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奥数数论基础知识

一质数与合数

(1)一个数除了1与它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。

一个数除了1与它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。

(2)自然数除0与1外,按约数的个数分为质数与合数两类。

任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

要特别记住:0与1不就是质数,也不就是合数。

(3)最小的质数就是2 ,2就是唯一的偶质数,其她质数都为奇数;

最小的合数就是4。

(4)质数就是一个数,就是含有两个约数的自然数。

互质数就是指两个数,就是公约数只有一的两个数,组成互质数的两个数可能就是两个质数(３与５),可能就是一个质数与一个合数(３与４),可能就是两个合数(４与９)或1与另一个自然数。

(５)如果一个质数就是某个数的约数,那么就说这个质数就是这个数的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。

(６)１００以内的质数有２５个:２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、

２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７.

二整除性

(１)概念

一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好就是整数而没有余数(或者说余数就是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b｜a、否则,称为a不能被b 整除,(或b不能整除a),记作b a。

如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。

(２)性质

性质1:(整除的加减性)如果a、b都能被c整除,那么它们的与与差也能被c整除。

即:如果c｜a,c｜b,那么c｜(a±b)。

例如:如果2｜10,2｜6,那么2｜(10＋6),并且2｜(10—6)。

也就就是说,被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。

性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c 都能整除a、

即:如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。

性质3:(整除的互质可积性)如果b、c都能整除a,且b与c互质,那么b与c的积能整除a。

即:如果b｜a,c｜a,且(b,c)=1,那么bc｜a。

例如:如果2｜28,7｜28,且(2,7)=1,

那么(2×7)｜28。

性质4:(整除的传递性)如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。

即:如果c｜b,b｜a,那么c｜a。

例如:如果3｜9,9｜27,那么3｜27。(３)数的整除特征

①能被2整除的数的特征:个位数字就是0、2、4、6、8的整数、

②能被5整除的数的特征:个位就是0

或5。突破口

③能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之与能被3(或9)整除。

判断能被3(或9)整除的数还可以用“弃３(或９)法”:

例如:８３５１７４６能被９整除么？

解:８＋１＝９,３＋６＝９,５＋４＝９,在数字中只剩７,７不就是９的倍数,所以８３５１７４６不能被９整除。

④能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。

⑤能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能被8(或125)整除。

⑥能被11整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之与与偶数位上的数字之与的差(大减小)就是11的倍数。

⑦能被7(11或13)整除的数的特征:一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11或13)整除,依此反复检验。

例如:判断3546725能否被13整除？

解:把3546725分为3546与725两个数、

因为3546-725=2821、再把2821分为2与821两个数,因为821—2＝819,又13｜819,所以13｜2821,进而13｜3546725、

上述办法也可以用来判断余数与末位数;

对于其她的数,可以将其分解成上述几个互质的数的乘积,再逐个考虑。

三约数与倍数

(１)公约数与最大公约数

几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。

例如:４就是１２与１６的最大公约数,可记做:(１２,１６)＝４

(２)公倍数与最小公倍数

几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。

例如:36就是12与18的最小公倍数,记作[12,18]=36。

(３)最大公约数与最小公倍数的关系

如果用a与b表示两个自然数

１、那么这两个自然数的最大公约数与最小

公倍数关系就是:

(a,b)×[a,b]=a×b。

(多用于求最小公倍数)

２、(a,b)≤a,b≤[a,b]

３、[a,b]就是(a,b)的倍数,(a,b)就是[a,b]的约数

４、(a,b)就是a＋b与a－b的约数,也就是(a,b)＋[a,b]与(a,b)－[a,b]的约数

(４)求最大公约数的方法很多,主要推荐:短除法、分解质因数法、辗转相除法。

例如:１、(短除法)用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大就是多少？

解:∵

(30,60,75)=5×3=15

这个数最大就是15。

２、(分解质因数法)求１００１与３０８的最大公约数就是多少？

解:１００１＝７×１１×１３(这个质分解常用到),３０８＝７×１１×４所以最大公约数就是７×１１＝７７在这种方法中,先将数进行质分解,而后取它们“所有共有的质因数之积”便就是最大公

