考研数学讲座
考研数学讲座（1）考好数学的基点
“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。
非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。
在《高等数学》中，出发点处就有函数，极限，连续，可导，可微等重要概念。
在《线性代数》的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。
在《概率统计》中，第一重要的概念是分布函数。不过，《概率》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要学生有较好的《高等数学》基础。
非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。
大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。
考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，―大一那会儿学的不一样。‖原因就在于学过的概念早忘完了。
做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。
按考试时间与分值来匹配，一个4分的选择题平均只有5分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。
从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，―这个题目涉及的概念是---‖，而非―在哪儿做过这道题‖，才能算是有点入门了。
你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。
阳春三月风光好，抓好基础正当时。
考研数学讲座（2）笔下生花花自红
在爱搞运动的那些年代里，数学工作者们经常受到这样的指责，―一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。‖发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时―写‖与―思‖同步的重要性。
也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得―写‖的重要性。考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。动笔的时间很少。
数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。
科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全路程。你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
或―依据已知条件，我首先能得到什么？‖（分析法）；
或―要证明这个结论，就是要证明什么？‖（综合法）。
在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。
“连续函数与不连续函数的和会怎样？”
写成―连续A+不连续B=？‖后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。（穷尽法）。
如果，―连续A+不连续B=连续C‖移项，则―连续C－连续A=不连续B‖
这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。
有相当一些数学定义，比如―函数在一点可导‖，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如，
题面上有已知条件f′(1)＞0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出
h趋于0时，lim(f(1+h)－f(1）)/h＞0
然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。
又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aα=λα，α≠0，要是移项写成
（A－λE）α=0，α≠0，
这就表示α是齐次线性方程组（A－λE）X=0的非零解，进而由理论得到算法。
数学思维的特点之一是―发散性‖。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。
车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一步步走。陈景润那篇名扬世界的―1+2‖论文中有28个―引理‖，那就是他艰难地走向辉煌的28步。
对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
《高等数学》感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征，积分，解微分方程等，反应必然都慢。
《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题，选择一个分块变形就明白了。
《概率统计》中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说，二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。
要考研吗，要去听指导课吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。
我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做，你一写出来也可能会面目全非。
多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。
考研数学讲座（3）极限概念要体验
极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。
很久很久以前，西出阳关无踪影的老子就体验到，―一尺之竿，日取其半，万世不竭。‖
近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将n取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。”
国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。
极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。
自变量的变化趋势分为两类，一类是x→x0；一类是x→∞，
“当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a？”
如果是，则称数a为函数的极限。
―无限接近‖还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。
学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。
自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。
自然数n趋于无穷时，数列1/n的极限是0；x趋于无穷时，函数1/x的极限是0；
回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是，
x趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。
x趋于正无穷时，底数大于1的指数函数都无限增大，没有极限。
x→0+时，对数函数lnx趋于－∞；x趋于正无穷时，lnx无限增大，没有极限。
x→∞时，正弦sinx与余弦conx都周而复始，没有极限。在物理学中，正弦y=sinx的图形是典型的波动。我国《高等数学》教科书上普遍都选用了―震荡因子‖sin（1/x）。当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。具体想来，当x由0.01变为0.001时，只向中心点x=0靠近了一点点，而正弦sinu却完成了140多个周期。函数的图形在+1与－1之间上下波动140多次。在x=0的邻近，函数各周期的图形紧紧地―挤‖在一起，就好象是―电子云‖。
当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时，曾看到有的教材竟然把函数y=sin（1/x）的值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
x趋于0时（1/x）sin（1/x）不是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。1/x为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。
更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于0，（或无限增大。）就可能有的函数趋于0时（或无限增大时）―跑得更快‖。这就是高阶，低阶概念。
考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。
多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，（即ε–δ语言）。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。这就是
―若x趋于∞时，相应函数值f（x）有正的极限，则当∣x∣充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)总有f（x）＞0‖
*―若x趋于x0时，相应函数值f（x）有正的极限，则在x0的一个适当小的去心邻域内，f（x）恒正‖
这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和―近朱者赤，近墨者黑‖一个道理吗。
除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。
若x趋于无穷时，函数的极限为0，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)函数的绝对值恒小于1
若x趋于无穷时，函数为无穷大，则x的绝对值充分大时，(你不仿设定一点x0，当∣x∣＞x0时，)函数的绝对值全大于1
*若x趋于0时，函数的极限为0，则在0点的某个适当小的去心邻域内，或x的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于1
（你不仿设定有充分小的数δ＞0，当0＜∣x∣＜δ时，函数的绝对值全小于1）
没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中―无限接近‖的意义。你可以试着理解那些客观存在，可以
自由设定的点x0，或充分小的数δ＞0，并利用它们。
考研数学讲座（4）“存在”与否全面看
定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。
即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。
1．海涅定理
观察x趋于x0的过程时，我们并不追溯x从哪里出发；也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理：
定理（1）极限存在的充分必要条件是，无论x以何种方式趋于x0，相应的函数值总有相同的极限A存在。这个定理条件的―充分性‖没有实用价值。事实上我们不可能穷尽x逼近x0的所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的―必要性‖独立成为极限的一条重要性质。即唯一性定理：
“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。”
唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。
2．用左右极限来描述的等价条件
用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件：
定理（2）极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。
这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为
函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。
函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。
由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。
（3）突出极限值的等价条件
考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件：
定理（3）函数f（x）在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是，f（x）－A为无穷小。
从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数f（x）与数A无限接近，自然等价于
