集合问题易错点突破

集合问题易错点突破

集合的概念多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，这对同学们带来了较多的学习障碍，在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常犯错误进行剖析，帮助大家突破易错点。

一、对代表元素理解不清致错。

例1. 已知集合}R x ,16x 6x y |y {B },R x ,x 2x y |y {A 22∈++==∈-==，求B A 。 错解1：令2x ,16x 6x x 2x 22-=++=-得，所以}8{B A ,8y == 。

错解2：令16x 6x x 2x 22++=-，得2x -=，所以}8,2{B A ,8y -== 。

剖析：用描述法表示的集合}p x |x {∈中，x 表示元素的形式，p x ∈表示元素所具有的性质，集合}R x ),x (f y |)y ,x {(∈=表示函数)x (f 的图象上全体点组成的集合，而本题}R x ),x (f y |y {∈=表示函数)x (f 的值域，因此求B A 实际上是求两个函数值域的交集。

正解：由},1y |y {}1)1x (y |y {}R x ,x 2x y |y {A 22-≥=--==∈-==

}7y |y {B A },7y |y {}7)3x (y |y {}R x ,16x 6x y |y {B 22≥=≥=++==∈++== 得。

二、遗漏空集致错。

例2. 已知集合}5x 2|x {A ≤≤-=，}1m 2x 1m |x {B -≤≤+=，若B A ?，求实数m 的取值范围。

错解：解不等式3m 2,51m 21m 2≤≤≤-≤+≤-得。

剖析：空集Φ是特殊集合，它有很多特殊性质，如,A A ,A =ΦΦ=Φ 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究B A ?时，首先要考虑Φ=B 的情况。

正解：①若Φ=B 时，则2m ,1m 21m <->+即。

②若2m ,1m 21m ,B ≥-≤+Φ≠即则时。由???≤-+≤-51m 2,1m 2得3m 3≤≤-。所以3m 2≤≤。

由①②知m 的取值范围是]3,(-∞。

三、忽视元素的互异性致错。

例3. 已知集合y x },y |,x |,0{)}xy lg(,xy ,x {+=求的值。

错解：由0xy >，根据集合的相等，只有1xy ,0)xy lg(==。所以可得1|y |1|x |==或。 ???-=-=???==∴1y ,1x 1y 1x 或

所以2y x 2y x -=+=+或。

剖析：当1y x ==时，题中的两个集合均有两个相等的元素1，这与集合中元素的互异性相悖。其实，当}y |,x |,0{}0,1,x {,1xy ==集合时，这时容易求解了。

正解：舍去1y x ==，故2y x -=+。

四、混淆相关概念致错。

例4. 已知全集U=R ，集合222a x )1a (x |x {B },R x ,03a 4ax 4x |x {A +--=∈=+-+=

}R x ,0a 2ax 2x |x {C },R x ,02∈=-+=∈=，若A 、B 、C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围。

错解：对于集合A ，当

21a 23a ,0)3a 4(4)a 4(2≥-≤≥+--=?或得 ①时，A 不是空集。 同理当31

a 1≤≤- ②时，B 不是空集；当0a 2a ≥-≤或 ③时，C 不是空集。求

得不等式①②③解集的交集是空集，知a 的取值范围为Φ。

剖析：题中“A 、B 、C 中至少有一个不是空集”的意义是“A 不是空集或B 不是空集

或C 不是空集”，故应求不等式①②③解集的并集，得),1[]23,(a +∞---∞∈ 。

五、忽视补集的含义致错。

例5. 已知全集R I =，集合}0x x |x {M 2<-=，集合

}1x 1|x {N ≤=，则下列关系正确的是（ ）

A. N C M I ≠?

B. N C M I ≠?

C. N C M I =

D. R N M C I =

错解：}1x 1|x {N ≤=的补集为}1x 1|x {N C I >=，故选C 。

剖析：本题错误地认为}0)x (f |x {A ≤=的补集为}0)x (f |x {A C I >=。事实上对于全集R I =，由补集的定义有R A C A I = ，但}0)x (f |x {}0)x (f |x {>≤ )x (f |x {使=有意义，R x ∈}，即为)x (f 的定义域。所以只有当)x (f 的定义域为R 时才有}0)x (f |x {A ≤=的补集为}0)x (f |x {A C I >=，否则先求A ，再求A C I 。 正解：}1x 0x |x {}0x 1x |x {}1x 1|x {N ≥<=≥-=≤=或，所以}1x 0|x {N C I <≤=，而}1x 0|x {M <<=，应选A 。

感悟与提高

1. 设集合}Z k ,412k y |y {B },Z k ,41k x |x {A ∈-==∈+==，则它们之间的关系是（ ）

A. A=B

B. A ≠?B

C. A ≠?B

D. B A ?

2. 已知集合x |m {A 关于=的不等式03m x )1m (2x 22<-+-+有解}，若1x 3y -=，且

A x ∈，则y 的取值范围是__________。

答案提示：1. 由集合A 得)1k 2(41y B ),1k 4(41x -=+=得由集合。B 是由奇数的41组

成，A 是由比4的整数倍大1的数的41组成的，所以A ≠?B ，选C 。

2. 由A 易得

2m 0)3m (4)1m (422---。51231x 3y =-?<-=。

高考数学易错易混考点大集合

2019年高考数学易错易混考点大集合 2019年高考即将到来，高考生们进入了紧张的复习阶段。一些数学不好的同学们开始了忙乱切无效的复习。今儿小编就来和这类高考生好好说说，2019年高考数学易错易混考点有哪些？ 本文主要为高考生讲解高考数学易错易混考点，易错易混点将会从导数、组合数学、立体几何、平面向量、三角函数、不等式、数列以及集合这些数学常见知识点开始说明。 导数篇：导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。点击阅读导数易错易混考点 组合数学篇：排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。点击阅读排列、组合和概率易错易混考点 立体几何篇：数学上，立体几何是3维欧氏空间的几何的传统名称—- 因为实际上这大致上就是我们生活的空间。一般作为平面几何的后续课程。立体测绘处理不同形体的体积的

