文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 高三数学不等式的性质、不等式证明的几种常见方法

高三数学不等式的性质、不等式证明的几种常见方法

高三数学不等式的性质、不等式证明的几种常见方法
高三数学不等式的性质、不等式证明的几种常见方法

高 三 数 学---------不等式复习

【教学内容】

不等式的性质、不等式证明的几种常见方法 比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。

【教学目标】

不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。

比较法是证明不等式的最基本的方法,它思维清晰,可操作性强,适用范围广泛,在不等式证明中常常采用。

比较法通常分两类:

第一、作差与零比较,作差后常需要把多项式因式分解,再由各因式的符号来确定差与零的大小;第二、作商与1比较,但要注意除式的符号,作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进行大小比较。

综合法常常用到如下公式:

(1)2

2

b a +≥2ab(a,b ∈R) (2)

2b a +≥),(+∈R b a ab (3)b

a a

b +≥2(a .

b>0) (4)2

2

2b a +≥),()2(2R b a b a ∈+ (5)3c b a ++≥),,(3+∈R c b a abc 利用综合法证明不等式时常需要进行灵活的恒等变形,创造条件去运用公式。

对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式,我们可以采用分析法,执果索因,从要证明的结论出发,去追逆它要成立的条件,得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式,从而说明所证不等式成立。另外,换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。

【知识讲解】

例1、 设1>2a>0,试比较A=1+a 2

与B=

a

-11

的大小。 解:A-B=a

a a a a a ----+=--+111111322

=1

)1(1223-+-=--+-a a a a a a a a

∵01,2>+-∈+a a R a 恒成立. 由条件知0<2

1

<

a ,∴a-1<0,∴A-B<0 即A

例2、设a.b ∈R +,求证a a b b ≥a b b

a

分析:这里所证的不等式的左、右两边均正,且都为乘积的形式,所以可以考虑作商与1比较,转化为运用指数函数的性质来证明。

证明:b a a b b

a a

b b a b a b a

b

a b a ---=?=)(

10

当a ≥b 时,

b a ≥1,a-b ≥0,由指数函数的性质可知b

a b a -)(≥1. 20

当a>b 时,10<

综上所述,b a b

a -)(≥1即a a

b b ≥a b b a

.

例3、设a>0且a ≠1,m>n>0,求证:n n

m m a

a a a 11+>+.

分析:这类不等式显然不解直接用综合法来证明,因此仍考虑用比较法,而所证不等式左、右均为几

个因式的代数和的形式,因此常采用作差与0比较的方法。

证明:n

n

m m

a a a a 11--+

=)(*)11)(()(n m n

m n m m n n

m a

a a a a a a a a +--=?-+-

10

当0n>0,∴a m

而01

1<-

+n

m a

,∴(*)式>0

20当a>1时, ∵m>n>0,∴a m >a n 01

1>-+n

m a , ∴(*)式>0 ∴当a>0且 a ≠1时.(*)式恒正,即n

n

m m

a a a a 11+>+

. 例4、设,求证:)2(2ab b a -+≤)3

(33

abc c b a -++ 分析:初看上去似乎与基本不等式有关,但若直接运用基本不等式,仅能得到所证不等式两端均非负,

仍然不能证到原不等式成立。若注意到把两端括号去掉,则出现了相同项a+b ,因此可以考虑用比较法来证明。

证明一、)2

(2)3(

33ab b

a abc c

b a -+--++ =333)(32ab

c ab ab c abc ab c -++=-+

∵,∴ab ab c ++≥33

33abc ab ab c =???

∴332abc ab c -+≥0,即所证不等式成立. 证明二、∵)2

(2)3(

33ab b

a abc c

b a -+--++ =,323ab

c ab c -+令,,36y c x ab == ∵a.b.c ∈R +

,∴ x,y ∈R +

y x x x y x y x y abc ab c 23333233332332-+-=+-=-+ =(y 2

+xy+x 2

)(y-x)+3x 2

(x-y)=(y-x)(x 2

+xy-2x 2

)

=(y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2

(y+2x)≥0

并且仅当x=y 即 c 2

=ab 时“=”成立。 ∴)2(2ab b a -+≤)3

(33

abc c b a -++.

