实验数据误差分析和数据处理(2)
实验数据误差分析和数据处理
一、误差的基本概念
测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。
1.真值与平均值
真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种:
(1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。
设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为
n
x n x x x x n
i i
n ∑==+???++=121 (2-1)
(2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即
n n x x x x ????=21几 (2-2)
（3）均方根平均值
n
x
n x
x x x n
i i
n
∑==+???++=
1
222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。
设两个量1x 、2x ，其对数平均值
2
1
212
121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对
(2-4)
应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。
当1x /2x =2，对x =1.443, =x 1.50, (对x -x )／对x =4.2%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过4.2%。
以上介绍各平均值的目的是要从一组测定值中找出最接近真值的那个值。在化工实验和科学研究中，数据的分布较多属于正态分布，所以通常采用算术平均值。
2.误差的分类
根据误差的性质和产生的原因，一般分为三类：
（1）系统误差 系统误差是指在测量和实验中未发觉或未确认的因素所引起的误差，而这些因素影响结果永远朝一个方向偏移，其大小及符号在同一组实验测定中完全相同，当实验条件一经确定，系统误差就获得一个客观上的恒定值。
当改变实验条件时，就能发现系统误差的变化规律。
系统误差产生的原因：测量仪器不良，如刻度不准，仪表零点未校正或标准表本身存在偏差等；周围环境的改变，如温度、压力、湿度等偏离校准值；实验人员的习惯和偏向，如读数偏高或偏低等引起的误差。针对仪器的缺点、外界条件变化影响的大小、个人的偏向，待分别加以校正后，系统误差是可以清除的。
（2）偶然误差在已消除系统误差的一切量值的观测中，所测数据仍在末一位或末两位数字上有差别，而且它们的绝对值和符号的变化，时而大时而小，时正时负，没有确定的规律，这类误差称为偶然误差或随机误差。偶然误差产生的原因不明，因而无法控制和补偿。但是，倘若对某一量值作足够多次的等精度测量后，就会发现偶然误差完全服从统计规律，误差的大小或正负的出现完全由概率决定。因此，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋近于零，所以多次测量结果的算数平均值将更接近于真值。
（3）过失误差过失误差是一种显然与事实不符的误差，它往往是由于实验人员粗心大意、过度疲劳和操作不正确等原因引起的。此类误差无规则可寻，只要加强责任感、多方警惕、细心操作，过失误差是可以避免的。
3、精密度、准确度和精确度
反映测量结果与真实值接近程度的量，称为精度（亦称精确度）。它与误差大小相对应，测量的精度越高，其测量误差就越小。“精度”应包括精密度和准确度两层含义。
（1）精密度：测量中所测得数值重现性的程度，称为精密度。它反映偶然误差的影响程度，精密度高就表示偶然误差小。
（2）准确度测量值与真值的偏移程度，称为准确度。它反映系统误差的影响精度，准确度高就表示系统误差小。
（3）精确度（精度）它反映测量中所有系统误差和偶然误差综合的影响程度。
在一组测量中，精密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。
为了说明精密度与准确度的区别，可用下述打靶子例子来说明。如图2-1所示。
图2-1(a)中表示精密度和准确度都很好，则精确度高；图2-1(b)表示精密度很好，但准确度却不高；图2-1(c)表示精密度与准确度都不好。在实际测量中没有像靶心那样明确的真值，而是设法去测定这个未知的真值。
学生在实验过程中，往往满足于实验数据的重现性，而忽略了数据测量值的准确程度。绝对真值是不可知的，人们只能订出一些国际标准作为测量仪表准确性的参考标准。随着人类认识运动的推移和发展，可以逐步逼近绝对真值。
（a）（b）（c）
图 2-1 精密度和准确度的关系
4、误差的表示方法
利用任何量具或仪器进行测量时，总存在误差，测量结果总不可能准确地等于被测量的真值，而只是它的近似值。测量的质量高低以测量精确度作指标，根据测量误差的大小来估计测量的精确度。测量结果的误差愈小，则认为测量就愈精确。
（1）绝对误差 测量值X 和真值0A 之差为绝对误差，通常称为误差。记为：
0A X D -= (2-5) 由于真值0A 一般无法求得，因而上式只有理论意义。常用高一级标准仪器的示值作为实际值A 以代替真值0A 。由于高一级标准仪器存在较小的误差，因而A 不等于0A ，但总比X 更接近于0A 。X 与A 之差称为仪器的示值绝对误差。记为
A X d -= (2-6)
与d 相反的数称为修正值，记为
X A d C -=-= (2-7)
通过检定，可以由高一级标准仪器给出被检仪器的修正值C 。利用修正值便可以求出该仪器的实际值A 。即
C X A += (2-8) （2）相对误差 衡量某一测量值的准确程度，一般用相对误差来表示。示值绝对误差d 与被测量的实际值A 的百分比值称为实际相对误差。记为
%100?=
A
d
A δ (2-9) 以仪器的示值X 代替实际值A 的相对误差称为示值相对误差。记为
%100?=
X
d
X δ (2-10) 一般来说，除了某些理论分析外，用示值相对误差较为适宜。
（3）引用误差 为了计算和划分仪表精确度等级，提出引用误差概念。其定义为仪表示值的绝对误差与量程范围之比。
%100%100?=?=n
A X d 量程范围示值绝对误差δ (2-11)
d -- 示值绝对误差；