测量问题：圆柱，圆锥，锥台，球，棱柱，楔，瓶盖等等。毕达哥拉斯学派就处理过球和正多面体，但是棱锥，棱柱，圆锥和圆柱在柏拉图学派着手处理之前人们所知甚少。尤得塞斯建立了它们的测量法，证明锥是等底等高的柱体积的三分之一，可能也是第一个证明球体积和其半径的立方成正比的。点击阅读立体几何易错易混考点 平面向量篇：平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。点击阅读平面向量易错易混考点 解析几何篇：又称为坐标几何或卡氏几何，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星型线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。点击阅读解析几何易错易混考点 三角函数篇：三角函数是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状

中考化学易错知识点集锦

中考化学易错知识点集锦 制作：王穆慧审核：孙强胜班级姓名 1.人体代谢产生的CO 2 如果不能及时排出,会使血液PH偏低. 2.动植物呼吸作用放出二氧化碳,光合作用消耗二氧化碳 3.实验室制CO 2 一般不能用浓盐酸,因为浓盐酸易挥发，使收集的二氧化碳气体中混有氯化氢气体。 一般不能用稀H 2SO 4 ,因为稀硫酸与碳酸钙反应生成微溶于水的物质，覆盖在石灰石的 4. 5. 6. 7. 8. 9. 13.证明CO 2 和NaOH溶液发生化学反应的方法是: （或者说证明NaOH溶液变质的方法） （1）加酸:加稀盐酸，现象有气泡产生 Na 2CO 3 ,+2HCl==2NaCl+H 2 O+CO 2 ↑ （2）加碱:加氢氧化钙（或氢氧化钡）溶液，现象有白色沉淀产生 Na 2CO 3 +Ca(OH) 2 ==CaCO 3 ↓+2NaOH （3）加盐:加氯化钙（或氯化钡或硝酸钙或硝酸钡）溶液，现象有白色沉淀产生 Na 2CO 3 +CaCl 2 ==CaCO 3 ↓+2NaCl

（15）可用作人工降雨的是干冰（CO 2）可用作灭火剂的是二氧化碳（CO 2 ） （16）可填充霓虹灯且通电时会发出有色光的是氖气（Ne） （17）引起酸雨的主要气体是二氧化硫（SO 2），二氧化氮（NO 2 ）也是形成酸雨的物质之 一 （18）能产生温室效应的气体，且属于有机物的是甲烷（CH 4 ） （19）混入一定量的空气点火时，可能发生爆炸的气体是氢气、甲烷、一氧化碳（20）在冶金工业中，常用作还原剂的气体是一氧化碳（CO） （21）工业上可用于除去金属表面锈的物质是稀盐酸（HCl）稀硫酸（H 2SO 4 ）

【帮帮群】二元一次方程组的解法易错点剖析

一、概念不清

? y = 2; ? 解二元一次方程组常见错解示例 例 1.下面不是二元一次方程组的是( ) . (A) ?x = -1, (B) x + 2y = 4y -3x = 8; ? ? x + y = 6, (C) ? 1 1 3 + = ; (D)

? ? ? ? ?3x + 4 y = 16, 5x - 6 y = 33. ?? x y 4 ? 错解：选 B . 错解分析：错选 B 原因是对二元一次方程组的概念理解不透彻. 事实上， 二元一次方程组有两个特点：1.方程组中的每一个方程都是一次方程； 2.方程组中含有两个且只含有两个未知数. C 中虽然含有两个未知数，但 1 + 1 = 3 不是一次方程，所以 C 就不是二元一次方程组. 要特别注意 B 这种形式 x y 4 的等式. 实际上它可以写成 x + 2y = 8 和 4y - 3x = 8 这两个方程，它们可以组成一个二元一次方程组. A 、B 、D 都是二元一次方程组. 正确答 案：选 C. 二、 张冠李 戴 例 2.若一个二元一次方程的一组解是?x = 1, ? y = 2, 则这个方程可以是 ( 只要求写出一个) . 错解： ?x + y = 3, ?3x - y = 1. 错解分析：题目要求写出一组解是 ?x = 1 的二元一次方程，而不 是二元一次 ? y = 2 方程组，错误的原因是把二元一次方程的“冠”戴在了二元一次方程组的头上 正解：x + y = 3(符合题意即可，答案 不唯一) . 三、循环代入

? ? ?? ? ? 例 3.解方程组?3x - y = 9 ①， ? ?8x - 5 y = 10 ②. 错解：由①，得 y = 3x - 9 ③ 将③代入①，得 3x - ( 3x - 9) = 9， 即 9= 9. 因此，原方程组的解是一切实数. 错解分析：本题错在对代入法的主要步骤掌握不牢，理解不够深刻. 错解中出现了“9= 9”这个恒等式的原因是方程③是由方程①变形得到的，接着又代入方程①，犯下了循环代入的错误. 正解：由①， 得 y = 3x - 9 ③ 将③代入②， 得 8x - 5( 3x - 9) = 10. 解之，得 x = 5. 将 x = 5 代入③，得 y = 6. 所以原方程组的解是?x = 5, ? y = 6. 四、换元后未还原 ?3(x + y ) - 4(x - y ) = 1, 例 4.解方程组? x + y x - y + = 1. ?? 2 6 错解：设 x + y = a ，x - y = b ， ?3a - 4b = 1, 则原方程组可化为? a b + = 1. ? 2 6 ?a = 5 , 解之，得? 3 ??b = 1. ?x = 5 , 所以原方程组的解是? 3 ?? y = 1. 错解分析：整体换元的解题策略是正确的，但没有把元换回来, 因而致错. 正解：设 x + y = a ，x - y = b ，

