2018年中考数学专题复习(二次函数--三角函数)

辅导教案

学员姓名辅导科目数学

年级九年级授课教师

课题2018中考专题复习(二次函数-三角函数)

授课时间

教学目标

重点、难点

教学内容

二次函数（1）

一、知识要点

二次函数的概念、图象、性质.

二、精讲精练

1．填写下表：

函数解析式开口方向对称轴顶点坐标最大(小)值与x轴交点坐标

y=-x2+1

y=2(x-3)2

y=-2(x-1)2+8

y=x2+4x-4

2．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数关系式是_________.

3．把二次函数y=-(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为 .

4．已知点A(x1,y1), B(x2,y2)在二次函数y=-(x-1)2+1错误！未找到引用源。的图象上，若x1＞x2＞1错误！

未找到引用源。，则y1___y2 .

三、例题分析

例1（2017咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：其中正确的说法是

①它的图象与x轴有两个公共点②如果当x≤1时,y随x的增大而减小，则m=1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；

④如果当x=4时的函数值与x=2016时的函数值相等，则当x=2017时的函数值为-3．

例2已知：抛物线y=34 (x-1)2

-3.

（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；

（2）函数y 有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；

（3）设抛物线与x 轴的右交点为A 、与y 轴的交点为B 、顶点为C ，求△ABC 的面积；

（4）将此抛物线作怎样的一次平移,使它与坐标轴仅有两个交点？并求平移后的抛物线的解析式．

四、巩固练习

1．若二次函数y=ax 2+bx+a 2

-1（a ≠0）的图像如图所示，则a 的值是________．

2．已知下列函数 ①y=x 2; ②y=-x 2; ③y=(x-1)2

+2，其中， 图象通过平移可以得到函数y=x 2

+2x-3的图像的有

3．已知二次函数y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，有下列 4个结论：①abc ＜0；②b ＞a+c ；③2a-b=0；④b 2

-4ac ＜0. 其中正确的结论有_____个.

4. 抛物线y=ax 2

+bx+c 上部分点(x, y)的对应值如下表：

x … -2 -1 0 1 2 … y

…

4

6

6

4

…

下列说法：①抛物线与x 轴的另一个交点为(3，0)；②函数的最大值为6；③抛物线的对称轴是直线x=1

2；

④在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大. 正确的有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

5．（2017佳木斯）如图，抛物线y=x 2

+bx+c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A(2，0)． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴；

（3）若抛物线上有一点B ，且S △OAB =3，求点B 的坐标．

y

-1

x

x=1

2

24

68

2

1

12

3

4

O

（第3题图）

（第1题图）

6．(2017日照)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ的面积为y（cm2）.

（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）求△PBQ的面积的最大值.

二次函数（2）

一、知识要点

确定二次函数的关系式.

二、精讲精练w W w x K b 1.c o M

1. 抛物线顶点坐标是(-2,1),且过点(1,-2).则此抛物线解析式是 .

2. 抛物线过A(-1,0),B(2,0),C(0,-2)三点.则此抛物线解析式是 .

3. 抛物线过A(1,4),B(-1,-1),C(3，-1)三点.则此抛物线解析式是 .

4. 已知直线y=x-2和抛物线y=ax2+bx+c的两个交点分别在x轴和y轴上，抛物线的对称轴是直线x=3，求

抛物线的解析式.

三、例题分析

例1（2017滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2，-4)，O(0，0)，B(2，0)三点．（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

y

B

O

x

A

例2(2017株洲)如图,直线y=-1

2

x+2分别交y轴、x 轴于点A、B,抛物线y=-x2+bx+c过点A、B.

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N. 求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标.

四、巩固练习

1. 已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象过点(3，-6)，求解析式.

2. 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(-1,2)，且a+b+c+2=0，求其解析式.

3. 把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后顶点坐标为(-2，0)，且a+b+c=0.求a、

b、c的值.

三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）若点D 的坐标为(-1，0)，在直线y=-x+3上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在(2)的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？

若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

函数的应用

一、知识要点

二次函数在实际问题中的应用.