说明:证法一运用了基本不等式,关键是对332abc ab c -+进行恒等变形,创造条件运用基本不等式;证法二采用了换元法,关键是如何假设变量才解使差式化简。

例5、当n>2时,求证:log n (n-1).

log n (n+1)<1 证明:∵n>2. ∴log n (n-1)>0.log n (n+1)>0

∴log n (n-1).

log(n+1)<2

2)1(log )1(log ??

????++-n n n n =12log 2)1(log 2

22

2=??

????

∴原不等式成立.

说明:该题所证的结论即为n>2时,log n-1n>log n (n+1),此结论应记住,它对我们今后的学习也是很有帮助的,由它可以得到一连串不等式:log 2324>log 2425>log 2526>lup 2627>……。 例6、设,求证:)111)(

(a c c b b a c b a +++++++≥2

9

. 分析:如果把因式a+b+c 乘到括号内,则所证不等式左边较复杂,很难看出用什么方法去证明,若我们

注意分析该不等式左边的特征,它与三个变元的均值不等式的左边很类似,再联想到结论:当,)1

11)((z

y x z y x ++

++ ≥9就不难得到证明了. 证明:∵ ∴

a c c

b b a +++++111≥3)

)()((1

3a c c b b a +++? 而2(a+b+c)=[( a+b)+(b+c)+(c+a)]≥3))()((3a c c b b a +++

∴)1

11(

)(2a c c b b a c b a +++++?++≥9 即)111)(

(a c c b b a c b a +++++++≥2

9

. 说明:掌握了此类不等式的证明方法后,与此类似的不等式,如10

且a+b+c=1求证:

a c c

b b a +++++111 ≥2

9 20

若, 则a c b c b a b a c +++++≥2

3

等等就不难证明了. 例7、已知:a 12

+a 22

+…+a n 2

=1,x 12

+x 22

+…+x n 2

=1,n ∈N 求证:a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ≤1

证明:∵a 12+x 12≥2a 1x 1 , a 22+x 22≥2a 2x 2……a n 2+x n 2

≥2a n x n ,相加得,

(a 12+a 22+…a n 2)+(x 12+x 22+…+x n 2

) ≥2(a 1x 1+…+a n x n ) 即a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n ≤1. 例8、若a ≥3,求证:321---<

--a a a a

证法一:若证原不等式成立,只要证213-+-<

-+a a a a 成立,要证此不等式成立,只

要证a 2

-3a

-3a+2,即证0<2,而此式显然成立,又以上各步均可逆 ,∴原不等式成立.

证法二:若证原不等式成立,只要证

3

211

1-+-<

-+a a a a 成立,只要证

321-+->-+a a a a 成立,而此式显然成立,

∴321---<

--a a a a .

例9、已知a>b>0,求证:b

b a ab b a a b a 8)(28)(2

2-<-+<- 证明:若证原不等式成立,只要证:b b a ab b a a b a 4)(24)(2

2-<-+<-,只要证明 222)2(

)()2(b

b a b a a

b a -<-<-,只要证b

b a b a a

b a 220-<

-<-<

,只要证

a

b a a b a 212+<

<+,只要证

b

b a a

b a +<

<+2只要证

121+<<+

b a a b 即证b

a

a b <

<1即证b a a b <<1成立,∵a>b>0的此式显然成立,又以上各步均可逆,∴原不等式成立.