集合,简单逻辑,函数的易错点及典型例题

集合、简易逻辑、函数的易错点以及典型题型 1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈ R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x ∈R}，求M ∩N;以及M={x ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2x ∈R},Q={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},求M ∩N ，M ∩Q ，Q ∩N 的区别。 3．区别?与{?}。 ?:表示空集，{?}：不是空集，是指含?的一个元素。 4．集合 A 、B ，?=?B A 时，注意“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合子集B A ?时 否忘记?. eg. ()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 范围，讨论了a ＝2情况了吗？ 5．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 ，n 2， 12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 6． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中 的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 7． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 8.可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: p q P 且q P 或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 9.命题的四种形式及其相互关系 逆 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若﹃ｐ则﹃q 逆否命题 若﹃ｑ则﹃ｐ

人教版政治必修一易错易混知识点归纳汇总

政治必修一复习精简版 第一单元 1、商品 ①成为商品的两个条件：用于交换（以物换物或以钱换物，并处于流通领域中）、劳动产品 ②商品的基本属性：价值和使用价值 ③两种属性的关系：价值和使用价值统一于商品中，使用价值是价值的物质承担者 P.s. 任何商品都具有这两种属性，但生产者和消费者不能同时兼有商品的两种属性，而只能互相让渡，即生产者只能拥有商品的价值，消费者只能拥有商品的使用价值P.s. 凡是说到商品的质量问题的，就是针对商品的使用价值。 2、货币 ①货币也是商品，货币的本质是一般等价物 ②能成为货币的只有贵金银（金银纪念币是货币，但纪念钞不是货币，纪念钞在流通时与一般的纸币一样只是代替货币执行流通时手段的价值符号） ③货币的基本职能：价值尺度（标价）、流通手段；其他职能：支付手段、贮藏手段、世界货币 p.s.货币的流通手段职能和支付手段职能的比较： 相同点：二者都是给钱出去 不同点：流通手段是一手交钱一手交货，买卖双方的收付行为是同时进行的；但支付手段一般是提前或延期支付，如赊账、支付利息、地租、债务、税款工资等，双方是收付行为不是同时进行的，具有时间差 p.s.流通手段与商品流通的区别：流通手段是货币的职能之一，强调货币在商品交换中的作用；商品流通不是货币的职能，强调的是商品如何进行交换的整个过程P.s.商品流通对生产者的启示：生产适销对路质量上乘的商品

说到商品的质量问题时，一定要想到商品的价值与使用价值的关系和商品流通的启示。 3、纸币 ①纸币的本质是价值符号 ②纸币是在货币执行流通手段过程中为了方便而产生的一种价值符号，它不能等同于货币本身，纸币只能代替货币执行流通手段和支付手段的职能，某些纸币还可以代替货币指向世界货币的职能（如美元、欧元、日元），纸币不能代替货币行使价值尺度职能。 ③纸币本身的价值很小，甚至可以忽略，所以纸币的面值多少，并不是指制造纸币的这张纸价值多少，而是指纸币能代替多少货币去和对应的商品相交换。 ④国家可以决定纸币的发行量、面值、样式，但不可以决定纸币的购买力 ⑤纸币发行量应该以流通中所需的货币量为限度，即流通中需要多少货币，就发行多少纸币去代替货币执行流通手段。流通中所需货币量=商品价格总额（待售商品数量×价格）÷货币流通速度 4、通货膨胀与通货紧缩 ①通货膨胀的原因之一是纸币发行量过多，表现是全面（市场上大部分商品）持续（长时间）的物价上涨，本质是社会总需求大于社会总供给，应该通过上调银行利率、上调银行准备金率或者紧缩性的财政政策来抑制它。 ②通货紧缩的原因之一是纸币发行量过少，表现是全面持续的物价下跌，本质是社会总需求小于社会总供给，应该通过下调银行利率、下调银行准备金率或者扩张性的财财政政策来抑制它。 5、外汇 ①是指用外币表示的用于国际间结算的支付手段。简单来说就是在国外做生意、旅游、购物时要使用的用外国货币表示的资产，它包括外国货币、外币有价证券、外币支付凭证。 信用卡包括贷记卡、准贷记卡、借记卡（储蓄卡）；其中贷记卡和准贷记卡属于银行信用

高中数学知识点易错点梳理一集合与简易逻辑 (1)

高中数学知识点易错点梳理一集合与简易逻辑 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); （1） 已知集合A={x,xy,lgxy},集合，B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。 （2）已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ； 与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：（3）()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨 论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有_____个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; （5）某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌，跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有_____________种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。（6）},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: p q P 且q P 或q 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 假 假 假 假 9、 命题的四种形式及其相互关系 互 逆 互 互 互 为 互 否 逆 逆 否 否 否 否 否 否 互 逆 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若﹃ｐ则﹃q 逆否命题 若﹃ｑ则﹃ｐ

