小学奥数--几何--五大模型--燕尾模型(共边定理)

小学奥数之几何五大模型精编版

一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 五大模型 1S 2 S

二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2 a b +。

小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版

任意四边形、梯形与相似模型 卜亠\ 模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）: D S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4 ② AO : OC =[S S2 : S4 S3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ? 【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ; ⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??） 【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的

面积的 1 ，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。 3 【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1 ： 3 , 二OC =2 3 =6 , ??? OC:OD =6:3 2:1 . 解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G . ?- AH」CG , 3 1 ?- AO CO , 3 ?OC =2 3=6 , ?OC:OD =6:3 =2:1 ? 【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、 4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。 【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4; ⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二 Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 , 1 1 2 那么S GCE S CEF 2 ~~? 1+2 3 3 【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？ S 'ABD S BCD 3审 S AOD =—S DOC 3

小学奥数裂项公式汇总

裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ?1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜ b ，那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） a b b a b b a a b a b a 1 1 +=?+?=?+ （2）a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2 2 2 2 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31 )1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(41 )1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(31 )2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41 )3)(2)(1(41 )2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和： 1)1(1 (541) 431 321 211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证：111 1)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n

平面几何常考五大模型---等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、 燕尾

平面几何常考五大模型---（解答几何题的五大法宝） 等积变换、鸟头、蝴蝶、相似、燕尾 思路提示：在求边长之比时常转化为面积之比，求面积之比常转化为边长之比。 模型一：等积变化原理：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。 b S 1︰S 2 =a ︰b ； 模型一的拓展： 等分点结论（“鸟头定理”）:如下图，三角形AED 占三角形ABC 面积的 23×14=1 6 模型二：等积变化原理之四边形应用 S 4 S 3 s 2 s 1O D C B A 1414 23213 S S =S S S S DO OB S S +== + 模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”） (1)相似图形，面积比等于对应边长比的平方S 1︰S 3=a 2︰b 2 （2）S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2 ︰ab ︰ab （3）S 2=S 4 ； （4） 141423213 S S =S S S S DO OB S S +== + :

模型四：相似三角形性质 ① a b c h A B C H === ; ②相似三角形面积之比等于对应连长之比的平方S 1︰S 2=a 2 ︰A 2 h h H c b a C B A a c b H C B 模型五：燕尾定理 F E D C B A S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ； 【例1】：如右图，在△ABC 中，BE=3AE ，CD=2AD ．若△ADE 的面积是1平方厘米，那么三角形ABC 的面积是多少？ 【解答】连接BD,S △ABD 和S △ AED 同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD 的面积是4， S △ABD 和S △ABC 同高面积比等于底边比，三角形ABC 的面积是ABD 的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。

小学奥数-几何五大模型(鸟头模型).

模型二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在 △ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE) 厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4), S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份， 则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 三角形等高模型与鸟头模型 【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方 图⑵

【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的 3 倍，如果三角形么三 角形ABC的面积是多少？ ?/ EC =3AE --S A BC = 3S ABE 又??? AB =5AD --S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,??? S ABC 如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ ?/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE 又T BD =DC =4 , --S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE , 【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积. 【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S A ABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】, 所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘 米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ ADE的面积等于1，那 = 15S ADE =15 . 【巩固】 【解析】连接AD . 【解 析】

小学奥数知识点及公式总汇必背

小学奥数知识点及公式总汇（必背）1．和差倍问题 2 2．年龄问题的三个基本特征： 3．归一问题的基本特点： 4．植树问题 5．鸡兔同笼问题 6．盈亏问题 3 7．牛吃草问题 8．周期循环与数表规律 9．平均数 10．抽屉原理 4 11．定义新运算 12．数列求和 13．二进制及其应用 5 14．加法乘法原理和几何计数 15．质数与合数 6 16．约数与倍数 17．数的整除7 18．余数及其应用 19．余数、同余与周期 20．分数与百分数的应用8 21．分数大小的比较9 22．分数拆分 23．完全平方数 24．比和比例10 25．综合行程 26．工程问题 27．逻辑推理11 28．几何面积 29．立体图形 30．时钟问题—快慢表问题12 31．时钟问题—钟面追及 32．浓度与配比 33．经济问题13 33．经济问题 34．简单方程 35．不定方程 36．循环小数14 1．和差倍问题