n X -- 标尺上限值-标尺下限值。
（4）算术平均误差 算术平均误差是各个测量点的误差的平均值。
n
d i ∑=平δ n i ,,2,1 = (2-12) n —测量次数；
i d —为第 i 次测量的误差。 （5）标准误差 标准误差亦称为均方根误差。其定义为
n
d
i
∑=
2σ (2-13)
上式使用于无限测量的场合。实际测量工作中，测量次数是有限的，则改用下式
1
2-=
∑n d
i
σ (2-14)
标准误差不是一个具体的误差，σ的大小只说明在一定条件下等精度测量集合所属的每一个观测值对其算术平均值的分散程度，如果σ的值愈小则说明每一次测量值对其算术平均值分散度就小，测量的精度就高，反之精度就低。
在化工原理实验中最常用的U 形管压差计、转子流量计、秒表、量筒、电压等仪表原则上均取其最小刻度值为最大误差，而取其最小刻度值的一半作为绝对误差计算值。
5、测量仪表精确度
测量仪表的精确等级是用最大引用误差（又称允许误差）来标明的。它等于仪表示值中的最大绝对误差与仪表的量程范围之比的百分数。
%
100%100max max ?=
?=
n
n X d 量程范围
最大示值绝对误差
δ (2-15) 式中：δ
max
——仪表的最大测量引用误差；
d max ——仪表示值的最大绝对误差； X n ——标尺上限值—标尺下限值。
通常情况下是用标准仪表校验较低级的仪表。所以，最大示值绝对误差就是被校表与标准表之间的最大绝对误差。
测量仪表的精度等级是国家统一规定的，把允许误差中的百分号去掉，剩下的数字就称为仪表的精度等级。仪表的精度等级常以圆圈内的数字标明在仪表的面板上。例如某台压力计的允许误差为1.5%，这台压力计电工仪表的精度等级就是1.5，通常简称1.5级仪表。
仪表的精度等级为a ，它表明仪表在正常工作条件下，其最大引用误差的绝对值δmax 不能超过的界限，即
%%100max max
a X d
n
n ≤?=δ (2-16)
由式(2-16)可知，在应用仪表进行测量时所能产生的最大绝对误差（简称误差限）为
n X a d ?≤%max (2-17) 而用仪表测量的最大值相对误差为
X
X
a X d n n
n ?≤=%max max
δ (2-18)
由上式可以看出，用只是仪表测量某一被测量所能产生的最大示值相对误差，不会超过仪
表允许误差a% 乘以仪表测量上限X n 与测量值X 的比。在实际测量中为可靠起见，可用下式对仪表的测量误差进行估计，即
X
X a n m ?
=%δ (2-19) [例2-1] 用量限为5A ，精度为0.5级的电流表，分别测量两个电流，I 1 =5A,I 2 =2.5A,试求测量I 1和I 2的相对误差为多少？
%5.05
5
%5.0%1
1
=?=?=I I a n m δ
%0.15
.25%5.0%22=?=?
=I I a n m δ 由此可见，当仪表的精度等级选定时，所选仪表的测量上限越接近被测量的值，则测量的
误差的绝对值越小。
[例2-2] 欲测量约90V 的电压，实验室现有0.5级0-300V 和1.0级0-100V 的电压表。问选用哪一种电压表进行测量为好？
用0.5级0-300V 的电压表测量90V 的相对误差为
%7.190
300
%5.0%1
5
.0=?=?=U U a n m δ
用1.0级0-100V 的电压表测量90V 的相对误差为
%1.190
100
%0.1%2
.1=?=?=U U a n m δ
上例说明，如果选择得当，用量程范围适当的1.0级仪表进行测量，能得到比用量程范围
大的0.5级仪表更准确的结果。因此，在选用仪表时，应根据被测量值的大小，在满足被测量数值范围的前提下，尽可能选择量程小的仪表，并使测量值大于所选仪表满刻度的三分之二，即X ＞2X n /3 。这样就可以达到满足测量误差要求，又可以选择精度等级较低的测量仪表，从而降低仪表的成本。
二、有效数字及其运算规则
在科学与工程中，该用几位有效数字来表示测量或计算结果，总是以一定位数的数字来表示。不是说一个数值中小数点后面位数越多越准确。实验中从测量仪表上所读数值的位数是有限的，而取决于测量仪表的精度，其最后一位数字往往是仪表精度所决定的估计数字。即一般应读到测量仪表最小刻度的十分之一位。数值准确度大小由有效数字位数来决定。
1、 有效数字
一个数据，其中除了起定位作用的“0”外，其他数都是有效数字。如0.0037只有两位有效数字，而370.0则有四位有效数字。一般要求测试数据有效数字为4位。要注意有效数字不一定都是可靠数字。如测流体阻力所用的U 形管压差计，最小刻度是1mm ，但我们可以读到0.1mm ，如342.4mmHg 。又如二等标准温度计最小刻度为0.1℃，我们可以读到0.01℃，如15.16℃。此时有效数字为4位，而可靠数字只有三位，最后一位是不可靠的，称为可疑数字。记录测量数值时只保留一位可疑数字。
为了清楚地表示数值的精度，明确读出有效数字位数，常用指数的形式表示，即写成一个小数与相应10的整数幂的乘积。这种以10的整数幂来记数的方法称为科学记数法。
如 75200 有效数字为4位时，记为7.520*10
5
有效数字为3位时，记为7.52*10
5
有效数字为2位时，记为7.5*10
5
0.00478 有效数字为4位时，记为4.780*10
-3
有效数字为3位时，记为4.78*10-3
有效数字为2位时，记为4.7*10
-3
2、有效数字运算规则
（1）记录测量数值时，只保留一位可疑数字。
（2）当有效数字位数确定后，其余数字一律舍弃。舍弃办法是四舍六入，即末位有效数字后边第一位小于5，则舍弃不计；大于5则在前一位数上增1；等于5时，前一位为奇数，则进1为偶数，前一位为偶数，则舍弃不计。这种舍入原则可简述为：“小则舍，大则入，正好等于奇变偶”。如：保留4位有效数字 3.71729→3.717;
5.14285→5.143
7.62356→7.624 9.37656→9.376
（3）在加减计算中，各数所保留的位数，应与各数中小数点后位数最少的相同。例如将24.65 0.0082 1.632三个数字相加时，应写为 24.65 + 0.01 + 1.63 = 26.29。
（4）在乘除运算中，各数所保留的位数，以各数中有效数字位数最少的那个数为准；其结果的有效数字位数亦应与原来各数中有效数字最少的那个数相同。例如：