XX科目四考试易错知识点集锦

XX科目四考试易错知识点集锦很多朋友在考科目四的时候粗心大意导致失分，下面是()小编给大家整理出来的XX科目四考试易错知识点集锦，希望大家能够仔细认真审题，争取顺利拿到驾照。 1、机动车在高速公路上发生故障或者交通事故，无法正常行驶的，应当由救援车、清障车拖曳、牵引。也就是说，要由救援车、清障车拖曳、牵引，而不是同行机动车拖曳、牵引。 2、行驶在高速公路上遇大雾视线受阻时，打开双闪，减低车速，在道路中线行驶。这样就算有人在路边紧急停车你也不会碰上前方车辆，保证了你的行驶安全。 3、注意机动车所处的车道是加速车道，也就是说并不是可以停车的地方，因此不能停车让行。正确的做法应该是在汇入行车道有困难时减速让行。要先开启左转向灯并确保安全之后才能向左进入高速公路加速车道，机动车在高速公路匝道提速到每小时60公里以上时，先打开左转向灯，在不防碍已在高速公路内的机动车正常行驶的情况下驶入车道。 4、第八十一条机动车在高速公路上行驶，遇有雾、雨、雪、沙尘、冰雹等低能见度气象条件时，应当遵守下列规定：能见度小于200米时，开启雾灯、近光灯、示廓灯和前后位

灯，车速不得超过每小时60公里，与同车道前车保持100米以上的距离。 5、在高速公路上因故障停车，首先要开启危险报警闪光灯，若是夜间的话，还要开启示廓灯和后位灯让其他驾驶员知道车子的轮廓及位置情况。此外，还要在车后150米处设置警示标志。 6、车速较高的情况下，若直接转向，很有可能发生侧翻。车速较高，前方发生紧急情况时，要先制动再转向避让。 7、当车辆漏气时，引起轮胎不正常工作，因此此时就应该减速并找安全的地方停车。迅速向右转向或是紧急制动都有可能造成爆胎等状况的发生，因此不可行。 8、当机动车转向失控行驶方向偏离，事故已经无可避免时，要采取什么措施? 答案：紧急制动。 9、转向失控后，若机动车偏离直线行驶方向，应怎样使机动车尽快减速停车?果断地连续踩踏、放松制动踏板。 10、机动车转向突然失控后，若前方道路条件能够保持直线行驶，不要紧急制动。 11、车辆在高速行驶状态下，使用紧急制动，是容易翻车的。因此发生转向失控时，应当要减速，并开启危险报警闪光灯，并注意制动的使用。(抢档减速、行车减速、驻车减速合理使用)。

集合易错点分析

集合易错点分析 易错点一 遗忘空集致误 例题1已知集合若{} {}260,10,.A x x x B x mx A B A =+-==+==，则实数的取值集合是 错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，就有的可能而对于集合B 判断不出当时方程无解，此时集合B 就是空集。而考生考虑问题不周导致漏解。 正解：由已知得{}{}{}3,2,,32A B A B =-?∴=-?或或.若{}B=-3，由310m -+=得13m = ；若{}2B =，由210m +=得12m =-。若B =?由10mx +=无解，得0m =，13m ∴=或 12m =- 或 0m =。故所求的集合是11,0,23??-????。 纠错心得：空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 变式练习 {}{}|25,|121,,A x x B x m x m B A =-≤≤=+≤≤-?已知若则m 的取值范围是_____ 错因分析：本题易忽略B 为空集的情况易得错解 1211223215m m m m m +≤-??+≥-≤≤??-≤?得。 正解解析： ； {}1212,3,3,m m m x B B A +=-===?当时，即此时满足121212,,23215m m m m B B A m m +≥-?+<->≠??∴<≤?-≤? 当时，即满足即， 综上可知m 的取值范围为 {}|3m m ≤。 易错点二 集合运算混乱 例题2{}{}|0|1,() ()R A x x B x x A C B B C A ==>=≤-=已知，则 A ? B {}|0x x ≤ C {}|1x x >- D {}|0,1x x x >≤- 错因分析：求两个集合的补集时易出现错误。 正解分析 {}{}|0,|1A C B x x B C A x x =>=≤- 答案：D 纠错心得：集合运算的规律： / 1交集{}|A B x x A x B =∈∈且2并集{}|A B x x A x B =∈∈或 {}()()|0,1A C B B C A x x x =>≤-1212,,m m m B B A +>-<=??当时，即满足

有理数混合运算易错题剖析

有理数的混合运算 【典型例题1】下面有四种说法，其中正确的是 （ ） A.一个有理数奇次幂为负，偶次幂为正 B.三数之积为正，则三数一定都是正数 C.两个有理数的加、减、乘、除（除数不为零）、乘方结果仍是有理数 D.一个数倒数的相反数，与它相反数的倒数不相等 【典型例题2】下列判断错误的是 （ ） （A ）任何数的绝对值一定是正数； （B ）一个负数的绝对值一定是正数； （C ）一个正数的绝对值一定是正数； （D ）任何数的绝对值都不是负数； 【典型例题3】若01a b <<<且1a b +=，下面的几个关系.①02>+b a ；②b b a <+2；③2b>1;④2a>1，其中正确的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【典型例题4】下列四个命题：（1）任何有理数都有相反数；（2）一个有理数和它的相反数之间至少还有一个有理数；（3）任何有理数都有倒数；（4）一个有理数如果有倒数，则它们之间至少还有一个有理数；（5）数轴上点都表示有理数；（6）任何一个有理数的平方必是正数。上述命题中，说法正确的是 ； 【典型例题5】若有理数满足a<-1,0 D. 1a bc <- 【典型例题6】已知,,a b c 三个数中有两个奇数，一个偶数，n 是整数，若 (1)(22)(33)S a n b n c n =++++++，则问S 的奇偶性是 ；

