pb -=， 则{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列， 得 1 11n n k k a a b -==+∑111(1) 1n b p a p --=+- 1211()(1) (2)1n a a p a n p ---=+≥- （*） ；当n=1时,（*）式也成立。 [请你试试4——1] 数列{}n a 满足 19a =, 134n n a a ++= ， 求 n a 。 [变题1] 数列 {}n a 满足11a =，1221 n n n a a a += + 求通项公式n a 。 [思路] 常见解法：先求数列 1n a ?? ? ??? 的通项公式 [解题]由将已知关系式取倒数得 111112n n a a +=?+， 由（#）式 得 1 1122n n a -??=- ??? ，所以11 22n n a -= -。 [收获] 1n n n pa a ra s += +型递推数列的通项公式的求法： 令 px x rx s = +，得10x = 或2p s x r -= 为两不动点。由于111111n n n s r a x a p a p ++==?+-， 设1n n b a = ，则 1n n s r b b p p +=?+，此为1(1)n n a pa q p +=+≠模型。 同样，12 1n a x +- 也可化为 1(1)n n a pa q p +=+≠模型，由（I ）式 可求得n a 。更为特殊的是p=s 时， 111111n n n r a x a a p ++==+-, 设 1 n n b a = 则数列 {}n b 是等差数列 。我们常取1n n n pa a ra p +=+的倒数求解 ，原因恰是为此 。 [变题2] （06年江西理第22题）数列 {}n a 满足132a = ，1 1321 n n n na a a n --=+-*(2,)n n N ≥∈ 求通项公式n a 。 [解答] 11321n n n na a a n --= +-1112 33 n n n n a a --?=?+，即11233n n b b -=?+1111()33n n b b -?-=?-，又132a =，得 1213b =-，所以 1 21(1)33n n b -?? =-? ? ?? ，得 331 n n n n a ?=-。 [请你试试4——2] 函数()31 x f x x = + ，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=，* ()n N ∈ ，（1）求{}n a 的通项公式 n a ； （2）设 12231n n n S a a a a a a +=?+?++? ，求 n S 。 [变题2] 数列{}n a 中，1114 0,,(2)2 n n n a a a n a --+== ≥- ，求 n a [思路1] 令 4 2x x x += -，得 124,1x x ==-，即两不动点，可得1141n n a a ++??-??+?? 是等比数列， [解法1] 由11111143123(4) 44222 n n n n n n n a a a a a a a ------+-+--= -==----， 令4n n b a =-， 则1 132 n n n b b a --=- - ……………………（a ） 由111142(1) 1122 n n n n n a a a a a ----+++= +=--， 令1n n c a =+， 则 1 122 n n n c c a --= - ……………………（b ） (a) 式除以(b)式 得 11 32n n n n b b c c --=-?，即n n b c ?????? 是首项为111144,1b a c a -==-+ 公比为32-的等比数列，1 4 3421 n n n n n b a c a --?? ∴=-?-= ? +?? ， 1 11 344 2024.3241423n n n n a ---?? --+ ???∴==-?????-++- ? ????? [思路2] 111n a x +-和12 1 n a x +-均可化为1(1)n n a pa q p +=+≠型递推式， [解法2] 由 1112121.43(4)3(4)3n n n n a a a a ----=-=----- 令1 4 n n b a = -， 则 12133n n b b -=--， 由（I ）式 得 111123322431133n n b -?? - - ???=+--?- ? ??? ?++?? 1112152034n n a -??=--?-= ?-?? 所以 1 1 12044.1122452033n n n a --=+ =- ?? ??---+- ? ??? ?? [解法3] 由 11311 1212 n n a a -=-?+++， 亦可求得1 204.243n n a -=-?? +- ??? [收获] 求解1n n n pa q a ra s ++= +型递推数列的通项公式的方法： 令 px q x rx s += + ， 设其两根为 12,x x 即两不动点。于是1112n n a x a x ++??-??-?? 是等比数列， 并且11 1 n a x +-和12 1 n a x +-均可化为1(1)n n a pa q p +=+≠型递推式 。 [请你试试4——3] 写出解法3的详细过程。 [变题3] 设数列{}n a 前n 项和为432n n S a n =-+，求 n a 及 n S 。 [思路] 将已知关系中 n S 的化为 n a ，再进一步变形。 [解题] 由432n n S a n =-+，得 1141a a =-, 即11.3 a = 11432[43(1)2]n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+1443n n a a -=-+, 得14 13 n n a a -=-. 这是1n n a pa q -=+ 型递推式，由(#)式得 1 1 11144310.443331133n n n n a --?? ???=+-?=-+? ? ??? ?- -?? 443210103.3n n n S a n n ?? ∴=-+=-+- ??? 第1变 递推式 1()n n a f n a += 2、累积错位相消法求数列通项 [变题4] 数列 {}n a 满足11a =，12n n n a a +=，求通项公式n a 。 [思路] 观察 1a 与2a 、2a 与3a 存在的关系，思考解题方法。 [解题] 212a a = ，322a a =，432a a =，……，12n n a a -=，各式相乘得 11122n n n a a --==。 [收获] 1、若f(n)为常数, 则{}n a 为等比数列。2、1()n n a f n a +=型递推式，通项公式求解方法如下： 12121 (1),(2),(1).n n n n a a a f n f n f a a a ---=-=-= 各式两边分别相乘，得 1(1)(2)(1) ,n a a f f f n =- ……………………………（II ） 当n=1时, (II)仍成立 [变题5] 在数列{}n a 中,11121,2()n n a na a a a +==++ , （1） 求{}n a 通项公式 （2）令1 22 24n n n n a b a a ++= ，求{}n b 的前n 项和n S 。 [思路] 将题中递推式转化、归类，再求解。 [解题] （1）将题中递推式转化为： 1121212()2()2(1)2n n n n n n na a a a a a a a n a a +-=++=++++=-+ . 即 11n n n a a n ++= .由 (II) 式 得{}n a 通项公式123.121 n n a a n n =??=- (2) 由 {}n a n =, 得 1222222 244(1)11 .(2)(2) n n n n a n b a a n n n n +++= ==-++ 所以数列{}n b 前n 项和 ： 221 1 11 [ ](2) n n n k k k S b k k === =-+∑∑ 222222************(1)(1)(2)n n n n =-+-++-+--++ 222 5265 .4(1)(2)n n n n ++=-+?+ 第2变 )(1n f a a n n +=+型递推数列 3、累加错位相消法求数列通项 [变题6] 已知数列}{n a 中，11a =，11(1)n n a a n n +=+-, 求}{n a 的通项公式。 [思路] 将题中递推式变形 111 1n n a a n n +-=--，利用错位相消法。 解 将题中递推式表示为：1111n n a a n n +-= --， 于是 21112a a -=-，321123a a -=-，4311 34 a a -=-，……，111 21 n n a a n n --=--- 各式相加得 213211()()(),n n n a a a a a a a a --+-+-=- 得 11111111(1)()()()2233421 n a a n n =+- +-+-++--- 11 11211 n n =+-=--- 即为所求通项公式。 [收获] 对于数列}{n a ，设 ,2,1,1=-=+n a a b n n n 则称数列}{n b 是}{n a 差数列， 则 121213211()()(),n n n n b b b a a a a a a a a --+++=-+-+-=- 得∑-=+=1 1 1.n k k n b a a 所以{}n a 的通项公式为1 11 (),(2)n n k a a f k n -==+ ≥∑………… （III ）. 当n=1时，也满足(III)式。 [变题7] 在数列}{n a 中，12a =, 1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式。 [思路] 题中关系式不是)(1n f a a n n +=+型的递推式，但两边同除以n(n+1)，经过变量替换，可化为 )(1n f a a n n +=+型递推式。 [解题] 在递推式 1(1)n n na n a +=+ 两边同除以 n(n+1) , 得 11 1(1) n n a a n n n n +=+ ++ 令n n a b n = 得 11(1) n n b b n n +=++，1121a b ==。由（III ）式得 n b 表达式为： 1 1 1111111 ()(1)1n n n k k b b b k k k k --===+=+-++∑∑1111112(1)3.2231n n n =+-+-++ -=-- 于是{}n a 通项公式为 1 (3)3 1.n n a nb n n n ==-=- [请你试试4——4] 求数列 1、4、11、26、57、120、……，的通项公式。 第3变 1()n n a pa q n +=+型递推数列 4、两边同除以1 n p + ，经过变量替换，化为)(1n f a a n n +=+型递推式 [变题8] 数列{}n a 满足 12a =, 1223n n a a n +=+- ， 求 n a 。 [思路] 递推式两边同除以1 2 n + ，经过变量替换，可化为)(1n f a a n n +=+型递推式。 [解题] 在1223n n a a n +=+- 两边同除以 1 2n +， 得 11 123 222 n n n n n a a n +++-=+ 令 2n n n a b = ，则 11 23 2 n n n n b b ++-=+, 此为模型)(1n f a a n n +=+。 于是1 1111 123 , 1.2 2n n k k a k b b b -+=-=+ ==∑ 则1211.22n n n b -=+- 所以 1 3 212()22168. 22 n n n n n n n a b n --=?=- ?=-+ [收获] 在1(),(1)n n a pa q n p +=+≠中， 当q(n)是常数q 时，即为模型1(1)n n a pa q p +=+≠。 在1(),(1)n n a pa q n p +=+≠两边同除以 1n p +, 得 111()n n n n n a a q n p p p +++=+, 令1() ,()n n n n a q n b f n p p +==, 得 1()n n b b f n +=+ 即可求出 {}n b 的通项公式，从而得n n n a p b ==n p 3 21 ().2 2n n -- [变题9]（2006年全国理第22题）设数列{}n a 前n 项和为1412 2333 n n n S a +=-?+，n=1,2,……，求通项 n a 。 [解答] 14122333n n n S a += -?+211412 2333 a a ?=-?+12a ?=。因为 1(2)n n n a S S n -=-≥，所以由题设得：1412(2)333n n n a a +=-?+1412(2)333n n a ---?+142n n n a a -?=+112444 n n n n n n a a --?=+，即 112n n n b b -?? =+ ??? 112n n b ?=-，得 42n n n a =-。 [规律小结] 根据数列性质1(2)n n n a S S n -=-≥可得出递推关系，然后再根据结构特征求通项公式。 [请你试试4——5] 1、数列{}n a 满足 11a =, 1235n n n a a +=+? ， 求 n a 。 2、数列{}n a 的前n 项和 21n n S a n +=+，10a =, 求 n a 第3变 1,(0,0)q n n n a p a p a +=>>型 4、两边取对数，变形转化为模型1()n n a f n a += [变题10] 数列{}n a 中1110,n a a +==，令lg n a n b =， （1）求数列{}n b 的通项公式，（2）设1 21 n k k k b T b +=-= ∑，求lim n T →∞ 。 [思路] 利用对数运算法则变形转化。 解：（1）由已知得 1 1111 1,lg lg n n a a n n b b b n n ++==== =，即模型1()n n a f n a +=， 由(II)式，得1111111 1231123(1)(1)! n b b n n n =?? ?==-??-- 。 （2） 由 111 1!1(1)(2)!n n b n b n n n +-== --， 得 121n k k k b T b +=-=∑1111223(1)n n =++??-? 11111111.2231n n n =-+-++-=-- 则 1lim lim(1)1n n T n →∞→∞=-=。 [收获] 1,(0,0)q n n n a pa p a +=>>，当q=1时，{}n a 为等比数列。