2011-2017年全国卷2文科数学试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2
文科数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}{}123234A B ==，，， ，，， 则=A
B
A. {}123,4，，
B. {}123，，
C. {}234，，
D. {}134，， 2.（1+i ）（2+i ）=
A.1-i
B. 1+3i
C. 3+i
D.3+3i 3.函数()
f
x =π
sin （2x+
）3
的最小正周期为
A.4π
B.2π
C. π
D. 2
π
4.设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则
A a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a
5.若＞1，则双曲线x y a
=22
2-1的离心率的取值范围是
A. ∞）
B. ）
C. （1
D. 12（，）
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为
A.90π
B.63π
C.42π
D.36π
7.设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤??
-+≥??+≥?
。则2z x y =+ 的最小值是
A. -15
B.-9
C. 1 D 9
8.函数2
()ln(28)f x x x =-- 的单调递增区间是
A.(-∞,-2)
B. (-∞,-1)
C.(1, +∞)
D. (4, +∞)
9.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则
A.乙可以知道两人的成绩
B.丁可能知道两人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩 10.执行右面的程序框图，如果输入的a =-1，则输出的S=
A.2
B.3
C.4
D.5
11.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A.
110 B.15 C.3
10
D.25
12.过抛物线C:y 2=4x 的焦点F
的直线交C 于点M （M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l,则M 到直线NF 的距离为
B.
C.
D.
二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.函数()cos sin =2+f
x x x 的最大值为 .
14.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-，
0∈∞时，()
322=+f x x x ,
则()
2=f
15.长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B= 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（12分）
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1=-1，b 1=1，
222a b +=.
（1） 若335a b += ，求{b n }的通项公式； （2）若321T =，求3S . 18.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=1
2
AD, ∠BAD=∠ABC=90°。 （1） 证明：直线BC ∥平面PAD;
（2） 若△PAD 面积为P-ABCD 的体积。
19（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：
（1） 记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法
有关：
（3） 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。 附：
P （）
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20.（12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C
上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，
点P 满足2NP NM =
（1） 求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ?=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . （21）（12分）
设函数f(x)=(1-x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性；
（2）当x 0时，f(x) ax +1，求a 的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. 选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C 1的极坐标方程为
（1）M 为曲线C 1的动点，点P 在线段OM 上，且满足16?OM OP =，求点P 的
轨迹C 2的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为π
23
（，），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值。
23. 选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知
=2。证明：
（1）()()
554a b a b ++≥ ： （2）
。
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2
文科数学参考答案
一、选择题：
1. A
2. B
3. C
4. A
5. C
6. B
7. A
8. D
9. D 10. B 11. D
12. C
二、填空题
13.
14. 12
15. 14π.
16.
3
π 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17.（12分）
已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=-1，b1=1，
222
a b
+=.
（2）若
335
a b
+=，求{b n}的通项公式；
（2）若
321
T=，求
3
S.
【解析】（1）设的公差为d，的公比为q，则,.由得
d+q=3. ①
（1）由得
②
联立①和②解得（舍去），
因此的通项公式
（2）由得.
解得
当时，由①得，则.
当时，由①得，则.
18.(12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=1
2
AD, ∠
BAD=∠ABC=90°。
（3）证明：直线BC∥平面PAD;
（4）若△PAD面积为，求四棱锥P-ABCD的体积。
所以四棱锥P-ABCD的体积.
19（12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下：
（4）记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；
（5）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（6）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。
附：
P（）0.050
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表
K 2=
15.70510010096104
???≈
由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg 到50kg 之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法. 20.（12分）
设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C
上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P
满足2NP NM =
（2） 求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ?=.证明过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
（21）（12分）
设函数f(x)=(1-x2)e x.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当x0时，f(x) ax+1，求a的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. 选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线C 1的极坐标方程为
（1）M 为曲线C 1的动点，点P 在线段OM 上，且满足16?OM OP =，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为π
23
（，），点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值。
23. 选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知
=2。证明：
（1）()()
554a b a b ++≥ ： （2）。
【解析】
++=+++556556(1)()()a b a b a ab a b b
=+-++3323344()2()
a b a b ab a b
=+-2
22
4()ab a b ≥4.
（2）因为+=+++33223
()33a b a a b ab b
=++23()ab a b
+≤+
+2
3()2(a b)4
a b
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷2
文科数学
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域
内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 已知集合{
}3,2,1=A ，{}
92
<=x x B ，则=B A （A ）{}3,2,1,0,1,2-- （B ）
{}2,1,0,1- （C ）{}3,2,1
（D ）{
}2,1 （2） 设复数z 满足i i z -=+3，则=z
（A ）i 21+- （B ）i 21- （C ）i 23+ （D ）i 23-
（3） 函数)sin(?ω+=x A y 的部分图像如图所示，则
（A ）)62sin(2π
-
=x y （B ）)3
2sin(2π
-=x y
（C ）)62sin(2π
+
=x y （D ）)3
2sin(2π
+=x y （4） 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A ）π12 （B ）
π3
32
（C ）π8 （D ）π4 （5） 设F 为抛物线C ：x y 42=的焦点，曲线)0(>=
k x
k
y 与C 交于点P ，
x PF ⊥轴，则=k （A ）
21 （B ）1 （C ）2
3
（D ）2 （6） 圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a
（A ）3 （B ）4
3
-
（C ）3 （D ）2 （7） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的
表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π
（8） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40
秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ）
107 （B ）85 （C ）83 （D ）10
3
（9） 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.