：函数值f（x）与数A的距离∣f（x）－A∣无限接近于0
如果记α=f（x）－A，在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换：
f（x）=A+α（无穷小）
考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。―存在‖与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我用exp（）表示以e为底数的指数函数，（）内填指数。
例1x趋于0时，函数exp（1/x）不存在极限。
分析在原点x=0的左侧，x恒负，在原点右侧，x恒正。所以
x从左侧趋于0时，指数1/x始终是负数，故左极限f（0－0）=0，
x从右侧趋于0时，函数趋向+∞，由定理（2），函数不存在极限。也不能说，x趋于0时，exp（1/x）是无穷大。
但是，在这种情形下，函数图形在点x=0有竖直渐近线x=0
例2x趋于0时，“震荡因子”sin（1/x）不存在极限。俗称震荡不存在。
分析用海涅定理证明其等价问题，―x趋于+∞时，sinx不存在极限。‖
分别取x=nπ及x=2nπ两个数列，n趋于+∞时，它们都趋于+∞，相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1，不满足唯一性定理（定理（1））。故sinx不存在极限。（构造法！）
例3x趋于∞时，函数y=arctgx不存在极限。
分析把∞视为一个虚拟点，用定理（2）。由三角函数知识得，
x趋于+∞时，函数极限为π/2，x趋于－∞时，函数极限为－π/2，
故，函数y=arctgx不存在极限。
请注意，证明过程表明，函数y=arctgx的图形有两条水平渐近线。即
－∞方向有水平渐近线y=－π/2；+∞方向则有有y=π/2
例4当x→1时，函数f(x)=(exp(1/(x－1)))(x平方－1)∕(x－1)的极限
（A）等于2（B）等于0（C）为∞（D）不存在但不为∞
b]分析考查x→1时函数的极限，通常认为x不取1；而x≠1时，可以约去分母（x－1)，让函数的表达式化为f(x)=(x+1)exp(1/(x－1))
左极限f（1－0）=0，x从右侧趋于1时，函数趋向+∞，（选（D））
（画外音：多爽啊。这不过是―典型不存在1‖的平移。）
例5f（x）=（2+exp（1/x））∕（1+exp（4/x））+sinx∕∣x∣,求x趋于0时函数的极限。
分析绝对值函数y=|x|是典型的分段函数。x=0是其定义分界点。一看就知道必须分左右计算。如果很熟悉―典型不存在1‖，这个5分题用6分钟足够了。实际上
x→0-时，limf（x）=（2+0）/（1+0）－1=1
x→0+时，exp（1/x）→+∞，前项的分子分母同除以exp（4/x）再取极限
limf（x）=（0+0）/（0+1）+1=1
由定理（2）得x→0时，limf（x）=1
例6曲线y=exp(1/x平方)arctg（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））的渐近线共有
（A）1条．（B）2条。（C）3条。（D）4条。选（B）
分析先观察x趋于∞时函数的状态，考查曲线有无水平渐近线；再注意函数结构中，各个因式的分母共有三个零点。即0，1和－2；对于每个零点x0，直线x=x0都可能是曲线的竖直渐近线，要逐个取极限来判断。实际上有
x→∞时，limy=π/4，曲线有水平渐近线y=π/4
其中，x→∞时，limexp(1/x平方)=1；im（（x平方+x+1）∕(x－1)(x+2））=1（分子分母同除以―x平方‖）考查“嫌疑点”1和－2时，注意运用―典型不存在3‖，
f（1－0）=－eπ/2；f（1+0）=eπ/2，x=1不是曲线的竖直渐近线。
类似可以算得x=－2不是曲线的竖直渐近线。
x→0时，前因式趋向+∞；后因式有极限arctg（－1/2），x=0是曲线的竖直渐近线。
啊，要想判断准而快，熟记“三个不存在”。看了上面几例，你有体会吗？
*还有两个判断极限存在性的定理（两个充分条件）：
定理（4）夹逼定理——若在点x0邻近（或|x|充分大时）恒有g(x)≤f(x)≤h(x)，且x→x0(或x→∞)时
limg(x)=limh(x)=A则必有limf(x)=A
定理（5）单调有界的序列有极限。（或单增有上界有极限，或单减有下界有极限。）
加上讲座（3）中的““近朱者赤，近墨者黑”定理”。共计六个，可以说是微分学第一组基本定理。
考研数学讲座（5）无穷小与无穷大
微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。
1.概念
在某一过程中，函数f（x）的极限为0，就称f（x）（这一过程中）为无穷小。
为了回避ε–δ语言，一般都粗糙地说，无穷小的倒数为无穷大。
无穷小是个变量，不是0；y=0视为―常函数‖，在任何一个过程中都是无穷小。不过这没啥意义。
依据极限定义，无穷大不存在极限。但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。为了记述这个特点，历史上约定，“非法地”使用等号来表示无穷大。（潜台词：并不表示极限存在。）比如
x从右侧趋于0时，limlnx=－∞；x从左侧趋于π/2时，limtgx=+∞
无穷大与无界变量是两个概念。无穷大的观察背景是过程，无界变量的判断前提是区间。无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们（在特定过程中）的发展趋势。在适当选定的区间内，无穷大量的绝对值没有上界。y=tgx（在x→π/2左側时）是无穷大。在（0，π/2）内y=tgx是无界变量
x趋于0时，函数y=（1/x）sin（1/x）不是无穷大，但它在区间（0，1）内无界。
不仿用高级语言来作个对比。任意给定一个正数E，不管它有多大，当过程发展到一定阶段以后，无穷大量的绝对值能全都大于E；而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点，此点处的函数绝对值大于E。
2.运算与比较
有限个无穷小量的线性组合是无穷小；―∞－∞‖则结果不确定。
乘积的极限有三类可以确定：
有界变量?无穷小=无穷小无穷小?无穷小=（高阶）无穷小无穷大?无穷大=（高阶）无穷大
其它情形都没有必然的结果，通通称为“未定式”。
例10作数列x=1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，---
y=0，1，0，2，0，3，0，---，0，n，0，---
两个数列显然都无界，但乘积xy是零数列。这表示可能会有无界?无界=有界
两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即―无穷小的比较‖。如果极限为1，分子分母为等价无穷小；极限为0，分子是较分母高阶的无穷小；极限为其它实数，分子分母为同阶无穷
小。
无穷大有类似的比较。
无穷小（无穷大）的比较是每年必考的点。
x趋于0时，α=xsin（1/x）和β=x都是无穷小，且显然有∣α∣≤∣β∣；但它们的商是震荡因子sin（1/x），没有极限。两个无穷小不能比较。这既说明了存在性的重要，又显示了震荡因子sin（1/x）的用途。能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到，很多反例都用到了震荡因子。
回到基本初等函数，我们看到
x趋于+∞时，y=x的μ次方，指数μ＞0的幂函数都是无穷大。且习惯地称为μ阶无穷大。
（潜台词：这多象汽车的1档，2档，---，啊。）
x趋于+∞时，底数大于1的指数函数都是无穷大；底数小于1的都是无穷小。
x趋于+∞或x趋于0+时，对数函数是无穷大。
x趋于∞时，sinx及cosx都没有极限。正弦，余弦，反三角函数（在任何区间上）都是有界变量。
请体验一个很重要也很有趣的事实。
（1）x→+∞时，lim（x的n次方）∕exp（x）=0，这表明：
“x趋于+∞时，指数函数exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”
或者说，“x趋于+∞时，函数exp（－x）是任意高阶的无穷小。”
（2）x→+∞时，limlnx∕（x的δ次方）=0；δ是任意取定的一个很小的正数。这表明：
―x趋于+∞时，对数函数lnx是比x的δ次方都还要低阶的无穷大。‖
在数学专业方向，通常称幂函数（x的n次方）为“缓增函数”；称exp（－x）为“速降函数”。
只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。它让我们更深刻地理解了基本初等函数。如果只知道极限值而不去体验，那收获真是很小很小。
例11函数f(x)=xsinx（A）当x→∞时为无穷大。（B）在（－∞，+∞）内有界。
（C）在（－∞，+∞）内无界。（D）在时有有限极限。
分析这和y=（1/x）sin（1/x）在x趋于0时的状态一样。（选（C））
例12设有数列Xn，具体取值为
若n为奇数，Xn=（n平方+√n）∕n；若n为偶数，Xn=1∕n
则当n→∞时，Xn是（A）无穷大量（B）无穷小量（C）有界变量（D）无界变量
分析一个子列（奇下标）为无穷大，一个子列是无穷小。用唯一性定理。选（D））
请与―典型不存在1‖对比。本质相同。
例13已知数列Xn和Yn满足n→∞时，limXnYn=0，则
（A）若数列Xn发散，数列Yn必定也发散。（B）若数列Xn无界，数列Yn必定也无界。
（C）若数列Xn有界，数列Yn必定也有界。（D）若变量1∕Xn为无穷小量，则变量Yn必定也是无穷小量。
分析尽管两个变量的积为无穷小，我们却无法得到其中任何一个变量的信息。例10给了我们一个很好的反
例。对本题的（A）（B）（C）来说，只要Yn是适当高阶的无穷小，就可以保证limXnYn=0
无穷小的倒数为无穷大。故（D）中条件表明Xn为无穷大。要保证limXnYn=0，Yn必须为无穷小量。应
选答案（D）。
考研数学讲座（6）微观分析始连续
微分学研究函数。函数是描述过程的最简单的数学模型。
由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的，且由一个数学式子所表示的函数，统称为初等函数。
大学数学还让学生学习两类―分段函数‖。或是在不同的定义区间内，分别由不同的初等函数来表示的函数；或者是有孤立的特别定义点的函数。
微分学研究函数的特点，是先做微观分析。即讨论函数的连续性，可导性，可微性。再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。即单调性，有界性，奇偶性，周期性等。
1．函数的连续性
定义——设函数f(x)在点x0的邻近有定义。当x趋于x0时，如果函数有极限.且极限值等于函数值f(x0)，就称函数f在点x0连续。否则，称函数f在点x0间断。x0是它的间断点。
―函数f在点x0的邻近有定义‖意味着，如果函数在点x0没有定义，那x0只是函数的一个孤立的无定义点。也就是函数的一个天然的间断点。函数y=1/x在原点就是这样的。
―有极限‖意味着存在。在分段函数情形，要立即转换成“左右极限存在且相等。”
函数在一点连续的定义等式，―左极限=右极限=中心点函数值‖，最多可以得出两个方程。如果在这里出题：―用连续定义求参数值。‖则函数可以含一个或两个参数。
如果函数在区间上每一点连续，就称函数在此区间上连续。
最值定理——在闭区间上连续的函数一定有最大，最小值。
“有”，意味着至少有两点，相应的函数值分别为函数值域中的最大，最小数。
介值定理——如果数c能被夹在连续函数的两个值之间，则c一定属于此函数的值域。
请体会我的描述方式，这比教科书上写的更简明。
介值定理的一个特殊推论是，连续函数取正取负必取零。从理论上讲，求方程F(x)=0的根，可以转化为讨论函数F的零点。
例16试证明，如果函数f在闭区间上连续，则它的值域也是一个闭区间。
分析函数f在闭区间上连续，f必有最大值M=f（x1），最小值m=f（x2），闭区间[m，M]内的任一数c，自然就夹在f的两个最值之间，因而属于f的值域。即f的值域就是这个闭区间。
例17试证明连续函数在相邻的两个零点间不变号。
（潜台词：没有零点的连续函数定号。）
分析如果此连续函数在相邻的两个零点间变号。则它取正取负必取零。与已知矛盾。
（潜台词：函数究竟恒正还是恒负，选个特殊点算算。）
例18函数f在闭区间[a，b]上连续，其值域恰好也是[a，b]，试证方程f(x)=x在区间[a，b]上有解。
分析作F=f(x)－x，它显然在已知闭区间上连续。且有F(a)≥0而F(b)≤0
如果有一等号成立，则结论得证。否则，用介值定理。
（潜台词：要寻找反号的两个函数值，当然该先把已知点拿去试试。）
2．间断点分类
连续的对立面是间断。人们把函数的间断点分为两类。
若函数在某点间断，但函数在这点的左右极限都存在。就称此点为第一类间断点。
若函数在某点间断，且至少有一个单侧极限不存在，就称此点为第二类间断点。
第一类间断又分为两种。左右极限不相等，跳跃间断；左右极限相等，可去间断。若考题要求你去掉某个可去间断点时，你就规定极限值等于此点的函数值，让其连续。
对于第二类间断，我们只学了两个特例。即
x=0是震荡因子y=sin（1/x)的震荡间断点。（画外音：请联想―典型不存在（2）‖）
x=0是函数y=exp(1/x)的无穷间断点。（画外音：请联想―典型不存在（1）‖）
只要函数在x0的一个单側为无穷大，x0就是函数的无穷间断点。x=x0是图形的竖直渐近线。
考题中经常把问题平移到别的点去讨论。
例19确定y=exp(1/x)arctg（（x+1）/（x－1））的间断点，并说明其类型。
分析函数的解析表达式中，分母有零点0，1（潜台词：两个嫌疑犯啊。）
在点0，前因子的右极限为正无穷，后因子连续非零，故0点是无穷间断点.