当 1q ≠时，对递推式两边取常用对数， 得 1l g l g l g n n a a p q +=+ , 令lg n a n b =, 得 1lg p n n b qb +=+，此为模型1(1)n n a pa q p +=+≠，即题根 。 第4变 11n n n a pa qa +-=+型 5、利用特征根求通项公式 [变题11] 在数列 {}n a 中， 120,1a a ==，1144n n n a a a +-=- ，求 n a [思路] 在数列{}n a 中，已知 12,a a ，且 11n n n a pa qa +-=+，求其通项公式方法介绍如下：当 1p q +≠时，存在 12,λλ满足11211()n n n n a a a a λλλ+--=- （*） ，即112121()n n n a a a λλλλ+-=+- ，与 11n n n a pa qa +-=+ 比较系数，得 1212{p q λλλλ +==，由根与系数的关系知12,λλ 是二次方程 20t pt q --=两实根，此方程称为递 推式的特征方程。易见，只需将递推式中的 11,,n n n a a a +-换成 2,,1t t 即可得特征方程。由 （*）式知数列 11n n a a λ--是等比数列，于是 1112211()n n n a a a a λλλ-+-=- 或 1 1212 21()n n n a a a a λλλ-+-=-。当 1p q +=时，将p=1-q 代入递推式，得11()n n n n a a q a a +--=-- ，则 1{}n n a a +-是以 21a a -为首项，-q 为公比的等比数列，从而1121()()n n n a a q a a -+-=-- ，利用错位相消法即可求解。 [解题] 递推式特征方程为 2 441λλ=-，解得 121 2 λλ== ，所以递推式可表示为11111()222n n n n a a a a +--=- ，数列112n n a a +? ?-??? ?是首项为 21112a a -=，公比为 12的等比数列，所以 1 111,1,2,22n n n a a n -+??-== ? ?? ……，两边同除以 12n -，得 121221n n n n a a --+-=， 于是{} 2 2n n a -? 是首项为0，公差为1等差数列，故221n n a n -?=-，2 1 2n n n a --∴= 。 [收获] 一般的，在数列{}n a 中，已知 12,a a ，且 11n n n a pa qa +-=+，它的特征方程2 0p q λλ--= 两根为 12,λλ，则，当12λλ=时 ，通项公式 11()n n a An B λ-=+；当12λλ≠时 ，通项公式 1112,1,2,n n n a A B n λλ--=+=……，其中A ，B 为常数，可由 12,a a 推出。 利用这一结论可方便的推出通项公式n a 。 [变题12] 在数列 {}n a 中， 121,2a a ==，21712n n n a a a ++=- ，求 n a 解：特征方程2 712λλ=- 两根为123,4λλ==。设 1134n n n a A B --=?+?，由121,2a a ==，得 A=2， B=-1， 故 11234,(1,2,)n n n a n --=?-= 。 [请你试试 4——6] 1、在数列 {}n a 中， 121,3a a ==，2169n n n a a a ++=- ，求 n a 。 2、在数列 {}n a 中， 121,2a a ==，3122n n n a a a ++= ，求 n a 。 第六章 数列 请你试试 答案与提示 [请你试试 1—1]：1、1101101()101 02 a a S +?= = ，110139900a a a a ∴+=?+=，选 C 2、a 3+a 7-a 10+a 11-a 4=712a =，得 13713156S a ==。 [请你试试 1—2]：1、略； 2、n=27； 3、由123432555+=，2424 55566602 S =? =； 4、倒加法 12n n S n -=?。 [请你试试 1—3]：1、200； 2、4 。 [请你试试 1—4]：1、12； 2、40； 3、 0、110； 4、3 (b-a)；5、21004k S S S '+==2k 中25S ?=中。 [请你试试 1—5]：1、 1504；2、0；3、12或13。 [请你试试 1—6]：127S =-。 [请你试试2—1]：等比数列中某些项的积的问题，利用性质解。 设 14728A a a a a =??? , 25829B a a a a =??? ， 36930C a a a a =??? ，易见A ，B ，C 成等比，公比为102q '= 。 由 2B A C =?且302A B C ??= ，得3302B = ，即 102B =，101020222C Bq '∴==?=。 [请你试试2—2]：1、614S = ；2、 45S =或44S =-（舍去）。 [请你试试2—3]：1、81011,,S S S 等差，则1110108S S S S -=-，得11910a a a =+ ，即11910()a a a -+=0； 2、略。 [请你试试2—4]：由上例分析得 a(1+10%)10 -x(1+10%)9 -……-x(1+10%)-x=2a ，即1010(1.12)(1.11) 1.11 a a x --=-， 即 2.6a-16x=2a 3 80 x a ∴= 。 [请你试试3—1]：1、1n n S n =+ ；2、132322(1)(2)n n S n n ?? +=?- ?++?? ；3、22(21)1(21)n n S n +-=+ 。 [请你试试3—2]：1、 (2)3(21)(23)n n n n +++；2、111 36(1)(2)n n ???- ?++?? ； 3、3 3 3 33 4 5 1 1 1 1 n n S C C C C = ++++ 1111 6123234345 (2)(1)n n n ??=?++++ ???????--?? 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 1．C 【解析】∵113 n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列 又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ，故选C ． 2．D 【解析】【法1】有题设知 21a a -=1，① 32a a +=3 ② 43a a -=5 ③ 54a a +=7，65a a -=9， 76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=， …… ∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…， ∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，… 是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{n a }的前60项和为1 1521581615142 ?+?+???=1830. 【法2】可证明： 14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514 1010151618302 b a a a a S ?=+++=?=?+ ?= 【法3】不妨设11a =，得23572,1a a a a ====???