0.0121×25.64×1.05782应写成0.0121×25.64×1.06=0.328。上例说明，虽然这三个数的乘积为0.3281823，但只应取其积为0.328。
（5）在对数计算中，所取对数位数应与真数有效数字位数相同。
表2-2 某些函数的误差传递公式
函数式
误差传递公式
最大绝对误差y ?
最大相对误差r δ
321x x x y ++=
|)||||(|321x x x y ?+?+?±=?
y y r /?=δ 21x x y += |)||(|21x x y ?+?±=?
y y r /?=δ
21x x y = |)||(|1221x x x x y ?+?±=?
)(2
211x x x x r ?+?±=δ 321x x x y =
|)||||(|132231321x x x x x x x x x y ?+?+?±=?
)(
3
32211x x x x x x r ?+?+?±=δ n x y =
)(1x nx y n ?±=?-
)(x x n
r ?±=δ n
x y =
)1(1
1
x x n
y n ?±=?-
)
1(x
x n r ?±=δ 21/x x y =
)(22
2112x x
x x x y ?+?±=?
)(
2
211x x x x r ?+?±=δ cx y =
x c y ?±=?
)(
x
x r ?±=δ x y lg =
x
x 0.4343?±=?y
y y r /?=δ
x y ln =
x
x
?±
=?y
y y r /?=δ
各变量的绝对误差为
g M 2.0=? 02.001.001.0020=+=?+?=?t t θ g m 02.0=? 05.001.004.0120=+=?+?=?t t θ
各变量的误差传递系数为
3101052.353
.8131.62187
.427.42
-?=??=
=
??θθm C M
C O H p p
22
1201041.153
.8131.62187.427.42
-?-=??-=-=??θθm C M m C O H p p
206.053.8131.62187
.42501
02
=??=
=
??θθm MC C O
H p p
22
2
1
01
1008.153
.8131.62187
.427.42502
-?-=???-
=-
=??θθθm C M C O
H p p 函数的绝对误差
1
1
00θθθθ???+???+???+???=?p p p p p C C m m C M M C C
=3.52×10-3×0.2—1.41×10-2×0.02+0.206×0.02—1.08×10-2×0.05
=0.704×10-3—0.282×10-3 + 4.12×10-3--0.54×10-3
=4.00×10-3 J/(g ·K) 880.0187.453
.8131.6227.4250=???=p C J/(g ·K)
故真值 C p =0.8798±0.0003 J/(g ·K)
由有效数字位数考虑以上的测量结果清度已满足要求。若不仅考虑有效数字位数，尚需从比较各变量的测量精度，确定是否有可能提高测量精度。则本例可从分析比较各变量的相对误差着手。
各变量的相对误差分别为 %08.0108250
2.04=?==?=-M M E M
%032.01021.331
.6202.04=?==?=-m m E m
%468.01068.427
.402.0300
=?==?=-θθθE
%0613.01013.653
.8105.0411
=?==?=-θθθE 其中以θ0的相对误差为0.468%，误差最大，是M 的5.85倍，是m 的14.63倍。为了提高C p 的测量精度，可改善θ0的测量仪表的精度，即提高测量水温的温度计精度，如采用贝克曼温度计，分度值可达0.002，精度为0.001。则其相对误差为 0040468.01068.427
.4002.00
=?==-θE
由此可见，变量的精度基本相当。提高θ0精度后C p 的绝对误差为
ΔC p =3.52×10-3×0.2—1.41×10-2×0.02+0.206×0.002—1.08×10-2×0.05 =0.704×10-3—0.282×10-3 + 0.412×10-3--0.54×10-3
=2.94×10-4J/(g ·K)
系统提高精度后，C p 的真值为 C p =0.8798±0.0003 J/(g ·K)
第二章 误差和分析数据处理
第二章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。(10)在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：（1）系统误差；校准砝码。 （2）系统误差；校准仪器。 （3）系统误差；校准仪器。 （4）系统误差；控制条件扣除共沉淀。 （5）系统误差；扣除试剂空白或将试剂进一步提纯。 （6）系统误差；在110℃左右干燥后称重。 （7）系统误差；重新选择指示剂。 （8）偶然误差；最后一位是估计值，因而估计不准产生偶然误差。 （9）系统误差；校准仪器。 （10）系统误差；重新选择分析条件。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。
误差理论与数据处理 实验报告
《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月
实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为：',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为：',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]);