2 ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3．归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 4．植树问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

几何图形 五大模型

直线形面积计算的五大模型 一、等积变换模型 （1） 等底等高的两个三角形面积相等； （2） 两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比 等于他们底的比） AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ??= 1h 为公共的高，所以 1 2 ::BD DC s s = （3） 两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。 底和高均不同，所以 ()21 ::)(ABD CDE BD DC h s s h ??=?? 比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6， 那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6） 二、鸟头定理（共角定理） 两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。 BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ??=??所以 E :E :D A B A C D A A B A A C s s ?? ∠=??A 为公共角，所以 推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。

三、蝴蝶定理模型 1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理） 1 2 4 3 ::s s s s =或者1 3 4 2 s s s s ?=? 1 4 2 3 1 2 4 3 +AO:OC s s s s s s s s == =：：（）：（+） 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。 2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理） 22 13 :a b s s =： 22 1324 ::a b s s s s =：：：ab ：ab 整个梯形对应的面积份数为： 2 (a+b) 四、相似模型 相似三角形性质： （金字塔模型） （沙漏模型） 下面的比例关系适用如上两种模型： 1、 AD AE DE AF AB AC BC AG === 2、 22 ::ADE ABC s s AF AG ??= 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下： （1） 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比； （2） 相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

六年级奥数专题几何五大模型鸟头模型

六年级奥数专题几何五大 模型鸟头模型 The latest revision on November 22, 2020

几何五大模型——鸟头模型 本讲要点 一两点都在边上：鸟头定理： （现出“鸟头模型”。然后按一下出现一个鸟头，勾勒出鸟头的轮廓，出现如图的鸟头几何模型。最后真实的鸟头隐去，只留下几何模型。最后按一下，出公式。） 二一点在边上，一点在边的延长线上：

例1 如图，AD=DB ，AE=EF=FC ，已知阴影部分面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米． 例2 例2 （1）如图在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，且AD:AB=2:5, AE:AC=4:7,△ABC的面积是16平方厘米，求△ABC的面积。 （2）如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2，AE:EC=3:2,△ADE 的面积是12平方厘米，求△ABC的面积。 例3 已知△DEF的面积为12平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面积。 例4 三角形ABC面积为1，AB边延长一倍到D，BC延长2倍到E，CA延长3倍到F，问三角形DEF的面积为多少 例5 长方形ABCD面积为120，EF为AD上的三等分点，G、H、I为DC上的四等分点，阴影面积是多大

如图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边AD 、BC 的平行线EF 、GH ，若PBD ?的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米 1. 如下左图，在ABC △中，D 、E 分别是BC 、AB 的三等分点，且ABC △的面积是54，求 CDE △的面积。 2. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且12AN BN =．那么，阴影部分的面积等 于 ． 3. 如图以ABC △的三边分别向外做三个正方形ABIH 、ACFG 、BCED ,连接HG 、EF 、 ID ，又得到三个三角形，已知六边形DEFGHI 的面积是77平方厘米，三个正方形的面积分别是9、16、36平方厘米，则三角形ABC 的面积是多少 4. 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使 2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积。 5. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH 。如果ABCD 的面积是5 平方厘米，则EFGH 的面积是多少 家庭作业 例6 A C E

几何五大模型汇总

小学平面几何五大模型 一、 共角定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E分别是, AB AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，则:():() S S AB AC AD AE =?? △△ 证明：由三角形面积公式S=1/2*a*b*sinC可推导出 若△ABC和△ADE中， ∠BAC=∠DAE 或∠BAC+∠DAE=180°， 则 ADE ABC S S ? ? = AE AD AC AB ? ? 二、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如下图 12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S = △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． b a S2 S1 D C B A

三、蝶形定理 1、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 速记：上×下=左×右 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面 可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 2、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：． 相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； A B C D O b a S 3 S 2 S 1S 4 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A