在点1，前因子连续非零，后因子的左极限是－π/2，右极限为π/2，第一类间断。
三个特殊的―不存在‖记得越熟，计算左右极限就越快。要有一个基本材料库，典型的知识首先在基本材料范围内滚瓜烂熟，你就会走得踏实走得远。
例20设函数f(x)=x∕(a+exp(bx))在(－∞,+∞)内连续，且x→－∞时，极限limf(x)=0；则常数a，b满足（A）a<0，b<0（B）a>0，b>0（C）a≤0，b>0（D）a≥0，b<0
分析初等函数的表达式中若有分母，则分母的零点是其天然没有定义的点，也就是函数的一个天然间断点。已知函数连续，则其分母不能为0，而指数函数exp(bx)的值域为(0,+∞)，故a≥0
又，x→－∞时，极限limf(x)=0表明，f(x)分母是较分子x高阶的无穷大，即要指数函数exp(bx)为无穷大，只有b<0，应选（D）。
（画外音：一个4分题，多少概念与基础知识综合！典型的考研题！漂亮的考研题！）
*例21已知函数f(x)在区间[a，b]上处处有定义，且单调。若f(x)有间断点，则只能是第一类间断点。
分析（构造法）不仿设f(x)在区间[a，b]上单增，但是有间断点x0；我们得证明f在点x0的左右极限都存在。
已设f在区间单增，余下的问题是寻找其上界或下界。事实上有
x→x0－时，f单增，显然f(b)是它的一个上界。故左极限存在。
x→x0+时，自变量从右向左变化，相应的f值单减。显然f(a)是其一个下界。右极限也存在。
构造法是微积分自己的方法。它的要点是，实实在在地梳理函数的构造及其变化，由此推理获得所要结果。
考研数学讲座（7）导数定义是重点
选定一个中心点x0，从坐标的角度讲，可以看成是把原点平移；从物理角度说，是给定一个初始点；从观察角度议，是选好一个边际点。微量分析考虑的问题是：在x0点邻近，如果自变量x有一个增量Δx，则
函数相应该有增量Δy=f（x0+Δx）－f（x0），我们如何表述，研究及估计这个Δy呢？
最自然的第一考虑是―变化率‖。中国人把除法称为―归一法‖。无论Δx的绝对值是多少，Δy／Δx总表示，―当自变量变化一个单位时，函数值平均变化多少。‖
定义令Δx趋于零，如果增量商Δy／Δx的极限存在，就称函数在点x0可导。称极限值为函数在点x0的导数。记为Δx→0，lim（Δy／Δx）=f′(x0)
或Δx→0，lim(（f（x0+Δx）－f（x0））／(x－x0）)=f′(x0)
或x→x0，lim(（f（x）－f（x0））／(x－x0）)=f′(x0)
理解1你首先要熟悉“增量”这个词。它代表着一个新的思维方式。增量Δy研究好了，在x0邻近，f（x）=f（x0）+Δy，函数就有了一个新的表述方式。
回头用―增量‖语言说连续，则―函数在点x0连续‖等价于―Δx趋于0时，相应的函数增量Δy一定趋于0‖
理解2要是以产量为自变量x，生产成本为函数y，则Δy／Δx表示，在已经生产x0件产品的状态下，再生产一件产品的平均成本。导数则是点x0处的―边际成本‖。
（画外音：―生产‖过程中诸元素的磨合，自然会导致成本变化。）
如果用百分比来描述增量，则（Δy/y）／（Δx/x）表示，在x0状态下，自变量变化一个百分点，函数值平均变化多少个百分点。如果Δx趋于零时极限存在，称其（绝对值）为y对x的弹性。
理解3如果函数f在区间的每一点处可导，就称f在此区间上可导。这时，区间上的点与导数值的对应关系构成一个新的函数。称为f的导函数。简称导数。函数概念由此得到深化。
用定义算得各个基本初等函数的导数，称为―求导公式‖。添上―和，差，积，商求导法则‖与―复合函数求导法则‖，我们就可以计算初等函数的导数。
例24设函数f(x)=（n→∞）lim(（1+x）∕（1+x的2n次方）),讨论函数f(x)的间断点，其结论为
（A）不存在间断点（B）存在间断点x=1（C）存在间断点x=0（C）存在间断点x=－1
分析这是用极限定义的函数，必须先求出f(x)的解析表达式，再讨论其连续性。
任意给定一点x，(视为不变。)此时，把分母中的―x的2n次方‖项看成是―（x平方）的n次方‖，这是自变量为n的指数函数。令n→∞求极限计算相应的函数值。
鉴于指数函数分为两大类，要讨论把x给定在不同区间所可能的影响。（潜台词：函数概念深化，就在这变与不变。哲学啊！）算得
－1＜x＜1时，f(x)=1+x；f(1)=1；f(－1)=0
而x＜－1或x＞1时，恒有f(x)=0，观察得x→1时，limf(x)=2；应选（B）。
理解4运用定理（2），―极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。‖则
“函数在点x0可导”等价于“左，右导数存在且相等”。
讨论分段函数在定义分界点x0处的可导性，先看准，写下中心点函数值f（x0），然后分别在x0两側算左导数，右导数。
例25（1）h趋于0+时，lim(f(h)－f(0）)/h存在不等价于函数在0点可导，因为它只是右导数。
（2）h趋于0时，lim(f(2h)－f（h））/h存在不等价于函数在0点可导，因为分子中的函数増量不是相对于中心点函数值的増量。
请对比:如果f（x）函数在0点可导，则h→0时，
lim(f(2h)－f（h））/h=lim(f(2h)－f(0）+f(0）－f（h））/h
=2lim(f(2h)－f(0）)/2h－lim(f（h）－f(0))/h
=2f′(0)－f′(0)=f′(0)
（画外音：我把上述恒等变形技术称为―添零项获得增量‖。考试中心认为你一定会这个小技术。
（2）中的不等价，要点在于，即便（2）中的极限存在，f（x）在0点也可能不可导。你可以作上述恒等变形，但是，你无法排除“不存在－不存在=存在”）
例26若函数f（x）满足条件f（1+x）=af（x），且f′(0)=b，数a≠0，b≠0则
（A）f（x）在x=1不可导。（B）f′(1)=a（C）f′(1)=b（D）f′(1)=ab
分析将f′(0)=b还原为定义lim(f(0+h)－f（0））/h=b,
要算f′(1)，考查lim(f(1+h)－f（1））/h；如何向f′(0)的定义式转化？！只能在已知恒等式上下功夫。
显然f(1+h)=af（h）；而f（1）=f（1+0）=af（0）
lim(f(1+h)－f（1））/h=lima(f(h)－f（0））/h=ab应选（D）。
*理解5两个无穷小的商求极限，就可以看成是两个无穷小的比较。于是，
连续函数f（x）在点x0可导的充分必要条件是，x→x0时，函数增量Δy是与Δx同阶，或较Δx高阶的无穷小。
考研的小题目中，经常在原点讨论可导性，且往往设函数在原点的值为零。我称这为―双特殊情形‖。这时，要讨论的增量商简化为f（x）/x，联想一下高低阶无穷小知识，可以说，―双特殊情形‖下函数在原点可导，等价于x趋于0时，函数是与自变量x同阶或比x高阶的无穷小。如果函数结构简单，你一眼就能得出结论。
例27设函数f（x）在点x=0的某邻域内有定义，且恒满足∣f(x)∣≤x平方，则点x=0必是f(x)的
（A）间断点。（B）连续而不可导点。（C）可导点，且f′(0)=0（D）可导点，且f′(0)≠0
分析本题中实际上有夹逼关系0≤∣f(x)∣≤x平方，在x=0的某邻域内成立。这就表明f（0）=0，且∣f(x)/x ∣≤∣x∣，由夹逼定理得，f′(0)=0，应选（C）。
例28设有分段函数f(x)：x＞0时，f(x)=(1－cosx)∕√x；x≤0时，f(x)=x平方g(x)
其中，g(x)为有界函数。则f(x)在点x=0
（A）不存在极限。（B）存在极限，但不连续。（C）连续但不可导。（D）可导。
分析由定义得中心点函数值f（0）=0；本题在―双特殊情形‖下讨论。
x＞0时，显然f(x)是比x高阶的无穷小。右导数为0（潜台词：1－cosx是平方级无穷小。）
x≤0时，f(x)/x=xg(x)，用夹逼法可判定左导数为0；应选（D）。
*理解6运用定理（3），若f（x）函数在点x0可导，即有已知极限Δx→0，lim（Δy／Δx）=f′(x0)
于是Δy／Δx=f′(x0)+α(x)（无穷小）；即Δy=f′(x0)Δx+α(x)Δx
由此即可证明，函数在点x0可导，则一定在x0连续。
―如果分母是无穷小，商的极限存在，则分子也必定是无穷小。”
经济类的考生可以这样来体验―可导一定连续‖。考数学一，二的同学则应将此结论作为一个练习题。
把导数定义中的极限算式记得用得滚瓜烂熟，你就既不会感到它抽象，也不会感到有多难。考研的题目设计都很有水平，如果側重考概念，题目中的函数结构通常都比较简单。
不要怕定义。就当是游戏吧。要玩好游戏，你总得先把游戏规则熟记于心。
考研数学讲座（8）求导熟练过大关
函数在一点x0可导，其导数值也就是函数图形在点（x0，f（x0））处的切线斜率。从这个意义出发，我们有时把函数可导说成是―函数光滑‖。
1典型的不可导
可导一定连续。函数的间断点自然是不可导点。这是平凡的。我们感兴趣的是函数连续而不可导的点。
最简单也最实用的反例是绝对值函数y=∣x∣。这是一个分段函数。还原成分段形式后，在点x=0两侧分别用定义计算，易算得右导数为1，左导数是－1
进一步的反例是y=∣sinx∣在点x=0和y=∣lnx∣在点x=1连续而不可导。
从图形变化上去看一个连续函数取绝对值，那是件非常有趣的事情。
连续函数在相邻的两个零点之间不变号。如果恒正，每一个正数的绝对值就是自已。在这两个零点间的函数图形不变。如果恒负，每一个负数的绝对值都是它的相反数。这两个零点间的函数图形由x轴下面对称地反射到了x轴上方。
y=sinx在原点的左侧邻近为负，右侧邻近为正。它的图形在原点右侧段不变，将左侧段对称地反射到上半平面，就是y=∣sinx∣的图形。反射使得图形在原点处形成一个尖角，不光滑了。
这是否是一个普遍规律？不是！比如y=x立方与y=|x立方|在x=0点都可导。
函数y=x立方的图形叫―立方抛物线‖。在点x=0，函数导数为0，图形有水平的切线横穿而过。（潜台词：真有特色啊，突破了我们原有的切线印念。）要是取绝对值，图形的原点左侧段对称地反射到上半平面，但水平的切线保持不变。新函数仍然光滑。这里的关键在于，函数值为0，导数值也为0，x=0是立方函数的重零点。
综合上述,在f(x)恒为正或恒为负的区间上，曲线y=|f(x)|和曲线y=f(x)的光滑性是一致的。只有在f(x)的零点处，才可能出现曲线y=f(x)光滑而曲线y=|f(x)|不光滑的状况。
数学三的考巻上有过这样的4分选择题。
例31f(x)在点x=a可导，则|f(x)|在x=a不可导若函数的充分必要条件是
（A）f(a)=0且f′(a)=0（B）f(a)=0且f′(a)≠0
（C）f(a)>0且f′(a)>0（D）f(a)>0且f′(a)＜0
分析如果没有思路，首先联想y=x与y=|x|即可排除（A）；
俗语说，连续函数“一点大于0，则一段大于0”；相应绝对值就是自己。（C）（D）显然都错；只有选（B）。（画外音：如果用代数语言，f(x)可导，f(a)=0，而f′(a)≠0，则点a是f(x)的单零点。这道题该算擦边题。）2．讨论深化
我在讲座（2）中举例，―连续A+不连续B=？‖