二、精讲精练

1.（2016株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴， 出水点为原点，建立直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x 2

+4x （单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )

A ．4米

B ．3米

C ．2米

D ．1米

2.（2016梧州）2016年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球 混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 y=-14

x 2

+bx+c 的一部分（如图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，

球落地点A 到O 点的距离是4m ，那么这条抛物线的解析式是( )

A ．y=-14x 2+34x+1 B.y=-14x 2+34x-1 C.y=-14x 2-34x+1 D.y=-14x 2-3

4x-1

(第1题图)

(第2题图)

例1（2016沈阳）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍（本题中0＜x ≤11）．

(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件的出厂

价为_________元．

(2)求今年这种玩具的每件利润y 元与x 之间的函数关系式．

(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？

注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量．

四、巩固练习

1.（2016西宁）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3米，此时 距喷水管的水平距离为1

2米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ） A ．y=-(x-12)2+3 B ．y=-3(x+12)2+3 C ．y=-12(x-12)2+3 D ．y=-12(x+12)2

+3

2.（2016聊城）某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线 形构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不 锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏 需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ） A ．50m B ．100m C ．160m D ．200m

3.（2016甘肃）如图，正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH ，设小正方形EFGH 的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是（ ）

4. 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800

2

0.5

0.4

第2题图

A ．

B ．

C ．

D ．

第1题图

1

3

2

1O

y

x

元/件，经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元/件）可近似看作一次函数y=kx+b 的关系（如图）.

（1）根据图象，求出一次函数的解析式； （2）设公司获得的毛利润为S 元.

①试用销售单价x 表示毛利润S ；

②请结合S 与x 的函数图象说明：销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时销售量是多少？

5.（2016曲靖）一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是y=-1

12

x 2+2

3 x+53 ，铅球运行路线如图. （1）求铅球推出的水平距离；

（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.

图形的旋转

一、知识要点

图形的旋转及其基本性质，作出简单的平面图形． 二、精讲精练

1．(2017天津) 将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转900

，所得图形一定与原图形重合的是 ( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形

图1 图2 图3

B

C

A

A '

B '

2．如图1，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸的格点上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )

A ．30°

B ．45°

C ．90°

D ．135°

3．如图2，Rt △ABC 中，∠ABC=90°, ∠BAC=30°,AB=23cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转至△A ′B ′C ′的位置，且A 、C 、B ′三点共线，则点A 经过的最短路线的长度是( ) A ．8cm B ．43cm C ．323πcm D ．8

3πcm

4．如图3，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格(每个小正方形的边长均为1个单位长度)的格点上，将△ABC 绕点B 顺时针旋转到△A ′BC ′的位置，且点A ′、C ′仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是 __________平方单位(结果保留π)．

三、例题分析

例1（2016连云港）如图，正方形网格中每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD 的四个顶点都在格点上，O 为AD 的中点，若把四边形ABCD 绕着点O 顺时针旋转180°.试解决下列问题： （1）画出四边形ABCD 旋转后的图形； （2）求点C 旋转过程中所经过的路径长；

（3）设点B 旋转后的对应点为B ′，求tan ∠DAB ′的值．

例2 (2016鸡西)平面内有一等腰直角三角板(∠ACB=90°)和一直线MN.过点C 作CE ⊥MN 于点E ，过点B 作BF ⊥MN 于点F.当点E 与点A 重合时(如图1)，易证：AF+BF=2CE.当三角板绕点A 顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF 、BF 、CE 之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

四、巩固练习

A

B

C

D

O

1．(2017枣庄)如图，该图形围绕点O 按下列角度旋转后，不能．．与其自身重合的是( ) A ．72° B. 108° C. 144° D. 216°

2．(2016大连) 如图，等腰Rt △ABC 的直角边AB 的长为6cm ，将△ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△AB ′C ′，则图中阴影部分的面积等________cm 2

．

3．如图，在方格纸中的△ABC 经过变换得到△DEF ，正确的变换是（ ） A ．把△ABC 向右平移6格

B ．把△AB

C 向右平移4格，再向上平移1格

C ．把△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°，再向右平移6格

D ．把△ABC 绕着点A 逆时针旋转90°，再向右平移6格

4．按要求分别画出旋转图形：

(1)画△ABC 绕O 点顺时针方向旋转

90°后得到△A ′B ′C ′; (2)把四边形ABCD 绕O 点逆时针方

向旋转90°后得四边形A ′B ′C ′D ′．

5．已知△ABC ，以AB 、AC 为边分别作正方形ADEB 、ACGF ，连接DC 、BF.

