降次--解一元二次方程

降次----解一元二次方程

知识点1 直接开平方法解一元二次方程

你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x 2=36（2）3x 2-6=0 （3）x 2-64=0

利用平方根的定义直接开方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。如果方程能化为x 2=p

或者2n mx ）（+=p 的形式，那么可得x=±p 或mx+n=±p

例1 解下列方程

（1）x 2=6 （2）x 2-2x+4=1（3）(x+2) (x-2)=-2

练习：用直接开平方法解下列一元二次方程

1、0142=-x

2、2)3(2=-x

3、()512=-x

4、()162812=-x

知识点2 配方法解一元二次方程

问题：要使一块长方形的场地的长比宽多6米,并且面积为16平方米，场地的长和宽应各是多少？

通过配完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。

一般步骤：（1）移向；

（2）二次项系数化为1；

（3）配方；

（4）用直接开平方法解变形后的方程。

例2 用配方法解下列一元二次方程。

1、9642=-x x

2、x x 4232=-

3、2x 2-3x+2=0

练习：

（1）0542=--x x （2）01322=-+x x （3）07232=-+x x

（4）01842=+--x x （5）()00222>=--m m mx x

知识点3 公式法解一元二次方程

任何一个一元二次方程都可以写成一般形式，①

移项，得 ，

二次项系数化为1，得 ，

配方 ，②

因为a ≠0，所以42a >0.式子2b -4ac 有三种情况：

（1）当2b -4ac>0时，由②可得，

方程有两个不相等的实数根1x =， 2x =，

（2）当2b -4ac=0时，由②可得，此时方程有两个相等的实数根

1x =2x =。

（3）当2b -4ac<0时，由②得2)2a b -

(x <0, x 取任何实数都不能满足2)2a

b -(x <0，此时方程无实数根。

公式法解一元二次方程的一般步骤：

（1）把方程化为一般形式，确定a,b,c 的值；

（2）求出2b -4ac 的值；

（3）当2b -4ac>0时，方程有两个不相等实数根；当2b -4ac=0时，方程有两个相等的实数根;当2b -4ac<0时方程无实数根。

例3 用公式法解下列方程

（1）0822=--x x （2）22

314y y -= （3）y y 32132=+ （4）01522=+-x x （5）1842-=--x x （6）02322=--x x

知识点4 一元二次方程根的判别式

将0ax 2=++c bx （a ≠0）配方后可知只有当2b -4ac ≥0时，方程才有实数根。一般地，式子2b -4ac 叫做方程0ax 2=++c bx （a ≠0）根的判别式。

例4 不解方程，判断下列方程根的情况

（1）5x 2-3x=2； （2）25y 2+4=20y ； （3）2x 2+3x+1=0

例5 当m 为何值时，关于x 的的一元二次方程 2x -4x+m-2

1=0有两个相等的实数根？此时两个实数根是多少？

练习：

1.一元二次方程3x 2-2x+1=0的根的情况是_______________.

2.若一元二次方程x 2-ax+1=0的两实根相等，则a 的值是（）

A.a=0

B.a =2或a =-2

C.a =2

D.a =2或a =0

3. 不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）x(x +1)=3 （2）-3x-2=0

4、已知方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中，a 和c 异号，试证明：此方程必有两个不相等的实数根。

知识点5 因式分解法解一元二次方程

解方程03x -x 52=

还有没有其他的方法？

先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式的乘积分别等于0，从而实现降次这种解法叫做因式分解法.

例6 解下列方程：

（1）3x(2x+1)=4x; (2)4

12412x 522+-=+

-x x x .

练习：

1、解下列方程

（1）0x 2=+x （2）032x 2=-x （3）36x 32-=-x

（4）0121x 42=- （5）3x(2x+1)=4x+2 (6)22x 2-54-x ）（）（=

2、把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.