小学奥数所有公式

简学风教育小学奥数公式 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题的公式 和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题的公式 差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题的公式 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题的公式 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 相遇问题的公式 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题的公式 追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 流水问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 浓度问题的公式

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题的公式 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 1 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数 7 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数 9 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长 S面积 a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长

小学奥数几何五大模型

几何五大模型 一、五大模型简介 （1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示， S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S[sub]1[/sub]：S[sub]2[/sub]=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示， S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]；反之，如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub]， 则可知直线AB平行于CD。 例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S[sub]△ABC[/sub]：S[sub]△ADE[/sub]=（AB×AC）：（AD×AE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！

如图连接BE，根据等积变化模型知，S[sub]△ADE[/sub]： S[sub]△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△CBE[/sub]=AE：CE，所以S[sub]△ABE[/sub]： S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]： （S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub]）=AE：AC ，因此S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABC[/su b]=（S[sub]△ADE[/sub]：S[sub]△ABE[/sub]）×（S[sub]△ABE[/sub]：S[sub]△ABC[/sub]）=（AD：AB）×（AE：AC）。 例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2， △ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

34个小学奥数核心知识点

34个小学奥数必掌握知识点 1、和差倍问题： 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与 差 几个数的和与 倍数 几个数的差与倍数 公式适 用范围 已知两个数的和，差，倍数关系 公式①(和－差)÷2 =较小数 较小数＋差= 较大数 和－较小数= 较大数 ②(和＋差)÷2 =较大数 较大数－差= 较小数 和－较大数= 较小数 和÷(倍数＋1) =小数 小数×倍数= 大数 和－小数=大 数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题求出同一条件下的 和与差和与倍数差与倍数

2、年龄问题基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 3、归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题： 根据题目中的条件确定并求出单一量； 4、植树问题： 基本类型在直线或者 不封闭的曲 线上植树， 两端都植树 在直线或 者不封闭 的曲线上 植树，两端 都不植树 在直线或者 不封闭的曲 线上植树，只 有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式棵数=段数 ＋1 棵距×段数 棵数=段 数－1 棵距×段 棵数=段数 棵距×段数=总长

=总长数=总长 关键 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 问题 5、鸡兔同笼问题： 基本概念： 鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。

几何五大模型一

几何五大模型 一、等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等。 2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。 3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。 二、共角定理模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 三、蝴蝶定理模型 （说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。） 四、相似三角形模型 相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。 五、燕尾定理模 等积变形: 等积变形是小学几何里面一个非常重要的思想，小学所以的几何题，或多或少的都会用到等积变形的思想，几何五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的。

一半模型 平行四边形、梯形、任意四边形中的一些一半模型。 一、 模型归纳总结 1、等面积变换模型 (1)直线AB 平行于CD ，可知BCD ACD S S ??=； 反之，如果BCD ACD S S ??=，则可知直线AB 平行于CD ．如图A (2)两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； ::ABD ACD S S BD CD =△△如图 B D C B A D C B A 图A 图B (3)一半面积关系 S 4 S 3 S 2S 1 A B C D D C A 1 2 S S =阴影长方形 1324 S S S S +=+

【例1】、如图，每一个正方形四边中点的连线构成另一接小正方形，则阴影部分面积为原正方形面积的几分之几? 第8题 【例2】、如右图，过平行四边形ABCD 的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD 的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？ B C G H

小学奥数平面几何五大模型

小学奥数平面几何五大定律 一、等积模型 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) ① 等底等高的两个三角形面积相等 如图(1)：D 为BC 中点，则S△ABD=S△ACD 如图(4)：l1平行于l2，则S△ACD=S△BCD ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比 如图(2)： S △ABDS △ACD=BDCD ③ 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比 如图(3)：BC=EF ，则 S △ABCS △DEF=h1h2 ④ 夹在一组平行线之间的等积变形 如图(4)：l1平行于l2 ，则 S△ABD=S△ACD 反之如果S△ABD=S△ACD，则可知直线l1平行于l2 ⑤ 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形) ⑥ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ⑦ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底 相等，面积比等于它们的高之比 二、共角定理(鸟头定理) 两个三角形中有一个角相等或互补(两个角之和＝180O ），这两个三角形叫做共角三角形． D B h A B D C h1 h2 l2 l2 B C h1 F E D h2 B C D h