p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 g1=(x1-p(1))/bz; g8=(p(8)-x1)/bz;%将g1与g8与g0值比较，g1和g8都小于g0，故判断暂不存在粗大误差if g1 二、误差及数据处理（277题） 一、选择题( 共120题) 1. 2 分(0201) 下列表述中,最能说明随机误差小的是-------------------------------------------------------( ) (A) 高精密度 (B) 与已知的质量分数的试样多次分析结果的平均值一致 (C) 标准差大 (D) 仔细校正所用砝码和容量仪器等 2. 2 分(0202) 以下情况产生的误差属于系统误差的是-----------------------------------------------------( ) (A) 指示剂变色点与化学计量点不一致 (B) 滴定管读数最后一位估测不准 (C) 称样时砝码数值记错 (D) 称量过程中天平零点稍有变动 3. 2 分(0203) 下列表述中,最能说明系统误差小的是-------------------------------------------------------( ) (A) 高精密度 (B) 与已知的质量分数的试样多次分析结果的平均值一致 (C) 标准差大 (D) 仔细校正所用砝码和容量仪器等 4. 2 分(0204) 下列各项定义中不正确的是--------------------------------------------------------------------( ) (A) 绝对误差是测定值与真值之差 (B) 相对误差是绝对误差在真值中所占的百分比 (C) 偏差是指测定值与平均值之差 (D) 总体平均值就是真值 5. 1 分(0205) 在定量分析中,精密度与准确度之间的关系是----------------------------------------------( ) (A) 精密度高,准确度必然高(B) 准确度高,精密度也就高 (C) 精密度是保证准确度的前提(D) 准确度是保证精密度的前提 6. 2 分(0206) 当对某一试样进行平行测定时,若分析结果的精密度很好,但准确度不好,可能的原因是----------------------------------------------------------------------------------------------------------( ) (A) 操作过程中溶液严重溅失(B) 使用未校正过的容量仪器 (C) 称样时某些记录有错误(D) 试样不均匀 7. 2 分(0207) 下列有关随机误差的论述中不正确的是----------------------------------------------------( ) (A) 随机误差具有随机性 (B) 随机误差具有单向性 (C) 随机误差在分析中是无法避免的 (D) 随机误差是由一些不确定的偶然因素造成的 8. 2 分(0208) 分析测定中随机误差的特点是----------------------------------------------------------------( ) (A) 数值有一定范围(B) 数值无规律可循 误差理论与数据处理 学号: ____________ 姓名: __________ 专业: _____________ 评分: _______ 上课时间: 第____周星期____上午[ ]下午[ ]晚上[ ] 请将1-24小题的答案对应地填在下表中 一、单选题（每小题3分，共36分）。 1.采用“四舍六入五单双”法，将下列各数据取为2位有效数字（修约间隔为0.1），其 结果正确的是： A. 2.750→2.7 B. 2.650→2.6 C. 2.65001→2.6 D. 2.6499→2.7 2.自然数6的有效数字位数为： A. 1位 B. 2位 C. 3位 D. 无穷位 3.L=0.1010m的有效数字位数为： A. 2位 B. 3位 C. 4位 D. 5位 4.V=2.90×103m/s的有效数字位数为： A. 3位 B. 5位 C. 6位 D. 7位 5.下列单位换算正确的是： A. 0.06m=60mm B. 1.38m=1380mm C. 4cm=40mm D. 5.0mm=0.50cm 6.用有效数字运算法则计算123.98－40.456+ 7.8，其结果正确的是： A. 91.324 B. 91.3 C. 91.32 D. 91 7.用有效数字运算法则计算271.3÷0.1和3.6×4.1，其结果正确的是： A. 3×103和14.8 B. 3×103和15 C. 2712和14.76 D. 2712和15 8.用有效数字运算法则计算 4.0345 +38.1 9.0121-9.011 ，其结果正确的是： A. 3705.827 B. 370.8273 C. 3705.8 D. 4×103 目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25) 实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 1.1 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标准的同类量进行比较，得出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测 量。如单摆测量重力加速度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。 1.2 误差及误差的表现形式 1．误差 物理量在客观上有着确定的数值，称为真值。测量的最终目的都是要获得物理量的真值。但由于测量仪器精度的局限性、测量方法或理论公式的不完善性和实验条件的不理想，测量 第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 第二章误差及数据处理 （第一部分） 一、选择题 1. 从精密度好就可断定分析结果可靠的前提是（） A. 随机误差小； B. 系统误差小； C. 平均偏差小； D. 相对偏差小。2．以下哪些是系统误差的特点（A、C、E）；哪些是偶然误差的特点（）。 A．误差可以估计其大小； B．数值随机可变； C．误差是可以测定的； D．在同一条件下重复测定中，正负误差出现的机会相等，具有抵消性； E．通过多次测定，均出现正误差或负误差。 3．准确度、精密度、系统误差、偶然误差之间的关系正确的是（）。 A．准确度高，精密度一定高； B．偶然误差小，准确度一定高； C．准确度高，系统误差、偶然误差一定小； D．精密度高，准确度一定高； E．偶然误差影响测定的精密度，但不影响准确度。 4、下列有关随机误差的论述中不正确的是（） A.随机误差在分析中是不可避免的； B.