知识点6 一元二次方程的根与系数的关系

解方程013x 22=+-x 得1x =，2x =。

1x +2x =，1x 2x =。

若一元二次方程0ax 2=++c bx （a ≠0）的两根分别是1x ，2x ，根据求根公式可得

a ac

b b x 2421-+-=a

ac b b x 2422---= 1x +2x =

1x 2x =

所以方程的两根1x 、2x 与系数a 、b 、c 的关系为

1x +2x =c a -1x 2x =a

c . 例7 根据一元二次方程跟与系数的关系，求下列方程两根1x 、2x 的和与积

（1）0156x 2=--x ； （2）09x 7x 32=-+； （3）241x 5x =-

例8 已知关于x 的方程01)1(2k 22=++-x k x 有两个实数根.

(1)求k 的取值范围；

(2)当k=1时，设所给的方程的两个实数根为1x ，2x ，求2

112x x x x +的值.

一元二次方程的解法详细解析

一元二次方程的解法详细解析 【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才

是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）；（2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二

(完整版)解一元二次方程配方法练习题

- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若 x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值

配方法解一元二次方程的教案

配方法解一元二次方程的教案 教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。 一、教学目标 （一）知识目标 1、理解求解一元二次方程的实质。 2、掌握解一元二次方程的配方法。 （二）能力目标 1、体会数学的转化思想。 2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。 （三）情感态度及价值观 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。 二、教学重点 配方法解一元二次方程的一般步骤 三、教学难点 具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。 四、知识考点 运用配方法解一元二次方程。 五、教学过程 （一）复习引入 1、复习：

解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 2、引入： 二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。 （二）新课探究 通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。 问题1： 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来， 具体解题步骤： 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2 列出方程：60x2=1500 x2=25 x=±5 因为x为棱长不能为负值，所以x=5 即：正方体的棱长为5dm。 1、用直接开平方法解一元二次方程

解一元二次方程配方法练习题

! 解一元二次方程配方法练习题 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． ! 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（） 【 A．2．-2．． 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9 #

（3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； ? （2）求-3x2+5x+1的最大值。 12. 用配方法证明： （1）21a a -+的值恒为正； （2）2982x x -+-的值恒小于0． | 13. 某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长百分率． \

初中数学 配方法解一元二次方程

配方法解一元二次方程 教学目标 1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 【课前预习】 导学过程 阅读教材部分，完成以下问题 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？

思考？ 1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课堂活动】 活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0

222降次--解一元二次方程(教案说明)

第八届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动 教案说明 课题：22.2 降次----解一元二次方程（第2课时） 单位：河南省安阳市梅园中学 姓名：张立界 日期：2012年9月16日

22.2 降次----解一元二次方程（第2课时） 教案说明 河南省安阳市梅园中学张立界 一、教材分析 本节课选自人教版数学教材九年级上册第22章第2节降次----解一元二次方程（第2课时）. 一元二次方程的基本解法包括配方法、公式法和因式分解法等.解一元二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，就是降次.配方法是解一元二次方程的重要方法，是在学生已掌握直接开平方法解方程的基础上，讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比一边为完全平方形式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法.有了配方法的基础，可以得到解一元二次方程的另一重要方法—公式法，进而引出判别式及根与系数的关系，为以后学习二次函数打下良好基础. 二、目标分析 1.知识与技能 理解配方法的算理，会用配方法解一元二次方程. 2.过程与方法 通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理，让学生体会转化的数学思想方法，锻炼学生的抽象概括能力. 3.情感态度价值观 通过使用导学案，培养学生的探究精神和自学能力，形成良好的学习习惯.通过“每天四道题，天天爱学习”的训练，化整为零，化难为易，增加数学的趣味性，让学生在解题中感受到成功的喜悦. 三、教法分析 本课采用“自主、探索、导引”教学思路，学生先学后教，先练后讲，把学习的主动权还给学生，突出学生的主体地位.“导学案”的设计，由易到难，由简到繁，层层推进，让学生逐步学会学习.根据时间安排，导学案可让学生提前预习时完成，节约课堂时间，让学生在课堂上讲思路、讲解法，可进一步提升学生学习能力. 四、教学问题诊断 学生的知识储备：学生已了解平方根和算术平方根概念，已掌握完全平方公 式，会解一元一次方程.前两节已理解一元二次方程的概念，上一节已学过直接开平方法解一元二次方程.具备了学习本课时的基础知识. 学生的能力水平：学生在学习一元一次方程和分式方程中已了解“化归”数学思想，具备了学习本课时的能力.