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 共角 互补角 图(1) 图(2) 如图(1)：在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ABC 与△ADE 共∠A 如图(2)：D 在BA 的延长线上，E 在AC 上；∠BAC+∠BAC ＝180O (互补)， 则: S △ABC :S △ADE =(AB ×AC):(AD ×AE)；或 S △ABCS △ADE=AB × ACAD × AE 三、相似模型 数学上，相似指两个图形的形状完全相同，其中一个图形能通过放大、缩小、平移、旋转、镜像等方式变成另一个。 相似比：是指两个相似图形的对应边的比值。 相似符号：“∽” 相似三角形：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形传递性：如果图A 相似于图B ，图B 相似于C ，则 A 相似C 即：图A ∽图B ，图B ∽图C ；则，图A ∽图B ∽图C a 顺时针旋转90度 a 翻转 a 缩小 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) c a d b A B C D E A D E F C B D E O B A

小学奥数常用公式

§1等差数列公式： 1、末项=首项+（项数-1）×公差 ａn=ａ1+(ｎ－1) ×ｄ 2、项数=（末项-首项）÷公差+1 ｎ=(ａn－ａ1) ÷ｄ+1 3、中项定理：和=中间数×项数 S =中间数×ｎ （仅奇数列可用） 注意：连续的奇数（或偶数）肯定是 等差数列，公差一定是2. 平方差公式： ａ2－ｂ2=(ａ＋ｂ) ×(ａ－ｂ) (ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)=ａ2－ｂ2 §2统筹与最优化 时间统筹： 单列和多列排队 排序：快的在前，慢的在后 （注意：每列不同位置的等待人数）。过河问题（画图） 快去快回，慢者结伴 （5人以下常用，7人以上可尝试）。地点统筹： 1、点无大小 奇数点选中间点， 偶数点选中间段。 2、点有大小（一段法） 轻往重移，小往大移 §3整除特征： 四大金刚：变形金刚： 2×5=100.2×5=1 4×25=1004×2.5=10 8×125=10008×1.25=10 16×625=10000 ㈠末尾系： 1、末1位： 2、5 2、末2位：4、25 3、末3位：8、125 ㈡和系： 1、数字和（弃9 法）：3、9 2、两位一截求和：3 3、99（重点）㈢差系：11 奇数位数字和－偶数位数字和 ㈣截位系（三位一截） 7、11、13 奇段和－偶段和。 ㈤试除法（适用于末尾未知） 二部曲1、用最大数试；99 2、检验。 综合就用： ⑴拆数（拆成学过的数） ⑵先考虑末尾系，再考虑其它。 §4加乘原理： 1、加法原理：分类相加（类类独立） 2、乘法原理：分步相乘，步步相关。 常规题型： 1、排数字： ⑴注意有无重复； ⑵特殊位置优先处理； ⑶“0”的出现 ①0不能放在首位 ②0和偶数同时出现必分类 2、插旗子：按顺序分类讨论。 染色问题： 1、排序：从邻圈最多开始排； 2、染色：颜色数量。 §5流水行船： 1、基本公式：①V顺=V船+V水 ②V 逆 =V 船 －V 水 ③V 船 =（V 顺 ＋V 逆 ）÷2 ④V 水 =（V 顺 －V 逆 ）÷2 静水速度=船速V 静 = V 船 顺水速度=船速＋水速V 顺 =V 船 +V 水逆水速度=船速－水速V 逆 =V 船－ V 水相遇追击： 相遇：S 和 =Ｖ 和 ×ｔ 相遇 追击：S 差 =Ｖ 差 ×ｔ 追击 水面上：速度和、速度差与水速无关。搬到陆地上做。