(1) 利用旋转的观点，在此题中，△ADC 绕着 点旋转 度可以得到△ ； (2) CD 与BF 相等吗？请说明理由． (3) CD 与BF 互相垂直吗？请说明理由．

图1 图2 图3

A

B

F

C

E

D B

A

C

B'C 'F

E

D

B A

C

O D

C B

A

A B

C

O

A

B

C

D

E

F G

圆的认识及有关概念

一、知识要点

圆的有关概念，点和圆的位置关系，圆的对称性（中心对称性：弧、弦、圆心角的关系，轴对称性：垂径定理），圆周角定理及推论，确定圆的条件，三角形的外心.

二、精讲精练

1. 如图，⊙O 的半径为5，弦AB=8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

2．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊥CD ，如果∠BOC=700，那么∠A 的度数为（ ） A. 70 0 B. 350 C. 300 D. 200 3．如图，过D 、A 、C 三点的圆的圆心为E ，过B 、E 、F 三点的圆的圆心为D ，如果∠A=63 o，那么∠B= o．

4．如图，点A 、B 、C 在圆O 上，且∠BAC=40°，则∠BOC= °．

三、例题分析[来源*:中&~#^教网]

例1 如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=45°，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ． （1）求∠EBC 的度数； （2）求证：BD=CD ．

例2 （2016潍坊）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，且AC=CD ． （1）求证：OC ∥BD ；

（2）若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．

（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4

A B

C

D O

M O

A B

C

D

F

A

E

A

B

C

O

B

A

B C D

E O

O

D

C

B

A

四、巩固练习

1．（2016河北）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A 、B 、C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）

A ．点P

B ．点Q

C ．点R

D ．点M

2．如图，直线l 1∥l 2，以直线l 1上的点A 为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l 1、l 2于点B 、C ，连接AC 、BC ．若∠ABC=56o，则∠1= ( )

A ．36o

B ．68o

C ．72o

D ．78o

3. 如图，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，若∠A=30°，∠APD=70°，则∠B （ ） A ．30° B ．35° C ．40° D ．50°

4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于_________________。

5．如图，CD 切⊙O 于点D ，OC 交⊙O 于B ，弦AB ⊥OD 于点E ，若⊙O 的半径为10，sin ∠COD=4

5.

求：（1）弦AB 的长； （2）CD 的长.

6. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD 是的边BC 上的高，AE 是⊙O 的直径，连BE ． ⑴试说明：△ABE 与△ADC 相似；

⑵若AB=2BE=4DC=8，求△ADC 的面积.

A

B

C

O E D

A B E

O D C

C

B A

1

56o

l 2

l 1

B

C D

A

（第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图）

M

R

Q A B

C

P B C

A

D

P O

直线和圆的位置关系（1）

一、知识要点

直线和圆的位置关系（相离、相切、相交），切线的性质与判定，切线长定理.

二、精讲精练

1. 已知圆O 的半径为R ，AB 是直径，D 是AB 延长线上一点，DC 是 切线，C 是切点，连结AC ，若∠CAB=30°，则BD 的长为（ ） A ．2R B ． 3 R C ．R D ． 3

2

R

2. 如图，PA 是⊙O 的切线，直线PBC 过点O ，交⊙O 于B 、C ， 若PA=8cm ，PB=4cm ，则⊙O 的直径为_________cm ．

三、例题分析

例1 如图1，AB 是⊙O 的直径，射线BM ⊥AB ，垂足为B ，点C 为射线BM 上的一个动点（点C 与点B 不重合），连接AC 交⊙O 于D ，切线DE 交BC 于E.

（1）在点C 运动过程中，当DE ∥AB 时（如图2），求∠ACB 的度数； （2）在点C 运动过程中，试比较线段CE 与BE 的大小，并说明理由；

例2 如图，△ABC 中，AC=BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．求证：(1)△BCD ∽△ADE ； (2)DF 是⊙O 的切线．

四、巩固练习

1．（2017?衡阳）已知⊙O 的直径为12cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定

图1

A

B

C M D

E

． Ｏ 图2

A B

C

M D

E

． Ｏ A

B

C

O

P

O

B

C

D

A

A

C

D

B

F

E

O

2. 设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d与r的关系是

（）

A. d≤r

B. d＜r

C. d≥r

D. d=r

3．（2017?海南）如图，∠APB=30°，圆心在边PB上的⊙O

的半径为1cm，OP=3cm，若⊙O沿BP方向平移，当⊙O

与直线PA相切时，圆心O平移的距离为_____cm．

4．（2017?常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)，⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆，若一次函数y=kx+b的图象过点A(-1，0)且与⊙P相切，则k+b的值为___

5．（2017?天津）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．

（1）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；

（2）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小.