约数。

３、(辗转相除法)用辗转相除法求4811与1981的最大公约数。

解:∵4811=2×1981+849,

1981=2×849+283,

849=3×283,

∴(4811,1981)=283。

补充说明:如果要求三个或更多的数的最大公约数,可以先求其中任意两个数的最大公约数,再求这个公约数与另外一个数的最大公约数,这样求下去,直至求得最后结果。

(５)约数个数公式

一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。

例如:求240的约数的个数。

解:∵240＝24×31×51,

∴240的约数的个数就是

(4＋1)×(1+1)×(1＋1)=20,

∴240有20个约数。

四奇偶性

(1)奇数与偶数

整数可以分成奇数与偶数两大类、能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。

偶数通常可以用2k(k为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k为整数)表示。

特别注意,因为0能被2整除,所以0就是偶数。

最小的奇数就是１,最小的偶数就是０.

(2)奇数与偶数的运算性质

性质1:偶数±偶数=偶数,

奇数±奇数=偶数。

性质2:偶数±奇数=奇数。

性质3:偶数个奇数相加得偶数。

性质4:奇数个奇数相加得奇数。

性质5:偶数×奇数=偶数,

奇数×奇数=奇数。

偶数×偶数=偶数

(３)反证法

例:桌上有9只杯子,全部口朝上,每次将其中6只同时“翻转”、请说明:无论经过多少次这样的“翻转”,都不能使9只杯子全部

口朝下。

解:要使一只杯子口朝下,必须经过奇数次“翻转”、要使9只杯子口全朝下,必须经过9个奇数之与次“翻转”、即“翻转”的总次数为奇数、但就是,按规定每次翻转6只杯子,无论经过多少次“翻转”,翻转的总次数只能就是偶数次、因此无论经过多少次“翻转”,都不能使9只杯子全部口朝下。

这个证明过程教给我们一种思考问题与解决问题的方法、先假设某种说法正确,再利用假设说法与其她性质进行分析推理,最后得到一个不可能成立的结论,从而说明假设的说法不成立、这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。

小学奥数数论专题知识总结

数论基础知识小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。一、因数与倍数 1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数）一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

奥数讲义-数论--综合-第2讲stu

第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。反证法的过程可简述为以下三个步骤： 1.反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立； 2.归谬：山“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾一一与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3.结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。运用反证法的关键在于导致矛盾。在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。例1是否存衽三位数abc,使得&bc = ab +bc +ac? 例2将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。

六、配对法配对的形式是多样的，有数字的凑整配对，也有集合间元素与元素的配对(可用于il?数)。传说高斯8岁时求和(1+2+???+100)首创了配对。像高斯那样，善于使用配对技巧，常常能使一些表面上看来很麻烦，其至很棘手的问题迎刃而解。例7求1, 2, 3,…，9999998, 9999999这9999999个数中所有数码的和。例8某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”。例如号码0734,因0+7二3+4,所以这个号码的购物券是幸运券。试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。七.估计法估讣法是用不等式放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范圉，以获取有关量的本质特征，达到解题的LI的。在数论问题中，一个有限范围内的整数至多有有限个，过渡到整数, 就能够对可能的情况逐一检验，以确定问题的解。