例10、若)(1)(2b a x x f ≠+=,则b a f f b a -<-)()(。

证法一、要证b a b

a -<+-+2

2

11只要证

b a b

a b a -<+++-2

2

2211,只要证

1112

2<++++b a b a 即证:b a b a +>+++2211

∵b b b a a a =>+=>

+2222

1,1,

∴b a b a +>+++2

211≥b a + ∴(*)式成立, ∴原不等式成立

证法二、如图,设A (1,a ),B(1,b),则

b a AB b OB a OA -=+=+=,1,122,

由于三角形

两边之差的绝对值小于第三边,

即BA OB OA <-,

∴ b

a b f a f b a b a -<--<+-+)()(1122即说明:证法一是运用分析法证明的,在对2211b a +-+变形时采用了分子有理化的手段,这种变形

方法有着较广泛的运用,证法二是构造了一个三角形,其三边恰好分别是21a +、b a b -+和2

1,然后借助于三角形本身的关系来证明,这种通过构造图形的方法,往往可以化难为易,化繁为简,体现了数学中的数形结合的思想,要引起我们高三复习时注意。

【每周一练】

(一)选择题: 1、如果0

2

1

,下列各式中正确的是( ) A 、log a (1+a)>1 B 、(1-a )n

,n ∈N C 、当f(x)=2x 2

-3x 时,f(a)>f(1-a)

D 、[cos(1+a)]-1<[cos(1-a)]-1

2、若 a>b>c,则下列不等式成立的是( )

A 、ab>ac

B 、bc ab >

C 、

c

b a 1

11<< D 、a-bc>b(1-c) 3、已知x,a,b ∈R,则下列不等式: ①x 2

+3>2x, ②a 5

+b 5

>a 3b 2

+a 2b 3

, ③a 2

+b 2

≥2(a-b-1), ④

a

b

b a +≥2中恒成立的是 ( ) A 、仅①和② B 、仅③和④ C 、仅①和③ D 、全部 4、若0

+b 2

,2ab 中最大的是( )

A 、a 2

+b

2

B 、a+b

C 、ab 2

D 、2ab

5、设x,x+2,x+4是一个钝角三角形的三条边,则x 的取值范围是( )

A 、3

B 、2

C 、x>2

D 、0

A 、必要条件

B 、充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件 7、设0 <2a<1,M=1-a 2

,N=1+a 2

,P=

a

Q a +=-11,11那么( ) A 、Q

8、设a 和b 是不相等的正数,则( )

A 、2222b a ab b a +<<+

B 、2

22

2b a b a ab +<

+< C 、2222b a b a ab +<+< D 、2

222b a ab b a +<

<+ 二、填空题: 9、若a>1,12,1-++=++=a a n a a m ,那么m 与n 的关系是

10、a>b b

a 1

1

的充要条件是 11、用不等号把34

log ,)87(,)76(3

232

32

-连接起来为

12、设b a b a b a -++<<则,1,1与2的大小关系是

13、1112>>?>?>+?βββ且是且的 条件。 14、当0≤x ≤x x y 21,2

1-+=时的取值范围是 15、若p,q ∈R +

且a=p 3

+q 3

,b=p 2

q+pq 2

则a,b 的大小关系是 三、证明题

16、求证:3(a 2+b 2+c 2)≥(a+b+c)2

. 17、设a>0且a ≠1,t>0,试比较

2

1log log 21+t t a a 与的大小,并证明你的结论。 18、若a ≥1,b ≥1求证:a 2

+b 2

≥ab+a+b-1 19、已知x,y,z ∈R 求证:x 2y 2+y 2z 2+z 2x 2

≥2cyz(x+y+z) 20、设a>b>0,求证:b

b a a )(1

-+

≥3.