6．（2017?无锡）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以3cm/s的速度，沿AC 向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动．当P运动到C点时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为ts．

（1）当P异于A、C时，请说明PQ∥BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？

直线和圆的位置关系（2）

一、知识要点

切线的性质和判定，三角形的内切圆（内心和外心的区别） 二、精讲精练

1．如图1，AB 与⊙O 切于点B ，AO=6㎝，AB=4㎝，则⊙O 的半径为（ ）

A.45㎝

B.25㎝

C.213㎝

D. 13㎝

2．如图2，⊙0的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，切线PC 交AB 的延长线于P ，则∠P （ ） A ．150

B ．200

C ．250

D ．300

3．Rt △ABC 中，∠

C=90°，AC=5，BC=12，则△ABC 的内切圆半径为 ．

4.如图3，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，∠A=100°，∠C=30°，则∠DFE= ．

三、例题分析：

例1（2017·自贡）如图AB 是⊙O 的直径，AP 是⊙O 的切线，A 是切点，BP 与⊙O 交于点C. （1）若AB=2，∠P=30°，求AP 的长；

（2）若D 为AP 的中点，求证：直线CD 是⊙O 的切线．

例2（2017·济宁）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点D ，过点A 作⊙O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ，连接PC 、BC ．

（1）猜想：线段OD 与BC 有何数量和位置关系，并证明你的结论． （2）求证：PC 是⊙O 的切线． A

B

O A C B P O

A B

C

D F

O

E

图1 图2 图3

四、巩固练习

1. 如图，BC 是⊙O 直径，AD 切⊙O 于A ，若∠C=40°，则∠DAC=（ ） A.50° B.40° C.25° D.20°

2．如图，正方形ABCD 的边长为2，⊙O 过顶点A 、B ，且与CD 相切，则圆的半径为（ ） A.43 B.54 C.5

2

D.1

3. 如图，直线y=

3

3

x+3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，圆心P 的坐标为(1,0)，⊙P 与y 轴相切于点O ．若将⊙P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4.（2016·湛江）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，过点A ，D 作⊙O ，使圆心O 在AB 上，⊙O 与AB 交于点E ．

（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD 与⊙O 相切； （2）若AD:AE=4:5，BC=6，求⊙O 的直径．

5. 如图，⊙O 直径AB=4 ，∠ABC=30°，BC=43, D 是线段BC 中点． （1）试判断点D 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，求证：直线DE 是⊙O 切线． O x

y

B

A (第1题图) (第2题图) (第3题图)

P

A

B C

D

O

A

B

C

D O

正多边形与圆

一、知识要点

正多边形的概念；正多边形与圆的有关计算.

二、精讲精练

1．（2017?咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则阴影部分的面积为（）

A. 3-π

2

B. 3-

2π

3

C. 23-

π

2

D. 23-

2π

3

2.（2016?毕节地区）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，

若小正方形面积为16cm2，则半圆的半径为（）

A．(4+5)cm B．9cm C．45cm D．62cm

三、例题分析

例14．（1）已知：如图1，△ABC为正三角形，点M为BC边上任意一点，点N为CA边上任意一点，且BM=CN，BN、AM相交于Q点，试求∠BQM的度数．

（2）如果将（1）中的正三角形改为正方形ABCD（如图2），点M为BC上任意一点，点N为CD边上任意一点，且BM=CN，BNAM相交于Q点，那么∠BQM等于多少度呢？说明理由．

四、巩固练习

1．一正多边形绕它的中心旋转45°后，就第一次与原图形重合，那么这个多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形2．如果一个正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是__________．

一、知识要点

圆周长、弧长、扇形面积等计算；圆锥的侧面积与全面积的求法. 二、精讲精练

1.（2017?珠海）如果一个扇形的半径是1，弧长是π

3，那么此扇形的圆心角= °

2．（2017?通辽）一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240πcm 2

．则这个扇形的半径是_____.

