2.1.2空间直线与直线之间的位置关系教案

第二课时空间中直线与直线之间的位置关系

（一）教学目标

1．知识与技能

（1）了解空间中两条直线的位置关系；

（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

（3）理解并掌握公理4；

（4）理解并掌握等角公理；

（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

2．过程与方法

让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.

3．情感、态度与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.

（二）教学重点、难点

重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理.

难点：异面直线所成角的计算.

（三）教学方法

师生的共同讨论与讲授法相结合；

教学过程教学内容师生互动设计意图

新课导入

问题：在同一平面内，两条

直线有几种位置关系？空间的

两条直线还有没有其他位置关

系？

师投影问题，学生讨论回答

生1：在同一平面内，两条

直线的位置关系有：平行与相

交.

生2：空间的两条直线除平

行与相交外还有其他位置关

系，如教室里的电灯线与墙角

线……

师（肯定）：这种位置关

系我们把它称为异面直线，这

节课我们要讨论的是空间中直

线与直线的位置关系.

以旧导新

培养学生

知识的系

统性和学

生学习的

积极性.

探索新知

1．空间的两条直线位置关

系：

共面直线

异面直线：不同在任何一个平面

内，没有公共点.

师：根据刚才的分析，空

间的两条直线的位置关系有以

下三种：①相交直线—有且仅

有一个公共点

②平行直线—在同一平面

内，没有公共点.

③异面直线—不同在任何

一个平面内，没有公共点.

随堂练习：现在大家思考一下这三种位置

关系可不可以进行分类

生：按两条直线是否共面

可以将三种位置关系分成两

类：一类是平行直线和相交直

培养学生

分类的能

力，加深学

生对空间

的一条直相交直线：同一平面内，

有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，

没有公共点

如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.

答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB 与HG. 线，它们是共面直线.一类是异

面直线，它们不同在任何一个

平面内.

师（肯定）所以异面直线

的特征可说成“既不平行，也

不相交”那么“不同在任何一

个平面内”是否可改为“不在

一个平面内呢”

学生讨论发现不能去掉

“任何”

师：“不同在任何一个平

面内”可以理解为“不存在一

个平面，使两异面直线在该平

面内”

线位置关

系的理解

（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行

（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

例2 如图所示，空间四边形ABCD中，

E、F、G、H

分别是AB、

BC、CD、DA

的中点.求

证：四边形EFGH是平行四边形.

证明：连接BD，

因为EH是△ABD的中位线，

所以EH∥BD，且

1

2

EH BD

=.

同理FG∥BD，且

1

2

FG BD

=.

因为EH∥FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形.

师：现在请大家看一看我

们的教室，找一下有无不在同

一平面内的三条直线两两平行

的.

师：我们把上述规律作为

本章的第4个公理.

公理4：平行于同一条直

线的两条直线互相平行.

师：现在请大家思考公理

4是否可以推广，它有什么作用.

生：推广空间平行于一条

直线的所有直线都互相平行.它

可以用来

证明两条

直线平

行.

师

（肯定）下面我们来看一个例

子

观察图，在长方体ABCD–

A′B′C′D′中，∠ADC与∠

A′D′C′，∠ADC与∠A′

B′C′的两边分别对应平行，

这两组角的大小关系如何？

生：从图中可以看出，

∠ADC = ∠A′D′C′，

∠ADC + ∠A′B′C′

=180°

师：一般地，有以下定理：……

这个定理可以用公理4证明，

培养

学生观察

能力语言

表达能力

和探索创

新的意识.

通过分析

和引导，培

养学生解

题能力.

是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.

师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.

师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.

探索新知

3．异面直线所成的角

（1）异面直线所成角的概

念.

已知两条异面直线a、b，

经过空间任一点O作直线a′∥

a，b′∥b，我们把a′与b′所

成的锐角(或直角)叫做异面直

线a与b所成的角(或夹角).

（2）异面直线互相垂直

如果两条异面直线所成的

角是直角，那么我们就说这两条

直线互相垂直.两条互相垂直的

异面直线a、b，

记作a⊥b.

