晶体弹性常数矩阵的推导

计算材料课程设计--计算BN的弹性常数

课程设计任务书 2011—2012 学年第1 学期 课程名称：计算材料学 一、设计题目：计算BN的弹性常数 二、完成期限：自2011 年12 月 4 日至2011 年12 月12 日共 2 周 内容及任务1.DFT基本理论，CASTEP使用方法 2.晶体模型的建立与几何优化，相关性质的计算。 3.计算BN的弹性常数 4.结果分析 5. 报告写作与修改 进度安排 起止日期工作内容 11-12-4-6 熟悉DTT理论，软件安装，认识界面，熟悉基本操作11-12-7 晶体模型建立，进行结构优化，计算物理性质 11-12-8 物理性质，力学性质的计算 11-12-9 计算BN的弹性常数 11-12-10-12 写出课程设计的总结实验报告.，修改成文 主要参考资料[1] Kohn W, Sham L J, Self-consistent equations including exchange and correlation effects [J]. Physical review, 1965, 140(4):A1133-A1338. [2] Hohenberg P, Kohn W. Inhomogeneous electron gas [J]. Physical review, 1964,136(3):B864- B871. [3] 谢希德, 陆栋.固体能带理论[M].上海：复旦大学出版，1998. [4] Perdew J P, Chevary J A, Vosko S H. Atoms, molecules, solids, and surfaces: Applications of the generalized gradient approximation for exchange and correlation[J]. Physical review B, 1992, 46(11): 6671-6687. 指导教师（签字）：年月日 系（教研室）主任（签字）：年月日 1

计算材料计算BN的弹性常数

湖南工业大学 课程设计 资料袋 理学院（系、部）2011 ~ 2012 学年第一学期课程名称计算材料学指导教师雷军辉职称讲师 学生姓名余晓燕专业班级应用物理081班学号08411200135 题目计算BN的弹性常数 成绩起止日期2011年12月4日～2011年12 月12 日 目录清单 序号材料名称资料数量备注 1 课程设计任务书 2 课程设计说明书 3 课程设计图张 4 5 6 湖南工业大学 1

课程设计任务书 2011—2012 学年第1 学期 理学院学院（系、部）应用物理学专业081 班级 课程名称：计算材料学 一、设计题目：计算BN的弹性常数 二、完成期限：自2011 年12 月 4 日至2011 年12 月12 日共 2 周 内容及任务1.DFT基本理论，CASTEP使用方法 2.晶体模型的建立与几何优化，相关性质的计算。 3.计算BN的弹性常数 4.结果分析 5. 报告写作与修改 进度安排 起止日期工作内容 11-12-4-6 熟悉DTT理论，软件安装，认识界面，熟悉基本操作11-12-7 晶体模型建立，进行结构优化，计算物理性质 11-12-8 物理性质，力学性质的计算 11-12-9 计算BN的弹性常数 11-12-10-12 写出课程设计的总结实验报告.，修改成文 主要参考资料[1] Kohn W, Sham L J, Self-consistent equations including exchange and correlation effects [J]. Physical review, 1965, 140(4):A1133-A1338. [2] Hohenberg P, Kohn W. Inhomogeneous electron gas [J]. Physical review, 1964,136(3):B864- B871. [3] 谢希德, 陆栋.固体能带理论[M].上海：复旦大学出版，1998. [4] Perdew J P, Chevary J A, Vosko S H. Atoms, molecules, solids, and surfaces: Applications of the generalized gradient approximation for exchange and correlation[J]. Physical review B, 1992, 46(11): 6671-6687. 指导教师（签字）：年月日系（教研室）主任（签字）：年月日 2