3.(2017?张家界）已知圆锥的底面直径和母线长都是10cm ，则圆锥的侧面积为________. 三、例题分析

例1 （2016?湖州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠AOC=60°，OC=2． （1）求OE 和CD 的长； （2）求图中阴影部分的面积．﹒

四、巩固练习

1．（2017湛江）一扇形圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为（ ） A ．6cm B ．12cm C ．23cm D ．6cm

2．(2017漳州)如图,一枚直径为4cm 的圆形古钱币沿直线滚动一周,圆心移动的距离是( )

A ．2πcm

B ．4πcm

C ．8πcm

D ．16πcm

3．（2017遵义）如图，半径为1cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．πcm 2

B ．23πcm 2

C ．12cm 2

D ．23

cm 2

4．（2017舟山）如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB ⊥半径OC ，沿AB 将弓形ACB 翻折，使点C 与圆心O 重合，则月牙形（图中实线围成的部分）的面积是________．

(第2题图) (第3题图) (第4题图)

5．（2017?岳阳）如图，⊙O 中，弧AD=弧AC ，弦AB 与弦AC 交于点A ，弦CD 与AB 交于点F ，连接BC ．

（1）求证：AC 2

=AB ?AF ；

（2）若⊙O 的半径长为2cm ，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

6．（2017?莱芜）如图，在菱形ABCD 中，AB=23，∠A=60°，以点D 为圆心的⊙D 与边AB 相切于点E ． （1）求证：⊙D 与边BC 也相切；

（2）设⊙D 交BD 于H ，交CD 于F ，连接HF ，求图中阴影部分的面积（结果保留π）；

（3）⊙D 上一动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周，当S △HDF =3S △MDF 时，求动点M 经过的弧长（结果

保留π）．

概 率

一、知识要点

随机事件、必然事件、不可能事件、频率、概率的定义；概率计算：树状图、列表、公式

二、精讲精练

1．（2016连云港）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12，下列说法正确的是（ ）

A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上

B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上

C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次

D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的

2．在100张奖券中，有4张能中奖，小红从中任抽一张，她中奖的概率是 .

三、例题分析

例1 （2016滨州）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案. 现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )

A. 14

B. 12

C. 3

4 D. 1

例2 “石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时，甲、乙双方每次出“石头”“剪刀”布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树形图和列表的方法分别求一次游戏中两人出同种手势的概率和甲获胜的概率．(提示：为书写方便，解答时可以用S 表示“石头”，用J 表示“剪刀”，用B 表示“布”)

四、巩固练习

1.（2016?贺州）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（ ）

A. 必然事件

B. 不可能事件

C. 随机事件

D. 确定事件

2．（2016?柳州）袋子中装有2个红球和4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球，则这个球是红球的概率是（ ）

A. 12

B. 13

C. 1

4错误！未找到引用源。

D. 1

6

错误！未找到引用

源。

3．(2016钦州) 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球

2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是 （ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定事件

4．（2016广安）在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球n 个，搅匀后随机从中摸取—个恰好是黄球的概率为1

3，则放人的黄球总数n =______．

5．（2016綦江）在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有数字

1

2错误！未找到引用源。，2，4，-1

3错误！未找到引用源。，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数

字作为平面直角坐标系中点P 的横坐标，且点P 在反比例函数y=1

x 错误！未找到引用源。图象上，则点P

6．(2016常德) 在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球2个，黄球1个.若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为0.5. （1）求口袋中红球的个数；

（2）若摸到红球记0分,摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球，不放回，再摸出一

个．请用画树状图的方法求甲摸得两个球且得2分的概率.

概率应用

一、知识要点

估计随机事件发生的概率的方法，利用概率模型解决相关的实际问题.

二、精讲精练

1．如图 是一个被分成6等份的扇形的转盘，小明转了2次，结果指针都停 留在红色区域．小明第3次再转动，指针停留在红色区域的概率是（ ） A. 1 B. 0 C. 13 D. 23

2．冰柜里装有四种饮料：5 瓶特种可乐、12瓶普通可乐、9瓶橘子水、6瓶啤酒，其中特种可乐和普通可乐是含有咖啡因的饮料，那么从冰柜里随机取一瓶饮料，该饮料含有咖啡因的概率是（ ） A. 532 B. 38 C. 1532 D. 17

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3．小华与父母一同从重庆乘火车到广安邓小平故居参观．火车车厢里每排有左、中、右二个座位，小华一家三口随意坐某排的三个座位，则小华恰好坐在中间的概率是（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 1

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三、例题分析

例1 李红和张明正在玩掷骰子游戏，两人各掷一枚骰子．

（1）当两枚骰子点数之积为奇数时，李红得3分，否则，张明得1分，这个游戏对双方公平吗？为什么？ （2）当两枚骰子的点数之和大于 7时，李红得 1分，否则张明得 1分，这个游戏对双方公平吗？为什么？

如果不公平，请你提出一个对双方公平的意见．