完全数
完全数
完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数)，恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。
如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。各个小于它的约数(真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数)的和等于它本身的自然数叫做完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数。
例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，
1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。
1.所有的完全数都是三角形数
例如:
6=1+2+3
28=1+2+3+...+6+7
496=1+2+3+...+30+31
8128=1+2+3…+126+127
2.所有的完全数的倒数都是调和数
例如:
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2
3.可以表示成连续奇立方数之和
除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如:
28=13+3^3
496=1^3+3^3+5^3+7^3
8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3
33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3
4.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和
不但如此，而且它们的数量为连续质数。例如:
6=2^1+2^2
28=2^2+2^3+2^4
496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8
8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12
33550336=2^12+2^13+……+2^24
5.完全数都是以6或8结尾
如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。(科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。)
6.各位数字辗转式相加个位数是1
除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。例如:
28:2+8=10，1+0=1
496:4+9+6=19，1+9=10，1+0=1
8128:8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1
33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1
7.它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1
除6以外的完全数，它们被3除余1、9除余1、还有1/2被27除余1。
28/3 商9，余1
28/9 商3，余1
28/27 商1，余1
496/3 商165，余1
496/9 商55，余1
8128/3 商2709，余1
8128/9 商903，余1
8128/27 商301，余1
已发现的完全数
1 (6)
2 (28)
3 (496)
4……8,128
5……33,550,336
6……8,589,869,056
7……137,438,691,328
8……2,305,843,008,139,952,128
9……2,658,455,991,569,831,744,654,692,615,953,842,176 10……191,561,942,608,236,107,294,793,378,084,303,638,1 30,997,321,548,169,216
11……13,164,036,458,569,648,337,239,753,460,458,722,91 0,223,472,318,386,943,117,783,728,128
12……14,474,011,154,664,524,427,946,373,126,085,988,48 1,573,677,491,474,835,889,066,354,349,131,199,152,128 ……
……
47 ……2^42643800 X (2^42643801-1)
48 ……2^57885160 X (2^57885161-1)
由于后面数字位数较多，例子只列到12个，第13个有314位。
到第39个完全数有25674127位数，据估计它以四号字打出时需要一本字典大小的书。
第三十一讲 完全平方数和完全平方式(含答案)-
第三十一讲 完全平方数和完全平方式 设n 是自然数，若存在自然数m ，使得n=m 2，则称n 是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有： (1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数； (2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数； (3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数； (4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式； (5)任何整数平方之后，只能是3n 或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n ，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数； (6)相邻两个整数之积不是完全平方数； (7)如果自然数n 不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n 是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数； (8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数． 例题求解 【例1】 n 是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l 是3个完全平方数之和． 思路点拨 设3n+1=m 2，显然3卜m ，因此，m=3k+1或m=3k+2(k 是正整数)． 