如果，―连续A+不连续B=连续C‖则―连续C－连续A=不连续B‖
这与定理矛盾。所以有结论：连续函数与不连续函数的和一定不连续。
推理的关键在于，逆运算减法可行。
自然类似有：可导A+（连续）不可导B=不可导C。比如y=x+∣sinx∣在点x=0不可导。
例32函数f（x）=∣sinx∣+∣cosx∣的不可导点是（？）
分析函数为―和‖结构。无论是∣sinx∣的不可导点或∣cosx∣的不可导点，都是f的不可导点。即
x=kπ与x=kπ+π/2，k=0，±1，±2，…
更深化的问题是：可导A×(连续)不可导B，是可导还是不可导？比如y=x∣x∣在点0可导吗？
与―和‖的情形相比，积的逆运算不一定可行。当且仅当A≠0时，才有C/A=B所以
结论1，若f（x）在点x0可导，且f（x0）≠0，g（x）在点x0连续不可导，则积函数y=f（x）g（x）在点x0一定不可导。
结论2（*例33）已知函数f(x)在点x=a可导，函数g(x)在点x=a连续而不可导，试证明
积函数F（x）=f（x）g（x）在点x=a可导的充分必要条件是f(a)=0.
证明先证充分性，设f(a)=0则F(a)=0
令h→0,F′(a)=lim(F(a+h)－F（a））/h=limf(a+h)g（a+h）/h
=(lim(f(a+h)－f（a）)/h)limg（a+h）
=f′(a)g（a）
再用反证法证必要性。设函数F(x)在点x=a可导而f(a)≠0.，则由连续函数的性质可知函数f（x）在点x=a 的某邻域内恒不为零。逆运算除法可行。由结论1知矛盾。
例34设函数f（x）可导，F（x）=f（x）（1+∣sinx∣），则f（0）=0是F(x)在x=0处可导的
（A）充分必要条件。（B）充分而非必要条件。
（C）必要而非充分条件。（D）既非充分又非必要条件。（选（A））
分析1+∣sinx∣是可导函数+连续不可导函数类型，在0点仍然连续但不可导。由上例结论知应选（A）例35函数y=（x平方－x－2）∣x立方－x∣的不可导点的个数是
（A）3（B）2（C）1（D）0
分析函数y具―积‖结构。y=f（x）g（x），可导函数f（x）=x平方－x－2只有两个零点x=–1，x=2，而连续函数g（x）=∣x立方－x∣有不可导点x=0，x=1，x=–1；（即x3－x的三个零点。）其中有两个不是f（x）的零点。积函数在这两点不可导。（选（B））。
实际上，x=–1是积函数的而重零点。
3．函数求导（以下所涉及的函数都是可导函数）
函数求导越熟练，高等数学的感觉越好。只要回忆一下，小时候，九九表你背了用了多少年？！初中时，有理数运算算了多少年？！中学里，代数式运算你又算了多少年？！而学习微积分，你花了多少时间作求导计算？！自己就明白问题之所在了。
求函数的导数，第一设问是，我对什么类型的函数求导？
对初等函数求导，要点是学会熟练地对初等函数作结构分析。应该设问（步步设问）：
“是对复合结构求导还是对四则运算结构求导？”
对含有多个变量（有参变量）的表达式求导，要始终提醒自己：―是对表达式中的哪一个变元求导？”
对分段函数求导，各段分别求导；定义分界点用定义求导
对幂指型函数求导，视y=f（x）为恒等式，先取对数再求导，最后解出y′
还有隐函数的求导法则；参数式所表述的函数求导；求乘积函数高阶导数的Leibnitz（莱布尼兹）公式。没办法。这是首先必须要苦力干活的。没有捷径可循。
考研数学讲座（9）“基本推理”先记熟
在考研试题中，条件“f（x）连续，x趋于0时，lim(f（x）/x)=1”出现的频率相当高。我们能由这个已知条件得到哪些信息呢？
无论是《高数》，《线代》或《概率》部分，都还可以找到类似问题。预先把其间的逻辑推理或计算程序练熟，在头脑里形成一个个小集成块。既是深化基本概念的手段，也是应对考试的方法。
1条件“f（x）连续，x趋于0时，lim(f（x）/x)=1”推理——→
信息（1），自变量x，当然是x趋于0时的无穷小。分母是无穷小，商的极限为1（存在），则分子也必定是无穷小。即x趋于0时，limf（x）=0
（潜台词：由极限存在的充分必要条件（3），f（x）/x=1+α（无穷小），即，f（x）=x（1+α））
信息（2），已知f连续，故f（0）=limf（x）=0
信息（3），（潜台词：这是“双特殊情形”啊！）已知极限表明函数f（x）与自变量是等价无穷小。f（x）在原点可导，且导数值f′(0)=1
信息（4），(“符号体念，近朱者赤。”)商的极限为正数1，在0点的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。即f（x）与x同号，左负右正。
最后一条没有进一步的结论，但这是体验极限符号的思维素养。
对比：如果把条件中的分母换成“x2”，则后两条信息就不同了。
信息（3）*，函数是比自变量高价的无穷小。f（x）在原点可导，且导数值为0
信息（4）*，商的极限为正数1，在点0的一个适当小的去心邻域内，商的符号恒正。分子与分母同号。x的平方恒正，f（x）恒正。f（0）是函数的极小值。
再对比：若考题把条件中的分子换成f（x）－x，怎么办？
那你把分子整体看成一个函数，写成F（x）=f（x）－x，先对F写出结论，再写还原讨论f（x）。
比如信息（3）得，F（x）在原点可导，故f（x）=F（x）+x也在原点可导。……。
有了高速路，找到匝道就上去了。
例36已知x→1时，lim(x2+b x+c)∕(x－1)=3，求常数b，c的值。
分析平移到点x=1用基本推理。记f（x）=x2+b x+c，f连续，由已知极限得
x→1时，limf（x）=0=f（1），实际计算f（1）得方程1+b+c=0
再由已知极限与极限定义得f′(1)=3，实际求导即2+b=3；联解之，b=1c=－2
2．程序化的经典题目
在考研试卷上有一个出现概率很高的大分值题，其基本模式为：
“求（分段）函数f(x)的导函数，并讨论导函数的连续性。”
这个题目涵盖了连续与可导概念及求极限与求导计算。考查内容相当全面。求解过程可以程序化。即用公式及法则求分段函数各段的导数；用定义算得分界点或特殊定义点的导数。写出导函数的分段式。再讨论连续性。
例37设a为实常数，定义函数f(x)如下x＞0时f(x)=x a s i n(1/x2),x?0时，f(x)=0 回答下列问题，并简单说明理由。
（1）在什么情况下，f(x)不是连续函数。（2）在什么情况下，f(x)连续但在点x=0不可微？
（3）在什么情况下，f(x)有连续的导函数f′(x)？
*（4）在什么情况下，f(x)可微但f′(x)在原点邻近无界？
*（5）在什么情况下，f(x)可微，f′(x)在原点邻近有界，但f′(x)不连续？
分析x?0时，f(x)恒为零，故f(x)在0点左连续，且左导数为0；讨论的关键在于：
sin（1/x2），cos（1/x2）都是震荡因子。当x→0+时，必须再乘以一个无穷小因子才有极限零存在。
（潜台词：有界变量·无穷小量=无穷小量）
解（1）a?0时，f(x)不是连续函数，它在点x=0处有第二类间断（振荡间断）。
（2）0 x→0+时，lim(f（x）/x)=limx（a－1）sin（1/x2）不存在 这又表明，仅当a>1时，f(x)在0点的右导数为0，从而f′(0)=0；反之则右导数不存在。 于是，a>1时，f(x)是可导函数。且f′(x)有分段表达式： x?0时，f′(x)=0；x＞0时，f′(x)=ax（a－1）sin（1/x2）－2x（a－3）cos（1/x2） （3）仅当a>3时，f′(x)的两项在0点的右极限都存在，且都为0；f′(x)连续。 （潜台词：存在+不存在=不存在；1＜a?3时，f′(x)不连续。有振荡间断点0。） *（4）观察f′(x)的结构，当1＜a?3时，它之所以会在原点邻近无界，显然是因为其后项存在有负幂因子。即1＜a＜3时，f′(x)在原点邻近无界。 （5）最后，自然有a=3时，f′(x)在原点邻近有界，但f′(x)不连续。 分析法，综合法，反证法。这都是欧氏几何的方法。公元前400年就有了。老老实实地写，实实在在地看，实实在在地说，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法——“构造法”。 再看一例来体念“实实在在”的“构造法”。 例38已知函数f（x）在x?a时连续，且当x→+∞时f（x）有极限A，试证明此函数有界。 分析（1）用综合法走一步：本题即证，∣f（x）∣?C （2）想用分析法走一步，有困难。我们只学过，闭区间上连续的函数一定有界。（？！） （3）（试探）随便选一个充分大的数b，函数在a与b组成的闭区间上有界。那无穷的尾巴上怎么估计函数的绝对值呢？ （4）需要从数值上体念已知极限： x→+∞时函数有极限A，即x→+∞时函数的绝对值无限靠近数A的绝对值。 这就是说，我们可以取到充分大的数b，使x＞b时，恒有∣f（x）∣?∣A∣+1 （5）a与b组成的闭区间上函数有最大，最小值。取其绝对值。三个正数相比较，最大的那个数就是我们需要的C 啊，我们“构造”出了函数的一个上界。 考研数学指导（10）微分是个新起点 微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。 线性关系是最简单的函数关系。我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。而讨论非线性问题，总是件很困难的事。到朋友家要上楼，如果他们家的楼梯是非线性的，多半你会摔个跟头。 “能否把非线性问题线性化？”这是人们在经验基础上的自然思考。实际上，非线性问题就是非线性问题，所谓“线性化”，只是用一个“合适的”线性模型去近似非线性模型。即 非线性模型=线性模型+尾项（非线性模型－线性模型）， 关键在于表示尾项，研究尾项！找到尾项可以被控制的逼近模型。 把这个思想落实到函数上，就是，在中心点x0邻近，能否有 Δy=AΔx+尾项，尾项=Δy－AΔx能否是比Δx高阶的无穷小？ 如果能，就称函数在点x0可微分。简称可微。记dy=AΔx，称为函数的微分，又称为函数的线性主部。 将可微定义等式两端同除以Δx，令Δx趋于零取极限即知，若函数在点x0可微，则 常数A就是函数在点x0的导数f′(x0)；从而 Δy=f′(x0)Δx+ο(Δx)；其中，ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。” 或Δy=dy+ο(Δx)；dy=f′(x0)Δx=f′(x0)dx 要是需要，我们可以丢去尾项，微局部地得到函数值的（线性的）近似计算式。由于丢去的尾项是比Δx高阶的无穷小，如果∣Δx∣适当小,那么，绝对誤差也能相应地适当小。 不丢尾项，我们得到函数的一个新的（微局部地）有特定含义的表达式： f（x）=f（x0）+Δy=f（x0）+f′(x0)Δx+ο(Δx) 历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。 近一步可以证明，可微与可导等价。 