21、若a+b=1,求证:2

1

21+++

b a ≤2 22、a,b,

c ∈R 求证:3

2

22c b a ++≥3c b a ++

23、已知a,b,c 为不相等的正数,且abc=1求证:c

b a

c b a 1

11++<

+

+ 24、若a+b+c=1,且a,b,c 均为非负实数,求证:c b a ++≤3 25、设1,13)(2

<-+-=a x x x x f 求证:)1(2)()(+<-a a f x f

【每周一练答案】

(一)选择题:

1、C

2、D

3、C

4、B

5、B

6、A

7、C

8、D (二)填空题:

9、m>n 10、a .

b>0 11、32

323

2)76()87(34log -

<<

12、2<-++b a b a 13、必要不充分条件 14、??

????1,21

15、a ≥b (三)证明题

16、比较法(略) 17、t a a log 211时

>≤21log +t a ,t a a log 2110时<<≥2

1log +t a 18、略 19、略 20、略

21、

2

2121+++

b a ≤

12)21()21(=+++b a 22、略。

23、c

b a b a a

c c b ab ac bc c b a 111)11(21)11(21)11(21111++=+++++<++=++ 24、分析法

25、1)1)(()()(-+<-+-=-a x a x a x a f x f

=12-+-a a x ≤)1(212112+=++<++-a a a a x

仅供个人参考

仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途。

For personal use only in study and research; not for commercial use.

Nur für den pers?nlichen für Studien, Forschung, zu kommer ziellen Zwecken verwendet werden.

Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.

толькодлялюдей, которыеиспользуютсядляобучения, исследований и не должны использоваться вкоммерческих целях.

以下无正文

高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)

高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要:不等式是中学数学的重要知识,考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面,同时,不等式也是高中数学的基础,因此,在每年的数学高考题中,有关不等式的相关题目都有所出现,本文介绍了几种不等式的证明方法,并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字:不等式;数学归纳法;均值;柯西不等式 一、比较法 所谓比较法,就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号(范围)确定a 与b 大小关系的方法,即通过“0a b ->,0a b -=,0a b -<;或1a b >,1a b =,1a b <”来确定a ,b 大小关系的方法,前者为作差法,后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈,求证:224224x y x y ++≥+. 证明: 224224x y x y ++-- =2221441x x y y -++-+ =22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥, 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知:a >b >c >0, 求证:222a b c a b c ??>b c a c b c a b c +++??. 证明:222a b c b c a c b c a b c a b c +++????=222a b c b a c c b c a b c ------?? >222a b c b a c c b c c c c ------??

=0c =1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??>1 ∴222a b c a b c ??>b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法:从求证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题,如果能够肯定这些条件都已具备,那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明: 960+>> 5456<成立运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无目的的乱写,从而加强针对性,较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发,根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式,这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈,1a b +=,求证:221125()()2 a b a b +++≥ 证明:∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥

备战2019高考数学选择题专题04不等式的证明理

专题04 不等式的证明 知识通关 1.基本不等式 (1)定理1:如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. (2)定理2(基本不等式):如果a ,b>0,那么 2 a b ab +≥,当且仅当a=b 时,等号成立. 用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. (3)定理3:如果a ,b ,c 为正数,那么 3 3 a b c abc ++≥a =b =c 时,等号成立. 用语言可以表述为:三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. (4)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,···,a n ,它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数,即 12123n n n a a a a a a a n ++ +≥??,当且仅当 a 1=a 2=···=a n 时,等号成立. 2.柯西不等式 (1)二维形式的柯西不等式:若a ,b ,c ,d 都是实数,则2 2 2 2 2 ()(+)()a b c d ac bd +≥+,当且仅当 ad=bc 时,等号成立. (2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则||||||?≥?αβαβ,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时,等号成立. (3)二维形式的三角不等式:设x 1,y 1,x 2,y 2∈R ,22 221212x x y y ++≥211222()()x y x y -+- (4)一般形式的柯西不等式:设1212,, ,,,, ,n n a a a b b b 是实数,则 (22212n a a a ++ +)(222 12n b b b + ++) ≥()2 1122n n a b a b a b +++,当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,···,n )或存在一个数k 使得 a i =k b i (i=1,2,···,n )时,等号成立. 3.不等式证明的方法 (1)比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.