若rn=3k+1，则k k m n 233 122+=-=． ∴ n+1=3k 2+2k+1= k 2+ k 2+( k+1)2． 若m=3k+2，则1433 122++=-=k k m n ∴ n+1=3k 2+4k+2= k 2+(k+1)2+( k+1)2． 故n+1是3个完全平方数之和． 【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数． 思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解． 设所求正整数为x ，则 x+100=m 2 ----① x+168==n 2 -----② 其中m ，n 都是正整数， ②—①得n 2—m 2=68，即 （n —m ）(n+m)=22×17．---- ③ 因n —m ，n+m 具有相同的奇偶性，由③知n —m ，n+m 都是偶数．注意到0 一、大数定律 切比雪夫大数定律：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，且具有相同的数学期望且方差有界， 那么对 辛钦大数定律：设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量序列，且数学期望E（X i）=μ存在， 则对任意 【例87·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从P（λ），那么 依概率收敛到_____ [答疑编号986305101：针对该题提问] 答案： 【例88·填空题】设X1，X2，…，X n，…相互独立，且都服从参数为0.5的指数分布， 则。 [答疑编号986305102：针对该题提问] 【例89·选择题】设随机变量列X1，X2，…，X n，…相互独立，则根据辛钦大数定律， 当n充分大时依概率收敛于共同的数学期望，只要X1，X2，…，X n，…（） A.有相同的数学期望 B.服从同一离散型分布 C.服从同一泊松分布 D.服从同一连续型分布 [答疑编号986305103：针对该题提问] 答案：C 【例90·选择题】设随机变量，X1，X2，…，X n，…是独立同分布，且分布函数为 则辛钦大数定律对此序列（） A.适用 B.当常数a,b取适当的数值时适用 C.不适用 D.无法判别 [答疑编号986305104：针对该题提问] 答案C 二、中心极限定理 独立同分布的中心极限定理：设随机变量X1，X2，…，X n，…相互独立，服从同一分布， 【例91·选择题】（05-4-4）设X1，X2，…，X n，…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ（λ>0）的指数分布，记为标准正态分布函数，则（） [答疑编号986305105：针对该题提问] 答案：C 完全数公式 前面，在“从一个数的约数谈起”一文中，介绍了求一个数的约数总和的公式： 如果一个数N ＝ɑi b j …c k ，其中ɑ、b 、…、c 是N 的质因数，i 、j 、…、k 是这些质因数的幂指数。 N 的所有约数的总和等于：111--+a a i ×111--+b b j ×…×1 11--+c c k 同时，还介绍了求偶完全数的欧几里得公式。 2n-1(2n －1) 式中，n 是大于1的自然数，并且2n －1是质数。 其实，偶完全数欧几里得公式，可以从约数和公式推出来。下面就是推导的过程： 完全数的定义是：如果一个数的真约数之和等于这个数，或者一个数的所有约数之和等于这个数的2倍，这个数就是完全数。 按照完全数的定义，最小的完全数是6。6是偶数，把6分解质因数6＝2×3。进而推想，偶完全数分解质因数后，一定等于若干个2与若干个奇质数乘幂的积。如果把若干个2的积记作2m ，(m ≥1)，把若干个奇质数乘幂的积记作p ，那么，偶完全数就可以记作2m p 。 根据约数总和公式，2m 的约数总和等于1 2121--+m ＝2m+1－1。 设p 的真约数之和是q ，那么，p 的约数总和就是p ＋q 。于是，偶完全数2m p 的约数总和就是(2m+1－1)(p ＋q)。 因为完全数的约数总和等于完全数的2倍，所以，(2m+1－1)(p ＋q)＝2×2m p ＝2m+1p 。 化简，(2m+1－1)(p ＋q)＝2m+1p 2m+1p ＋2m+1q －p －q ＝2m+1p (乘开) 2m+1q －q ＝p (消项，移项) 2m+1 －1＝p/q (除以q) 2m+1－1是一个整数，p/q 等于一个整数，并且，因为m ≥1，所以2m+1－1≥3，说明q 是p 的真约数。而前面已经假设q 是p 的真约数之和，这 一、 求任一整数约数的个数 一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为 32257??，所以它的约数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身) 2、 求任一整数的所有约数的和 一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。 如：33210002357=???，所以21000所有约数的和为 2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++= 二、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 5、平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 例题精讲 知识点拨 例1、数360的约数有多少个?这些约数的和是多少? 百炼成钢1、 1、126共有几个约数？全部约数和是多少？ 2、240共有几个约数？全部约数和是多少？ 3、324共有几个约数？全部约数和是多少？ 例2、写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 百炼成钢2、 1、写出从1到200的自然数中有奇数个约数的数． 2、 1～500中有奇数个约数的数有哪些？ 例3：求只有8个约数且不大于40的自然数。 百炼成钢3： 1、共有8个不同约数，且小于120的自然数有哪些？ 2、有12个不同约数的最小自然数是多少？ 3、有10个不同约数的最小自然数是多少？ 例4：某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？ 初中数学校本教材 ————《校本课程》序言 一、把握数学的生活性——“使教学有生活味” 《数学课程标准》中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。 二、把握数学的美育性——“使教学有韵味” 数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。” 美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的特点。 