北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题
1.如图1,已知在等边△ABC 中,BD =CE ,AD 与BE 相交于P ,则∠APE 的度数是 。
图1
图2
B
A
图
3
2.如图2,点E 在AB 上,AC =AD ,BC =BD ,图中有 对全等三角形。
3.如图3,OA =OB ,OC =OD ,∠O =60°,∠C =25°,则∠BED 等于 度。 4.如图4所示的2×2方格中,连接AB 、AC ,则∠1+∠2= 度。
图4
B
图5
A
B
D
图6
C
5.如图5,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题。( )
①AE =AD ;②AB =AC ;③OB =OC ;④∠B =∠C 。
6.如图6,在△ABC 中,∠BAC =90°,延长BA 到点D ,使AD =2
1
AB ,点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
(1)求证:DF =BE ;
(2)过点A 作AG ∥BC ,交DF 于点G ,求证:AG =DG 。
7.如图7,在四边形ABCD 中,对角线AC 平分∠BAD ,AB >AD ,下列结论正确的是( ) A. AB -AD >CB -CD B. AB -AD =CB -CD
C. AB -AD <CB -CD
D. AB -AD 与CB -CD 的大小关系不确定
图7
B
D
图8
C
8.In Fig. 8, Let △ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ∠BFC=120°, then the magnitude relation between AD and CE is ( )
A. AD>CE
B. AD C. AD=CE D. indefinite (英汉小词典:equilateral 等边的;intersection 交点;indefinite 不确定的;magnitude 大小,量) 9.如图9,在△ABC 中,AC =BC =5,∠ACB =80°,O 为△ABC 中一点,∠OAB =10°,∠OBA =30°,则线段AO 的长是 。 图9 C A B 图10 B 10.如图10,已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高,点P 在BD 的延长线上,BP =AC ,点Q 在CE 上,CQ =AB 。求证: (1)AP =AQ ; (2)AP ⊥AQ 。 a a c 丙 ? 72 ? 50 乙 ? 50 甲 a ? 50 72 50 ? ? ? 58 c b a C B A 11.如图11,在△ABC中,∠C=60°,AC>BC,又△ABC′、△BCA′、 △CAB′都是△ABC形外的等边三角形,而点D在AC上,且BC=DC。 (1)证明:△C′BD≌△B′DC; (2)证明:△AC′D≌△DB′A; 12.如图12,在△ABC中,D、E分别是AC、BC上的点,若△ADB≌EDB≌EDC,则∠C的度数为。 图12 C B 13.如图13,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是。 14.如图14,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于H点,请你添加一个适当的条件:,使△AEH≌△CEB。 图14图15图16 C 15.如图15,在△ABC中,已知AB=AC,要使AD=AE,需要添加的一个条件是。16.有一腰长为5㎝,底边长为4㎝的等腰三角形纸片,沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形纸片,用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有个不同的四边形。17.如图16,△ABF和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的,若∠1:∠2:∠3=28:5:3,则∠α的度数为。 18.如图17,已知CE⊥AD于E,BF⊥AD于F,你能说明△BDF和△CDE全 等吗? 若能,请你说明理由;若不能,在不用增加辅助线的情况下,请添加其中 一个适当的条件,这个条件是,来说明这 两个三角形全等,并写出证明过程。 图11 B C 20.如图20,在△AFD和△BEC中,点A、E、F、C在同一直 线上,有下面四个论断:①AD=CB;②AE=CF;③∠B=∠D; ④AD∥BC。请用其中有一个作为条件,余下的一个作为结论, 编一道数学问题,并写出解答过程。 21.如图21-①,小明剪了一个等腰梯形ABCD, 其中AD∥BC,AB=DC;又剪了一个等边△EFG, 同桌的小华拿过来拼成如图②的形状,她发现AD 与FG恰好完全重合,于是她用透明胶带将梯形 ABCD与△EFG粘在一起,并沿EB、EC剪下。 小华得到的△EBC是什么三角形?请你作出判断 并说明理由。 22.如图22,在△ABC与△DEF中,给出以下六个条件:① AB=DE;②BC=EF;③AC=DF;④∠A=∠D;⑤∠B=∠ F;⑥∠A=∠D,以其中三个条件作为已知,不能判断△ABC 与△DEF全等的是() A.①⑤② B.①②③ C.④⑥① D.②③④ 23.如图23(1),在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中 点,将△ADE沿线段DE向下折叠,得到图23(2),下列关于图23(2)的四个结论中,不一定成 立的是() A.点A落在BC边的中点 B.∠B+∠1+∠C=180° C.△DBA是等腰三角 D.DE∥BC 图20 A C 图21 ② ① F D(G) A(F) 图22 F E B C 24.