随机误差出现正误差和负误差的机会均等； C.随机误差具有单向性； D.随机误差是由一些不正确的偶然因素造成的。 5．消除或减免系统误差的方法有（）；减小偶然误差的方法有（）。 A．进行对照试验； B．进行空白试验； C．增加测定次数； D．遵守操作规程； E．校准仪器； F．校正分析方法。 6．下列情况对分析结果产生何种影响（A.正误差；B.负误差；C.无影响；D.降低精密度） （1）标定HCl溶液时，使用的基准物Na2CO3中含少量NaHCO3（）。 （2）在差减法称量中第一次称量使用了磨损的硅码（）。 （3）把热溶液转移到容量并立即稀释至标线（）。 （4）配标准溶液时，容量瓶内溶液未摇匀（）。 （5）平行测定中用移液管取溶液时，未用移取液洗移液管。（） （6）将称好的基准物倒入湿烧杯。（） 误差理论与数据处理 实验报告 姓名：黄大洲 学号：3111002350 班级：11级计测1班 指导老师：陈益民 实验一 误差的基本性质与处理 一、实验目的 了解误差的基本性质以及处理方法 二、实验原理 （1）算术平均值 对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。 1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。 设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...n i n i l l l l x n n =++==∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。 i v = i l -x i l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差） 2、算术平均值的计算校核 算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。 残余误差代数和为： 1 1 n n i i i i v l nx ===-∑∑ 当x 为未经凑整的准确数时，则有：1 n i i v ==∑0 1）残余误差代数和应符合： 当 1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1 n i i v =∑为零； 当 1n i i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1 n i i v =∑为正；其大小为求x 时 的余数。 当 1n i i l =∑ 第2章误差和分析数据的处理 思考题 1．正确理解准确度和精密度，误差和偏差的概念。 答：准确度表示分析结果的测量值与真实值接近的程度。准确度的高低，用误差来衡量，误差表示测定结果与真实值的差值。精密度是表示几次平行测定结果相互接近的程度。偏差是衡量测量结果精密度高低的尺度。 2．下列情况各引起什么误差，如果是系统误差，应如何消除？ （1）砝码腐蚀——会引起仪器误差，是系统误差，应校正法码。 （2）称量时试样吸收了空气中的水分——会引起操作误差，应重新测定，注意防止试样吸湿。 （3）天平零点稍变动——可引起偶然误差，适当增加测定次数以减小误差。 （4）天平两臂不等长——会引起仪器误差，是系统误差，应校正天平。 （5）容量瓶和吸管不配套——会引起仪器误差，是系统误差，应校正容量瓶。 （6）天平称量时最后一位读数估计不准——可引起偶然误差，适当增加测定次数以减小误差。 （7）以含量为98%的金属锌作为基准物质标定EDTA的浓度——会引起试剂误差，是系统误差，应做对照实验。 （8）试剂中含有微量被测组分——会引起试剂误差，是系统误差，应做空白实验。 （9）重量法测定SiO2时，试液中硅酸沉淀不完全——会引起方法误差，是系统误差，用其它方法做对照实验。 3．什么叫准确度，什么叫精密度？两者有何关系？ 答：精密度是保证准确度的先决条件。准确度高一定要求精密度好，但精密度好不一定准确度高。系统误差是定量分析中误差的主要来源，它影响分析结果的准确度；偶然误差影响分析结果的精密度。 4．用标准偏差和算术平均偏差表示结果，哪一个更合理？ 答：标准偏差。 5．如何减少偶然误差？如何减少系统误差？ 答：通过对照实验、回收实验、空白试验、仪器校正和方法校正等手段减免或消除系统误差。通过适当增加测定次数减小偶然误差。 第一章实验数据误差分析与数据处理 第一节实验数据误差分析 一、概述 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即表现为误差。为了提高实验的精度，缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。 实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器，通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒我们注意主要误差来源，精心操作，使研究的准确度得以提高。 二、实验误差的来源 实验误差从总体上讲有实验装置（包括标准器具、仪器仪表等）、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源。 1.实验装置误差 测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体。实验装置误差是指由测量装置产生的测量误差。它来源于： （1）标准器具误差 标准器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，标准器复现的量值单位是有误差的。例如，标准刻线米尺的0刻线和1 000 mm刻线之间的实际长度与1 000 mm单位是有差异的。又如，标称值为1kg的砝码的实际质量（真值）并不等于1kg等等。 （2）仪器仪表误差 凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备，称为仪器或仪表．它们将被测量转换成可直接观察的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。 