【典型例题7】已知a,b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为5，试求： 219981999()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值 【典型例题8】体育课上，某中学对七年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩为+2，-1，+3，0，-2，-3，+1，0 （1） 这8名男生的百分之几达到标准？ （2） 他们共做了多少次引体向上？ 【当堂检测】 1、a 是最小的正整数，b 是最大的负整数的相反数，c 是到数轴上距原点的距离最小的数，求2a b c ++的值 2、若130a b c ++-+=,求222()()()a b b c c a -----的值. 3、若有理数p n m ,,满足 1||||||=++p p n n m m ，求 =|3|2m np m np 多少？ 4、若有理数,,,,a b c d e 满足abcde abcde =-,则e e d d c c b b a a S ||||||||||++++= 的值是多少？ 5、若正数a 的倒数等于其本身，负数b 的绝对值等于 3，且c a <，236c =， 求代数式22(2)5a b c --的值。

集合易错题举例

集合易错题举例 易错点1 忽视对空集的讨论 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.由题目的条件得到“”时,若集合B A B ?为含参集合（为指明非空）,则应对集合B 分和两种情况进行讨论. ?=B ?≠B 例1. 设集合,,若,则实数的取值范{}62≤≤=x x A {}32+≤≤=a x a x B A B ?a 围是【 】 （A ） （B ） （C ） （D ） []3,1)[∞+,3)[∞+,1()3,1解:∵,∴分为两种情况: A B ?①当时,有,解之得:; ?=B 32+>a a 3>a ②当,则有:,解之得:1≤≤3. ?≠B ?? ???≤+≥+≤632232a a a a a 综上,实数的取值范围是.选择【 C 】. a )[∞+,1易错点2 对集合元素认识不清 解集集合问题时,需要先确定集合的代表元素是点还是数,从而确定集合是数集还是点集.数集的表达形式为,点集的表达形式为. {})(x p x ()(){}y x p y x ,,例2. 设,,则必有【 】 ()(){} 021,2=-++=y x y x A {}2,1-=B （A ） （B ） （C ） （D ） B A ?B A ?B A =?=B A 解:,表示一个点集,是含有两个()(){} (){}2,1021,2-==-++=y x y x A {}2,1-=B 元素的数集,所以它们的交集为空集.选择【 D 】. 易错点3 忽视集合中元素的范围 例3. 已知,,求. {}Z x x x y y M ∈+-==,342{}Z x x x y y N ∈--==,22N M 解:∵ {}(){} {}Z y y y Z x x y y Z x x x y y M ∈-≥=∈--==∈+-==,1,12,3422 {}(){} {}Z y y y Z x x y y Z x x x y y N ∈≤=∈++-==∈--==,1,11,222

小学英语易错知识点汇总

小学英语易错知识点汇总 1、动词be(is,am,are)的用法我(I)用am,你(you)用are，is跟着他(he)，她(she)，它(it)。单数名词用is，复数名词全用are。变否定，更容易，be后not加上去。变疑问，往前提，句末问号莫丢弃。还有一条须注意，句首大写莫忘记。 2、this，that和it用法 (1)this和that是指示代词，it 是人称代词。 (2)距离说话人近的人或物用this, 距离说话人远的人或物用that。如： This is a flower、这是一朵花。(近处)That is a tree、那是一棵树。(远处) (3)放在一起的两样东西，先说this, 后说that。如：This is a pen、 That is a pencil、这是一支钢笔。那是一支铅笔。 (4)向别人介绍某人时说This is…, 不说That is…。如：This is Helen、 Helen, this is Tom、这是海伦，海伦，这是汤姆。 (5)This is 不能缩写, 而That is可以缩写。如：This is a bike、That’s a car、这是一辆自行车。那是一辆轿车。 (6)打电话时，介绍自己用this, 询问对方用that。如：-Hello! Is that Miss Green? 喂，是格林小姐吗?-Yes, this is、Who’s that? 是的，我是，你是谁?注意：虽然汉语中使用

“我”和“你”，但英语中打电话时绝不可以说：I am…, Are you…?/Who are you? (7)在回答this或that作主语的疑问句时, 要用it代替this或that。如：①-Is this a notebook? 这是笔记本吗?-Yes, it is、是的，它是。②-What’s that? 那是什么?-It’s a kite、是只风筝。 3、these和those用法 this, that, these和those是指示 代词，these是this的复数形式,指时间,距离较近的或下面要提 到的人或事;those是that的复数形式,指时间、距离较远或前面 已经提到过的人或事物。 ①This is my bed、That is Lily’s bed、这是我的床。 那是莉莉的床。 ②These pictures are good、那些画很好。 ③ Are those apple trees? 那些是苹果树吗? 在回答主语 是these或those的疑问句时，通常用they代替these或those 以避免重复。如：④Are these/those your apples? 这些(那些) 是你的苹果吗?Yes, they are、是的，他们是。 4、名词+’s所有格单数名词后直接加“ ’s ”：Jim’s coat 吉姆的外套Jeff’s mother杰夫的妈妈以s结尾的复数名词，只加“’”Teachers’ Day教师节 the twins’ books双胞 胎的书不以s结尾的不规则的名词复数，加 “ ’s ”Children’s Day 儿童节men’s shoes男式鞋表示两