例41设函数f（u）可导，y=f（x2）当自变量x在点x=－1取得增量Δx=－0.1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0.1，则f′(1)=_______ 分析Δy的线性主部即是微分dy，而y′(x)=f′(u)2x,y′(1)=－2f′(1) 故dy=y′(x)dx具体为0.1=y′(1)(－0.1)，解得f′(1)=1/2 函数f（x）在一个区间上可导时，我们记微分dy=f′(x)dx。但是不能忘了微分的微局部意义。 函数可微，且f′(x0)≠0时，还可以把可微定义等式变形为 Δy/f′(x0)Δx=1+ο(Δx)∕f′(x0)Δx令Δx→0取极限，即知Δy和dy是等价无穷小。 为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小，例如在x→0过程中 sinx～x；ln（1+x）～x；e x－1～x；√（1+x）－1～x∕2 它们都是在原点计算Δy和dy而获得的。最好再记住1－cosx～x2∕2 两条经验： （1）常用等价无穷小的拓展——例如，若在x→0过程中，α（x）是无穷小，则 sinα（x）～α（x）；ln（1+α（x））～α（x）；eα（x）－1～α（x） √（1+α（x））－1～α（x）∕2；1－cosα（x）～α（x）2∕2 （2）等价无穷小的差为高阶无穷小。 例42设当x→0时，（1－cosx）ln（1+x2）是比xsinx n高阶的无穷小；而x sinx n是比exp（x2）－1高阶的无穷小，则正整数n=？ 分析x→0时，（1－cosx）ln（1+x2）为4次方级的无穷小；x sinx n是n+1次方级； exp（x2）－1是2次方级，由已知，2＜n+1＜4，只有n=2 我们还可以学会主动选定中心点，计算Δy和dy来获得等价无穷小。 例43设在区间[1/2，1）上，f（x）=1/πx+1/sinπx－1/π（1－x），试补充定义函数值f（1），使函数在闭区间上连续。 分析（1）点1是右端点，按照连续的定义，应该补充定义f（1）为函数在点1的左极限。 （2）观察函数结构，第一项是连续函数求极限。第二，三项形成“无穷－无穷”未定式。 （3）“计算无穷－无穷，能通分时先通分”。通分后化为0/0型未定式。求商的极限是否顺利，关健在于分母。要尽可能先简化分母。 （4）公分母为π(1－x）sinπx,可以考虑在点1计算sinπx的等价无穷小 因为sinπ=0,故Δy=sinπx；而dy=πconπΔx=－π（x－1） 作等价无穷小因式替换，分母变成二次函数，再用洛必达法则求极限，一定顺利。 学习本是为了用，该出手时就出手。你不妨直接用洛必达法则求通分后的0/0型未定式极限。作个对比。 例44设函数f(x)在x=0的某邻域内有连续的一阶导数，且f(0)≠0，f′(0)≠0，若 af（h）+bf（2h）－f（0）在h→0时是较h高阶的无穷小，试确定数a和b的值。 分析由高阶无穷小的定义得h→0时lim(af（h）+bf（2h）－f（0）)/h=0 记F(h)=af（h）+bf（2h）－f（0），F连续。于是（用“基本推理”）由极限式与连续性推出F(0)=limF(h)=（a+b+1）f（0）=0，只有a+b+1=0 同时（F(h)－F(0))/h=F(h)/h，再由极限式得F′(0)=0 实际上，F′(h)=af′(h)+2bf′(2h)，F′(0)=（a+2b）f′(0)=0 这就有第二个方程a+2b=0；联解之，a=－2，b=1 *分析二换一个思考方法，可微分定义式给了函数一个新的（微局部意义的）表达式。试用一下。 设想h充分靠近0，则f（x）=f（0）+f′(0)x+ο(x)（中心点是原点，Δx=x－0=x） 故f（h）=f（0）+f′(0)h+ο(h)f（2h）=f（0）+f′(0)2h+ο(h) 从而af(h）+bf(2h)－f(0)=（a+b－1）f（0）+（a+2b）f′(0)h+o(h) 要它在h→0时是比h高阶的无穷小，常数项和h项系数必需为0，获得两个方程。 考研数学讲座（11）洛尔定理做游戏 洛尔定理既为中值定理做准备，又在函数零点讨论方面具有独立意义。洛尔定理的证明中，逻辑推理既有典型性，又简明易懂。因而洛尔定理成为考研数学的一个特色考点。 我国的大学数学教材，通常把“费尔玛引理”的证明夹在洛尔定理的证明中，使得证明显得冗长。我先把它分离出来。（画外音：这可是个难得的好习题。） 1费尔玛引理——若可导函数在区间内一点取得最值，则函数在此点的导数为0 分析我们复习一下“构造法”。已知或讨论函数在某一点的导数，不仿先写出导数定义算式，观察分析增量商。这是基本思路。 “老老实实”地写：设函数在区间内一点x0取得最大值。写出增量商 (f（x）－f（x0）)/（x－x0） “实实在在”地想：它有什么特点呢？f（x0）最大，分子函数增量恒负，分母自变量增量左负右正。这样一来， 增量商在x0左侧恒正，（负负得正）。其左极限即左导数非负。（潜台词：极限可能为0） 增量商在x0右侧恒负。故右极限即右导数非正。 函数可导，左，右极限存在且相等，导数只能为0 （画外音：导数为0，不是直接算出来，而是由逻辑推理判断得到的。你能否由此体会到一点数学美呢。） 2洛尔定理——若函数f（x）在闭区间[a，b]连续，在（a，b）内可导，且端值相等。则必在（a，b）内一点ξ处导数为0 分析函数在闭区间[a，b]连续→函数必有最大最小值 端值相等→只要函数不是常数，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在区间内。 函数在（a，b）内可导→内部的最值点处导数为0 请看看，分离证明，前段运用导数定义，符号推理非常典型。后段逻辑有夹逼味道，叙述十分简明。 运用洛尔定理，关键在于要对各种说法的“端值相等”有敏感性。 例47设函数f（x）二阶可导，且函数有3个零点。试证明二阶导数f"（x）至少有一个零点。 分析“函数有两个零点”，意味着两个函数值相等！它俩组成一个区间，就满足“端值相等”条件。可以应用洛尔定理得到函数的一阶导数的零点。 设函数的3个零点由小到大依次为x1，x2，x3 顺次取区间[x1，x2]，[x2，x3]，分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的两个零点，ξ1，ξ2，且ξ1＜ξ 2 ξ1，ξ2客观存在。它们组成区间[ξ1，ξ2]，且f′(x)在此区间上端值相等。 又已知二阶导数f"（x）存在，即f′(x)可导。对函数f′(x)用洛尔定理就得本题结论。 本例同时展示了“逐阶运用洛尔定理”的思路。 不要怕“点ξ”，不要去想它有多抽象。客观存在，为我所用。只是要留心它的范围。 (画外音：怕啥子嘛，你不是学了哲学，学了辩证法吗。) 3“垒宝塔”游戏 如果函数n阶可导，且函数有n+1个互不相同的零点。由此可以得到什么信息？ 我们可以象上例那样，先把这n+1个零点由小到大排序编号，x1，x2，x3，……，x n，x n+1 再顺次组成n个区间，[x1，x2]，[x2，x3]，……，[x n，x n+1] 分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的n个零点，且有大小排序 ξ11＜ξ12＜……＜ξ1n 同理，顺次取区间[ξ11，ξ12]，[ξ12，ξ13]，……，[ξ1（n－1），ξ1n] 共计n－1个区间，分别对一阶导函数f′(x)用洛尔定理，得到二阶导数的n－1个零点，由小到大依次记为 ξ21，ξ22，……，ξ2（n－1） ………… 再一次次逐阶运用洛尔定理，最后可以得到结论：函数的n阶导数有1个零点。 这是微分学的一个经典题目，结论好似一个倒置的“杨辉三角形”。 就当是做游戏吧。一个“垒宝塔”游戏。 4研考典型大题 考研数学有时在这个考点上出大题，基本模式为 “已知……，证明区间内至少有一点ξ，使得一个含有导数的等式成立。” 例48设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（1）=0，试证（0，1）内至少有一点ξ，使得f（ξ）+ξf′(ξ)=0 分析（综合法）ξ只是一个特殊点。ξ就是方程f（x）+xf′(x)=0的根。 方程的根转化为函数g（x）=f（x）+xf′(x)的零点讨论。 （潜台词：我们有“介值定理”，“洛尔定理”两件兵器哦。） 由于关系式中有含导数的项，可以猜想，ξ应当是我们对某个函数运用洛尔定理后，得到的导函数的零点。即g（x）是某个函数F（x）的导函数？！ 再仔细观察g（x）的结构，它多象是一个乘积函数求导公式啊。 （画外音：求导不熟练，肯定反应慢。） 实际上它的确是积函数F（x）=xf（x）的导函数，且恰好端值相等。 证明时只需从“作辅助函数F（x）=xf（x），……”说起。 啊，典型的欧氏方法，困难的逆向思维。 考研数学讲座（12）中值公式不为算 数学公式基本上可以分为两类，一类用于计算。一类用于描述。 中值定理的公式（有限增量公式）就是描述型的数学公式。非数学专业的本科学生感到数学难学，一个基本原因在于观念。以为数学公式都是计算公式，遇上了描述型的公式，他们毫无思想准备。 描述型的数学公式意义深远。从根本上说，数学科学企图描述世界的任何过程。 描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。 微局部地研究函数，焦点在于讨论增量。我说微分是个新起点，指的就是，若函数f（x）在点x0可微，则函数实际上就有了一个（微局部的）新的表达式： f（x）=f(x0)+f′(x0)(x－x0)+ο(Δx)（尾项，比Δx高阶的无穷小） 历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。 之所以是“微局部”的描述公式，是因为只有在x0的充分小的邻域内，“高阶无穷小”的描述才有实际意义。 不要认为这有多抽象。这是线性化思维的一个自然结果，一个客观事实。知道其存在，能对几个简单的基本初等函数按过程写出来，就算掌握了。 比如，在原点邻近，可以有，sinx=x+ο(x)，（请对比sinx～x）。 由此近一步有 x－sinx=x－（x+ο（x））=ο（x）（潜台词：表达式嘛，那就可以代进去。） 这就是描述型的思路。它告诉我们，x趋于0时，x－sinx是比x高阶的无穷小。 在求极限时，我们只可以对（分子或分母）的“无穷小因式”作等价无穷小替换。但是，只要对运算有利，我们就可以把函数的（带高阶无穷小尾项）表达式代到任何一个位置去。 在运用函数的导数来研究函数的过程中，这个思路沿着两个方向延拓。 （1）对尾项的描述能否更具体？ （2）能否提高描述的精度？即能否把函数写成 f（x）=以x0为中心的n次多项式+尾项（比Δx的n次方高阶的无穷小）《高等数学》在方向（1）上，讲了“拉格郎日公式”；在方向（2）上则讲带有“拉格郎日型尾项的泰勒公式”。（后者只征对考数学一，二的考生）。 拉格郎日公式若函数在闭区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点ξ，使得f(b)－f(a)=f′(ξ)（b－a） 教科书上是增量商的形式，我更喜欢用乘积形式。 