解一元二次方程(直接开方法配方法)练习题100道

解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2

用配方法解一元二次方程教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校

2.1.2用配方法解一元二次方程 教学目标 【知识目标】 使学生会用配方法解一元二次方程。 【技能目标】 经历列方程解决实际问题的过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，使学生理解转化变形思想，掌握一些转化的技能。 【情感目标】 通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性。 教学重点难点 【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程 教法：引导、观察、归纳、探究 教具：多媒体、课件 教学过程： 一、复习回顾 上一节我们学习了配方法，首先我们回顾上一节学习的内容： 1、配方法的具体步骤是什么？ 对二次三项式ax 2+bx+c 配方的一般步骤是： (1)把ax 2+bx+c 变形为a （x 2+a b x ）+c (2)配方为：a[x 2 +a b x+(a b 2)2-224a b ]+c

(3)整理成a(x+a b 2)2+a b a c 442 的形式 议一议：配方的关键是什么？ 点拨：配方的关键是把x 2+a b x 加上一次项系数一半的平方（a b 2）2。 2、将下列各式配成完全平方式。 （1）a 2+12a+ 62 =(a+ 6 )2； （2）x 2 - x +41=(x- 2 1 )2 二、讲授新课 这一节我们就来学习一下用配方法解一元二次方程 （一） 提出问题 归纳定义 1、 提出问题 如图 现有长方形的纸片一张，长20cm ，宽14cm ，在其四个角上各剪去一个边长相等的小正方形，然后把四边折起，如果恰好能将其做成底面积是72cm 2的无盖长方体纸盒，求剪去的小正方形边长是多少？ 分析： 设剪去的小正方形的边长是xcm ，则盒子底面长方形的长是（20-2x ）cm,宽是（14-2x ）cm 。根据题意，列出方程

解一元二次方程练习题(直接开平方法、配方法)

? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；

2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；

21.2降次--解一元二次方程(第一课时)

22．2降次--解一元二次方程（第一课时） 22.2.1 配方法(1) ◆随堂检测 1、方程32x +9=0的根为（ ） A 、3 B 、-3 C 、±3 D 、无实数根 2、下列方程中，一定有实数解的是（ ） A 、210x += B 、2(21)0x += C 、2(21)30x ++= D 、21()2x a a -=3、若22 4()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ） A 、p=4，q=2 B 、p=4，q=-2 C 、p=-4，q=2 D 、p=-4，q=-2 4、若28160x -=，则x 的值是_________． 5、解一元二次方程是22(3)72x -=． 6、解关于x 的方程（x+m ）2=n ．◆典例分析 已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求22 2x y x y -+的值．分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x 、y 的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零，可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3，从而使问题顺利解决．解：原方程可化为（x+2）2+（y-3）2=0， ∴（x+2）2=0，且（y-3）2=0， ∴x=-2，且y=3， ∴原式=2681313 --=-．◆课下作业 ●拓展提高 1、已知一元二次方程032=+c x ，若方程有解，则c ________． 2、方程b a x =-2 )(（b ＞0）的根是（ ） A 、b a ± B 、)(b a +± C 、b a +± D 、b a -±

3、填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2 4、若2 2(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于________． 5、解下列方程：（1）(1+x)2-2=0；(2)9(x-1)2-4=0． 6、如果x 2-4x+y 2，求()z xy 的值．●体验中考 1、（2008年，丽水）一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=， 则另一个一次方程是_____________. 2、（2009年，太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．2(1)6x += B ．2(1)6x -= C ．2(2)9x += D ．2(2)9x -=

配方法解一元二次方程知识点及练习

配方法解一元二次方程 知识点一、配方法解一元二次方程 利用完全平方公式222 ()2a b a ab b ±=±+ 将一元二次方程一般式20ax bx c ++= 转换成2x p = 或2()x m n += 的形式。 知识点二、配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 移项（常数项右移） ② 等式两边同除以二次项系数a (或等式两边同乘 1a ) ③ 等式两边同加2 ()2b ④ 合并成2x p = 或2()x m n += ⑤ 直接开平方法 例1：2210x x +-=（配方法） 解： 222222212210 21 1122 1111()()2424 19()416 1344 1,12x x x x x x x x x x x x +-=+=+ =++=++=+=±==-