小学五年级奥数高斯课本知识讲解

位值原理一、知识引领在十进制中，每个数都是由0~9这十个数字中的若干个组成的，而每个数字在数中都占一个数位，数的大小是由数字和数字所处的数位两方面共同决定的。比如一个数由1、2、3三个数字组成，我们并不能确定这个数是多少，因为1、2、3能组成很多数，例如213、321、123……但如果说1在百位，2在十位，3在个位这样去组成一个数，就能很清楚地知道这个数应该是123。从这个例子可以看出，一个数字在不同的数位上表示不同的大小：个位上的数字代表几个1；十位上的数字代表几个10；百位上的数字代表几个100； …… 那么可以利用这种办法将一个多位数拆开，例如123=1×100+2，这个结论被称为位值原理。有的时候，为了分析问题方便，我们并不能将多位数逐位展开，而是采用整体展开的办法，如23456=231000+45我们将在后面的例题中看到这些方法的具体应用。二、精讲精练例题1：一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数。练习一：一个两位数等于它的数字和的7倍，这个两位数可能是多少？例题2：在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这两个数。练习2：在一个两位数的两个数字之间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，求这个两位数。例题3：一个三位数，把它的个位和百位调换位置之后，得到一个新的三位数，这个新三位数和原三位数的差的个位数字是7。试求两个数的差。 . .

练习3：把一个三位数颠倒顺序后得到一个新数，这个数比原数大792，那么原来的三位数最大可以是多少？例题4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“2=5”中，“学习爱”所表示的三位数最小是多少？练习4：若用相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字，则在等式“2=5”中，“用微信交作业”所表示的六位数最小是多少？三、奥赛传真 1、（1）851= ×100+ ×10+ ×1；（2）55984= ×1000+ ×10+ ×1. 2、（1）= ×100+ ×10+ ×1; （2）= ×10000 ×100+ ×1. 3、在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得到的三位数是原数的7倍，这个两位数是 . 4、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。它比原来的两位数小54，那么原来的两位数最小是 . 5、将一个两位数的个位数字和十位数字交换位置，得到一个新的两位数。它与原来的两位数的和是187，那么原来两位数是 . 等积变形 . .

奥数讲义数论专题：6 进位制

华杯赛数论专题|：6 进位制我们平常熟悉的十进制：（2012）10＝2×103＋0×102＋1×101＋2 其他进制转化为十进制：（a…bcde）n＝a×n k-1＋……＋b×n3＋c×n2＋d×n＋e 例题：例1.A，B是两个自然数，如果A进位制数47和B进位制数74相等，那么A＋B的最小可能值是多少？【答案】24 【解答】由已知：4A＋7＝7B＋4，即4A＝7B－3，可见B除以4余1。又B进制中有7出现，说明B＞7，因此B的最小值是9，相应的计算出A＝15。所以A＋B最小值是9＋15＝24。例2.一个十进制的两位数A，它的十位数字为5，另一个R进制数为B，它的各位数字与A分别相等，而且B在十进制中恰好是A的3倍，那么数A和B在十进制中各是多少？【答案】50、150，或者55，165 【解答】设A在十进制中表示是（），由已知：5×R＋m＝3×（50＋m），即5×R＝150＋2×m，可见m是5的倍数，因此m＝0或5。相应的计算出R＝30或32。所以A和B分别是50、150，或者55，165。例3.一个自然数的六进制表示与九进制表示均为三位数，并且它们各位数字的排列顺序恰好相反，那么此自然数用十进制表示法写出是多少？【答案】212 【解答】设自然数在六进制中表示是（），则在九进制中表示是（）。则36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a，35a＝3b＋80c，通过对等式的观察，可以发现b是5的倍数。又由于b是在六进制中的数，所以，b是0或5。（1）若b＝0, 则上式变为35a＝80c，即7a＝16c，a需要是16的倍数，a又小于6。所以，a＝0。但是a在首位，a又不能等于0。所以，这样的数字不存在。（2）若b=5, 则上式变为7a＝3＋16c，a＝5，c＝2。所以，这个六进制数是（552）6化为十进制是5×62＋5×6＋2＝212。例4.如果某个自然数可以写成2的两个不同次幂（包括零次幂）的和，我们就称这样的数为“双子数”，比如9＝＋，36＝＋，它们都是双子数。现有一个双子数