定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（潜台词：任给一点，相对不变。）也可以有 f（x）－f（x0）=f′(ξ)（x－x0），ξ在x与x0之间， 即f（x）=f（x0）+f′(ξ)（x－x0），ξ在x与x0之间， （画外音：一个x相应有一个ξ，理论上构成一个函数关系。） 这样一来，中值定理也给了函数一个新的表达式。带ξ的项是尾项。（拉格朗日尾项）。 思考题目时，只要看到有导数条件及函数增量式，你就可以考虑先用拉格朗日公式转换描述方式，迈出第一步。再考虑如何利用导数条件及ξ所属范围处理尾项。 例51已知f（x）在[0，1]可导，且导函数单增，试将f′(0)，f′(1),f(1)－f（0）三个数按大小排序。 分析导函数单增，都是导函数值才能比较大小。f（1）－f（0）是增量式，先用拉格朗日公式得，f（1）－f（0）=f′(ξ)，0＜ξ＜1，写出这一步来就啥都明白了。 不要怕ξ，它是区间内客观存在的一点。它的范围有时（如上例）也能导出信息。 例52已知f（x）在某区间可导且导函数有界，试证明f（x）恒满足 ∣Δy∣?C∣Δx∣ 分析不知道已知区间是开区间还是闭区间，反正已知有∣f′(x)∣?M（正常数） 在区间内任取两点,视为常数,运用拉格朗日公式 f（x1）－f（x2）=f′(ξ)(x1－x2)，x1＜ξ＜x2 等式两端取绝对值，导函数有界的条件管住了ξ，取C=M，本题结论成立 多写才能熟悉。最好的基本练习是，把上例中的函数具体取为正弦，余弦，指数函数，反正切等，自己设定区间，求出M值，重复写出证明过程。 例53已知当x趋于+∞时，limf′(x)=e，求lim（f（x+1）－f（x）） 分析对任意给定的x,所求极限的变量式，恰是函数f（t）在点x与x+1的增量式。先用拉格郎日公式改变其描述方式。 （画外音：分层次思维，走一步，写一步，再观察。） f（x+1）－f（x）=f′(ξ)，x＜ξ＜x+1，实际上ξ=ξ（x） 显然，当x趋于+∞时，必有ξ趋于+∞；故，原极限=limf′(ξ)=e 最后的答案来自唯一性定理。 （潜台词：无论ξ（x）以怎样的方式趋向无穷，唯一性定理都管住了它。） 例54试证明x＞0时，ln（1+x）＜x 分析ln（1+x）=ln（1+x）－ln1=x/ξ＜x，1＜ξ＜x+1 实际计算步骤为，取函数y（t）=ln（t），则y′(t)=1/t 进而y′(ξ)=1/ξ,得到结论只用了ξ＞1, “添零项获得增量”。创造条件运用拉格郎日公式。考研中心认为，你一定会这个小技术。 考研数学讲座（13）图形特征看单调 用导数讨论函数,中值定理是座座桥梁。拉格郎日公式有两个推论。使它更好地发挥桥梁作用。 1．拉格郎日公式的两个推论 推论（1）可导函数恒为常数的充分必要条件是其导函数恒为零。 推论（2）设函数f(x)在区间（a，b）内可导，且导函数f′(x)＞0，则f(x)在此区间上单增。 推论(1)是一个很好的“相对比较”练习题。即任选一点x0，视为不变。再任给一点x，(潜台词:创造增量形式。)比较两个函数值的差。我们就可以应用拉格郎日公式，并联系已知条件得到结论。 由推论（1）得到“证明两个可导函数恒等”的程序： “在某区间上证明可导函数f(x)≡g(x)” —→作F（x）=f(x)－g(x)，F（x）可导 —→验证fˊ(x)－gˊ(x)≡0，证得f(x)－g(x)=常数 —→选一个特殊点，计算验证这个常数就是0 你可以试着证明：arcsinx+arccosx=π/2 为什么推论(2)中，“导函数f′(x)＞0”不是可导函数单增的充分必要条件呢？这是因为单增的函数也可能在若干个孤立点上导数为0。比如，立方函数单增，而它的导数在原点为0。 （潜台词：要注意函数单增的定义啊，自变量变大，相应的函数值一定也变大。） 例57设函数f(x)在实轴上单增，可导，则 （A）在实轴上恒有fˊ(x)＞0（B）对任意x，fˊ(－x)?0 （C）函数f(－x)在实轴上单增。（D）函数－f(－x)在实轴上单增。 分析由已知信息只能推得fˊ(x)?0，（A）错。 fˊ(－x)是个复合函数。其结构是y=fˊ(u)，u=－x，故fˊ(－x)?0；（B）错。 f(－x)的导数为－fˊ(－x)，由此知（C）错。应选（D）。 2.“逐阶说单调” 单调性是函数最重要的图形特征。如果一个连续函数分段单调，那么，单调性改变的分界点，就是函数的极值点。这就自然而然地产生了极值点的“第一判别法”。 一个很好玩的游戏是“逐阶说单调”。 例58设函数f在点x0邻近三阶连续可导，且在点x0，其一，二阶导数都为0，而三阶导数不为0，你能由此得到什么样的信息？ 分析（1）不仿设f"′（x0）＞0，三阶导数连续，在点x0邻近三阶导数全大于零。 （潜台词：体验极限，近朱者赤。连续函数一点大于0则一段大于0） （2）三阶导数大于零，则二阶导数单增。 又因为f"（x0）=0，故当x由左侧趋近点x0时，f"（x）由负单增到0，从x0点再向右，f"（x）单增为正。x0两側二阶导数反号，图形上点（x0，f(x0)）是拐点。 （3）在x0点左側，一阶导数单减，且由正单减到0； 在x0点右側，一阶导数单增，且由0单增为正。f′(x0)=0是一阶导数的极小值。一个孤立的零点。 ? ? n =0 ? + 2 ? 2 2 ( π 2 2 ) ? 2018 年全国硕士研究生统一入学考试数学一试题 整理人：中博考研向禹老师xy123@https://www.wendangku.net/doc/8b5565614.html, 题号 1-8 9-14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 总分 分数 一、 选择题（每小题 4 分, 共 32 分） 1. 下列函数不可导的是 ( ) A. f (x ) = |x | s in |x | B. f (x ) = |x | s in √ |x | C. f (x ) = cos |x | D. f (x ) = cos √|x | 【解析】A, B, C 可导, D 根据导数的定义可得 f ′ (0) = ? 1 , f ′ (0) = 1 . 2. 过点 (1, 0, 0) 与 (0, 1, 0) 且与 z = x 2 + y 2 相切的平面方程为 ( ) A. z = 0 与 x + y ? z = 1 B. z = 0 与 2x + 2y ? z = 0 C. y = x 与 x + y ? z = 1 D. y = x 与 2x + 2y ? z = 2 【解析】过点 (1, 0, 0) 与 (0, 1, 0) 且与已知曲面相切的平面只有两个, 显然 z = 0 与曲面 z = x 2 + y 2 相切, 故排除 C, D. 曲面 z = x 2 + y 2 的法向量为 (2x , 2y , ? 1), 对于A 选项, x + y ? z = 1 的法向量为 (1, 1, ? 1), 可得 x = 1 , y = 1 . 代入 2 2 z = x 2 + y 2 和 x + y ? z = 1 中 z 不相等, 排除 A, 故选B. ∞ 3. ∑ ( 1) n =0 n 2n + 3 ( ) (2n + 1)! A. sin 1 + cos 1 B. 2 sin 1 + cos 1 C. 2 sin 1 + 2 cos 1 D. 3 sin 1 + 2 cos 1 【解析】利用sin x 与cos x 的麦克劳林级数可得 ∞ n 2n + 3 ∞ n (2n + 1) + 2 ∑ ( 1) n =0 (2n + 1)! = ∑ (?1) (2n + 1)! ∞ n 1 ∞ n 2 = ∑ ( 1) n =0 (2n )! + ∑ (?1) (2n + 1)! = 2 sin 1 + cos 1 因此选B. ∫ π 2 ∫ π ∫ π ( √ ) 4. 设 M = 2 (1 + x ) d x , N = π 1 + x 2 2 1 + x d x , K = π 2 1 + cos x π 2 d x , 则 ( ) A. M > N > K B. M > K > N C. K > M > N D. N > M > K 【解析】利用对称性可以计算 M = 见 K > π = M > N . 1 1 0 π (1 + x )2 π 1 + x 2 d x = 2 1 + 2x π 1 + x d x = π, 另外比较被积函数与 1 的大小关系易 5. 下列矩阵中, 与矩阵 0 1 1 相似的为 0 0 1 ( ) 第 1 页 共 8 页 2 x e ? 2 ? n =0 ∫ ∫ ? ? 2 评卷人 得分 高等数学公式篇 ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 导数公式： 基本积分 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222????+-+--=-+++++=+-= ==-C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n ln 22)ln(221 cos sin 22222 2222222 22 2 22 2 π π 2018考研二重积分真题解析（数学三） （2018数学三，16）求下列二重积分： x 2dxdy D 其中D 由y= 3（1?x 2）和y= 3x ，以及y 轴共同围成。 解法一：直角坐标： x 2dxdy D ＝ dx 20 x 2 dy 3（1?x 2） 3x ＝ 3 x 2 1?x 2 2 0dx ? 3 x 3dx 20 令x ＝sint ，即dx ＝costdt ，而x ∈[0, 2 2 ], 故sint ∈[0, 2 2 ]，t ∈[0,π 4 ]. 即原式＝ 3 sin 2tcos 2t π0dt － 3[14 x 4 ] 22 0 ＝ 3 sin 22t 4π4 0dt － 316 ＝ 34 1?cos 4t 2π 0dt － 316 ＝ 34[t 2 ? sin 4t 8]π0－ 316＝ 3π32－ 316 解法二：极坐标： x 2dxdy D ＝ dx 20 x 2 dy 3（1?x 2） 3x 令y ＝ 3z ,原式＝ 3 dx 2 0 x 2dz 1?x 2x ＝ 3 dθππ4 ρ2cos 2θρdρ10 ＝ 34 cos 2θdθπ2π ＝ 38 (1+ cos 2θ)dθππ＝ 3π32－ 3 16 解法三：广义极坐标（换元法）： x 2dxdy D ＝ dx 2 0 x 2 dy 3（1?x 2） 3x 令x ＝ρcosθ,y ＝ 3ρsinθ, 代入 y = 3（1?x 2）y = 3x ，有 ρ2=1（ρ≥0）sinθ=cosθ（0≤θ≤π 2） ， 也即在ρOθ坐标系中，ρ、θ满足如下关系： 0≤ρ≤1 π 4≤θ≤π2 构造雅可比行列式 J ＝e x ,y e ρ,θ ＝ ex eρex eθ ey eρ ey eθ ＝ cosθ?