证明不等式的几种方法

证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要:不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词:不等式,公式法,构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象,难懂,证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换,通过化简后使不等式变得简单,更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证:)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母,则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23(*) 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. (*)式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数,且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证:n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-

高中不等式的证明方法

不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点,证明方法多种多样,近几年高考出现较为形式较为活跃,证明中经常需与函数、数列的知识综合应用,灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提,下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数,求证: a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明:∵a,b 均为正数, ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ,0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加,可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等,运用不等式的变换,从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ,1=++c b a ,求证: 31222≥ ++c b a 证:2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数,求证:)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 : ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理:a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈,求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明:∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 :求证:221a b a b ab ++≥+- 分析:比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法,此题用作差法较为简便。 证明:221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注:1.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等,应注意结合式子的形式,适当选 用。 例2:设c b a >>,求证:b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析:从不等式两边形式看,作差后可进行因式分解。 证明:)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ,则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注:三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式: =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-,这样容易发现规律。 例3 :已知,,a b R +∈求证:11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明:11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题六十三不等式的证明 【高频考点解读】 1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法. 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式. 3.能利用均值不等式求一些特定函数的极值. 【重点知识梳理】 一、比较法证明不等式 (1)求差比较法: 知道a>b ?a -b>0,ab 只要证明a -b>0即可,这种方法称为求差比较法. (2)求商比较法: 由a>b>0?a b >1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时,要证明a>b ,只要证明a b >1即可,这种方法称为求商比较法. 二、综合法与分析法 1.综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法. 2.分析法 证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都已经具备,那么就可以判定原不等式成立,这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法. 3.平均值不等式 定理:如果a ,b ,c 为正数,则a +b +c 3≥3 abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立. 我们称 a + b + c 3 为正数a ,b ,c 的算术平均值,3 abc 为正数a ,b ,c 的几何平均值,定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式,简称为平均值不等式. 4.一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a1,a2,…,an 为n 个正数,则a1+a2+…+an n ≥n a1a2…an ,当且仅当a1=a2=…=an 时,等号成立. 【高考考纲突破】

经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质: ①、对称性: 传递性:_________ ②、 ,a+c >b+c ③、a >b , , 那么ac >bc ; a >b , ,那么ac <bc ④、a >b >0, 那么,ac >bd ⑤、a>b>0,那么a n >b n .(条件 ) ⑥、 a >b >0 那么 (条件 ) 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2(基本不等式) 如果a ,b>0,那么 当且仅当a=b 时,等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论:已知x, y 都是正数。(1)如果积xy 是定值p ,那么当x=y 时,和x+y 有最小值 ; (2)如果和x+y 是定值s ,那么当x=y 时,积xy 有最大值 小结:理解并熟练掌握基本不等式及其应用,特别要注意利用基本不等式求最值时, 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离: a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0> d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2 a b +≥2 1 4 s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果,那么当且仅当时,等号成立。 即:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形:对于n 个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均,即: 当且仅当a 时,等号成立。

证明不等式的种方法

证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛,还是其它类型的考试里,出现频率都是比较高,证明难度也是比较大的.因此,有必要总结证明不等式的基本方法,为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明,其证明方法基本并兼顾巧妙. 1.排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序,有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥,且1a b c ++=,求证: ()22229 1. a b c abc +++≥2.增量方法 在变量之间增设一个增量,通过增量换元的方法,便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈,试证:2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3.齐次化法 利用题设条件,或者其它变形手段,把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=,求证: 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4.切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线,利用切线段代替曲线段,来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=,求证: 323235 x y +≤++.. 5.调整方法 局部固定,逐步调整,探究多元最值,便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数,且1a b c ++=,求证:13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6.抽屉原理