由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可避免地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被测量的真值，造成测量误差。例如，天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等，称量时，按天平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。但是，由于天平的不等臂，虽然天平达到平衡，但两边的质量并不等，即造成测量误差。 （3）附件误差 为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件，均属测量附件。如电测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温度计所需要的温场，由于水槽内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。 按装置误差具体形成原因，可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。结构性的装置误差如：天平的不等臂，线纹尺刻线不均匀，量块工作面的不平行性，光学零件的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确，水平仪的零位调整不准确，千分尺的零位调整不准确，等等。这些误差是由于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，晶体振荡器频率的长期漂移，等等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的。 2.环境误差 环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差。 被测量在不同的环境中测量，其结果是不同的。这一客观事实说明，环境对测量是有影响的，是测量的误差来源之一。环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着。 测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。 3.方法误差 物理实验误差分析与数 据处理 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】 目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25) 实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证 物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 准的同类量进行比较，得出它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速 度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力 加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。 第二章实验数据误差分析和数据处理 第一节实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实 验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=1 21 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑== +???++= 1 2222 21 均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 2 1212 121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对 (2-4) 应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。 当1x /2x =2，对x =, =x , (对x -x )／对x =%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过%。 果总是与被测量的真实量值不一致，即任何测量都不可避免地存在着测量误差。为了减小和消除测量误差对测量结果的影响，需要研究和了解测量误差及测量不确定度。本章包括三个部分的内容。第一部分是测量误差，包括测量误差的基本概念、各类测量误差的处理方法、误差的传递、误差的合成与分配等；第二部分是测量不确定度，包括测量不确定度的概念和表示方法、测量不确定度的评定等；第三部分是数据处理。 2.1 测量误差的基本概念 2.1.1 测量误差存在的必然性和普遍性 在测量过程中，由于实验原理和实验方法的不完善，所采用的测量装置性能指标的局限，在环境中存在着各种干扰因素，以及操作人员技术水平的限制，必然使测量值与被测量的真实量值之间存在着差异。测量结果与被测量的真实量值之间的差异，称为测量误差，简称误差。 误差公理认为：在测量过程中各种各样的测量误差的产生是不可避免的，测量误差自始至终存在于测量过程中，一切测量结果都存在误差。因此，误差的存在具有必然性和普遍性。 随着科学技术的发展和我们认识水平的不断提高，可以将测量误差控制得越来越小，但是测量误差的存在仍是不可避免的。 2.1.2 有关量值的几个基本概念 1．真值 真值是指在一定的时间和空间条件下，能够准确反映某一被测量真实状态和属性的量值，也就是某一被测量客观存在的、实际具有的量值。 2．理论真值和约定真值 真值有理论真值和约定真值两种。 理论真值是在理想情况下表征某一被测量真实状态和属性的量值。理论真值是客观存在的，或者是根据一定的理论所定义的。例如，三角形三内角之和为180°。 由于测量误差的普遍存在，一般情况下被测量的理论真值是不可能通过测量得到的，但却是实际存在的。 由于被测量的理论真值不能通过测量得到，为解决测量中的真值问题，只能用约定的办法来确定真值。约定真值就是指人们为了达到某种目的，按照约定的办法所确定的量值。约定真值是人们定义的，得到国际上公认的某个物理量的标准量值。例如：光速被约定为3×108m／s；以高精度等级仪器的测量值约定为低精度等级仪器测量值的约定真值。 