小学奥数数论专题

名校真题测试卷10 （数论篇一） 1、（05年人大附中考题）有_____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2、（05年101中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是_____。 3 （05年首师附中考题） 1 21+ 202 2121 + 50513131313 21212121212121 =________。 4 （04年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 (02年人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 【附答案】 1 【解】：6 2 【解】：设原来数为ab，这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道5a=4b,所以a=4,b=5,所以原来的两位数为45。 3 【解】：周期性数字，每个数约分后为1 21 + 2 21 + 5 21 + 13 21 =1 4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。 5 【解】：八进制数是由除以8的余数得来的，不可能出现8，所以答案是D。第十讲小升初专项训练数论篇（一）一、小升初考试热点及命题方向数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。二、考点预测的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题

六年级奥数.数论.整除问题(ABC级).学生版

知识框架」、整除的定义：当两个整数a和b （b工0, a被b除的余数为零时（商为整数），则称a被b整除或b整除a,也把a 叫做b的倍数，b叫a的约数，记作b|a，如果a被b除所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a,记作b a. 二、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除； 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、 11或13整除； 5. 如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是9的倍数，那么这个数能被9整除； 6. 如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 7. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被 7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13-3X2 = 7,所以133是7 的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613 —9>2= 595 , 59- 5X2= 49,所以6139是7的倍数，余类推。 8. 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被 13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 MSDC模块化分级讲义体系六年级奥数.数论.整除问题（ABC级）.学生版Page 1 of 14

小学五年级数学知识点归纳整理

小学五年级数学知识点归纳五年级上册知识点概念总结 1.小数乘整数的意义：求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。 2.小数乘法法则先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。 3.小数除法小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。 4.除数是整数的小数除法计算法则先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。 5.除数是小数的除法计算法则先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。 6.积的近似数：四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同。但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分的与实际值差值不超过最后一位数量级的二分之一：假如0～9等概率出现的话，对大量的被保留数据，这种保留法的误差总和是最小的。 7.数的互化（1）小数化成分数原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。（2）分数化成小数用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。

（3）化有限小数一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。（4）小数化成百分数只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。（5）百分数化成小数把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。（6）分数化成百分数通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。（7）百分数化成小数先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。 8.小数的分类（1）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。（2）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。例如： 4.33 …… 3.1415926 ……（3）无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。（4）循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……；一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ”，0.5454 ……的循环节是“ 54 ”。 9. 循环节：如果无限小数的小数点后，从某一位起向右进行到某一位止的一节数字循环出现，首尾衔接，称这种小数为循环小数，这一节数字称为循环节。把循环小数写成个别项与一个无穷等比数列的和的形式后可以化成一个分数。 10.简易方程：方程ax±b=c（a,b,c是常数）叫做简易方程。 11.方程：含有未知数的等式叫做方程。（注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可）方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。 12.方程的解使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

小学奥数数论讲义 1-奇偶数的性质与应用强化篇

奇偶数的性质与应用一、基本概念和知识 1.奇数与偶数整数可以分为奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。偶数通常可以用2（为整数）表示，奇数则可以用2+1（为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。 2.奇数与偶数的运算性质对于两个数： ⑴奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±奇数=奇数；注：加减运算符号不改变结果的奇偶性 ⑵奇?偶=偶数，奇?奇=奇数，偶?偶=偶数，偶数÷奇数=偶数，偶数÷偶数=奇数或偶数对于多个数： ⑴多个数相加减时，结果由奇数个数决定：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数 ⑵多个数相乘时，只要有偶数，结果必为偶数（见偶得偶）【例1】1+3+5+…+2009的和是奇数？还是偶数？【巩固】7+9+11+…+2017的和是奇数？还是偶数？【例2】一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？【巩固】一个数分别与另外两个相邻偶数相乘，所得的两个积相差300，这个数是多少？