简练、精确是数学的美。数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。 数学很讲究它的逻辑美。数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。抽象的数学不正展示它的魅力吗？ 数学上有很多知识是和对称有关的。对称给人协调，平稳的感觉，象圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。 中学数学的美育性，除了上述一些方面，还有其它美妙的地方，只要我们用心挖掘和捕捉，就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素，教师要善于挖掘美的素材，在学生感受美的同时既提高教学质量，又使教学韵味深厚。 完全平方数 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能整除a 。 2.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数基本性质和概念 基础练习、指出下列哪些是平方数？ 1156，5487，5329，8008。 1． 在3240,8972,2116，2475,2400这五个数中，哪几个是完全平方数？ 2.正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 …,那么第85 个位置上的数字是几 【例 1】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 1、在50～400中，有多少个平方数？ 2、在50～761中有多少个平方数？ 例题精讲 知识点拨 3、123×134的积是平方数吗？ 4、一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 【例2】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________． 2、46035乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。 3、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。 【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。 1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（）。 2、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（）岁。 3.求一个能被180整除的最小完全平方数. 【例4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 1、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 2、三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的 差为60，求这三个数． 3、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。 概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。 一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。 黑龙江省牡丹江市高考数学一轮复习：34 合情推理与演绎推理 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）有一段演绎推理：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线 ∥平面，则∥ ”的结论显然是错误的，这是因为（） A . 大前提错误 B . 小前提错误 C . 推理形式错误 D . 非以上错误 2. （2分） (2017高二下·长春期末) 下列四个推理中，属于类比推理的是（） A . 因为铜、铁、铝、金、银等金属能导电，所以一切金属都能导电 B . 一切奇数都不能被2整除，是奇数，所以不能被2 整除 C . 在数列中，，可以计算出，所以推出 D . 若双曲线的焦距是实轴长的2倍，则此双曲线的离心率为2，类似的，若椭圆的焦距是长轴长的一半，则此椭圆的离心率为 3. （2分） (2020高三上·泸县期末) 现有甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，其中只有一位获奖. 有人走访了四人，甲说：“乙、丁都未获奖”，乙说：“是甲或丙获奖”，丙说：“是甲获奖”，丁说：“是乙获奖”，四人所说话中只有一位是真话，则获奖的人是（） A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁 4. （2分） (2020高二下·郑州期末) 某校甲、乙、丙、丁四位同学参加了第34届全国青少年科技创新大赛，老师告知只有一位同学获奖，四人据此做出猜测：甲说：“丙获奖”；乙说：“我没获奖”；丙说：“我没获奖”；丁说：“我获奖了”，若四人中只有一人判断正确，则判断正确的是（） A . 甲 B . 乙 C . 丙 D . 丁 5. （2分）①已知a是三角形一边的边长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积lr；②由1=12 ， 1+3=22 ， 1+3+5=32 ，可得到1+3+5+…+2n﹣1=n2 ，则①﹑②两个推理依次是（） A . 类比推理﹑归纳推理 B . 类比推理﹑演绎推理 C . 归纳推理﹑类比推理 D . 归纳推理﹑演绎推理 6. （2分）三角形的内角和为180o，凸四边形内角和为360o，那么凸n边形的内角和为（） A . B . C . D . 7. （2分）(2017·海淀模拟) 已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1 ， x2 ， x3 ， x4 ，大圆盘上所写的实数分别记为y1 ， y2 ， y3 ， y4 ，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i（i=1，2，3，4）次，每次转动90° ，记Ti（i=1，2，3，4）为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1=x1y2+x2y3+x3y4+x4y1 ．若x1+x2+x3+x4＜0，y1+y2+y3+y4＜0，则以下结论正确的是（） 完全平方数 知识框架 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质 -，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N 则2|n p N． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 二、一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一 定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49， 69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 数学史和数学文化 WEIHUA system office room 【WEIHUA 16H-WEIHUA WEIHUA8Q8- 《数学史与数学文化》 班级：网营14-1班 姓名：毕倩榕 学号： 云南财经大学中华职业学院 数学史和数学文化 数学可能是中国所有上学的人爱恨交加的科目了吧，一方面苦于数学的枯燥和难懂，另一方面又应用于各个方面，可以说对它的感情很复杂了。而数学史和数学文化这门课却讲了不少数学史中有意思数学家和他们的故事以及数学文化，数学俨然给人一种活泼感，就好像是一个印象中“严肃刻板”的人，做出了一系列生动幽默的动作，发生了一连串的故事；而数学文化就像是人类其他形式的文化一样，它活跃在人类历史进程中，推进了人类的进步。 数学是美的，数学美把就是把数学溶入语言之中，人们自然会联想到令人心驰神往的优美而和谐的黄金分割；各种有趣的数字比如说：完全数、水仙花数、亲和数、黑洞数等等；雄伟壮丽的科学宫殿的欧几里得平面几何；数学皇冠上的明珠哥德巴赫猜想。 数学美可以分为形式美和内在美。 数学中的公式、定理、图形等所呈现出来的简单、整齐以及对称的美是形式美的体现。数学中有字符美和构图美还有对称美，数学中的对称美反映的是自然界的和谐性，在几何形体中，最典型的就是轴对称图形。数学中的简洁美，数学具有形式简洁、有序、规整和高度统一的特点，许多纷繁复杂的现象，可以归纳为简单的数学公式。 数学的内在美有数学的和谐美，数量的和谐，空间的协调是构成数学美的重要因素。数学中的严谨美，严谨美是数学独特的内在美，我们通常用滴水不漏来形容数学。它表现在数学推理的严密，数学定义准确揭示概念的本质属性，数学结构系统的协调完备等等。总之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的，数学是一个五彩缤纷的美的世界。 数学是好玩的，在北京举行国际数学家大会期间，91岁高龄的数学大师陈省身先生为少年儿童题词，写下了“数学好玩”4个大字。数是一切事物的参与者，数学当然就无所不在了。在很多有趣的活动中，数学是幕后的策划者，是游戏规则的制定者。玩七巧板，玩九连环，玩华容道，不少人玩起来乐而不倦，玩的人不一定知道，所玩的其实是数学。数学的好玩之处，并不限于数学游戏。数学中有些极具实用意义的内容，包含了深刻的奥妙，发人深思，使人惊讶。 早在2000多年前，人们就认识到数的重要。中国古代哲学家老子在《道德经》中说：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”古希腊毕达哥拉斯学派的思想家菲洛劳斯说得就更加确定有力：“庞大、万能和完美无缺是数字的力量所在，它是人类生活的开始和主宰者，是一切事物的参与者。没有数字，一切都是混乱和黑暗的。” 数学是严谨的，从数学史上的三次数学危机来看，数学是一个不断完善，趋于严谨，合乎理性的科学，因而数学是需要与他人交流和互动的，只有这样才可以发现问题，解决问题。 数学是一门伟大的科学，它作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学。它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过：“一个时代的总的特征在很大程度上与这 完全平方数及其性质 能表示为某个整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。 例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289, 324,361,400,441,484,… 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。 一、平方数有以下性质： 【性质1】完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。 【性质2】奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。 【性质3】如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。 推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。 推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。 【性质4】（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数； （2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数； 100，10000，1000000是完全平方数， 10，1000，100000等则不是完全平方数。 （3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。 但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。 【性质5】偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。 这是因为 (2k+1)^2=4k(k+1)+1 (2k)^2=4k^2 离散数学 引言 1.5.1 4个推理的例子 例3 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x不是偶数。 x2不是偶数。 例4 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2不是偶数。 x不是偶数。 关于完全平方数和完全平方式 试卷：马志刚 姓名：________ 一、知识辅导： （一）、定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，25 4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. （二）. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.. 若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. （三）. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0； 如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式. 在有理数范围内 当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式. （四）. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b ）2 中 当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数； 当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. （五）. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中 ① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数. 2. 在整系数方程x 2+px+q=0中 ① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方. 初中数学竞赛专题选讲（初三.2） 完全平方数和完全平方式 一、内容提要 一定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，25 4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.. 若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0； 如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式. 在有理数范围内 当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b ）2 中 当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数； 当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中 ① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数. 2. 在整系数方程x 2+px+q=0中 ① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方. 第一章 变量与函数 §1 函数的概念 一 变量 变量、常量、实数性质、区间表示 二 函数 １．定义１ 设,X Y R ?，如果存在对应法则f ，使对x X ?∈，存在唯一的一个数y Y ∈与之对应，则称f 是定义在数集X 上的函数，记作:f X Y →(|x y →).也记作|()x f x →。习惯上称x 自变量， y 为因变量。函数f 在点x 的函数值，记为()f x ，全体函数值的集合称为函数f 的值域，记作()f X . {}()|(),f X y y f x x X ==∈。 ２．注 （1） 函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。 例：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同） 2）()||,,x x x R ?=∈ ().x x R ψ= ∈（相同，对应法则的表达形式不同） 。 （2）函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则f 来表示一个函数。即“函 数()y f x =”或“函数f ”。 （3）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的 象。a 称为()f a 的原象。 3. 函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。 分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。 例： 1,0sgn 0,01,0x x x x >?? ==??-，则称f 为X 上的严格减函数。 完全数是什么？ 王锦根皖黄山市黄山区装饰局 245700 摘要：通过完全数的求证和推导，推导出完全数公式，并利用完全数公式得出奇完全数是不存在的，并且证明完全数的尾数为6或8。 关键词：完全数完全数公式 一、概念 已知自然数 a 和 b ，如果b 能够整除a ，就是说 b 是 a 的一个因数， 也称为约数。显然，任何自然数 a ，总有因数 1 和a ，我们把小于 a 的因数叫做a 的真因数。 完全数：一个自然数等于它的真因数之和，这个数便称为完全数。如： 6 的真因数1，2，3，且有6=1+2+3， 28 的真因数1，2，4，7，14，且有28 = 1+2+4+7+14 …… 二、完全数的几个性质 完全数有许多有趣的性质： 1、它们都能写成连续自然数之和。 如： 6 = 1+2+3 ； 28 = 1+2+3+4+5+6+7 ； 496 = 1+2+3+……+30+31； ……。 2、它们的全部因数的倒数之和都是2。 如： 1/1+1/2+1/3+1/6 = 2， 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2， ……。 3、完全数公式： 设 )(2 2 1 1 N a k p p p p p i i kn n ki i k k ∈? ?? ?? =为素数， 依据定义 a k k i a kn n ki i k k kn n ki i k k p p p p p p p p p p p p p p p -?????=? ?? ?? = +++++++++++++++)21()1)2111)211111(1(1(1 11 122 1 1 如果 )21()1)2111)2111211(1(1(1 11 122 1 1 kn n ki i k k kn n ki i k k p p p p p p p p p p p p p p p k k i a +++++++++++++++?????=? ?? ?? = 则 a 便是完全数，上述公式便是完全数公式。 三、完全数公式的应用 有了完全数公式，对于一个数是否是完全数，只要代入公式一试即可。 例1、 a = 2n ×p k 是完全数的条件是什么？（p 为奇素数，k ∈N ） 解：按完全数公式得 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库 教师版 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解 中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完 全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一） 第四章大数定律与中心极限定理 第一节大数定律 一、历史简介 概率论历史上第一个极限定理属于贝努里,后人称之为“大数定律”.1733年,德莫佛——拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,证明了时二项分布的极限分布是正态分布.拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布.1900年,李雅普诺夫进一步推广了他们的结论,并创立了特征函数法.这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题,卜里耶为之命名“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展.在第一章已经指出,随机事件在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即一个事件在大量重复试验中出现的频率具有稳定性.这种稳定性的提法应该说是什么形式? 贝努里是第一个研究这一问题的数学家.他于是1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理. 二、大数定律 定理1(贝努里大数定律) 设是重贝努里试验中事件出现的次数,是事件在每次试验中出现的概率,则对任意的,有 证明:令表示在第次试验中出现的次数.若第次 试验中出现,则令;若若第次试验中不出现,则令.由贝 努里试验定义,是个相互独立的随机变量,且 而 于是 由契比晓夫不等式有 又由独立性知道有 从而有 这就证明了定理1. 若是随机变量序列,如果存在常数列,使得对任意的 ,有 成立,则称随机变量序列服从大数定律. 定理2(契比晓夫大数定律) 设是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数,使有 则对于任意的,有 证明:利用契比晓夫不等式,有 因为是一列两两不相关的随机变量,它们的方差有界,即可得到 从而有 河北省石家庄市2020届高三数学二模试题 理（含解析） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.设i 是虚数单位，复数1i i +=（ ） A. 1i -+ B. -1i - C. 1i + D. 1i - 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算，化简复数 1i 1i i +=-，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数 ()1i (i) 1i 1i i i (i) +?-+==-?-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2.已知全集U =R ，集合{} 1A x x =<，{} 12B x x =-≤≤，则()?=U C A B （ ） A. {}|12x x <≤ B. {}12x x ＃ C. {} 11x x -≤< D. {}|1x x ≥- 【答案】B 【解析】 【分析】 由补集的运算求得{} 1U C A x x =≥，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{}{} 1,12A x x B x x =<=-≤≤，则{} 1U C A x x =≥， 根据集合的并集运算，可得()?=U C A B {} 12x x ≤≤，故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合混合运算，其中解答中熟记集合的并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 3.如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，执行上述的程序框图： 第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==； 第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==； 第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==； 不满足判断条件，输出计算结果3y =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 4.已知实数x 、y 满足不等式组210 2100x y x y y -+≥?? --≤??≥? ，则3z x y =-+的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 32 - D. 2- 【答案】A 【解析】第五章 大数定律和中心极限定理
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1.5推理规则和证明方法
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数理逻辑 1.5 推理规则与证明方法
张晓 西北工业大学计算机学院 zhangxiao@https://www.wendangku.net/doc/8a6931213.html, 2011-1-10
什么时候数学论证是正确的？ 用什么方法来构造数学论证？ 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理过 程。 所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程 前提是已知命题公式集合，结论是从前提出发应用 推理规则推出的命题公式。 要研究推理就应该给出推理的形式结构，为此，首 先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
2011-1-10
离散数学
2
推理规则
前几节所讲的命题演算, 本质上和简单的开 关代数一样, 简单的开关代数是命题演算的 一种应用。 现在, 我们从另一角度研究命题演算, 即从 逻辑推理角度来理解命题演算。
2011-1-10
离散数学
3
设x属于实数, P: x是偶数, Q: x2是偶数。
例1 如果x是偶数, 则x2是偶数。 前提 x是偶数。 x2是偶数。 例2 如果x是偶数, 则x2是偶数。 x2是偶数。
2011-1-10
P→Q P
结论
∴Q
在每一例子中, 横线上的是前提, 横线下的是结论。右侧是例子的 逻辑符表示。
P→Q Q
x是偶数。
离散数学
∴P
4
2011-1-10 离散数学
P→Q P ∴ Q
P→Q Q ∴ P
5关于完全平方数和完全平方式
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