3．实际值 在满足实际需要的前提下，相对于实际测量所考虑的精确程度，其测量误差 §2误差与数据处理-> 习题和自测题-> 习题 1. 分析过程中出现下面的情况，试回答它是什么性质的误差，如何改进？ （1）过滤时使用了定性滤纸，最后灰分加大； （2）滴定管读数时，最后一位估计不准； （3）试剂中含有少量的被测组分。（参考答案） 答： （1）重量分析中，过滤时使用了定性分析滤纸，最后灰分增大，属于系统误差，改进的办法是改用定量分析滤纸或做空白实验进行校正。 （2）滴定管读数时，最后一位估读不准，属于偶然误差，可以增加平行测量次数。（3）试剂中含有少量被测组分，引起了系统误差，应做空白实验进行校正。 2. 测定某样品中的含氮量，六次平行测定的结果是20.48％，20.55％，20.58％，20.60％，20.53％，20.50％。 （1）计算这组数据的平均值、中位数、极差、平均偏差、标准偏差、变异系数和平均值的标准偏差。 （2）若此样品是标准样品，含氮量为20.45%，计算以上测定的绝对误差和相对误差。（参考答案） 答： (1) (2) 3. 测定试样中CaO含量，得到如下结果：35.65％，35.69％，35.72％，35.60％，问： （1）统计处理后的分析结果应该如何表示？ （2）比较95%和90%置信度下总体平均值和置信区间。（参考答案） 答： (2) 当置信度为95%，t=3.18： 即总体平均值的置信区间为（35.58，35.74）； 当置信度为90%，t=2.35： 即总体平均值的置信区间为（35.60，35.72）。 4. 根据以往的经验，用某一种方法测定矿样中锰的含量的标准偏差（即δ）是0.12%。现测得含锰量为9.56%，如果分析结果分别是根据一次、四次、九次测定得到的，计算各次结果平均值的置信区间（95%置信度）。（参考答案） 专业资料 《误差理论与数据处理》实验指导书 姓名 学号 机械工程学院 2016年05月 实验一误差的基本性质与处理 一、实验内容 1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。 Matlab程序： l=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,24.674];%已知测量值 x1=mean(l);%用mean函数求算数平均值 disp(['1.算术平均值为： ',num2str(x1)]); v=l-x1;%求解残余误差 disp(['2.残余误差为： ',num2str(v)]); a=sum(v);%求残差和 ah=abs(a);%用abs函数求解残差和绝对值 bh=ah-(8/2)*0.001;%校核算术平均值及其残余误差,残差和绝对值小于n/2*A,bh<0，故以上计算正确 if bh<0 disp('3.经校核算术平均值及计算正确'); else disp('算术平均值及误差计算有误'); end xt=sum(v(1:4))-sum(v(5:8));%判断系统误差（算得差值较小，故不存在系统误差） if xt<0.1 disp(['4.用残余误差法校核，差值为：',num2str(x1),'较小，故不存在系统误差']); else disp('存在系统误差'); end bz=sqrt((sum(v.^2)/7));%单次测量的标准差 disp(['5.单次测量的标准差',num2str(bz)]); p=sort(l);%用格罗布斯准则判断粗大误差，先将测量值按大小顺序重新排列 g0=2.03;%查表g(8,0.05)的值 第二章 误差和分析数据处理 练习题 一、选择题 1．在定量分析中，精密度与准确度之间的关系是（ ） A ．精密度高，准确度必然高 B ．准确度高，精密度也就高 C ．精密度是保证准确度的前提 D ．准确度是保证精密度的前提 2．下列各项定义中不正确的是（ ） A ．绝对误差是测定值与真值之差 B ．相对误差是绝对误差在真值中所占的百分率 C ．偏差是指测定值与平均值之差 D ．总体平均值就是真值 3．以下关于偶然误差的叙述正确的是（ ） A ．大小误差出现的几率相等 B ．正负误差出现的几率相等 C ．正误差出现的几率大于负误差 D ．负误差出现的几率大于正误差 4．可用下列何种方法减免分析测试中的系统误差（ ） A ．进行仪器校正 B ．增加测定次数 C ．认真细心操作 D ．测定时保持环境的湿度一致 5．下列哪种方法可以减小分析测定中的偶然误差（ ） A ．对照试验 B ．空白试验 C ．仪器校正 D ．增加平行试验的次数 6．对32O Fe 试样进行多次平行测定得到的平均含量为25.14%，其中某个测定值25.10%与此平均值的相对偏差为（ ） A ．0.16% B ．0.04% C ．0.08% D ．0.14% 7．下列各数中，有效数字位数为四位的是（ ） A ．mol c H 0003.0=+/L B ．pH=10.42 C ．=)(MgO W 19.96% D ．4000 8．配制1000ml 0.1mol/L HCl 标准溶液，需量取8.3ml 12mol/L 浓HCl ，从有效数字和准确度判断下述操作正确的是（ ） A ．用滴定管量取 B ．用量筒量取 C ．用刻度移液管量取 二、填空题 1．测定的准确度用 来衡量，精密度用 来衡量。 2．由滴定管放出24.06mlNaOH 标准溶液，其读数的绝对误差是 。 3．已知某物体的真实重量是2.3281g ，现称量的结果是2.3280g ，则它的相对误差为 。 4．当测量次数趋近于无限多次时，偶然误差的分布趋向 。其规律为正 负误差出现的概率 ，小误差出现的 ；大误差出现的 。 5．下列各数的有效数字是几位？ 0.0060 ；5.028?1024 ；10.000 ； 1.0?10-5 ；pH=8.00 ；lgK=1 2.3 。 第2章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免方法。 ①砝码受腐蚀；②天平的两臂不等长；③容量瓶与移液管未经校准；④在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；⑤试剂含被测组分；⑥试样在称量过程中吸湿；⑦化学计量点不在指示剂的变色范围内；⑧读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；⑨在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符；⑩在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：①系统误差——仪器误差，校准砝码 ②系统误差——仪器误差，校准天平 ③系统误差——仪器误差，做校正实验，使其体积成倍数关系 ④系统误差——方法误差，做对照实验，估计分析误差并对测定结果加以校正 ⑤系统误差——试剂误差，做空白试验，减去空白值 ⑥系统误差——操作误差，防止样品吸水，用减重法称样，注意密封 ⑦系统误差——方法误差，改用合适的指示剂，使其变色范围在滴定突跃范围之内 ⑧偶然误差 ⑨系统误差——仪器误差，校正仪器波长精度 ⑩系统误差——方法误差，重新设计实验条件 2. 说明误差与偏差、准确度与精密度的区别与联系。在何种情况下可用偏差来衡量测量结果的准确程度？ 答：准确度表示测量值与真实值接近的程度，用误差来衡量；精密度表示平行测量间相互接近的程度，用偏差来衡量；精密度是准确度的前提条件。 在消除系统误差的前提下偏差可用来衡量测量结果的准确程度。 3. 为什么统计检测的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 答：精确度为准确度的前提，只有精确度符合要求，准确度检验才有意义。 《误差理论与数据处理》实验报告 实验名称：MATLAB 软件基础 班级：学号： 姓名： 实验时间： 成绩： 一、 实验目的 熟悉MATLAB 软件的用户环境；了解MATLAB 软件的一般目的命 令；掌握MATLAB 数组操作与运算函数；掌握MATLAB 软件的基 本绘图命令；掌握MATLAB 语言的几种循环、条件和开关选择 结构。 通过该实验的学习，使学生能灵活应用MATLAB 软件解决一些 简单问题，能借助MATLAB 软件进行曲线或图形的绘制。 二、 实验原理 三、 实验内容和结果 1. 程序及流程 1. MATLAB 软件的数组操作及运算练习 设有分块矩阵A=[E R O S ],其中E,R,O,S 分别为单位矩阵，随机阵、零阵和对角阵，试通过数值计算验证A 2=[E R +RS O S 2 ] 程序： >> E=eye(3); >> R=rand(3,2); >> O=zeros(2,3); >> S=diag([1 2]) >> A=[E R O S] >> a=[E,R+R*S O,S^2] >> A^2-a 2.直接使用MATLAB软件进行作图练习 1.在同一个坐标下作出sin(2π*1*t)和cos(2π*10*t)2条曲 线的图形，并要求在图上加粗相应标注 程序：>> x=0:0.001:1; >> plot(x,sin(2*pi*x),x,cos(2*pi*10*x)) 2.用subplot分别在不同的坐标系下作出下列两条曲线，为每 幅图形加上标题。 1.正态分布N(0,1)的概率密度函数曲线； 2.反正弦分布的概率密度函数曲线，取a=1。 程序：x=-5:0.01:5; r = randn(1,1); y1=normpdf(x,0,1); y2=1/(pi*sqrt(1-(r ^2))); subplot(2,1,1) plot(x,y1) subplot(2,1,2) plot(x,y2) 3画出下列曲面的3维图形：z=sin（π√x2+y2）。 程序：[x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi); z=sin(pi*sqrt(x^2+y^2)); mesh(x,y,z); axis([0 4*pi 0 4*pi -2.5 1]); 3.用MATLAB语言编写命令M-文件和函数M-文件 编写函数M-文件sq.m：用迭代法求x=√a的值。求平方根的迭 代公式为x n+1=1 2（x n+a x n ）迭代的终止条件为前后两次求出 的x的差的绝对值小于10?5。 %54.206%50.20%53.20%60.20%58.20%55.20%48.206 54321=+++++=+++++=n x x x x x x x Chapter 2 思考题 1.分析过程中出现下面的情况，试回答它造成什么性质的误差，如何改进？ （1）过滤时使用了定性滤纸，最后灰分加大； （2）滴定管读数时，最后一位估计不准； （3）试剂中含有少量被测组分。 答：（1）为系统误差，可改用定量滤纸； （2）为随机误差，可增加测定次数取平均值； （3）为系统误差，可用不含被测组分的试剂或做空白实验加以校正 习题 2.1 测定某样品中氮的质量分数时，六次平行测定的结果是20.48%、20.55%、 20.58%、20.60%、20.53%、20.50%。 （1）计算这组数据的平均值、中位数、极差、平均偏差、标准差、变异系数和 平均值的标准差； （2）若此样品是标准样品，其中氮的质量分数为20.45%，计算以上测定结果的 绝对误差和相对误差。 解: (1) (2) %54.202 %55.20%53.20~=+=x ()%22.0%100%54.20%046.0%046.016%)04.0(%)01.0(%)06.0(%)04.0(%)01.0(%)06.0(1 %037.06%04.0%01.0%06.0%04.0%01.0%06.0% 12.0%48.20%60.202 22222 26 54321=?===-+++++=--==+++++=+++++==-=∑x s cv n x x s n d d d d d d d R i %019.06 %046.0===n s s x %44.0%100% 45.20%09.0%100% 09.0%45.20%54.20=?=?==-=-=T E E T x E a r a02-误差及数据处理
实验误差及数据处理习题
物理实验-误差分析与数据处理
实验数据误差分析和数据处理
第二章误差及数据处理
误差理论与数据处理实验报告要点
2误差和数据处理思考习题答案
实验数据误差分析与数据处理
物理实验误差分析与数据处理
实验数据误差分析和数据处理
2测量误差与数据处理
§2 误差与数据处理 - 习题和自测题 - 习题
误差理论与数据处理实验报告
第二章 误差和分析数据处理例题及解答
第2章、误差和分析数据处理(答案)
误差理论与大数据处理实验报告材料
2误差及数据处理