【例3】已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。【巩固】已知a、b、c是三个连续自然数，其中a是偶数。根据图中的信息判断，小红和小明两人的说法中正确的是哪一位同学？巩固图【例4】你能不能将自然数1到9分别填入3?3的方格表中，使得每一行中的三个数之和都是偶数？【巩固】能否将1～16这16个自然数填入４?４的方格表中（每个小方格只填一个数），使得每一行中的四个数之和都是偶数？【例5】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，送了奇数张贺年卡的人数是奇数还是偶数？为什么？【巩固】新学期开始了，久别的同学们互相频频握手。请问：握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？请

(完整版)小学奥数中的数论问题

小学奥数中的数论问题在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。一、小学数论究包括的主要内容我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容）余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。（2）约数个数决定法则（小升初常考内容）整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常

出现，属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划

小学奥数数论讲义 4-整数分拆之最值与应用强化篇

整数分拆之最值与应用一、拆分的基础知识整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现，因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外，还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。二、拆分基本方法 1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3，少拆2，不拆1——拆分后乘积最大”原则。 2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大应将数列拆分成：a=2+3+4+…的形式，但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同，则： ⑴当多0时，将a拆成a=2+3+4+…+ (n-1)+n； ⑵当多1时，将a拆成a=3+4+5+…+ (n-1)+( n-1)； ⑶当多2，3，…，n－1中的数时，就将该数从2，3，…，n－1，n中删除，其余数即为所拆之数。例如：将30拆成若干个互不相同的自然数之和，要求这些自然数的乘积尽量大，应怎样拆？ 2+3+4+5+6+7+8=35 比30大5，故将5去掉 30被拆成2+3+4+6+7+8 【例1】将15拆分成2个数的和，并且使这2个数的乘积最大，应该怎样拆分？最大值是多少？【巩固1】把11拆分成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何拆分？【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和，使它们的乘积最大。

【例2】试把14拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。【巩固】试把19拆分为3个自然数之和，使它们的乘积最大。【例3】试把1999拆分为8个自然数的和，使其乘积最大。【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和，使其乘积最大。【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法，其中面积最大的是哪一种长方形？【巩固】有长方形和正方形三块地。它们的周长是100米，它们的一条边长分别是30米，28米和25米。这三块中哪一块地最大？面积是多少？

小学奥数数论知识点总结

⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r 当r=0时，我们称a能被b整除。当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r 6.唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)… (1+Pk+Pk+…pk) 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b 对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。

(完整版)六年级奥数-第十一讲.数论综合(二).教师版[1]

第十一讲数论综合（二）教学目标： 1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例 1】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来．【解析】抽一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31．【例 2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数．【解析】设这三个质数分别是a 、b 、c ，满足11abc a b c =++()，则可知a 、b 、c 中必有一个为11，不妨记为a ，那么11bc b c =++，整理得(1b -)(1c -)12=，又121122634=?=?=?，对应的2b =、13c =或3b =、7c =或4b =、5c = (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11．【例 3】用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、9这5个不是质数的数字未用．有1、4、8、9可以组成质数41、89，而6可以与7组合成质数 67．所以这9个数字最多可以组成6个质数．【例 4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617=+=+=+==+L L ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111的倍数，而111373=?，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2倍(想想为什么？)3倍就不是两位数了．把九个三位数分解：111373=?、222376743=?=?、333379=?、4443712746=?=?、5553715=?、6663718749=?=?、7773721=?、88837247412=?=?、9993727=?．把两个因数相加，只有(743+)77=和(3718+)55=的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3，37和18．板块二余数问题【例 5】 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968．