如图24,已知MB =ND ,∠MBA =∠NDC ,下列不能判定△ABM ≌△CDN 的条件是( ) A. ∠M =∠N B. AB =CD C. AM =CN D. AM ∥CN 25.如图25,在△ABC 中,点D 在AB 上,点E 在BC 上,BD =BE 。 (1)请你再添加一个条件,使得△BEA ≌△BDC ,并给出证明,你添加的条件是: 。并给出证明。 (2)根据你添加的条件,再写出图中的一对全等三角形: (只要求写出一对全等三角形,不再添加其他线段,不再标注或使用 其他字母,不必写出证明过程)。 26.如图26,在△ABC 中,∠ABC =45°,AD ⊥BC 于D 点,E 在AD 上,且DE = CD ,求证:BE =AC 。 27.已知:如图27,给出下列三个式子:①EC =BD ;②∠BDA =∠CEA ;③AB =AC ;请将其中的两个式子作为题设,一个式子作为结论,构成一个真命题(收发室形式:如果……,那么……),并给出证明。 28.如图28,在四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,已知∠ADC =∠BCD ,AD =BC ,求证:AO =BO 。 图25B C 图26B 图27图28 D C 29.如图29,在△ABC 和△DEF 中,B 、E 、C 、F 在同一直 线上,下面有四个条件,请你在其中选3个作为题设,余下一个作为结论,写一个真命题,并加以证明。 ①AB =DE ;②AC =DF ;③∠ABC =∠DEF ;④BE =CF 。 30.如图30,已知△ABC 为等边三角形,D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上,且△DEF 也是等边三角形。 (1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,并证明你的猜想 是正确的; (2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化想到得到?写出变化过程。 31.如图31,点B 在AE 上,∠CAB =∠DAB ,要使△ABC ≌△ABD ,可补充的一个条件是: (写一个即可)。 图31 A E 32.如图32,AC 交BD 于点O ,请你从下面三项中选出两个作为条件,另一个为结论,写出一个真命题,并加以证明。 ①OA =OC ;②OB =OD ;③AB ∥DC 。 图29F B 图30 B C A 33.如图33,要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接度量A 、B 两点间的距离。请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。 (1)画出测量图案; (2)写出测量步骤(测量数据用字母表示); (3)设计AB 的距离(写出求解或推理过程,结果用字母表示)。 34.如图34,在△ABC 中,D 是AB 上一点,DF 交AC 于点E ,DE =FE ,AE =CE ,AB 与CF 有什么位置关系?证明你的结论。 35.如图35,OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线,OA =OC ,OB =OD 。 求证:AB =CD 。 36.如图36,已知AB =AC , (1)若CE =BD ,求证:GE =GD ; (2)若DE =mBD (m 为正数),试猜想GE 与GD 有何关系。(只写结论,不证明) 图34B 图35 C A 37.复习“全等三角形”知识时,都是布置了一道作业题: “如图37(1),已知在△ABC 中,AB =AC ,P 是△ABC 内任意一点,将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ,使∠QAP =∠BAC ,连接BQ 、CP ,则BQ =CP 。” 小亮是个爱动脑筋的同学,他通过图(2)的分析,证明了△ABQ ≌△ACP ,从而证得BQ =CP ,之后,他将点P 移到 等腰三角形ABC 之外,原题中其他条件不变,发现“BQ =CP ”仍然成立,请你就图(2)给出证明。 38.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时,画出图形,写出“已知”“求证”(如图38),她们对各自所作的辅助线描述如下: 文文:“过点A 作BC 的中垂线AD ,垂足为D ”; 彬彬:“作△ABC 的角平分线AD ”。 数学老师看了两位同学的辅助线作法后说:“彬彬的作法是正确的,而文文的作法需要订正。” (1) 请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里; (2) 根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程。 39.将两块全等的含30°角的三角尺如图39(1)摆放在一起,它们的较短直角边长为3。 图37 (2)(1) Q B E 图39 (4) (3) (2) (1) l l (1)将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置,使E 点落在AB 上,则CC ′= ; (2)将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置,使点E 落在AB 上,则△ECD 绕点C 旋转的度数= ; (3)将△ECD 沿直线翻折到图(4)的位置,ED ′与AB 相交于F ,求证:AF =FD ′。 40.已知:点O 至△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等,且OB =OC 。 (1)如图 40(1) ,若点O 在边BC 上,求证:AB =AC ; (2)如图(2),若点O 在△ABC 的内部,求证:AB =AC ; (3)若点O 在△ABC 的外部,AB =AC 成立吗?请画图表示。 图40 (2) (1) B B 41.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是( ) A. 两个锐角相等 B. 两条边对应相等 C. 一条边与一个锐角对应相等 D. 斜边与一个锐角对应相等 42.如图43,AD 是△ABC 的中线,E 、F 分别在AB 、AC 上,且DE ⊥DF ,则( ) A. BE +CF >EF B. BE +CF =EF C. BE +CF <EF D. BE +CF 与EF 的大小关系不确定 图43 B C 图44 A 图45 B 43.如图44,在△ABC 中,E 、D 分别是边AB 、AC 上的点,BD 、CE 交于F ,AF 的延长线交 BC 于H 点,若∠1=∠2,AE =AD ,则图中的全等三角形共有( )对。 A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 44.如图45,将△ABC 绕着C 点按顺时针方向旋转20°,B 点落在B ′点位置,A 点落在A ′点位置,若AC ⊥A ′B ′,则∠BAC = 。 45.如图46,在矩形ABCD 中,AB =8,BC =4。将矩形ABCD 沿AC 折叠,则重叠部分△AFC 的面积为 。 图46 图47 A B 图48 B C 46.如图47,设正△ABC 的边长为2,M 是AB 边上的中点,P 是BC 边上的任意一点,PA + PM 的最大值和最小值分别记为s 和t ,则s 2-t 2 = 。 47.如图48,D 为等边△ABC 内一点,DB =DA ,BF =AB ,∠DBF =∠DBC ,则∠BFD 的度数为 °。 48.如图49,在△ABC 和△A ′B ′C ′中,CD 、C ′D ′分别是∠ACB 、A ′C ′B ′的角平分线, 且CD =C ′D ′,AB =A ′B ′,∠ADC =∠A ′D ′C ′。你能判断△ABC 与△A ′B ′C ′全等吗?如果能,请给出证明;如果不能,请说明理由。 图49 B C C' B' 49.如图50,△ABC 是正三角形,△A 1B 1C 1的三条边A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1交△ABC 各边于C 2、C 3、A 2、A 3、B 2、B 3,已知A 2C 3 =C 2B 3=B 2A 3,且C 2C 32+B 2B 32=A 2A 32 ,请你证明:A 1B 1⊥C 1A 1。 图50 提示:如图过A 3作A 3M ∥C 1A 1,过B 3作B 3M ∥AB 。连结C 2M 、A 2M 。 △MB 3C 2为正三角形。四边形MC 2C 3A 2是平行四边形 有MA 22+A 3M2=A 2A 32 A 3M ⊥A 2M A 1B 1⊥C 1A 1。 50.如图51,点C 在线段AB 上,DA ⊥AB ,EB ⊥AB ,FC ⊥AB ,且DA =BC ,EB =AC ,FC =AB ,∠AFB =51°,求∠DFE 的度数。 提示:连结AE 、BD △ABE ≌△FCA △ABD ≌△CFB △AEF △BDF 都等腰直角三角形。 51.如图52,已知AB =CD =AE =BC +DE =2,∠ABC =∠AED =90°,求五边形ABCDE 的面积。 提示:旋转△AED 至△ABF 处。△ACF ≌△ACD 图52 图50 B1A 52.如图53,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,AE 平分∠BAC ,交CD 于K ,交BC 于E ,F 是BE 上的一点,且BF =CE 。求证:FK ∥AB 。 提示:过E 作EG ⊥AB 于G 。 △CKF ≌△EGB ∠CFK =∠B 53.已知△XYZ 是直角边长为1的等腰直角三角形(∠Z =90°),它的3个项点分别在等腰Rt △ABC (∠C =90°)的三边上。求△ABC 直角边长的最大可能值。 解: 注:其中ac b 42 -=?,为韦达定理:当0>?时,一元二次方程有两个实数根;当0=?时,一元二次方程有一个实数根;当0,一元二次方程无实数根。 54.如图54,AA ′、BB ′、CC ′交于点O ,且AA ′=BB ′=CC ′=1,∠AOC ′=∠BOA ′=∠COB ′=60°。求证: (1)S △AOC ′+S △BOA ′+S △COB ′< 4 3; (2)S △AOC ′、S △BOA ′、S △COB ′中至少有一个不大于 16 3。图53F E C A 图54 C' F E A C' 证明:(1)延长C ′C 至D ,取CD =C ′O ,延长BB ′至E ,取B ′E =BO 。 则△ODE 为正三角形 在ED 上取EF =OA ′,连接B ′F 、CF 。 则△EB ′F ≌△OBA ′,△CDF ≌△C ′OA S △EOD = 4 3 ∴S △AOC ′+S △BOA ′+S △COB ′< 4 3。 (2)假设S △AOC >163、S △BOA ′>16 3 、S △COB > 16 3 。 记OA =a ,OB =b ,OC =c ,则根据余弦定理求面积公式,有: ()()()?? ?? ? ??? ? ? ?>? ->? ->? -16 3260sin 1163260sin 1163 260sin 1b c a b c a 整理后: ()()()?? ? ? ? ? ?? ? >->->-411411411b c a b c a 三式相乘 ()()()3 41111??? ??>---c b a abc 。 而()()4121102 =?? ?