配方法巩固练习 1. 配方 22_____(__)x x x ++=+ 228_____(__)x x x ++=+ 223-_____(-__)2x x x += 227_____(__)3 x x x ++=+ 2248_____(__)x x x ++=+ 229-18_____(__)x x x +=+ 2. 最值 已知代数式223x x ++ ，配方可得________________，代数式有_____值，最值为____ 3. 非负性 证明：2246130x y x y ++++≥ 课堂练习 一、选择题 1.用配方法解方程2 680x x --=时，配方结果正确的是（ ） A.2(3)17x -= B. 2(3)14x -= C.2(6)44x -= D. 2(3)1x -= 2.已知方程22160x x m -+= 可配方成2 (8)0x -=的形式，则m 的值为（ ） A.8 B.-8 C.±8 D.16 3.用配方法解2+410x x =的根是（ ） A.222- D,2-4.把2-1x x =配方得（ ） A.21 3()24x -= B. 2(1)2x -= C. 215()24x += D. 25(1)4 x -= 5. 已知方程240x x m -+= 可配方成2(2)0x -=的形式，则m 的值为（ ） A.2 B.4 C.±2 D.±4

直接开平方解一元二次方程练习

21.2.1配方法解一元二次方程(一)同步练习 ⒈16的平方根是( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D ．±8 2.方程x 2＝9的解是( ) A ．x 1＝x 2＝3 B ．x 1＝x 2＝－3 C ．x 1＝3，x 2＝－3 D ．x ＝3 3.方程x 2＝3的解是( ) A ．12x x =＝ B ．12x x =＝ C ．1x 2x = D ．x ＝3 4.方程()210x -=的解是( ) A ．x 1＝1，x 2＝－1 B ．x 1＝x 2＝1 C ． x 1＝x 2＝－1 D ． x 1＝1，x 2＝－2 5.方程()219x -=的解是( ) A ．x 1＝1，x 2＝－3 B ． x 1＝4，x 2＝－4 C ． x 1＝4，x 2＝－2 D ． x ＝3 6.若1是一元二次方程x 2＋x －m 2＝0的一个根，则m 为 . 7.直接写出方程的解：①()2190x -=＋的解是 ；②()2 316x -=的解是 . 8.直接写出方程的解：①x 2＋2x ＋1＝9的解是 ；②x 2－2x －3＝0的解是__________. 9.用直接开方法解方程. ⑴9x 2＝25 ⑵2x 2－98＝0 ⑶3(x －2)2＝0 ⑷3(x －1)2＝27 10.如果12 x =是关于x 的方程22320x ax a -=＋的根，求关于y 的方程23y a -=的解. 11.一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( ) A ．()2+1100x = B ．()21100x =﹣ C ．()2+2100x = D ．()22100x -= 12.将方程2250x x --=变形为()2+x m n =的形式正确的是( ) A ．()2+16x = B ．()2+29x = C ．()216x -= D ．()229x -= 13.方程3x 2＝2的根是___________. 14.一元二次方程22426x x -＋＝的根是___________. 15.解下列方程： ⑴()22510x +-= ⑵()()11 x x -＋1＝ ⑶()23175y -= ⑷2215x x -＋＝ ⑸()2531250x --= ⑹24415x x -＋＝ 16.已知x 、y 、z 满足2246130x x y y -=＋＋，求代数式()2 xy 的值.