=，466,10a a ==，所以当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，构成以2a 为首项，以4为公差的等差数列，所以得 601830S = 3．A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论； 法二：12349103a a a a a a +=+=???=+=，故1210a a a ++???+=3515?=．故选A. 4．6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-) 2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：强调2,1≥=n n 分开，注意下标；n a 与n S 之间的互化（求通 项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大（小）项问题： 单调性法；图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足????? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 例题： 例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，b n ＝1 a n －1 . ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1 a n －1－1 ＝ 1? ?? ??2－1a n －1－1 －1 a n －1－1 ＝a n －1 a n －1－1－1a n －1－1 ＝1. ∴数列{b n }是以－5 2 为首项，1为公差的等差数列． 高中数学知识点总结（文科） 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 50 1539252 2∈-- 数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界 项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有 高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n； 1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式 数列知识点总结 第一部分 等差数列 一 定义式： 1n n a a d --= 二 通项公式：n a 1()(1)m a n m d a n d =+-??=+-? 一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=na =中间项 1(1)2 n n na d -=+ 一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论 1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置， 如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 与b 的等差中项2 a b A +=； 在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则 m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=； 3.若等差数列的项数为2() +∈N n n ，则，奇偶nd S S =- 1 +=n n a a S S 偶奇 ； 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1 -=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+， 21223n n n C a a a ++=++?+，则有C A B +=2； 5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12 m n S +±(m+n 为奇 数)最大 第二部分 等比数列 一 定义：1 (2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。 二 通项公式：11-=n n q a a ，n m n m a a q -= 数列{a n }是等比数列的一个等价条件是： (1),(0,01n n S a b a b =-≠≠，） 当0q >且0q ≠时，n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。 原命题若p 则q 逆命题 若q 则p 互为逆否 互 逆否互 为逆 否否 互 集合与简易逻辑 知识回顾： （一） 集合 1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 3 ⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题?逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题?逆否命题. (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.含绝对值不等式的解法 （1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论. （3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 特例① 一元一次不等式ax>b 解的讨论； 2 （三）简易逻辑 1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑q ” ) 。 3、“或”、 “且”、 “非”的真值判断 （1）“非p ”形式复合命题的真假与F 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时为假，其他情况时为真． 4、四种命题的形式： 原命题：若P 则q ； 逆命题：若q 则p ； 否命题：若┑P 则┑q ；逆否命题：若┑q 则┑p 。 6、如果已知p ?q 那么我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 若p ?q 且q ?p,则称p 是q 的充要条件，记为p ?q. 函数 知识回顾： （一） 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （二）函数的性质 ⒈函数的单调性 定义：对于函数f(x)的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1,x 2, ⑴若当x 1 等差数列 1. 