例 3 如

图，已知正方

体ABCD–

A′B′C′D′.

（1）哪些棱所在直线与直

线BA′是异面直线？

（2）直线BA′和CC′的

夹角是多少？

（3）哪此棱所在的直线与

直线AA′垂直？

解：（1）由异面直线的定义

可知，棱AD、DC、CC′、DD′、

D′C′、B′C′所在直线分别与

直线BA′是异面直线.

（2）由BB′∥CC′可知，

∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的

夹角，∠B′BA′= 45°.

（3）直线AB、BC、CD、

DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别

与直线AA′垂直.

师讲述异面直线所成的角

的定义，然后学生共同对定义

进行分析，得出如下结论.

①两条异面直线所成角的

大小，是由这两条异面直线的

相互位置决定的，与点O的位

置选取无关；

②两条异面直线所成的角

(0,]

2

π

θ∈；

③因为点O可以任意选

取，这就给我们找出两条异面

直线所成的角带来了方便，具

体运用时，为了简便，我们可

以把点O选在两条异面直线的

某一条上；

④找出两条异面直线所成

的角，要作平行移动（作平行

线），把两条异面直线所成的

角转化为两条相交直线所成的

角；

⑤当两条异面直线所成的

角是直线时，我们就说这两条

异面直线互相垂直，异面直线a

和b互相垂直，也记作a⊥b；

⑥以后我们说两条直线互

相垂直，这两条直线可能是相

交的，也可能是不相交的，即

有共面垂直，也有异面垂直这

样两种情形.

然后师生共同分析例题

加深

对平面直

线所成角

的理解，培

养空间想

象能图力

和转化化

归以能力.

随堂练习1．填空题：学生独立完成

答案：.

（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.

（2）如果OA∥O′A′，OB ∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′.

答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.

2．如图，已知长方体ABCD –A′B′C′D′中，AB=23，AD =23，AA′ =2.

（1）BC和A′C′所成的角是多少度？

（2）AA′和BC′所成的角是多少度？

2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°.

（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.

在Rt△BB′C′中，B′C′ = AD =23，BB′= AA′=2，

所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.

因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.

归纳总结

1．空间中两条直线的位置

关系.

2．平行公理及等角定理.

3．异面直线所成的角.

学生归纳，教师点评并完善

培养

学生归纳

总结能力，

加深学生

对知识的

掌握，完善

学生知识

结构.

作业 2.1 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力

附加例题

例1 “a、b为异面直线”是指：

①a∩b =?，且a∥b；

②a?面α，b?面β，且a∩b =?；

③a?面α，b?面β，且α∩β=?；

④a?面α，b?面α；

⑤不存在面α，使a?面α，b?面α成立. 上述结论中，正确的是（）

A ．①④⑤正确

B ．①③④正确

C ．仅②④正确

D ．仅①⑤正确

【解析】 ①等价于a 和b 既不相交，又不平行，故a 、b 是异面直线；②等价于a 、b 不同在同一平面内，故a 、b 是异面直线.故选D

例2 如果异面直线a 与b 所成角为50°，P 为空间一定点，则过点P 与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有 条.

【解析】如图所示，过定点P 作a 、b 的平行线

a ′、

b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°角.过P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有

∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，

∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.

例3 空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =

132，AC =3

2

，求AC 和BD 所成的角。 【解析】取AB 、AD 、DC 、BD 中点为E 、F 、G 、M ，连EF 、FG 、GM 、ME 、EG . 则 MG 1

2BC

EM 12AD

∵AD ⊥BC ∴EM ⊥MG 在R t △EMG 中，有22

1

3()()12

2

EG =+= 在RFG 中，∵EF =113

24BD =

11324

FG AC =

=

∴EF 2 +FG 2 = EG 2 ∴EF ⊥FG ，即AC ⊥BD ∴AC 和BD 所成角为90°.

【点评】根据异面直线成角的定义，异面直线所成角的求法通常采用平移直线，转化为

a b

A a ′ b ′ O P

A ′

B ′

∥ ＝ ∥ ＝

相交直线所成角，注意角的范围是(0,]

.

2