小学数学四年级易错题能力题集合学习资料

四年级上册易错题及能力题集合（浙教版） 易错题： 1.一条路全长100米，现在在路的一边每隔10米种一棵树。如果起点和终点都不种，要种（）棵树。（注意规律） 2.工人师傅15分钟把一根木头锯成了4段，如果他锯了30分钟，那么这根木头被锯成了几段？ （3）苹果每千克3元，桔子每千克2元，梨每千克5元，请问苹果、桔子、梨各买10箱，一共需要多少钱？ 4.工程队原计划12天铺设电缆72千米，实际8天完成。实际每天比原计划多铺多少千米？ 5.某食品厂计划18天生产饮料540箱，实际前4天生产144箱。照这样计算，可以提前多少天完成？ 6.6箱梨与6箱苹果共重240千克，2箱梨与3箱苹果同样重，每箱梨重多少千克？每箱苹果重多少千克？ 7.用1000元钱买18件运动服，还剩280元，照这样计算，1000元钱可以买几件运动服？ 8.“小马虎”人如其名，总是马马虎虎。这不，今天做题时，又把乘数67写成了76，结果所得的和比原来多了135。正确的积是多少？

9.分部算式改写综合算式。 ①175÷25＝7 100－7＝93 93×4＝372 ②50－14＝36 36÷12＝3 25×18＝450 10.商店一周（7天）共售出球鞋300双，其中，前2天平均每天售出40双，后5天平均每天售出球鞋多少双? 11.“迎客来”旅馆的住宿费是这样计算的：第一天125元，以后每天85元。 （1）李叔叔退房结账时共付了380元。他住了多少天？ （2）预付住宿费800元，住5天后结账，可找回多少元？ 12.市政府工程队计划10天铺2400米下水道，实际前3天铺了900米。按照前3天的速度计算： （1）可以提前几天铺完？（2）10天可以铺下水道多少米？ （3）剩下的还要铺几天？（4）剩下的时间可以铺多少米？ （5）铺5天后，还剩多少米没完成？ 13.某食品厂计划18天生产饮料540箱，实际前4天生产144箱。照这样计算： （1）可以提前多少天完成？（2）18天可以多生产多少箱？ （3）剩下的还要生产多少天？（4）剩下的时间还可以生产多少箱？ （5）生产12天后，还剩多少箱没完成？

平均数、中位数、众数的区别与联系易错点剖析

统计中的常见错解示例 一、概念理解不透造成错解 例1．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表， 已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ） A. 80分 B.85分 C. 90分 D. 80分或90分 错解：根据该小组本次数学测验的平均分是85分，得70×1+80×3+90×x+100×1=85×（1+3+x+1），解得x=3.由于80分出现了3次，90分也出现了3次，所以这组数据的众数是2 1（80+90）=85（分）.故本题答案选B. 错解分析：众数是一组数据中出现次数最多的数据.若一组数据中，若干个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这若干个数据都是这组数据的众数.由此可见，一组数据中可以有不止一个众数.所以这组数据的众数是80分或90分，故应选D.造成这一错解的原因是：对众数的概念理解不透，并误用求平均数的方法来求众数. 正解：根据题意，如同前面所解，得x=3，所以在这组数据中80分出现了3次，90分出现了3次，所以该组数据的众数是80分或90分.故答案应选D. 例2.一组数据的方差为s 2,将这组数据中每个数据都除以3，所得新数据的方差是（ ） A. 31s 2 B. 2s 2 C. 91s 2 D. 4s 2 错解：选A. 错解分析：错误的原因是由于对方差的概念没有深刻理解，误认为只要把原数据的方差也除以3就可得到新数据的方差.事实上，样本中各数据与样本平

均数差的平方的平均数才叫方差.通过相关计算可得，新数据的方差应是 9 1s2. 正解：设原数据为x1,x2,…,x n,其平均数为x，方差为s2.根据题意，则新数 据为1 3x1, 1 3 x2,…, 1 3 x n,其平均数为1 3 x.根据方差的定义可知，新数据的方差 为： S2=1 m [(1 3 x1-1 3 x)2+(1 3 x2-1 3 x)2+…+(1 3 x n-1 3 x)2]= 1 9 ×1 m [( x1-x)2+( x2-x)2+… +( x n-x)2]= 1 9 s2.所以，本题答案应选C. 例 3.在一次数学测试中，某班２５名男生的平均成绩是86分，23名女生的平均成绩是82分．求这些学生的平均成绩（结果精确到0.01分）． 错解：平均成绩为ｘ＝ 282 86+＝84（分）． 错解分析：错解在求平均数时，混淆了算术平均数与加权平均数的计算公式．当数据中有些数据是重复的，要使用加权平均数公式计算． 正解：平均成绩为x-=86258223 48 ?+?≈84.08（分）． 例 4.若一组数据ｘ１，ｘ２ｘ３，ｘ４，ｘ５的平均数为２，则３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，3ｘ５－２的平均数为________. 错解：数据３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，３ｘ５－２的平均数仍为２． 错解分析：设原数据ｘ１，ｘ２ｘ３，ｘ４，ｘ５…，ｘｎ的平均数为ｘ．直接代入平均数公式计算，可知新数据ｍｘ１＋ｋ，ｍｘ２＋ｋ，ｍｘ３＋ｋ，…，ｍｘｎ＋ｋ的平均数为ｍｘ＋ｋ。 正解：数据３ｘ１－２，３ｘ２－２，３ｘ３－２，３ｘ４－２，３ｘ５－２的平均数＝４． 例5.求一组数据7,9,5,3,2,4,9,2,7,8的中位数. 错解：由于该组数据正中间的数是２，４，所以中位数为 24 2+=3.