五年级奥数知识讲解列方程解应用题一

五年级奥数知识讲解列方程解应用题一 Revised by Liu Jing on January 12, 2021

★小学五年级奥数专题讲解之“列方程解应用题（一）” 同学们在解答数学问题时，经常遇到一些数量关系较复杂的，或较隐蔽的逆向问题。用算术方法解答比较困难，如果用方程解就简便得多。它可以进一步培养我们分析问题和解决问题的能力，抽象思维能力，列方程解应用题一般分为五步：（一）审题；（弄清已知数和未知数以及它们之间的关系）（二）用字母表示未知数；（通常用“x”表示）（三）根据等量关系列出方程；（四）解方程求出未知数的值；（五）验算并答题。例1. 金台小学学生参加申奥植树活动，六年级共植树252棵，比五年级植树总数的1 1 4倍少8棵，五年级植树多少棵？思路分析：六年级比五年级植树总数的1 1 4倍少8棵，就是六年级的 1 1 4倍的数少8，等于六年级植树的总数。等量关系是：五年级的1 1 4倍－8＝六年级的植树总数。解：设五年级植树x棵，根据题意列方程，得验算：把x=208代入原方程左边=?-= 1 1 4 2088252 右边＝252左边＝右边

x=208是原方程的解。答：五年级植树208棵。例2. 一瓶农药700克，其中水比硫磺粉的6倍还多25克，含硫磺粉的重量是石灰的2倍，这瓶农药里，水、硫磺粉和石灰粉各多少克？思路分析：这是道比较复杂的“和倍应用题”，硫磺粉和水有直接关系，硫磺粉和石灰也有直接关系，因此应设未知数硫磺粉为x克。水的重量是硫磺的6倍还多25克，也就是（6x＋25）克，石灰的重量就是硫磺粉的重量除以 2，也就是1 2 x 克。等量关系式表示为：水＋硫磺粉＋石灰＝农药重量解：设硫磺粉的重量是x克，那么，水的重量是（625 x+）克，石灰重量是1 2 x 克。根据题意列方程，解。验算：把x=90代入原方程左边 =?+++?= 6902590 1 2 90700 右边＝700 左边＝右边 x=90是原方程的解。例3. 两袋米同样重，第一袋吃去18千克，第二袋吃去25千克，余下的第一袋刚好是第二袋的2倍，两袋原来各有多少千克？

五年级奥数知识点

三年级奥数知识点一、周期问题二、解决问题（一）三、解决问题（二）四、植树问题五、简单枚举六、等量代换七、错中求解八、“对应解题” 九、盈亏问题十、和倍问题十一、差倍问题十二、和差问题十三、年龄问题十四、还原问题十五、假设问题十六、平均数问题十七、简单推理春季班暑期班四年级奥数知识点一、解决问题二、和倍问题三、和差问题四、差倍问题五、植树问题六、简单枚举七、定义运算八、巧算年龄九、周期问题十、行程问题十一、假设问题十二、还原问题十三、盈亏问题秋季班春季班暑期班

五年级奥数知识点秋季班一、平均数问题二、等差数列三、等差数列四、简便运算五、倒推法解题（还原问题）六、可能性（分类枚举）七、周期问题八、植树问题九、解决问题十、重叠问题十一、等量代换十二、错中求解十三、消元解题十四、盈亏问题十五、年龄问题十六、假设问题十七、行程问题十八、作图法解题十九、设数法解题二十、列方程解应用题二十一、牛吃草问题二十二、图形问题二十三、逻辑推理一、等差数列内容概述我们观察下面几组数列：（1）1、2、3、4、5、6、……、100 （2）1、3、5、7、9、……、99 （3）4、12、20、28、……、804 像这样按一定规律排列的一列数我们称为数列。数列中的每一个数称为一项，第一项称为首项，最后一项称为末项，有多少项称为项数。从第一项开始，后项与前项的差都相等的数列称为等差数列，这个差称为公差。关键词：首项、末项、项数、公差关系等式：（1）项数和=（首项+末项）×项数/2 （2）项数=（末项-首项）÷公差+1 （3）末项=首项+公差×（项数-1）

