平面法向量的求法
平面法向量的求法
教学目的：掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务； 教学重点：熟练应用速算方法求出法向量
教学难点：平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量 教学过程：
1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→
a 叫做平面α的法向量。 2、法向量坐标的求法
（1）方程法
例1：（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243
AE EB AF FD ====.沿直线EF 将
AEF ?翻折成EF A '?，使平面'A EF BEF ⊥平面.
（Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值；
【评析】
（2）含0速算法
如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。
例2、（08陕西卷理科第19题）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC
，1A A =
AB =，2AC =，111AC =．
（Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小．
【评析】
【探究】已知的一个法向量为则面ABC c C b B a A ),,0,0(),0,,0(),0,0,(
(3)公式法：已知平面α的两个非零不共线向量),,,(),,,(222111z y x b z y x a == =的一个法向量则面α 练习：已知平面α的两个非零不共线向量),3,6,2(),4,3,1(== =n 的一个法向量则面α
【评析】
3、应用练习：
如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。
求法向量的练习题
求法向量的作业化考试-----2014-11-28 一、选择题（每小题6分，共24分） 1、m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( ) A.0 B.25 C.2 21 D.8 2、已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC u u u r u u u r 与的夹角为（ ） A. 0 30 B.0 45 C.0 60 D.0 90 3、已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607 D.657 4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A. 6 B.552 C.15 D.10 二、解答题（每小题15分，共计75分） 1.如图,已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长AA 1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC 1，平面A 1BC 1，平面ABC 1D 1的法向量。 2如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点， 2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = （1） 求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值； （2） 求平面1A ED 、1A ED F --的法向量。 3.如图，已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求平面ABC 1D 1的法向量。 4.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1BC 1、 平面ABCD 的法向量。 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D x y z y x D 1 A 1 D B 1 C 1 C B A F E D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A o z y E z D 1 y A C 1 B 1 A 1 B D C
整理法向量的快速求法
法向量的快速求法 在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。 新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 12 2 x y x y ) ，这更便 于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面 α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照 右边“草稿纸上演算过程”. a ＝(1，2， b ＝(4，5，交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是 ∴n ＝(－3，6
空间平面法向量求法
空间平面法向量求法 一、法向量定义 定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 二、平面法向量的求法 1、内积法 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]， 在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的 方程组，解此方程组即可得到。 2、 任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。 Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3 个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 3、外积法 设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两 者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指 由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。 设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×= （注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。） Code public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3) { try { double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数
平面法向量的一种简单求法和在求角
平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用 云南李学元 一、法向量的定义： 与平面垂直的向量叫平面的法向量 （根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、向量的数量积 a·b=∣a︳︳b∣ｃｏｓ
a×b的坐标计算 设a=(x1, y1, z1) b=(x2 , y2, z2) 则：a×b =（︳y1y z1z︱,-︱x1x z1z︱,︱x1x y1y︱）其中：二阶行列式︱a b c d︱=ad-bc 习惯上：作a×b时，把a写在上，把b写在下 作b×a时，把b写在上，把a写在下 练习：已知a=（2，1，0） b =（-1，2，1） （1）求a×b。（2）求b×a 解：a×b= b×a= 注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。
例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。求平面AEF的一个法向量 解：以D ∴A（ E（ F（ ∴AF=（ AE=（ ∴平面AEF的法向量n=( ) 四、法向量在求角中的应用。 1、用法向量求线面角。如图 Θ=1 2 π-
立体几何中的法向量
立体几何中的法向量 现行高中数学教科书第二册（下B）第九章提到了法向量的定义：如果向量⊥平面α，那么向量a叫做平面α的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详 细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下： 一、求点到平面的距离 设A是平面α外一点，AB是α的一条斜线，交平 面α于点B，而n是平面α的法向量，那么向量BA在n 方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h， 所以 h= =（1） 例1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1 D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。 解：如图建立空间直角坐标系， ＝（1，1，0），＝（0， 2 1 ，1）， 1 DA＝（1，0， 1） 设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z），则有： n0 = ?DB即x＋y＝0 = ? 2 1 y＋z＝0 令x＝1, y=－1, z= 2 1 , 取n＝（1，－1， 2 1 ），则A1到平面DBEF的距离1 = = h 注：此题A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（1）式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。法向量的求解有多种，可直接利用向量积，在平面内找两个不共线的向量，例如DB和DF，那么n＝DB×DF。但高中教材未曾涉及向量积，这里根据线面垂直的判定定理，设＝（x，y，z），通过建立方程组求出一组特解。二、求异面直线间的距离 假设异面直线a、b，平移直线a至a*且交b于点A，那么直线a*和b确定平面α，且直线a∥α，设是平面α的法向量，那么⊥，⊥。所以异面直线a和b