七大集合易错点汇集精编版

七大集合易错点展示 一：高度重视容易被忽视的集合元素的三大特点 例１．若{} 322427A a a a =--+，，， 223211122(38)372B a a a a a a a a ??=+-+---+++???? ，，，，，且{}25A B =，，试求实数a 的值． 分析：观察可以知道只有集合A 中的32275a a a --+=才有可能使{}25A B =，，解出实数a 的值后代入集合B 检验，看有没有重复的元素． 解析：∵{}25A B =，，∴由32275a a a --+=，解得 2a =或1a =±． 当1a =时，2221a a -+=与元素的互异性矛盾，故舍去1a =； 当1a =-时，{}10524B =，，，，，此时{}245A B =，，，这与{}25A B =，矛盾，故又舍去1a =-； 当2a =时，{}245A =，，，{}132525B =，，，，，此时{}25A B =，满足题意． 故2a =为所求． 点评：解这类问题时如果忽视了集合元素的互异性是很容易出错的． 二：紧紧抓住容易被混淆的集合的代表元素． 例２．已知{}243A y y x x x ==-+∈R ，，{}222B y y x x x ==--+∈R ，，求A B ． 分析：集合的代表元素是y ，集合A B ，表示的是两个函数值域的集合． 解析：2243(2)11y x x x =-+=---∵≥，22 22(1)33y x x x =--+=-++≤， {}1A y y =-∴≥，{}3B y y =≤，{}13A B y y =-∴≤≤． 点评：本题如搞不清楚集合的代表元素y 的意义，很可能误以为是求的两条抛物线的交点．而 方程组224322 y x x y x x ?=-+??=--+??无解，从而认为A B =?． 例3 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A B ． 错解： 由???-=-=+3252y x y x 得? ??==21y x 从而A B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集， 所以A B ＝{(1，2)} 例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．

语文易错知识点汇总

语文易错知识点汇总一易错的字音字词易错读音1 ǐ）户q）绮（nún tùh）馄饨（nùn dùhì）灯混沌（chǐ）梁白炽（j脊（）头攻讦（núx噱（）喷nēp）沱大雨香喷喷（ngāp）滂（èxié）跑马卖解（ji ）气íp）头倔脑倔脾（èju）倔（?uq?gé）强枸杞（ju）香倔（nèp（）然iěfù）立斐（chù）立矗（zhì）古不化伫（nú）撼树泥（fíp蚍蜉（）闻iēfì）子手绯（gu）刽（iàkuú）市侩（rèni嗫嚅（易错多音字2 炮、菲易错词语3 平心而论挖墙脚老生常谈明信片食不果腹大满贯启事文身亟待爆冷门凑合履新埋单出其不意出奇制胜挑肥拣瘦=一如既往继往开来捡（拾取）拣（挑选）买单工力悉敌前事不忘，后事之师顶礼膜拜倾轧毋庸置疑荟萃萃取易错词义4 没工夫）-武术）工夫（时间/罚不当罪（罚重了）功夫（同工夫完成某项工作的人力）/功效）工力（力量和本领/功力（功夫和力量二易错的病句类型）搭配、用词不当1（，关键时期长身体、长知识，形成人生观、世界观的正是（正处在）青年学生1教育部门、学校领导和有关组织对他们的双休日是该好好关心一下了。读者在学习英语句型方面起举一反三的作用。引导（对）本书作者希望本书能2，她纵横，对她来说，

是一次史无前例的的“长征”医学尖端—癌症攻克当代3。医学独创自己的提出中西，博采众长，千年求索，推陈出新，，有鲤鱼跳）岁月verb蹉跎（和青春往事了自己的自述在这本新书里，冯小刚4龙门，有对生活的坦白，更有对朋友的怀念。。兴趣（？）和浓厚的关心了极大的表示科技界的同志对这一问题5（多重否定）收集邮票。无时无刻不忘小李是个集邮迷，他6还可以发展到特点但研究人员认为其微型超微型电脑已经尽显了巨大的魅力，7。更高水平。倍1~2下降了夏季即将来临，空调的价格愈演愈烈，有的品牌价格甚至8胜利凯旋拿破仑远征西班牙后9 。把文化思维方式和表达方式的思维训练提前到中学教育阶段，已是人们的共10 。人生发展规律，而且要更加重视尊重人生价值的实现识，创新教育不仅要（关联词递进关系错误），在民间的影响如日中天，所近几年，易中天因做客中央电视台“百家讲坛”11 到许多高校发表演讲深受学生欢迎。被应邀（应邀就有被动含义）以常，对其他高新技术以及高新技术代表当代最高水平的成为（作为）航天技术12 就能产生无法他一旦转化为现实生产力，经济社会的发展具有很强的带动作用，估量的经济效益。，

全等三角形易错点剖析

判定三角形全等的错解示例 一、对“对应”二字认识不准确，应用全等判别法有误 例1 △ABC 和 △DEF 中，∠A=30°，∠B=70°,AC=17cm ，∠D=70°，∠E= 80°，DE=17cm.那么△ABC 与△DEF 全等吗？为什么？ 错解：△ABC 与△DEF 全等.证明如下： 在△DEF 中， ∵ ∠D=70°，∠E=80°， ∴ ∠F=180°－∠D －∠E=180°―70°―80°=30°. 在△ABC 中， ∵ ∠A=30°，∠B=70°， ∴ ∠A=∠F ，∠B=∠D. 又∵ AC=17cm ，DE=17cm ， ∴ AC=DE . 在△ABC 与△DEF 中， A F B D A C DE ∠=∠??∠=∠??=? ，， ， ∴ △ABC ≌△DEF. 错解分析：AC 是∠B 的对边，DE 是∠F 的对边，而∠B ≠∠F ，所以这两个 三角形不全等.△ABC 与△DEF 不全等.因为相等的两边不是相等的两角 的对边，不符合全等三角形的判别法. 二、判定方法有错误 例2 如图，AC ⊥BC ，DC ⊥EC ，AC=BC,DC=EC. 求证：∠D=∠E.