材料弹性常数的测定

(一)、材料弹性常数的测定 对于均匀的各向同性的材料而言，弹性模量E和泊松比μ完全就可以确定 材料的弹性性质。它们均由试验决定。对于这两个参数，可以使用电测法和机 械式量测两种方法。 1、电测法测定相似材料的E和μ 所谓电测就是在试件上贴一定数量的应变片，用静态电阻应变仪得到的数 据来计算试块的横向和纵向变形，再结合压力机上的压力值推导出相似材料的 E和μ。 试件一般为高100mm、直径50mm的圆柱体，也可用50mm X 50mmX 100mm 的棱柱体，我们试验中所用的是圆柱体。 为了防止荷载偏心对量测结果的影响，应变片应对称纵向贴在试件的两 侧，H/2处((H为试件高度)，然后取其平均值进行计算。进行单轴压缩实验 时，最大荷载不超过破坏荷载的1/3一1/2，但通常还是要作到破坏。分8一10 级加载，用静态电阻应变仪量测每级荷载下相应的应变值，最后将记录的△σ 和△ε标在坐标纸上，绘出。σ一ε曲线，这样就很容易求出材料的弹性模量E 了。 泊松比μ可以和弹性模量E同时测试，只是贴片的方向与荷载方向垂直。量测刀时应注意两点: (1)尽量将测μ的横向片和测E的纵向片分别贴在试块的不同部位(但必须 贴在试块的H/2处)，以避免应变片横向效应的影响。 (2)由于横向变形较小，μ值不易测准，需特别注意。 根据我们用电测法对试块进行多次试验，效果不很理想。主要表现在我们 的试件是圆柱体，在圆柱体的曲面贴应变片，应变片与曲面的粘结效果不很理 想，使实验的结果误差很大，可能用棱柱体试验效果会好一些。 2、用机械式量测法测弹性模量E 对于低弹性模量的材料，由于刚化效应的影响，不宜用电阻应变仪进行量 测。这时可用百分表、千分表或位移传感器量(与应变规相连，应变规夹在试 件上)测试件的轴向压缩量△H，然后利用下式: 来计算材料的E值。由于这种量测法可能将垫块和试件的非密切接触产生 的空隙包括在内，所以测得的变形量可能偏大，而使E值偏小。因此，要特别 注意试件端部的平整性。 在实际科研中，为了节省经费和节约时间，在选择相似材料的初期阶段，

第二章 晶体的结合

第二章 晶体的结合 1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。 解：（1）离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与7r 成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O ，F ，N 等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol 。 2.有人说“晶体的内能就是晶体的结合能”，对吗？ 解：这句话不对，晶体的结合能是指当晶体处于稳定状态时的总能量（动能和势能）与组成这晶体的N 个原子在自由时的总能量之差，即0E E E N b -=。（其中b E 为结合能，N E 为组成这晶体的N 个原子在自由时的总能量，0E 为晶体的总能量）。而晶体的内能是指晶体处于某一状态时（不一定是稳定平衡状态）的，其所有组成粒子的动能和势能的总和。 3.当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？ 解：当2个原子由相距很远而逐渐接近时，2个原子间引力和斥力都开始增大，但首先引力大于斥力，总的作用为引力，0)(r f ，而相互作用势能)(r u 也开始急剧增大。 4.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？ 解：由于金属晶体中的价电子不像离子晶体、共价晶体那样定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”，因而金属晶体的延展性、导电性和导热性都较好。 5.有一晶体，在平衡时的体积为0V ，原子之间总的相互作用能为0U ，如果原子间相互作用能由下式给出： n m r r r u β α + - =)(， 试证明弹性模量可由[])9/(00V mn U 给出。 解：根据弹性模量的定义可知 022V V dV U d V dV dP V K ???? ??=??? ??-= …………………（1） 上式中利用了dV dU P - =的关系式。

几个基本常数弹性模量-泊松比-应力应变曲线

全应力-应变曲线 测量岩石的应力应变曲线一般可以有两中试验机：一种是，柔性试验机，使用这种试验机测量时，容易发发生“岩爆”现象，导致试验中不能得到峰值以后的应力应变信息。另种是，刚性试验机，这种试验机刚度比较高，有“让压”的特点，就不会有“岩爆”现象发生，可以得到全应力-应变曲线用以研究岩石破裂的性质。 刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的物理意义，一句话概括说来就是各个节点在广义力的作用下节点的位移变化量。 强度是零件的抗应力程度，反映的是什么时候断裂，破损等 刚度反映的是变形大小，就是零件受力后的变形。 刚度矩阵和柔度矩阵的物理意义: 一般将刚度矩阵记为[D]，柔度矩阵为[C]，二者互为逆矩阵。 [C]矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。 [D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。 对于各向异性材料，[D]和[C]都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然而它给数学模型带来复杂性，也增加了有限元计算的困难。从工程实用的角度来考虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。 物理概念：杨氏模量和泊松比 在弹性范围内大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E，也叫杨氏模量。而横向应变与纵向应变之比值称为泊松比μ，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。 杨氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量。1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas

新超弹性有机晶体

某些有机晶体也具有超弹性 众所周知，橡胶是有弹性的。日本横滨市立大学的研究人员首次在有机晶体中发现了另一种完全不同形式的超弹性，其源于晶体结构内部的分子变化，此前这种现象只在合金和某些无机材料中被发现。这类超弹性有机晶体在建筑和医学领域当中具有潜在应用价值。该研究结果刊登在最新一期的德国《应用化学》杂志上。 超弹性，也被称为“伪弹性”，是特殊材料经受极度的变形，当压力被释放后，可以恢复到原来形状的能力。其使一些合金被拉长至普通弹簧钢的十倍以上而没有发生永久变形。该机制与涉及到橡胶状物质的正常弹性不同。在橡胶中，聚合物链通过张力被拉伸，而在超弹性材料中，机械应力触发晶体结构，没有单个原子位置的变化；当应力去除，材料恢复到原来的结构。 该大学研究人员首次发现一种叫做terepthalamide的有机水晶就具有超弹性。这种晶体只需施加很小的应力下就能表现出出人意料的超弹性行为。 最初在这种晶体的一个特定表面上作用剪切应力导致其弯曲，然后再过渡到不同的结晶相。所施加的压力越大，整个晶体遍布的这种状态越多。当张力被释放后，又可恢复到其原始结构。研究人员重复这种超弹性变形100次，该材料没有出现疲损迹象。 据物理学家组织网5月8日（北京时间）报道，该晶体由单个有倾斜的分子构成，如同“AAAAA这样层层排列”。当作用剪切应力时，引起分子层内的角度发生变化，形成了塞满密集的“A''''BA''''BA''''B层的排列”。原各层本是由氢网合在一起，在压力下破裂，在相变过程中重新排列。 有机超弹性材料可用作建筑上的有趣的候选材料，在应用中具有类似“自我修复”汽车零部件的“形状记忆”。还可应用于包括由单组件和抑制振动的关节。在医学移植领域，这类材料制成的植入物可以很容易经受变形并返回到之前理想的形状和尺寸。

几个基本常数弹性模量-泊松比-应力应变曲线

几个基本常数弹性模量-泊松比-应力应变曲线

全应力-应变曲线 测量岩石的应力应变曲线一般可以有两中试验机：一种是，柔性试验机，使用这种试验机测量时，容易发发生“岩爆”现象，导致试验中不能得到峰值以后的应力应变信息。另种是，刚性试验机，这种试验机刚度比较高，有“让压”的特点，就不会有“岩爆”现象发生，可以得到全应力-应变曲线用以研究岩石破裂的性质。 刚度矩阵的物理意义： 单元刚度矩阵的物理意义，一句话概括说来就是各个节点在广义力的作用下节点的位移变化量。 强度是零件的抗应力程度，反映的是什么时候断裂，破损等 刚度反映的是变形大小，就是零件受力后的变形。 刚度矩阵和柔度矩阵的物理意义: 一般将刚度矩阵记为[D]，柔度矩阵为[C]，二者互为逆矩阵。 [C]矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。 [D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。 对于各向异性材料，[D]和[C]都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然而它给数学模型带来复杂性，也增加了有限元计算的困难。从工程实用的角度来考虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。 物理概念：杨氏模量和泊松比 在弹性范围内大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E，也叫杨氏模量。而横向应变与