ρsinθ 3sinθ 3ρcosθ ＝ 3ρ 故原式＝ ρ2cos 2θ J dρdθ0≤ρ≤1π4≤θ≤π2 ＝ dθππ ρ2cos 2 θ 3ρ dρ10 ＝ 34 cos 2θdθππ4 ＝ 38 (1+ cos 2θ)dθπ2π＝ 3π32－ 3 16 考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A 2003年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设,0, 0, 0,1cos )(=≠?????=x x x x x f 若若λ 其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是_____. （2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b ________. （3）设a>0，，x a x g x f 其他若, 10,0,)()(≤≤? ? ?==而D 表示全平面，则 ??-=D dxdy x y g x f I )()(=_______. （4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵 T E A αα-=， T a E B αα1 +=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a=______. （5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为________. （6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样 本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 1 21依概率收敛于______. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g ) ()(= [ ] (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0. (C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. （2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是 [ ] (A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. （3）设2 n n n a a p += ，2 n n n a a q -= ， ,2,1=n ，则下列命题正确的是 [ ] (A) 若 ∑∞ =1n n a 条件收敛，则 ∑∞ =1n n p 与 ∑∞ =1 n n q 都收敛. (B) 若 ∑∞ =1n n a 绝对收敛，则 ∑∞ =1n n p 与 ∑∞ =1n n q 都收敛. (C) 若 ∑∞ =1 n n a 条件收敛，则 ∑∞ =1 n n p 与 ∑∞ =1 n n q 敛散性都不定. (D) 若 ∑∞ =1 n n a 绝对收敛，则 ∑∞ =1 n n p 与 ∑∞ =1 n n q 敛散性都不定. （4）设三阶矩阵???? ??????=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 [ ] (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0. (C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. （5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是 [ ] (A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ， 则s ααα,,,21 线性无关. (B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有 .02211=+++s s k k k ααα (C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. 2018年考研数学三真题及答案解析 选择题（4分） 1?下列函数中在忑=o处不可导的是() A、/(z) = |z|sin \x\ B、/(X)= |d|sill y/\x\ C、/(?) = cos \x\ D、/(z) = cos \Zjxj 【答棊】D 2.设函数/（工）在［0：l［上二阶可导?且“ f［x）dx = 0 ,则（） A、当r⑹VO时，腥）co B、当f （工）u 0时，V ° C、当作）＞0B寸，f（f） vo D、当『@）＞0时，九?＜0 【答衰】D 2 JI A. 3 .设M =号血，N =点寺血，K = f舟1 + 血，则（） A、M> N> K B、M>K> N C、K > M> N D、K a N > M 【答棄】C 4?设某产品的成本函数C（Q）可导.具中Q为产量，若产量为Qo时平均成本最小，则（） 人BQ。)= 0 B、C\(?o) = C(Q Q) C、岀(Qo) = QoC?) D、Q D C'(Q D)=C(Q O) ［答秦］D w. 1 0" 1 1怕似的为（） 0 1 6设人B为蘇阶走阵，记「(X)为走阵X的秩,(X、7)表示分按矩阵，则() A、r(A,AB) = r(A) B、r(A,BA) = r(A) r(A, 3) = max {『(A), r(B)} D x r(A, B) = r(A T, B Z) 【答棄］A 2 7 ?设随机遼X的概率空度/（可渎足沖4江）=/（I-X）.且人3 毗= 0.6,则P{X< 0}=（） A x 0.2 艮0.3 C x 0.4 D、0.5 【答秦】A 8.设Xi,X?2,…，禺⑺> 2）为来言总体N仏,）9 > 0）的简单随机样本°令n I ■2 J—~ 2 戈土丈（兀一丈）用=侣刀（益一川，则（） 1-1 ' 1-1 ?t-1 A、缙H）?如） B、 C、弓严t（n） D、上卑四?七5 — 1） 【答棄】B w..V 高等数学公式篇·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) 2018年考研数学（三）考试大纲 2018年数学三考试大纲 考试科目：线性代数、概率论与数理统计、离散数学 高等数学 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系． 6．掌握极限的性质及四则运算法则． 7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限． 9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数 2018年考研数学模拟试题（数学三） 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） (1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则 2 0)(lim x x x y x -→ （ ） （A ）等于0. （B ）等于1. （C ）等于2. （D ）不存在. （2）设在全平面上有0),(??y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ） （A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >. （D ）21x x <，21y y >. （3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0 全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式篇· 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·si nβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·si nβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tan β·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tan γ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1 -2sin^2(α) ( 全国统一服务热线：400—668—2155 Born to win 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若2 1 2 lim() 1x x x e ax bx →++=,则（ ） ()A 1 ,12 a b ==- ()B 1,12a b =-=- ()C 1,12a b == ()D 1 ,12 a b =-= 【答案】B （2）下列函数中,在0x =处不可导是（ ） ( )( )()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x C f x x D f x == == 【答案】D （3）设函数10()10x f x x -时, 1()02f < （D ）当()0f x '>时, 1 (02 f < 【答案】D （5）设22 22(1)1x M dx x π π-+=+?,22 2 21x x N dx e ππ-+=? ,22 (1K dx π π- =?,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >> 【答案】C 2018年考研数学三真题及答案 一、 选择题 1.下列函数中,在 0x =处不可导的是() ().sin A f x x x = ( ).B f x x =().?C f x cos x = ( ).D f x = 答案:() D 解析:方法一: ()()() 00sin 0lim lim lim sin 0,x x x x x x f x f x x x x A →→→-===可导 ()()( )0000lim lim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导 ()()() 2 0001cos 102lim lim lim 0,x x x x x f x f x x C x →→→- --===可导 ()()( ) 0001 02lim lim x x x x f f x x D x →→→- -==不存在,不可导 应选()D . 