错解：在△ACE与△BCD中， ∵AC⊥BC ， DC⊥EC， ∴∠ACB=∠ECD=90°. 又∵AC=BC，DC=EC, ∴△ACE≌△BCD，∴∠D=∠E. 错解分析：上面的证明中，错误地应用了“边角边”. ∠ACB与∠ECD并不是那一对三角形的内角. 正解：∵ AC⊥BC，DC⊥EC, ∴∠ACB=∠ECD=90°, ∴∠ACE=∠BCD. ∵ AC=BC, ∠ACE=∠BCD,DC=EC, ∴△ACE≌△BCD, ∴∠D=∠E. 三、错误套用等式性质 例3 如图，已知AC,BD相交于E点，∠A=∠B, ∠1=∠2. 求证：AE=BE.

集合易错题题集

集合测试卷 [考点突破] 考点1：集合的含义与表示 1. 设集合A={2,a a a -+--1,22}，若4A ∈，则a 的值为： 2. 下列表示同一集合的是： A. M={(3，2)}, N={(2，3)} B. M={x 01>+x } ，N={y 01>+y } C. M={(x,y)1=+y x }, N={y 1=+y x } D. M={1,2} , N={(1,2)} 3. 已知集合M={x N x N ∈-∈)8(}, 则M 中的元素个数为： 个. 4. 已知集合{0,1,2}c}b,{a,=，且下列三个关系：①,2≠a ②b=2,③0≠c 有些只有一个正确，则100a+10b+c 等于 . 5. 已知集合A=}16, 12,52{2-+a a a ，且A ∈-3，求实数a 的值. 6. 已知集合A=}16{Z x N x ∈+∈，求A.

7. 直线12+=x y 与y 轴的交点所组成的集合为（ ） A. {0，1} B. {(0，1)} C.{- 21,0} D. {(21-,o)} 考点2：集合间的基本关系 1. 已知集合A={43≤≤-x x }，B={112+<<-m x m x }，且A B ?，求实数m 的取值范围. 2. 已知集合A={54-<≥x x x 或}，B={31+≤≤+a x a x }，若A B ?，求a 的取值范围. 3. 已知A={45<≤-x x }，B={392+≤<-a x a x },若B A ?，求a 取值范围. 4. 已知集合A={R x x x x ∈=+-,0232}，B={N x x x ∈<<,50}，则满足条件B C A ??的集合C 的个数为： . 5. 集合M={1,2}，则满足条件M ?N={1,2,3,4}的集合N 的个数为： . 6. 集合M={N n n x N x ∈-=∈,25}的子集个数是 . 7. 已知集合A={x Z k k x ∈+=,2 1}，B={Z k k x x ∈=,2}，则（ ） A. A=B B. A ?B C. A B ? D. 以上都不对

初中历史易混易错知识点汇总,考前一定要看一看

初中历史易混易错知识点汇总，考前一定要看一看 编辑整理了中国古代史和近现代史的易混易错知 识点，这些连老教师都容易混淆的重要考点，初 中生必看！ （一）中国古代史部分 1.西周的分封制不仅分封王族，还分封异族功臣和先代贵族。功臣和先代贵族与周天子并无血缘关系。 2.专制主义与中央集权是两个不同的概念。专制主义是一种决策方式，而中央集权是一种相对于地方分权的制度。 3.四大发明的顺序：造纸术（汉）、印刷术（隋唐）、火药（唐中期）、指南针（北宋）。具体来说，西汉出现世界上已知的最早的用麻做的纸，东汉蔡伦改进造纸术。隋唐雕版印刷术，北宋毕生发明活字印刷术。唐中期有了火药的记

载，唐末用于军事，宋元广泛用于军事并向外传播。指南针在北宋开始用于航海，南宋广泛用于航海并向外传播。 4.西域，指今新疆和更西的地方，而非西藏。前60年设置西域都护的，不是汉武帝，他在位是前140—前87年。 5.东汉张衡发明的地动仪，不是预报地震的，而是测定地震方位的。 6.唐朝流通的货币“开元通宝”，不是唐玄宗开元年间铸造的，而是唐高祖下令造的，意为开辟新纪元之意。 7.武则天在位期间选拔的、破格提拔的贤才有姚崇、宋璟，而后来唐玄宗继续重用过姚崇。 8.清朝乾隆平定的回部贵族大小和卓叛乱，不是回族，而是新疆维吾尔族的。 9.清朝与以往相比，其巩固和发展统一的多民族国家有何突出特点?一是反击外来侵略，维护国家领土主权完整；二是把平定少数民族叛乱的斗争与加强民族联系和军事行政管理相结合。

（二）中国近现代史部分 1.半殖民地半封建社会的含义：半殖民地是形式上的独立，但在政治、经济、文化等各方面受到帝国主义控制和压迫的国家。 半封建是原有的封建经济遭到破坏，资本主义有了一定的成分，但仍保留着封建剥削制度。 《南京条约》签订后，中国虽然形式上是独立国家，但其独立的政治开始受到外来干预，以自然经济为特征的封建社会也受到了外来资本主义冲击，已不是完整的封建社会。 2.工业革命对中国的影响。直接：英国发动两次鸦片战争，中国开始从封建社会沦为半殖民地半封建社会。 对中国近代化的影响：洋务派开展洋务运动；工业文明成果进入中国，方便了人们出行、促进了商品流通、丰富了人们生活。