江苏省盐城中学2014-2015学年高二上学期12月月考试题_数学(文)

高二年级阶段性检测 数学(文科)试题

命题人:盛冬山 周广黎 审题人:姚动 蔡广军

一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分) 1.已知i z 21-=,则z 的虚部是 . 2.已知)1(,1

1

->++=

x x x y ,则y 的最小值是 3.已知)2)(1(i i z +-=,则=z

4.已知双曲线C :)0,(122

22>=-b a b

y a x 的焦距是10,点P (3,4)在C 的渐近线上,则双曲线C 的标准方

程是

5.在直角坐标系中,不等式组??

?

??≤≥+-≥+a x y x y x 040

表示平面区域面积是4,则常数a 的值_______.

6.函数)1()(-=x e x f x

的图象在点()()1,1f 处的切线方程是 .

7.已知C z ∈,12=-i z ,则1-z 的最大值是 8.数列}{n a 的前n 项和为n S *)(N n ∈,且,2

1

1=

a n n a n S 2=,利用归纳推理,猜想}{n a 的通项公式为 9.已知x a x x x f ln 2

1

2)(2++-=在),2[+∞上是增函数,则a 的取值范围是 . 10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,则4S ,84S S -,128S S -成等差数列; 类比以上结论有:设等比数列{}n b 的前n 项积.

为n T ,则4T , ,8

12

T T 成等比数列.11.函数mx x x x f ++=23

3

)(在)0,2(-∈x 上有极值,则m 的取值范围是 12.

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4

3:22

2b y x O =+,若C 上存在点P ,使得过点P 引圆O 的

两条切线,切点分别为,A B ,满足60APB ∠=?,则椭圆C 的离心率取值范围是

13.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点21F F 、在

x 轴上,

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21,A A 为左右顶点,焦距为2,左准线l 与x 轴的交点

M

2MA ∶11||A F = 6∶1.若点P 在直线l 上运动,且离心率2

1

<

e ,则12tan F PF ∠的最大值为 .

14.已知函数

234

2015()12342015x x x x f x x =+-+-+

+,2015

4321)(2015432x x x x x x g --+-+-= 设)3()4()(+?-=x g x f x F ,且函数()F x 的零点均在区间[],a b (a b <,a ,∈b Z )内,圆

22x y b a +=-的面积的最小值是_______.

二、解答题(本大题共6小题,计90分.)

15. (本题满分14分)已知cx bx ax x f ++=23)(在区间[0,1]上是减函数,在区间),1(),0,(+∞-∞上是增函数,又.2

3)21(-='f (Ⅰ)求)(x f 的解析式;

(Ⅱ)若m x f ≤)(在区间∈x ]2,0[恒成立,求m 的取值范围.

16. (本题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中,已知点A(0,1),B 点在直线1-=y 上,M 点满足

OA MB //,BA MB AB MA ?=?,设),(y x M

(1)求y x ,满足的关系式)(x f y =;

(2)斜率为1的直线l 过原点O ,)(x f y =的图像为曲线C ,求l 被曲线C 截得的弦长.

17. (本题满分14分)给定正数,a b ,且a b <,设1n a nb

A n

+=+,*n N ∈. (1)比较123,,A A A 的大小;

(2)由(1)猜想数列{}n A 的单调性,并给出证明.

18. (本题满分16分)在淘宝网上,某店铺专卖盐城某种特产.由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销售量y (单位:千克)与销售价格x (单位:元/千克,51≤

1

)3(2-+

-=x b

x a y ,为常数)(b a ,;当53≤

(2)若该特产的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x 的值,使店铺每日销售该特产所获利润)(x f 最大(x 精确到0.1元/千克).

19. (本题满分16分)如图,已知椭圆:C )0(122

22>>=+b a b

x a y 的离心率为21,以椭圆C 的上顶点Q

为圆心作圆)0()2(:222>=-+r r y x Q ,设圆Q 与椭圆C 交于点M 与点N 。 (1)求椭圆C 的标准方程;

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(2)求?的最小值,并求此时圆Q 的方程; (3)设点P 是椭圆C 上异于,M N 的任意一点,

且直线,MP NP 分别与y 轴交于点,R S ,O 为坐标原点,

求证:

OS OR ?为定值。

20. (本题满分16分)设函数x ae x x f +=

4

112

1)((其中a 是非零常数,e 是自然对数的底),记1()()n n f x f x -'=(2≥n ,*N n ∈)

(1)求使满足对任意实数x ,都有)()(1x f x f n n -=的最小整数n 的值(2≥n ,*

N n ∈);

(2)设函数)()()()(54x f x f x f x g n n +?++=,若对5≥?n ,

*

N n ∈,)(x g y n =都存在极值点n t x =

求证:点))(,(n n n n t g t A (5≥n ,*

N n ∈)在一定直线上,并求出该直线方程;

(注:若函数)(x f y =在0x x =处取得极值,则称0x 为函数)(x f y =的极值点.)

(3)是否存在正整数()4k k ≥和实数0x ,使0)()(010==-x f x f k k 且对于*

N n ∈?,)(x f n 至多有一个

极值点,若存在,求出所有满足条件的k 和0x ,若不存在,说明理由.

高二数学12月随堂测试答案

1.-2

2.1

3.10

4.

116

92

2=-y x 5.0 6. )1(-=x e y 7.15+ 8.)(,)

1(1

*N n n n a n ∈+=

9. ),2[+∞-

10.