小学奥数-几何五大模型

模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=? ②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米 【分析】 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S =?÷=△平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5+++=平 方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58-=平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC = 【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ?=?V ，那么6BGC S =V ； ⑵根据蝴蝶定理，()():12:361:3AG GC =++=． () 【例 2】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的 面积的1 3 ，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已 知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =V V ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ??==， ∴236OC =?=， ∴:6:32:1OC OD ==． 解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ． ∵1 3 ABD BCD S S ??=， 任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数 公式大全

目录 计算板块 (2) 计数板块 (5) 数论板块 (7) 应用题板块 (11) 几何板块 (15) 行程板块 (21)

计算板块 1、加法交换律：a b b a +=+，b c a c b a ++=++ 2、加法结合律：()()c b a c b a ++=++ 3、乘法交换律：a b b a ?=?，b c a c b a ??=?? 4、乘法结合律：()()c b a c b a ??=?? 5、乘法分配律：()c a b a c b a ?+?=+? 6、“除法分配律”：()c b c a c b a ÷+÷=÷+ 7、减法性质：()c b a c b a +-=-- 8、除法性质：()c b a c b a ?÷=÷÷ 9、商不变性质：()()()()n b n a m b m a b a ?÷?=÷÷÷=÷，()0,0≠≠n m 10、积不变性质：()()m b m a b a ÷??=?，()0≠m 11、等差数列相关：项数()n ，公差()d ，首项()1a ，第n 项()n a ，前n 项和()n S ， 通项公式：()d n a a n ?-+=11， ()d m n a a m n ?-+=， 项数公式：()11+÷-=d a a n n ， 若q p n m +=+，q p n m a a a a +=+ 求和公式：()21÷?+=n a a S n n ， 中项定理，奇数项等差数列：n a S n n ?=+2 1 从1开始连续自然数求和： ()2 121+= +++n n n 从1开始连续奇数求和：()2 1231n n =-+++ 从2开始连续偶数求和：()1242+=+++n n n 12、多位数乘法： ( ) 110999 -?=?n n M M 个 当 9 99个n M ≤时，积的数字和为n 9 13、()2 2 2 2b ab a b a ++=+，()2 2 2 2b ab a b a +-=-

小学奥数-几何五大模型

模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长 度是多少？ 【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ， 所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4 10814 FC =?=+． 【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？ 【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。 【例 3】 如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=， 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△， 任意四边形、梯形与相似模型

小学奥数几何五大模型(蝴蝶模型)

模型三蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理”)：S 4S 3 S 2S 1O D C B A ①12 43::S S S S 或者1324S S S S ②124 3::AO OC S S S S 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 【例1】(小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ，被对角线AC 、BD 分成四个部分，△ AOB 面积为1平方千米，△BOC 面积为2平方千米，△COD 的面积为3平方千米，公园由陆地面积是 6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ O D C B A 根据蝴蝶定理求得312 1.5AOD S △平方千米，公园四边形ABCD 的面积是123 1.57.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5 6.920.58平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵ :AG GC ？A B C D G 321 ⑴根据蝴蝶定理，123BGC S ，那么6BGC S ；⑵根据蝴蝶定理，:12:361:3AG GC ．(？？？)任意四边形、梯形与相似模型

【例2】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)。如果三角形ABD 的面积等于三角形 BCD 的面积的1 3，且2AO ，3DO ，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。A B C D O H G A B C D O 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形” ，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件 :1:3ABD BCD S S ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知 条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造 这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学 生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 解法二：作AH BD 于H ，CG BD 于G ．∵1 3 ABD BCD S S ，∴1 3AH CG ，∴13AOD DOC S S ，∴13AO CO ，∴236OC ， ∴:6:32:1OC OD ． 【例3】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE △的面积依次是 2、4、4和6。求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积。 O G F E D C B A ⑴根据题意可知，BCD △的面积为244616，那么BCO △和CDO 的面积都是162 8，所以OCF △的面积为844；⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的面积为862， 根据蝴蝶定理， ::2:41:2COE COF EG FG S S ，所以::1:2GCE GCF S S EG FG ，那么1 1 2 21233 GCE CEF S S ．【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的