用配方法解一元二次方程练习题

解一元二次方程配方法练习题 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（） A．2±10B．-2±14C．-2+10D．2-10 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数D．可能为负数10．用配方法解下列方程： （1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4） 4 1 x2-x-4=0 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x2-7x+2的最小值； （2）求-3x2+5x+1的最大值。 - 1 -

用配方法解一元二次方程练习题答案: 1．①9，3 ②2.52，2.5 ③0.52，0.5 ④4.52，4.5 2．2（x-3 4）2-49 8 3．4 4．（x-1）2=5，1±55．C 6．A 7．?C 8．B 9．A 10．（1）方程两边同时除以3，得x2-5 3x=2 3 ， 配方，得x2-5 3x+（5 6 ）2=2 3 +（5 6 ）2， 即（x-5 6）2=49 36 ，x-5 6 =±7 6 ，x=5 6 ±7 6 ． 所以x1=5 6+7 6 =2，x2=5 6 -7 6 =-1 3 ． 所以x1=2，x2=-1 3 ． （2）x1=1，x2=-9 （3）x1=-6+51，x2=-6-51； 11．（1）∵2x2-7x+2=2（x2-7 2x）+2=2（x-7 4 ）2-33 8 ≥-33 8 ， ∴最小值为-33 8 ， （2）-3x2+5x+1=-3（x-5 6）2+37 12 ≤37 12 ，? ∴最大值为37 12 ． - 2 -

用配方法和公式法解一元二次方程

用配方法和公式法解一元二次方程 一.教学内容： 用配方法和公式法解一元二次方程 1.知道配方法的意义及用配方法解一元二次方程的主要步骤，能够熟练地用配方法解系数较简单的一元二次方程． 2.理解用配方法推导出一元二次方程的求根公式，了解求根公式中的条件b2－4ac≥0的意义，知道b2－4ac的值的符号与方程根的情况之间的关系． 3.能熟练地运用求根的公式解简单的数字系数的一元二次方程． 二. 知识要点： 1.形如x2＝p或（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程用开平方法将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程． 通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形式（mx＋n）2＝p（p≥0），可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程．这样解一元二次方程的方法叫做配方法． 3.用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把二次项系数化为1； （2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）用直接开平方法求出方程的根． （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．

三. 重点难点： 本讲重点是用配方法和公式法解一元二次方程，难点是配方的过程和对求根公式推导过程的理解． 例2.用配方法解方程： （1）x2＋2x－5＝0；（2）4x2－12x－1＝0； （3）（x＋1）2－6（x＋1）2－45＝0． 分析：方程（1）是一元二次方程的一般形式，且二次项系数为1，所以直接移项、配方、求解即可；方程（2）要先把二次项系数化为1；方程（3）不要急于打开括号，可把（x ＋1）2看成一个整体合并，可避免重复配方． （3）将方程整理得 （x＋1）2－6（x＋1）2＝45， －5（x＋1）2＝45， （x＋1）2＝－9， 由于x取任意实数时（x＋1）2≥0，则上式都不成立，所以原方程无实数根．

初中数学解一元二次方程直接开平方法一

初中数学解一元二次方程直接开平方法讲义一 1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程． 3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣． 一、情境导入

一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？ 二、合作探究 探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程 运用开平方法解下列方程： (1)4x2＝9；

(2)(x ＋3)2－2＝0. 解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解． 解：(1)由4x 2＝9，得 x 2＝ 94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32 ，x 2＝－32 . (2)移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝ 2或x ＋3＝－ 2. ∴原方程的解是x 1＝ 2－3，x 2＝－ 2－3. 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝ a ，x 2＝－a . 初中 【类型二】直接开平方法的应用 (2014·山东济宁中考)若一元二次方程 ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是 m ＋1与2m －4，则b a ＝________.

解析：∵ax2＝b，∴x＝±b a，∴方程的两个根互为相反数，∴ m＋1＋2m－4＝0，解 得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a＝2，∴ b a＝4， 故答案为4. 【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用 若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，则a＝________． 解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一个根为0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案为2. 【类型四】直接开平方法的实际应用