方法二: 因为()(1)0f f x == ()( )0001 02lim lim x x x x f x f x x →→→- -==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D 对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()( )3 2 :~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且()1 00,f x dx =?则 ()()1'0,02A f x f ?? << ??? 当时 ()()1''0,02B f x f ?? << ???当时 ()()1'0,02C f x f ?? >< ??? 当时 ()()1''0,02D f x f ?? >< ??? 当时 答案()D 【解析】 将函数 ()f x 在 1 2 处展开可得 ()()()()()2 2 2 1 1 10 00''1111', 22222''1111111''', 22222222f f x f f x x f f x dx f f x x dx f f x dx ξξξ????? ???=+-+- ? ??? ?????? ???? ?????? ?????? ?=+-+-=+-?? ? ??? ? ? ?????? ?????????? ? ? ??故当''()0f x >时,()1 011.0.22f x dx f f ?? ??>< ? ??? ???从而有 选()D 。 3.设( ) (2 2 2 222 22 11,,11x x x M dx N dx K dx x e π π π π ππ---++===++???,则 A .? .M N K >> B ..M K N >> C..K M N >> D..K N M >> 高等数学公式篇 ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 ·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·倍角公式：si n(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三角函数的有理式积分： 22 2212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： 和差角公式： ·和差化积公式： ·正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222 -+= 反三角函数性质： arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () ()()2()1()(0)()() (!)1()1(!2)1() (n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+ '+==---=-∑ a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arc c os 11 )(arc sin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβ αβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+= -+±=++=+-==+= -= ----11ln 21) 1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1 1(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）下列函数中,在0x =处不可导是（ ） ( )( )()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x C f x x D f x == == 【答案】D (2)过点(1,0,0)与(0,1,0)且与22z x y =+相切的平面方程为 （A ）01z x y z =+-=与（B ）022z x y z =+-=与2（C ）1y x x y z =+-=与 （D ） 22y x x y z =+-=与2 【答案】B （3） 23 (1) (21)! n n n n ∞ =+-=+∑ （A ）sin1cos1+（B ）2sin1cos1+（C ）2sin12cos1+ （D ）3sin12cos1+ 【答案】B （4）设2 222(1)1x M dx x π π-+=+?,221x x N dx e ππ-+=? ,22 (1K dx ππ- =+?,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >> 【答案】C 【解析】 （5）下列矩阵中,与矩阵110011001?? ? ? ??? 相似的为 111()011001A -?? ? ? ???101()011001B -?? ? ? ???111()010001C -?? ? ? ???101()010001D -?? ? ? ??? 【答案】A (sin (tan (cot x ) x ) x ) cos x sec 2 x (ln x ) x (arcsin x ) 1 (sec x ) (csc x ) ( a x ) csc sec x 2 x tan x 1 (arccos x ) x 1 2 1 x 2 a x a x ) csc x ln a 1 x ln a cot x (arctan x ) 1 1 x 2 1 (log ( arc cot x ) 1 x 2 kdx kx C x a dx 1 1 dx x ln x C e x d x a e x 1 x a 1 C, (a 1) C a x dx a x ln a C ( a 0, a 1) sin xdx cosx C cosxdx sin x C 1 tanxdx ln cosx C 1 x 2 dx dx arctanx C sec2 xdx tan x C cot xdx ln sin x C secxdx ln secx tan x C cos2 x dx sin 2 x csc2 xdx cot x C cscxdx dx ln cscx cot x C secx tanxdx secx C cscx cot xdx cscx C a 2 x 2 1 arctan a dx x a a a x x C a x dx x 2 a 2 1 ln x 2a x 1 ln a C shxdx a x ln a chx C C dx a2 x 2 dx 2a a C a2 x 2 arcsin x a C chxdx dx x 2 shx C a 2 ln(x 2 x 2 a ) C 导数公式： 基本积分表： 高等数学公式篇 ( C ) 0 (cos x ) ( e x ) e x sin x ( X a ) aX a 1 1 2018考研数学三真题及答案 一、 选择题 1.下列函数中,在 0x =处不可导的是() ().sin A f x x x = ( ).B f x x =().?C f x cos x = ( ).D f x = 答案:() D 解析:方法一: ()()()0 00sin 0lim lim lim sin 0,x x x x x x f x f x x x x A →→→-===可导 ()()( )0 000lim lim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导 ()()()2 0001cos 102lim lim lim 0,x x x x x f x f x x C x →→→- --===可导 ()()( ) 0001 02lim lim x x x x f f x x D x →→→- -==不存在,不可导 应选()D . 方法二: 因为()(1)0f f x == ()( )0001 02lim lim x x x x f x f x x →→→- -==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D 对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()( )3 2 :~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且 ()1 0,f x dx =?则 ()()1'0,02A f x f ?? << ??? 当时 ()()1''0,02B f x f ?? << ???当时 ()()1'0,02C f x f ?? >< ??? 当时 ()()1''0,02D f x f ?? >< ??? 当时 答案() D 【解析】 将函数()f x 在1 2 处展开可得 ()()()()()2 2 2 1 1 10 00''1111', 22222''1111111''', 22222222f f x f f x x f f x dx f f x x dx f f x dx ξξξ????? ???=+-+- ? ??? ?????? ???? ?????? ?????? ?=+-+-=+-?? ? ??? ? ? ?????? ?????????? ? ? ??故当''()0f x >时, ()1 11.0.22f x dx f f ?? ??>< ? ??? ??? 从而有 选 ()D 。 3.设( ) (2 22 222 22 11,,11x x x M dx N dx K dx x e π π π π ππ- --++= ==++???,则 A .? .M N K >> B ..M K N >> C..K M N >> D..K N M >> 答案:() C 解析:() 2 222222 22 1211,11x x M dx dx dx x x π π π π ππ- --+?? = =+= ?++????? 22 1x x N dx e π π -+=?,因为1x e x >+所以11x x e +< ( 22 1,1 1. K dx π π- =+>? 即111x x e +<< 所以由定积分的比较性质 K M N >>,应选()C . 4.设某产品的成本函数()C Q 可导,其中Q 为产量,若产量为0Q 时平均成本最小,则() A ()0'0C Q = B ()()00' C Q C Q = C .()()000'C Q Q C Q = D .()() 000'Q C Q C Q = 答案 D2018考研数学一
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