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： （1）* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ） （2）d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （ 2 ） 等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：1() 2 n n n a a s += 1(1) 2 n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n = +- 2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的证明方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． （ 2 ） 等差中项：数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ， 数列 1. 等差数列 通项公式：1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项：如果2 a b A += ，那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列，且k l m n +=+，则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ，或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列，538,6a S ==，则9a =_________ 解析：513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=，解得10,2a d ==，916a = 例2.{}n a 是等差数列，13110,a S S >=，则当n 为多少时，n S 最大？ 解析：由311S S =得1213 d a =- ，从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+，又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列 通项公式：11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项：2G ab = 前n 项和：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列，2431,7a a S ==，则5S =__________ 数列知识点 内容4 要求层次 A B C 数列 数列的概念 数列的概念和表示法 √ 等差数列、 等比数列 等差数列的概念 √ 等比数列的概念 √ 等差数列的通项公式与前n 项和公式 √ 等比数列的通项公式与前n 项和公式 √ 二．知识点 (一)数列的该概念和表示法、 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作n a ，在数列第一 个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个 数列的通项公式 说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点 看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤 立的点 （4）数列分类： ①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列； ②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列 （5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 （二）等差数列 高考文科数学数列专题 复习 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 高考文科数学 数列专题复习 一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 2 2 C. 2 2.（安徽卷）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 3.（江西卷）公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4（湖南卷）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于【 】 A ．13 B ．35 C ．49 D ． 635.（辽宁卷）已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ （A ）－2 （B ）－12 （C ）12 （D ）2 6.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7.（湖北卷）设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{2 1 5+}，[ 21 5+],2 15+ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.（湖北卷）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的 数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 9.（宁夏海南卷）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2 110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m = （A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9 10.（重庆卷）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则 {}n a 的前n 项和n S = A ．2744 n n + B ．2533n n + C ．2324 n n + D ．2n n + 11.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 人教版高中数列知识点总结(知识点+例题) Lesson6 数列 知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式a n ＝a 1＋(n －1) d . 3．等差中项 a ＋b 如果 A ＝2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋（n-m ）d ，(n ，m ∈N *) ． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *) ，则 (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为. (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *) 是公差为的等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 n (a 1＋a n )n (n －1) 设等差数列{a n }的公差d ，其前n 项和S n 或S n ＝na 1＋22. 