奥数讲义数论专题：3 质数与合数

华杯赛数论专题：3 质数与合数基础知识： 1.质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）. 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数. 1不是质数也不是合数，2是唯一的偶质数，3是最小的奇质数. 除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1,3,7,9. 2.判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于P的质数q（均为整数），使得q能够整除P ，那么P就不是质数，所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了；但这样的计算量很大，对于不太大的P ，可以先找一个大于且接近P的平方数，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除P ，如果没有能除尽的，那么P就为质数. 3.唯一分解定理每个大于1的自然数均可以分解为有限个素数的乘积，并且具有唯一（不计次序变化）的素数分解形式. 例题例1.自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有几个？【答案】23，37，53，73. 【解答】首先，个位数字不能是0，2，4，6，8，5，十位数字只能是3，7，所以满足要求的两位数有四个：23，37 ，53 ，73. 例2.把质数373拆开（不改变各数字间的顺序），所有的可能只有3，7，37，73这四个数，它们都是质数. 请找出所有具有这种性质的两位和两位以上的质数. 【答案】23，37，53，73，373 【解答】用排除法，在所找的数中，各个数位上都不能出现0，1，4，6，8和9，否则拆成一位数时将出现这六个数，都不是质数. 另外除首位外，各位数字都不能出现2和5. 因此，可采用的数字只有3，7，2，5，其中2，5只能出现在首位，并且同一个数字不能连续出现.经检验，满足题意的数只有五个：23，37，53，73和373. 例3.老师想了一个三位质数，各位数字都不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【答案】167、257、347、527或617中间的任意一个【解答】因为是质数，所以个位数不可能为偶数0，2 ，4 ，6 ，8. 也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9，那么数字和将是3或9的两倍，因而能被它们整除，就不是质

小学奥数-数论专题知识总结

数论基础知识小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等； 2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。一、因数与倍数 1、因数与倍数（1）定义：定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。（a、b是因数,c是倍数）一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。（2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数（3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完全平方数的个数是54个。（312=961,442=1936,542=2916） 2、数的整除（数的倍数）（1）定义：定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。（a≥b）（2）整除的性质：如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差

《小学奥数》小学三年级奥数讲义之精讲精练第2讲有余除法含答案

第2讲有余除法一、知识要点： 1、解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。 2、（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。二、精讲精练【例题1】[ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？练习1： (1)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。 [ ]÷8＝3……[ ] (2)下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。 [ ]÷4＝7……[ ] (3)下题中要使除数最小，被除数应为________。 [ ]÷[ ]＝12 (4) 【例题2】算式[ ]÷[ ]＝8……［］中，被除数最小是几？

练习2： (1)下面算式中，被除数最小是几？ ①[ ]÷[ ]＝4……［］ ②[ ]÷[ ]＝7……［］ ③[ ]÷[ ]＝9……［］ (2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？ ①[ ]÷[ ]＝3……［］ ②[ ]÷[ ]＝6……［］ (3)算式[ ]÷8＝[ ]……［］中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？【例题3】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。练习3： (1)下面算式中，除数和商各是几？ ①22÷[ ]＝[ ] (4) ②65÷[ ]＝[ ] (2) ③37÷[ ]＝[ ] (7) ④48÷[ ]＝[ ] (6) (2)149除以一个两位数，余数是5,请写出所有这样的两位数。

_________________________________________________________________ (3)算式[ ]÷4＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ _________________________________________________________________ 【例题4】算式[ ]÷7＝[ ]……[ ]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？练习4： (1) 下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ ①[ ]÷6＝[ ]……[ ] ②[ ]÷5＝[ ]……[ ] ③[ ]÷4＝[ ]……[ ] ④[ ]÷3＝[ ]……[ ] (2)一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。

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任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk） 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。 ③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9．完全平方数性质 ①平方差：A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。 ②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 ④平方和。 10．孙子定理（中国剩余定理） 11．辗转相除法 12．数论解题的常用方法：枚举、归纳、反证、构造、配对、估计