高三数学不等式的性质、不等式证明的几种常见方法

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不得用于商业用途 高 三 数 学---------不等式复习

【教学内容】

不等式的性质、不等式证明的几种常见方法 比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。

【教学目标】

不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。

比较法是证明不等式的最基本的方法,它思维清晰,可操作性强,适用范围广泛,在不等式证明中常常采用。

比较法通常分两类:

第一、作差与零比较,作差后常需要把多项式因式分解,再由各因式的符号来确定差与零的大小;第二、作商与1比较,但要注意除式的符号,作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进行大小比较。

综合法常常用到如下公式:

(1)22b a +≥2ab(a,b ∈R) (2)2b a +≥),(+∈R b a ab (3)b

a a

b +≥2(a .b>0) (4)2

2

2b a +≥),()2(2R b a b a ∈+ (5)3c b a ++≥),,(3+∈R c b a abc 利用综合法证明不等式时常需要进行灵活的恒等变形,创造条件去运用公式。

对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式,我们可以采用分析法,执果索因,从要证明的结论出发,去追逆它要成立的条件,得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式,从而说明所证不等式成立。另外,换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。

【知识讲解】

例1、 设1>2a>0,试比较A=1+a 2与B=a

-11的大小。 解:A-B=a a a a a a ----+=--+111111322

=1

)1(1223-+-=--+-a a a a a a a a ∵01,2>+-∈+a a R a 恒成立.

由条件知0<2

1

例2、设a.b ∈R +,求证a a b b ≥a b b

a 分析:这里所证的不等式的左、右两边均正,且都为乘积的形式,所以可以考虑作商与1比较,转化为运用指数函数的性质来证明。

证明:b a a b b a a b b a b a b a b

a b a ---=⋅=)(

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