纵向应变之比值称为泊松比μ，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。 杨氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量。1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名。根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。杨氏模量的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不容易发生形变。 FL/EA=△L，其中F是力，L是长度，E是弹性模量，A是截面积，△L 是长度变化量，也就是形变。弹性模量可视为衡量材料产生弹性变形难易程度的指标，其值越大，使材料发生一定弹性变形的应力也越大，即材料刚度越大，亦即在一定应力作用下，发生弹性变形越小。弹性模量E是指材料在外力作用下产生单位弹性变形所需要的应力。它是反映材料抵抗弹性变形能力的指标，相当于普通弹簧中的刚度。力学里没有弹性系数这个物理量。 杨氏弹性模量是选定机械零件材料的依据之一是工程技术设计中常用的参数。杨氏模量的测定对研究金属材料、光纤材料、半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各种材料的力学性质有着重要意义，还可用于机械零部件设计、生物力学、地质等领域。 测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗法等，还出现了利用光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感器和波动传递技术（微波或超声波）等实验技术和方法测量杨氏模量。 胡克定律和杨氏弹性模量 固体在外力作用下将发生形变，如果外力撤去后相应的形变消失，这种形变称为弹性形变。如果外力后仍有残余形变，这种形变称为范性形变。 应力（σ）单位面积上所受到的力（F/S）。 应变（ε ）：是指在外力作用下的相对形变（相对伸长DL/L）它反映了物体形变的大小。 胡克定律：在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，其比例系数称为杨氏模量（记为Y）。用公式表达为： Y=（F·L）/（S·△L） Y在数值上等于产生单位应变时的应力。它的单位是与胁力的单位相同。杨氏弹性模量是材料的属性，与外力及物体的形状无关。 杨氏模数(Young's modulus )是材料力学中的名词，弹性材料承受正向应力时会产生正向应变，定义为正向应力与正向应变的比值。公式记为 E = σ / ε 其中，E 表示杨氏模数，σ 表示正向应力，ε 表示正向应变。 杨氏模量大，说明压缩或拉伸该材料，材料的形变小。 一般的如楼上所说但是有些是各向异性的及各个方向的弹性模量不同用矩阵表示 弹性模量 英文名称：Elastic Modulus，又称Young 's Modulus（杨氏模量） 定义：材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克

常用材料弹性常数测量实验

常用材料弹性常数测量实验 系别 精仪系 班号 制33 姓名 李加华 同组姓名 申文 做实验日期 2005年04月10日 学号 2003010541 教师评定____________ 1、 实验目的 （1）测定常用材料的弹性模量和泊松比 （2）学会使用最小二乘法处理实验数据 （3）进一步掌握电测法的原理和电阻应变仪的操作 （4）认识单向拉伸时不同方向应变的关系 （5）认识各向同性材料和各向异性材料的区别 2、 实验设备和试件 电子万能实验机CSS2210、YE2539高速应变仪、贴有应变片的铝合金试件、温度补偿片。 3、 实验原理 （1）单向拉伸时大多数材料在初始弹性阶段应力应变关系服从胡克定律： E σε= 其中σ是应力，ε是应变，E 是材料的弹性模量，代表材料抵抗弹性变形的能力，是材料力学计算及实际使用中的重要参量。在本实验中，通过实验机测得的σε-曲线斜率来确定材料（铝合金）的弹性模量：由电子万能实验机测得载荷而得出应力σ、由应变仪测得应变ε。 （2）材料轴向拉伸时必然引起横向收缩。在弹性范围内，设横向应变为'ε，轴向应变为ε |'/|μεε= 通常为一常数。定义这个比值为泊松比，是弹性材料的又一重要参数。 （3）工程上常用的金属材料是各向同性材料，各个方向的弹性模量和泊松比是相同的。由纤维增强的复合材料不同方向上的拉伸性能通常不一样，为正交各向异性材料。这种材料需要两个方向——平行和垂直于纤维方向（分别称为纵向和横向）的弹性模量E 1（‘1’表示纵向）、E 2（‘2’表示横向）和泊松比μ21、μ12来描述。 4、 测定方法 本实验是通过拉伸实验测定材料的弹性模量和泊松比。在被测材料的比例极限内，施加轴向拉伸载荷，定点测量和记录轴向应变和横向应变。利用最小二乘法拟合曲线，求出曲线斜率，进而测定出材料的弹性模量和泊松比。 我们组选用的是铝合金试样。布片方案是在试件中部正反两面分别设置0o 、 45o 、 90o 应变片，可测量ε0、ε45、ε90三个方向的应变。 铝合金试样的最大许可应力是[σ]=100MPa ，试样的横截面积约为A=150mm 2 ，因此所加载荷不应超过F=[σ]*A=15kN 。本组实验采用计算机自动采样方式，最大载荷不超过7.5kN 。 （1） 在安装试件前，将载荷清零； （2） 安装试件，夹持长度不小于夹块长度的2/3； （3） 调整加载速度为1mm/min ； （4） 开始加载，计算机自动记录载荷和应变数据，直到载荷达7kN 左右，停止加载；