直接开方解一元二次方程

初三数学教学案 用直接开平方法解一元二次方程 编号：0102 【第一板块】考纲（课标） 学会用直接开平方法解一元二次方程。 【第二板块】预习内容 1、课前预习：P5“问题1”. 【第三板块】学与讲 课前预习：P5. 如果方程能化成p x =2或p n mx =+2)()0(≥p 的形式，那么可得=x 或 =+n mx .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 例1：用直接开平方法解下列方程： （1）0492=-x （2）04972 =-x （3）4)1(2=-x （4）36)2(2=+x （5）50)13(22=-x （6）08)2(42=--x 学法指导： 1、p x =2或p n mx =+2)()0(≥p 得：p x ±=或p n mx ±=+. 2、什么时候可以用直接开平方法？形如：02 =+c ax （即没有x 的一次项）的形式便可用直接开平方法解一元二次方程。 例2：用直接开平方法解下列方程： （1）4962=++x x （2）41692=++x x 【第四板块】练习 堂上练习：

一：基础题： 1、方程162=x 的解是 。 2、方程04)1(2=-+x 的解是 。 3、方程072=-x 的根是（ ） A.7=x B. 7-=x C. 7±=x D. 7=x 4、方程0)2(82=-x 的根是（ ） A.8=x B.8±=x C.2=x D.2±=x 5、解下列方程： （1）0822=-x （2）3592=-x （3）09)6(2=-+x （4）06)1(32=--x （5）5442=+-x x （6）36110252=+-x x 二：提高题： 1、一元二次方程5)6(2=+x 可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是56=+x ，则另一个一次方程是 。 2、在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：2 2b a b a -=☆，则方程133☆4=x ☆的解为=x 。 3、若322+x 与422-x 互为相反数，求x 的值。 4、解方程：0)32()2(22=---x x 三：课后作业： 1.解下列方程： （1）01362=-x （2）8142=x （3）25)5(2=+x （4） 016)5(22=--x （5）4122=+-x x （6）8191242=++x x 2.学习辅导

降次 解一元二次方程 时

22．2降次---解一元二次方程（第五课时） 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ◆随堂检测 1、已知一元二次方程01322 =--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______． 2、关于x 的一元二次方程2 0x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______， c =______． 3、一元二次方程2 10x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ） A ．0a = B ．2a =或2a =- C ．2a = D ．2a =或0a = 4、已知方程2 310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值. ◆典例分析 已知关于x 的一元二次方程22 (21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围； （2）当22 120x x -=时，求m 的值． （提示：如果1x 、2x 是一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的两根，那么有12b x x a +=- ，12c x x a = ） 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求 m 的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出 错的地方. 解:（1）∵一元二次方程2 2 (21)0x m x m +-+=有两个实数根, ∴△＝2 2 (21)41410m m m --??=-+≥,∴1 4 m ≤ . （2）当22 120x x -=时，即1212()()0x x x x +-=,∴120x x +=或120x x -=. 当120x x +=时，依据一元二次方程根与系数的关系可得12(21)x x m +=--, ∴(21)0m --=,∴12 m = . 又∵由（1）一元二次方程2 2 (21)0x m x m +-+=有两个实数根时m 的取值范围是 14m ≤ ,∴1 2 m =不成立,故m 无解；

用配方法解一元二次方程教案

用配方法解一元二次方程教学设计 山东省诸城市贾悦镇孟疃初中 张洪军 一、教学目标： 1、 理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程。 2、 通过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转 化的数学思想。 二、重点与难点 重点：用配方法解一元二次方程的步骤。 难点：探究用配方法求解一元二次方程的步骤。 三、教学方法： 自主学习与合作探究相结合 教学流程 一、预习效果检测： 1.发放检测卷，检测课前预习效果。 （1）、用开平方法解一元二次方程，须将方程化为 的形式。 （2）、 叫配方法。 （3）、配方的过程是将方程两边同时加上 ，左边化 为 ，右边是一个 数，然后用 法求解。 （4） 用配方法解方程：x 2+4x=-3（一生板演） （5）填空：(1)x 2+6x+_____=(x+3)2 (2)x 2+8x+_____=(x+___)2 (3)x 2-16x+_____=( )2 (4)x 2-5x+______=_________ (5)x 2+ x 3 4____=___________ (6)x 2+px+______=_________ (7)x 2+ x a b +_____=________ 2.学生答题，教师板书课题。 环节设计：该环节，既能考察学生的课前延伸情况，又能考查各类学生的自主学习能力，激发了学生的学习热情。 3、 学生回答预习检测结果，纠正反馈（包括板演的题目）。 4、 针对预习存在的问题，展示下一段学习的目标，并针对目标进行有的放失的训练。 5、 目标： （1）理解配方法，会用配方法解数字系数的一元二次方程。 （2）通过用配方法解一元二次方程，把一元二次方程化为一元一次方程的过程，体会转化的数学思想。 二、课内进行探究 （一）合作探究困惑问题 1、由预习检测出现的问题，设计探究习题。 （1）在下列式子中填上适当的数，使等式成立， x 2-6x+ = x 2+16x+ =