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 d d 2? S n 2＋ a 1－2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn ，(A 、B 为常数) ． ?? 7．等差数列的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d 0，则S n 存在最小值． [难点正本疑点清源] 1．等差数列的判定 (1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2) ； (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. 20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数） 即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2 ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。 解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解 数列知识点讲解 一、技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，12141 n n a a n +=+-，求n a . (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 求n a 。 ［练习］ 已知{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++1115 3 4 ［练习］ 已知{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥-- ［练习］ 已知{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+ ［练习］ 例如：，，求a a a a a n n n n 11122 ==++ 2．数列求和方法 （1）、公式法 【例8】求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。 (2)、裂项法 把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法： 例12、求和 1111 153759(21)(23) n n +++ ???-+ 二、常用数学思想方法 1．换元思想 运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。 【例15】已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且 求证：a，b，c顺次成等比数列。 数列文科专题复习 高三数学（文科）第一 轮复习专题之数列 二、方法技巧 1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。 (2)通项公式法： ①若 = +（n-1）d= +（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列； ②若 ，则{}n a 为等比数列。 (3)中项公式法：验证中项公式成立。 2. 在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当1a >0,d<0时，满足100m m a a +≥??≤?的项数m 使得m S 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足10 m m a a +≤??≥?的项数m 使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 三、注意事项 1．证明数列{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明 11-+-=-n n n n a a a a 或 1 1-+=n n n n a a a a 而得。 2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法， 但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 3．注意n s 与n a 之间关系的转化。如： n a =1100n n S S S -≤??-≥? 21≥=n n ， n a =∑=--+n k k k a a a 211)(． 一、选择题: 1.已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是( A ) A.15 B.30 C.31 D.64 2.等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为( B ) A.81 B.120 C.168 D.192 3.已知数列}{n a ，那么“对任意的*N n ∈，点),(n n a n P 都在直线12+=x y 上 是“}{n a 为等差数列”的 ( A ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于( B ) A .122n +- B . 3n C . 2n D .31n - 5.数列ΛΛ,43211 ,3211,211++++++的前n 项和为( A ) A.12+n n B. 1+n n C. 222++n n D. 2+n n 6.在等差数列}{n a 中，24)(3)(2119741=++++a a a a a ，则此数列的前13项之和等于( B ) A.13 B.26 C.52 D. 156 重点高中数学数列知识点总结 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()11122 n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项， 即：当100a d ><，，解不等式组100 n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由1 00n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶，1 +=n n a a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇. 数列专题解析方法 解题策略一：有比较有鉴别才有收获，弄清每种方法好的地方，掌握这一点，就能解决很多问题。 解题策略二：具体做题时有三个步骤：想一想，做一做，看一看。 解题策略三：拿到题就动手做题的习惯不好，很盲目，时间浪费了，还做不出来；想好了再动手，不管能不能做完，能不能做对，都要做.回头看一看，还有没有更好的方法，书上怎么讲的，老师怎么做的，回想联想再猜想，这样一比较，就能领悟到很多东西.数学题靠做，但是在做题的过程中，还要学会总结分析，并建立错题集，时常翻阅，这样我们的解题能力才会得到提高. 