执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ,依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34
（10） 下列函数中，其定义域和值域分别与函数x
y lg 10=的定义域和值域相同的是
（A ）x y = （B ）x y lg = （C ）x
y 2= （D ）x
y 1=
（11） 函数）（x x x f -+=2
cos
6 2 cos )(π
的最大值为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
（12） 已知函数)( )(R x x f ∈满足)2()(x f x f -=，若函数322
--=x x y 与
)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ?，则
∑=m
i i
x
1
（A ）0 （B ）m （C ）m 2 （D ）m 4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。
（13） 已知向量a )4,(m =，b )2,3(-=，且a ∥b ，则=m ．
（14） 若y x ,满足约束条件??
?
??≤-≥-+≥+-,03,03,01x y x y x 则y x z 2-=的最小值为 ．
（15） ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若1,13
5
cos ,54cos ===
a C A ，则=
b ．
（16） 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡
片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡
片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17） （本小题满分12分）
等差数列{}n a 中，且443=+a a ，675=+a a ．
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如
[]09.0=，[]26.2=．
（18） （本小题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：
随机调查了设该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
（Ⅰ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求)(A P 的估计值；
（Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160%”．求)(B P 的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．
（19） （本小题满分12分）
如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点F E ,分别在CD AD ,上，CF AE =，
EF 交BD 于点H .将DEF △沿EF 折到
EF D '△的位置.
（Ⅰ）证明：D H AC '⊥； （Ⅱ）若5=AB ，6=AC ，4
5
=
AE ，22='OD ，求五棱锥ABCFE D -'的体积． （20） （本小题满分12分）
已知函数)1( ln )1()(--+=x a x x x f ．
（Ⅰ）当4=a 时，求曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若当),1(+∞∈x 时，0)(>x f ，求a 的取值范围．
（21） （本小题满分12分）
已知A 是椭圆E ：13
42
2=+y x 的左顶点，斜率为)0(>k k 的直线交E 于M A ,两
点，点N 在E 上，NA MA ⊥.
（Ⅰ）当AN AM =时，求AMN △的面积；
（Ⅱ）当AN AM =2时，证明：23< 请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 （22） （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，在正方形ABCD 中，G E ,分别在边DC DA ,上（不与端点重合），且DG DE =,过D 点作CE DF ⊥,垂足为F . （Ⅰ）证明：F G C B ,,,四点共圆； （Ⅱ）若1=AB ，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积. （23） （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为 25)6(2 2=++y x . （Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是?? ?==, sin , cos ααt y t x （t 为参数），l 与C 交于B A ,两点，10=AB ， 求l 的斜率. （24） （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数2 1 21)(++- =x x x f ，M 为不等式2)( （Ⅱ）证明：当M b a ∈,时，ab b a +<+1. 2016年全国卷Ⅱ高考数学（文科）答案 一. 选择题 （1）D （2）C （3） A （ 4） A （5） D （ 6） A （7） C （8） B （9） C （10） D （11） B （12） B 二．填空题 (13) 6- (14) 5- （15） 2113 （16）1和3 三、解答题 （17）(本小题满分12分) (Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5 a d ==， 所以{}n a 的通项公式为23 5 n n a +=. （Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +?? =???? ， 当n=1,2,3时，23 12,15n n b +≤ <=； 当n=4,5时，23 23,25n n b +≤<=； 当n=6,7,8时，23 34,35n n b +≤<=； 当n=9,10时，23 45,45 n n b +≤<=， 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=. （18）(本小题满分12分) (Ⅰ)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为 6050 0.55200 +=， 故P(A)的估计值为0.55. （Ⅱ）事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为3030 0.3200 +=， 故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为： 调查200名续保人的平均保费为 0.850.300.25 1.250.15 1.50.15 1.750.3020.10 1.1925a a a a a a a ?+?+?+?+?+?=因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. （19）（本小题满分12分） （ I ）由已知得，,.⊥=AC BD AD CD 又由=AE CF 得 = AE CF AD CD ，故//.AC EF 由此得,'⊥⊥EF HD EF HD ，所以//.'AC HD . （II ）由//EF AC 得 1 .4 ==OH AE DO AD 由5,6==AB AC 得 4.===DO BO 所以1, 3.'===OH D H DH 于是22222 19,''+=+==OD OH D H 故.'⊥OD OH 由（I ）知'⊥AC HD ，又,'⊥=AC BD BD HD H ， 所以⊥AC 平面 ,'BHD 于是. '⊥AC OD 又由,'⊥=OD OH AC OH O ，所以，'⊥OD 平面.ABC 又由 = EF DH AC DO 得9 .2 =EF 五边形ABCFE 的面积11969 683.2224 =??-??=S 所以五棱锥体积169342 =??=V （20）（本小题满分12分） （I ）()f x 的定义域为(0,)+∞.当4=a 时， 1 ()(1)ln 4(1),()ln 3'=+--=+ -f x x x x f x x x ， (1)2,(1)0. '=-=f f 曲线 ()=y f x 在(1,(1))f 处的切线方程为220.x y +-= 'ABCEF D - （II ）当(1,)∈+∞x 时，()0>f x 等价于(1) ln 0.1 -->+a x x x 令(1) ()ln 1 -=- +a x g x x x ，则 222 122(1)1 (),(1)0(1)(1)+-+'=-==++a x a x g x g x x x x ， （i ）当2≤a ，(1,)∈+∞x 时，2 2 2(1)1210+-+≥-+>x a x x x ，故()0,()'>g x g x 在(1,)∈+∞x 上单调递增，因此()0>g x ； （ii ）当2>a 时，令()0'=g x 得 1211=-=-+x a x a ， 由21>x 和121=x x 得11 综上，a 的取值范围是(],2.-∞ （21）（本小题满分12分） （Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4 π ， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22 143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y = ，所以1127 y =. 因此AMN ?的面积11212144 227749 AMN S ?=???= . （II ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22 143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=. 由2121612(2)34k x k -?-=+得212 2(34)34k x k -=+，故12||2|34AM x k =+=+.