在桌上有3个苹果,要把这3个苹果放到2个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象,就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理,证明某些不等式,能起到比较神奇的效果. 例6(《数学通报》2010年9期1872题)证明:在任意13个实数中,一定能找到两个实数,x y ,使得0.3.10.3x y x ->+7.坐标方法 构造点坐标,应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、,a 、b 不全为零,求证: ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8.复数方法 构造复数,应用复数模的性质,可以快速证明一些无理不等式. 例8(数学问题1613,2006,5)设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证:9.向量方法 构造向量,把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=,求证: 4 ≤. 10.放缩方法 不等式的证明,关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中,首项132 a = ,且对任意*1,n n N >∈,均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<

证明不等式的几种方法

昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日

证明不等式的几种方法 摘 要:证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词:不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式,确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有:比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式,两边的差(或商)然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小;或若当+∈R B A ,时,直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为: 1.作差:观察不等式左右两边构成的差式,将其看成一个整体。 2.变形:把不等式两边的差进行变形,或变形成一个常数,或为若干个因式的积,或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断:根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围:当被证的不等式两端是多项式,对于分式或对数式时,一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是:“∈b a ,+R ,若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为: 1.作商:将左右两端作商。 2.变形:化简商式到最简形式。

证明不等式的基本方法-比较法

第二讲证明不等式的基本方法 课题:第01课时不等式的证明方法之一:比较法 一.教学目标 (一)知识目标 (1)了解不等式的证明方法——比较法的基本思想; (2)会用比较法证明不等式,熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式;(3)明确用比较法证明不等式的依据,以及“转化”的数学思想。 (二)能力目标 (1)培养学生将实际问题转化为数学问题的能力; (2)培养学生观察、比较、抽象、概括的能力; (3)训练学生思维的灵活性。 (三)德育目标 (1)激发学习的内在动机; (2)养成良好的学习习惯。 二.教学的重难点及教学设计 (一)教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 (二)教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想,证明不等式的依据和用途 (三)教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜,实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境,激发学生学习动机,通过将实际问题转化为不等式大小的比较,引入新课。 2.教学内容的处理 (1)补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 (2)补充一组证明不等式的变式练习。 (3)在作业中补充何时该用作差法,何时用作商法的习题,帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究,合作交流与教师引导相结合。 三.教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四.教学过程 (一)、新课学习: 1.作差比较法的依据: a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a

2021年高考数学第一轮专题复习- 不等式——不等式的证明

第48课时:第六章 不等式——不等式的证明(二) 课题:不等式的证明(二) 一.复习目标: 1.了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式. 二.知识要点: 1.反证法的一般步骤:反设——推理——导出矛盾(得出结论); 2.换元法:一般由代数式的整体换元、三角换元,换元时要注意等价性; 3.放缩法:要注意放缩的适度,常用的方法是:①舍去或加上一些项;②将分子或分母放大(或缩小). 三.课前预习: 1.设实数,x y 满足22(1)1x y +-=,当0x y c ++≥时,c 的取值范围是 ( ) () A 1,)+∞ () B (1]-∞ () C 1,)+∞ () D (1]-∞ 2 .1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 . 四.例题分析: 例1.已知332x y +=,求证:2x y +≤. 例2.设正有理数1a 是3的一个近似值,令21 211a a =+ +, (1介于1a 与2a 之间;

(2)证明:2a 比1a 更接近于3; (3的有理近似值的方法. 例3.在数列{}n a 中,23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++,对正整数,m n 且m n >,求证:12m n n a a -< . 例4.设1a b c ++=,2221a b c ++=,a b c >>,求证:103c -<<. 五.课后作业: 1.下列三个式子22a c -,22b a -,22(,,)c b a b c R -∈中 ( ) ()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1- ()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1- 2设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++,则,A B 的大小关系是 .