一、数列通项公式的求解 类型一：观察法 例1:写出下列数列的一个通项公式 （1）3,5,9,17,33， ； （2）;,5 44,4 33,3 22,2 11 （3）7,77.777.7777. ； （4）;,11 26,917,710,1,32 -- （5）;,16 65,825,49,23 类型二：公式法 （1）1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 例2：已知等差数列{}n a 中，,3,131-==a a 求{}n a 的通项公式 （2）11n n m n m a a q a q --== 例3：已知等比数列{}n a 中，,306,6312=+=a a a 求{}n a 的通项公式 类型三：利用“n S ”求解 （1）???≥-==-)2() 1(,11n S S n S a n n n 例4：已知数列{}n a 的前n 项和)(24*2N n n n S n ∈+-=，求{}n a 的通项公 式 例5：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有,464,3111--+-==n n n n S a a S a 求 {}n a 的通项公式 例6：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有),1(12,111≥+==+n S a a n n 求{}n a 的通项公式 例7：已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 满 足,12 +=n n a S 求{}n a 的通项公式 （2）1--n n S S 的推广 例8：设数列{}n a 满足*13221,3 333N n n a a a a n n ∈=++++- 求{}n a 的通项公式 类型四：累加法 形如)(1n f a a n n =-+或)(1n f a a n n =--型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数） （1）若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 例9：,2,1211=++=+a n a a n n 求{}n a 的通项公式 （2）若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 例10：,2,211=+=+a a a n n n 求{}n a 的通项公式 （3）若()f n 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 例11：,1,1121=+++=+a n n a a n n 求{}n a 的通项公式 （4）若()f n 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和 例12：,1,21 121=++ =+a n n a a n n 求{}n a 的通项公式 类型五：累乘法 高考文科数学数列高考 题 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 数列专题复习 一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = ( ) A. 2 1 B. 2 2 C. 2 2.（安徽卷）已知 为等差数列， ， 则 等于 A. -1 B. 1 C. 3 3.（江西卷）公差不为零的等差数列 {}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等 比中项, 832S =,则10S 等于( ) A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4（湖南卷）设n S 是等差数列{}n a 的前 n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等 于【 】 A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 5.（辽宁卷）已知{}n a 为等差数列，且 7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ ( ) （A ）－2 （B ）－12 （C ）12 （D ）2 6.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等 比中项，则数列的前10项之和是 ( ) A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7.（湖北卷）设,R x ∈记不超过x 的最大 整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则 {215+}，[215+],215+ ( ) A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.（湖北卷）古 希腊人常用小石 子在沙滩上摆成 数列专题解析方法 一、数列通项公式的求解 类型一：观察法 例 1: 写出下列数列的一个通项公式 （1）3,5,9,17,33 ，； （2）11,22,33,44, ; 2345 （3）7,77.777.7777. （4）2, 1,10, 17,26, ; 3 7 9 11 （5）3,9,25,65, ; 2 4 8 16 类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d 例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式 n 1 n m (2)a n a1q n1 a m q n m 例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解 S1,(n 1) (1) (1) a n n S n S n 1(n 2) 例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式 例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式 例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式 (2)S n S n 1的推广 例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公 3 式 类型四：累加法 形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数) (1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式 (2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式 (3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式 (4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和 例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式 n 2 2n n 类型五：累乘法 形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1文科数学2010-2018高考真题分类专题六 数列 第十七讲 递推数列与数列求和答案
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