平面法向量的求法
平面法向量的求法 教学目的：掌握快速计算法向量的方法，为空间角的求解、距离的计算服务； 教学重点：熟练应用速算方法求出法向量 教学难点：平面内不共线两向量的坐标中不含0，求此面的法向量 教学过程： 1、定义：如果α⊥→a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 2、法向量坐标的求法 （1）方程法 例1：（2010浙江理数）如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段,AB AD 上，243 AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF ?翻折成EF A '?，使平面'A EF BEF ⊥平面. （Ⅰ）求二面角'A FD C --的余弦值； 【评析】 （2）含0速算法 如果空间直角坐标系中的点在坐标轴上，那么就有两个坐标为0，点在坐标平面上，就会有一个坐标为0，同理，如果向量与坐标轴平行，则向量就有两个坐标为0，向量与坐标平面平行，向量就有一个坐标为0，有的学生在实践中发现，两个向量的六个坐标中，只要出现0，就可以快速求得法向量，有点“十字相乘法”快速分解二次三项式的味道，而且正确率高，在考试中作用明显。
例2、（08陕西卷理科第19题）三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC ，1A A = AB =，2AC =，111AC =． （Ⅱ）求二面角1A CC B --的大小． 【评析】 【探究】已知的一个法向量为则面ABC c C b B a A ),,0,0(),0,,0(),0,0,( (3)公式法：已知平面α的两个非零不共线向量),,,(),,,(222111z y x b z y x a == =的一个法向量则面α 练习：已知平面α的两个非零不共线向量),3,6,2(),4,3,1(== =n 的一个法向量则面α 【评析】 3、应用练习： 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．
巧求平面法向量(方程法)
巧求平面法向量 在空间直角坐标系中，平面的一般方程是0d cz by ax =+++（其中系数a,b,c 不同时为零），则向量 )c ,b ,a (n =→ 为平面0d cz by ax =+++的法向量。根据这一原理，我们可以按下列方法求平面的法向量。 定理1：若平面α不经过原点．．．．． ,，取平面α内不共线的三点A 、B 、C ，将其分别坐标代入关于z y x ,,的方程1cz by ax =++（等号右边的1也可以是其它任意非零常数），求出系数a,b,c 的一组值，则向量 )c ,b ,a (n =→ 为平面α的法向量 定理2：若平面α经过原点．．．． ,取平面α内与原点不共线的两点A 、B ，将其坐标代入关于z y x ,,的方程0cz by ax =++，求出系数a,b,c 的一组值，则向量)c ,b ,a (n =→ 为平面α的法向量。 例1：已知如图正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长AA 1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC 1，平面A 1BC 1，平面ABC 1D 1的法向量。 解（1）因为平面BDC 1过原点D,将点B(1,1,0),C 1(0，1，2)代入0cz by ax =++得：0 20a b b c +=?? +=? 所以 2a b b c =-?? =-?。不妨设c=1,可得b=－2, a=2。所以)1,2,2(n -=→是平面BDC 1的法向量 （2）因为平面A 1BC 1不过原点D,将点A 1(1,0,2),B （1，1，0）C 1(0，1，2)代入1cz by ax =++得： 21121a c a b b c +=??+=??+=?所以121214a b c ? =?? ? =? ? ? =?? 所以)4 1 ,21, 21(n =→ 为平面BDC 1的法向量 (3) 因为平面ABC 1D 1不过原点D,将A 1(1,0,2),B （1，1，0 C 1(0，0，2)代入1代入2ax by cz ++=得 22022221a c a a b b c c +==???? +==????==?? 即所以(0,2,1)n →=是平面ABC 1D 1的法向量。
经典习题平面法向量求法及应用
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或 (1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于 ,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3 个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于 θs in ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采 取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→ →?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ??? ? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向 量， )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
快速求平面法向量
快速求平面的法向量 用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝(1 122y z y z ，－1 122x z x z ，1 1 22 x y x y )，这更便于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此 处略去），但你可以验证n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ①一定按上述格式书写，否则易被扣分. ②n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”. 草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是x ＝2×时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是∴n ＝(－3，6
快速求平面的法向量
快速求平面的法向量 用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法，简直就是秒杀。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量 n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 112 2 y z y z ，－ 112 2 x z x z ， 112 2 x y x y ) ，这更便 于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处 略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”. 草稿纸上演算过程时，a 、b 的横坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是x ＝2×时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5，交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，3)， b ＝(4，5， 交叉相乘的差就是∴n ＝(－3，6
平面法向量的求法及其应用
叶超（四川省华蓥中学） 原创作品，严禁转载！ 第1/3页 平面法向量的 求法及其应用 四川省华蓥中学 叶超 本专题是我编写的一套书中的一篇，更多精彩，请参见我编写的那套书。 1、平面法向量的求法： 先来看看比较笨的方法。 (1)利用待定系数（参数）法，根据“平面的法向量?与平面内不共线的两向量均垂直的非零向量”及“两向量垂直?两向量的内积 为0”确定待定参数。 例：已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，AB//DC ，∠DAB ＝ 90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝2 1AB ＝1，M 是PB 的中点。求面AMC 的一个法向量。 析：建系：以A 为原点，如图建立空间直角坐标系，则： 标点：A （0，0，0），C （1，1，0），P （0，0，1） B （0，2，0），M （0，1，1/2） 列向量：AC ＝（1，1，0）， AM ＝（0，1，1/2） 待定参数法：设面AMC 的法向量为n ＝（x ，y ，z ） 于是n ＝（x ，－x ，2x ）＝x （1，－1，2） 其中，x 决定长度（和方向），可取n ＝（1，－1，2），它是图中的1n 还是2n 呢？ 可用观察法确定：n ＝（1，－1，2）是以原点为起点、（1，－1，2）为终 点的向量，是图中的1n 。 说明：这种方法虽能求解，但是： ①要根据“两向量垂直?两向量的内积为0”列方程组并求解，计算量较大； ②利用观察法确定法向量的具体方向也不太方便。 综上，在高考的宝贵时间里，时间和精力都是很重要的，如果有一种方法可以很简便地求出平面的法向量，不仅可以节约时间，还可以节省精力，甚至提高准确度，那该多好啊！还真的有这种方法！ 这种方法不是我总结的，但如何用它来简便地求法向量却是我在半年前总结的，请看—— A B P M C D y ＝－x z ＝2x ?02 1=+=?z y AM n 0=+=?y x AC n