一元二次方程的解法—配方法

课 题 一元二次方程的解法—配方法2 课 型 新 授 教 学 目 标 知 识 与技能 会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程． 过 程 与方法 了解用配方法解一元二次方程的基本步骤． 情 感 与态度 培养学生独立思考、积极探索的思维品质，善于用数学知识解决身边的数学 问题，提高学习数学的热情和积极性. 教 学 重 点 用配方法求解一元二次方程． 教 学 难 点 理解配方法． 教 具 准 备 教 学 过 程 教 师 活 动 学 生 活 动 一、复习巩固、引入新课： 1、什么叫配方法？ 2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。 3、解方程： （1）x 2+4x+3=0 （2）x 2 ―4x+2=0 二、例题讲解、感受新授： 1、例题讲析： 例3：解方程：3x 2 +8x ―3=0 分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。 解：两边都除以3，得： x 2+8 3 x ―1=0 移项，得：x 2+8 3 x = 1 配方，得：x 2+8 3 x+(43 )2= 1+(43 )2 （方程两边都加上一次项系数一半的 平方） (x+43 )2=(53 )2 即：x+43 =±5 3 所以x 1=1 3 ，x 2=―3 2、用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把二次项系数化为1； （2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。 （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 （4）用直接开平方法求出方程的根。 3、做一做： 一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （m ）与时间t （s ） 满足关系： h=15 t ―5t 2 小球何时能达到10m 高？ 三、随堂练习、巩固新知： 学生回答 板演 由师生共同小结

解一元二次方程配方法

解一元二次方程配方法 内容：配方法解一元二次方程 课型：新授 学习目标：1．会用开平方法解形如(x 十m)2＝n(n ≥0)的方程． 2．理解一元二次方程的解法——配方法． 教学重点： 利用配方法解一元二次方程 教学难点： 把一元二次方程通过配方转化为(x 十m)2＝n(n ≥0)的形式． 一．学前准备 1用直接开平方法解方程 2x 2--8=0 )62+x （--9=0 2完全平方公式是什么？ 3填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+ = (x+6)2 （2）x 2―12x+ = (x ― )2 （3）x 2+8x+ = (x+ )2 （4）x 2+4 3x+ = （x+ ）2 （5）x 2+px+ = （x+ ）2 观察并思考填的数与一次项的系数有怎样的关系？ 二、探究活动 问题：下列方程能否用直接开平方法解？ x 2+8x ―9=0 x 2 一l0x 十25＝7； 是否先把它变成(x+m)2=n （n ≥0）的形式再用直接开平方法求解？ 问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m2， 场地的长和宽应各是多少？ 解：设场地宽为X 米，则长为（x+6）米，根据题意得:（ ） 整理得( )

怎样解方程X2+6X－16 = 0自学教材32页 1什么叫配方法？ 例1: 用配方法解下列方程 x2--8x+1=0 2x2＋1=3x 总结用配方法解方程的一般步骤． (1)化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数． (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项． (3)要在方程两边各加上一次项系数一半的平方．(注：一次项系数是带符号的) (4)方程变形为(x+m)2=n的形式． (5)如果右边是非负实数，就用直接开平方法解这个一元二次方程；如果右边是一个负数，则方程在实数范围内无解． 三．自我测试 1配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x2+12x+ =(x+6)2 （2）x2―12x+ =(x―)2 （3）x2+8x+ =(x+ )2 2解下列方程 3x2+3x―3=0 3x2 －9x＋2=0 2x2＋6=7x 3．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3 4．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11