4

8T T 11. 10<

[ 13. 解:3,1==a c ,

=20580228028012801810)tan(22=≤+

=+=+-

=-y y y

y

y y y βα

14. 解:单调递增)(x f ,0)1(,1)0(<-=f f ,0)(),0,1(00=-∈?x f x

单调递减)(x g ,0)2(,0)1(,1)0(<>=g g g ,0)(),2,1(00=∈?x g x

4,2=-=b a ,π6=S

15. 解:(Ⅰ)2()32f x ax bx c '=++,由已知(0)(1)0f f ''==,

即0320c a b c =??++=?,,解得032

c b a =???=-??,

2()33f x ax ax '∴=-,2

3

43)21('-=+=

b a f ,2=a ,2332)(x x x f -=. (2)4≥m

16. 【解】 (1)设M (x ,y ),由已知得B (x ,-1)且A (0, 1),

∴MA →=(-x , 1-y ),MB →=(0,-1-y ),AB →=(x ,-2), 由MA →·AB →=MB →·BA →,得(MA →+MB →)·AB →=0, ∴(-x ,-2y )·(x ,-2)=0, 所以曲线C 的方程为y =14x 2

(2) 24=EF

17.【解】 (1)当n =1时,方程x 2

-a 1x -a 1=0有一根为S 1-1=a 1-1,

∴(a 1-1)2-a 1(a 1-1)-a 1=0,解得1S =a 1=1

2, 当n =2时,方程x 2-a 2x -a 2=0有一根为S 2-1,

又S 2-1=a 1+a 2-1=a 2-1

2,

∴(a 2-12)2-a 2(a 2-12)-a 2=0,解得a 2=16.3

2

2=S

(2)由题意知(S n -1)2-a n (S n -1)-a n =0, 当n ≥2时,a n =S n -S n -1,代入上式整理得

S n S n -1-2S n +1=0,解得S n =1

2-S n -1

.

由(1)得S 1=a 1=12,S 2=a 1+a 2=12+16=2

3.

猜想S n =n

n +1

(n ∈N *).

下面用数学归纳法证明这个结论. ①当n =1时,结论成立.

②假设n =k (k ∈N *,k ≥1)时结论成立,即S k =k k +1

. 当n =k +1时,S k +1=1

2-S k

1

2-k k +1=k +1k +2. 即当n =k +1时结论成立.

由①②知S n =n

n +1对任意的正整数n 都成立.

18. 解:(1)由题意:x=2时y=600,∴a+b=600,

又∵x=3时y=150,∴b=300

∴y 关于x 的函数解析式为:?????≤<+-≤<-+

-=53,4907031,1300)3(3002

x x x x x y

(2)由题意:???≤<-+-≤<+--=-=53),1)(49070(3

1,300)1()3(300)1()(2x x x x x x x y x f ,

当31≤

∴35=

x 时有最大值9

5900。 当53≤

∴4=x 时有最大值630

∵630<95900

∴当35=x 时)(x f 有最大值9

5900

即当销售价格为1.7元的值,使店铺所获利润最大。

19. 解:(1)13

42

2=+x y (2)),(11y x M ,),(11y x N -,)2,0(Q ,)2,(),2,(1111--=-=y x y x

7

9

)78(471447)2(21121212

1--=+-=-+-=?∴y y y y x QM 781=

∴y 时,最小值是79-,7

1131±=x ,49135493649992

=+=r

∴49

135

)2(:22=

-+y x Q (3)),(00y x P ,)(:01

01

00x x x x y y y y MP ---=

-

令,0=x 101010x x y x x y y --=

, ),0(101010x x y x x y R --,同理,),0(1

01

010x x y x x y S +--,

2

1

202

2

12

120x x y x y x OS OR --=

?∴,又1342020=+x y ,13

42

121=+x

y

2

1

202

212

12

0x x y x y x OS OR --=

?∴=4

20.解:(1)411()12

x f x x ae =+,321

()3x f x x ae =+,23()x f x x ae =+,24()2x f x x ae =+,

5()2x f x ae =+,6()x f x ae =,'()(6)x n f x ae n =≥,min 7n ∴=.

(2)()(2)(2)x x x x n g x x ae ae ae ae =+++++???+(22)(3)x x n ae =++-? ①

'()2(3)x n g x n ae =+-存在极值点n x t =?'

()2(3)0n t n n g t n ae =+-= ② '()22(3)2n t n n n n g t t n ae t ?=++-=

n A ?在直线2y x =上.

(3)()0(6)x n f x ae n ==≥无解,5k ?≤

①当5k =时,00

4500202()()0120

x x ae f x f x x a e x ae ?+===??=?=-?+=? 而当2

a e

=-

时,165()0()222x x x f x ae f x ae e -=

3()f x ?单调减,而211

33322()2,(1)10,(0)20x f x x e f f e e

--=--=-

>=-< ()3(1,0),0t f t ?∈-=在(,)t -∞上32()0()f t f x

()23

t f t t e -=-,又

213223211

()20,()(1)033

t f t t e f t t t t t -=-=∴=-=-<

1()f t ∴在R 上单调递减

综上所述,∴存在5k =,2

a e

=-

满足条件. ②当4k =时,002

400300()2()0x x f x x ae f x x ae =+==+=,即00x =或2

当00x =时4(0)0f a ==(舍) 当02x =时2

424(2)40f ae a e =+=?=-

2

624()40x x f x e e e

-?=-=-< 25()24x f x e -?=-单调减,且5()0f x =时,2ln 2x =-

4()f x ?在(,2ln 2)-∞-上增,(2ln 2,)-+∞上减,而4(2)0f =

2ln 2m ??<-使得在(,)m -∞上,4()0f x <,在(,2)m 上4()0f x >,

在(2,)+∞上,4()0f x <

3()f x ?在(,)m -∞上减,在(,2)m 上增,在(2,)+∞上减(舍)

∴4k ≠综上①②所述:存在5k =,10=x 满足条件.

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