几个重要不等式

几个重要不等式(二)柯西不等式 ,当且仅当b i=l a i(1£i£n)时取等号 柯西不等式的几种变形形式 1.设a i?R,b i>0 (i=1,2,…,n)则,当且仅当b i=l a i(1£i£n)时取等号 2.设a i,b i同号且不为零(i=1,2,…,n),则,当且仅当b1=b2=…=b n时取等号 例1.已知a1,a2,a3,…,a n,b1,b2,…,b n为正数,求证: 证明:左边= 例2.对实数a1,a2,…,a n,求证: 证明:左边= 例3.在DABC中,设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R,求证:

证明:左边3 例4.设a,b,c为正数,且a+b+c=1,求证:证明:左边= 3 = = 例5.若n是不小于2的正整数,试证: 证明: 所以求证式等价于 由柯西不等式有

于是: 又由柯西不等式有 < 例6.设x1,x2,…,x n都是正数(n32)且,求证: 证明:不等式左端即 (1) ∵,取,则(2) 由柯西不等式有 (3) 及 综合(1)、(2)、(3)、(4)式得:

三、排序不等式 设a1£a2£…£a n,b1£b2£…£b n;r1,r2,…,r n是1,2,…,n的任一排列,则有:a1b n+ a2b n-1+…+ a n b1£a1b r1+ a2b r2+…+ a n b rn£ a1b1+ a2b2+…+ a n b n 反序和£乱序和£同序和 例1.对a,b,c?R+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小 解:取两组数a,b,c;a2,b2,c2,则有a3+b3+c33a2b+b2c+c2a 例2.正实数a1,a2,…,a n的任一排列为a1/,a2/,…a n/,则有 证明:取两组数a1,a2,…,a n; 其反序和为,原不等式的左边为乱序和,有 例3.已知a,b,c?R+求证: 证明:不妨设a3b3c>0,则>0且a123b123c12>0 则

不等式证明的基本方法

不等式证明的基本方法 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立。 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间。 推论1 推论2 [不等式证明的基本方法]

1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量, 使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证: 思路:本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明: 证明: 证法一:

不等式的常见证明方法

不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证:.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明:.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评:可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练:设c b a ,,都是正数。求证: .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知,对于任意的n 为正整数,求证: 1+221+321+K +n 21<4 7 分析:通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解:Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1(n ≥2) ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评:放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练:设c b a ,,都是正数,a+b>c,求证:a a +1+b b +1>c c +1

三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++0有不等式x x 11ln - ≥,如果令x=k k 1+,则有111ln +>+k k k ,如果令x=1+k k ,则k k k ->+11ln ,即k k k k 1ln )1ln(11<-+<+,然后叠加不等式即可。 解:设函数x x x x f ln 1)(+-=,则易证0)(≥x f ,即不等式x x 11ln -≥对于x>0恒成立, 令x=k k 1+,则有111ln +>+k k k ,令x=1+k k ,则k k k ->+11ln ,即k k k 11ln <+成立。从而有k k k k 1ln )1ln(11<-+<+。 在不等式k k k 11ln <+中,分别令,3,,2,1n n n k K ++=得到一系列不等式相加为 )13ln()2ln()2ln()1ln(312111++++-+++->+++++n n n n n n n K K 即n n n 312111+++++K >113ln ++n n 2ln 1 22ln =++≥n n 在不等式1 11ln +>+k k k 中,分别令k=n,n+1,K 3n-1,并把所得的不等式相加,得 n n n 312111+++++K <3ln 3ln 3ln )1ln()1ln(ln ==++-++-n n n n n n K 即不等式3ln 3121112ln <+++++

高中数学百大经典例题—不等式证明

高中数学 典型例题一 例1 若10<-(0>a 且1≠a ). 分析1 用作差法来证明.需分为1>a 和10<a 时, 因为 11,110>+<---=x a . (2)当10<+<--=x a . 综合(1)(2)知)1(log )1(log x x a a +>-. 分析2 直接作差,然后用对数的性质来去绝对值符号. 解法2 作差比较法. 因为 )1(log )1(log x x a a +-- a x a x lg ) 1lg(lg )1lg(+- -= [])1lg()1lg(lg 1 x x a +--= [])1lg()1lg(lg 1 x x a +---= 0)1lg(lg 1 2>--= x a , 所以)1(log )1(log x x a a +>-.

说明:解法一用分类相当于增设了已知条件,便于在变形中脱去绝对值符号;解法二用对数性质(换底公式)也能达到同样的目的,且不必分而治之,其解法自然简捷、明快. 典型例题二 例2 设0>>b a ,求证:.a b b a b a b a > 分析:发现作差后变形、判断符号较为困难.考虑到两边都是正数,可以作商,判断比值与1的大小关系,从而证明不等式. 证明:b a a b b a a b b a b a b a b a b a ---=?=)( ∵0>>b a ,∴ .0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a . ∴a b b a b a b a .1> 又∵0>a b b a , ∴.a b b a b a b a >. 说明:本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步骤是:判断符 号、作商、变形、判断与1的大小. 典型例题三 例3 对于任意实数a 、b ,求证 444 ()22 a b a b ++≥(当且仅当a b =时取等号) 分析 这个题若使用比较法来证明,将会很麻烦,因为,所要证明的不等式中有4 ( )2 a b +,展开后很复杂。若使用综合法,从重要不等式:2 2 2a b ab +≥出发,再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明:∵ 222a b ab +≥(当且仅当22 a b =时取等号) 两边同加4 4 4 4 2 22 ():2()()a b a b a b ++≥+, 即: 44222 ()22 a b a b ++≥ (1) 又:∵ 2 2 2a b ab +≥(当且仅当a b =时取等号)

基本不等式的证明

课题:基本不等式及其应用 一、教学目的 (1)认知:使学生掌握基本不等式a 2+b 2≥2ab(a 、b ∈R ,当且仅当a=b 时取“=”号)和 ab b a ≥+2 (a 、b ∈R +,当且仅当a=b 时取“=”号),并能应用它们证明一些不等式. (2)情感:通过对定理及其推论的证明与应用,培养学生运用综合法进行推理的能力. 二、教学重难点 重点:两个基本不等式的掌握; 难点:基本不等式的应用。 三、教材、学生分析 教材分析:两个基本不等式为以后学习不等式的证明和求函数的最大值或最小值提供了一种 方法,基本不等式的理解和掌握对以后的解题是很有帮助的。 学生分析:学生在上新课之前都预习了本节内容,对上课内容有一定的理解。所以根据这一 情况多补充了一些内容,增加了课堂容量。 四、教学过程 (一)引入新课 客观世界中,有些不等式关系是永远成立的。例如,在周长相等时,圆的面积比正方形的面积大,正方形的面积又比非正方形的任意矩形的面积大。对这些不等关系的证明,常常会归结为一些基本不等式。今天, 我们学习两个最常用的基本不等式。

(二)推导公式 1.奠基 如果a、b∈R,那么有(a-b)2≥0 ① 把①左边展开,得 a2-2ab+b2≥0, ∴a2+b2≥2ab. ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍.这就是课本中介绍的定理1,也就是基本不等式1,对任何两实数a、b都成立.由于取“=”号这种特殊情况,在以后有广泛的应用,因此通常要指出“=”号成立的充要条件.②式中取等号的充要条件是什么呢? 学生回答:a=b,因为a=b a2+b2=2ab 充要条件通常用“当且仅当”来表达.“当”表示条件是充分的,“仅当”表示条件是必要的.所以②式可表述为:如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号). 以公式①为基础,运用不等式的性质推导公式②,这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法.以公式②为基础,用综合法可以推出更多的不等式.现在让我们共同来探索. 2.探索 公式②反映了两个实数平方和的性质,下面我们研究两个以上的实数的平方和,探索可能得到的结果.先考查三个实数.设a、b、c∈R,依次对其中的两个运用公式②,有 a2+b2≥2ab;

相关文档 最新文档