第八章 刚体的平面运动

第八章刚体的平面运动

教学目的及要求

1．明确刚体平面运动的特征，掌握研究平面运动的方法（运动的合成与分解），能够正确地判断机构中作平面运动的刚体。

2．能熟练地应用各种方法——基点法、瞬心法和速度投影定理求平面图形上任一点的速度。

3．能熟练地用基点法分析平面图形内一点的加速度。

4．会求解运动学综合问题中的速度，了解求加速度。

§8-1平面运动的基本概念

教学重点：1．平面运动及平面图形的概念

2．平面运动的分解

教学难点：对平面运动分解为平动和转动的理解

教学内容：

1．平面运动：在运动中，刚体上的任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。2．平面图形：刚体平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。证明平面图形的运动代表刚体的运动。

3．平面运动分解为平动和转动

平面图形S的运动可以分解为随着基点的平动和绕着基点的转动。平面运动分解为平动和转动时，其中平动部分的速度和加速度与基点选择有关。在同一瞬时，平面图形绕任何点的转动角速度（或角加速度），都相同，或者说，平面图形的角速度（或角加速度）与基点的选择无关，把它称为平面图形的角速度（或角加速度），而不必指出其基点何在。

§8-2平面图形内各点速度的基点法和投影法

教学重点：1．速度的基点法

2．速度的投影法

教学难点：速度基点法和投影法的应用

教学内容：

1．基点法（速度合成法）

平面图形内任一点的速度，等于基点速度（牵连速度）与该点绕基点转动速度（相对速度）的矢量和。即：

注意：符号的下标表示它是B点绕A点转动的速度，而的下标则表

示它是A点绕B点转动的速度。≠应注意两者的区分。

2．速度投影定理

平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影彼此相等。

证明定理。

沿x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。

例1：椭圆规尺的A端以速度v

A

求：B端的速度以及尺AB的角速度。（用速度基点法和速度投影法两种方法求解）

注意：不能通过速度投影定理求了同直杆的角速度。

求解刚体的平面运动问题的步骤：

1）根据题意，分析各刚体的运动，哪些刚体作平动、转动或平面运动。

2）研究作平面运动的刚体上哪一点的速度的大小和方向为已知，哪一点的速度的大小或方向为未知，并判断问题是否可解。

3）应用基点法作出速度平行四边形或三角形。应注意检查此图是否符合各速度矢量之间正确的合成关系。

4）利用几何关系，求解速度平行四边形或三角形中的未知量。

§8-3平面图形的瞬时速度中心

教学重点：速度瞬心的概念及求法

教学难点：通过速度瞬心求解平面图形各点的速度

教学内容：

1．速度瞬时中心（速度瞬心）：一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。

定理证明。

2．平面图形内各点的速度及其分布

平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。

注意：1）瞬心在不同瞬时位于不同位置

2）瞬心速度为零，加速度不为零

3．速度瞬心的求法

1）纯滚动：瞬心在接触点处。

2）已知某瞬时平面图形上A、B两点速度方向瞬心在两点速度垂线的交点处，如图（a）。

3）已知某瞬时平面图形上两点速度的方位相互平行，且都垂直于两点的连

线，而速度大小不相等，如图（b、c）。

4）已知某瞬时两点速度相互平行但不垂直于两点连线。此时为瞬时平动，瞬心交于无穷远处，如图（d）。

(a)

(b)

(c)

(d)

例2：椭圆规尺的A端以速度沿x 轴的负向运动，如图所示，AB=l。

求：B端的速度以及尺AB的角速度。（用速度瞬心法求解）

§8-4平面图形内各点的加速度

教学重点：用基点法求平面图形内各点的加速度

教学难点：用基点法分析一点加速度的方法

教学内容：

基点法求加速度：平面图形内任一点的加速度，等于随基点平动的加速度（牵连加速度）与绕基点转动的法向、切向加速度（相对加速度）的矢量和。即：

例3：曲柄OD，以匀角速度ωO绕O轴转动，OD=AD=BD=l

求：当φ=60o，AB的角速度和点A的加速度。

例4：车轮纯滚动，半径R，中心O，速度为，加速度求：车轮上速度瞬心的加速度。

教学提示

1．采用对比的方法，如将平面运动的分解与点的运动分解对比，瞬时平动与平动，瞬时转动与定轴转动对比，加深对基本概念的理解。

2．在求速度时，要讲清三种方法的特点和联系以及适合求解的问题，重点放在瞬心法。

3．对求加速度问题，要明确各项加速度的物理意义，正确判断其大小、方向，用解析法求解。

4．运动学综合问题会求速度即可。

作业布置

教材：8-18-5 8-6 8-108-118-13 8-18 8-218-228-23 8-24

理论力学课后习题答案 第6章 刚体的平面运动分析

第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A ==ω 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v

清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析

6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB

刚体的平面运动动力学课后答案

刚体的平面运动 刚体的平面运动 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。 一、 刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。 平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、 刚体的定轴转动 刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。 （1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =? （2）定轴转动刚体的角速度： )(t f ==?ω （3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f ===?ω α （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示 速度： r v ?=ω （7－1） 加速度：v r a a a ?+?=+=ωαn t （7－2） 其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢径。 三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。 1、 刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为： θ ω =， （7－3） θω α == （7－4） 2、 刚体平面运动的运动方程 平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为： )(),(), (321t f t f y t f x A A ===? （7－5） 其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平 图7－1 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。

第8章 刚体的平面运动

安徽工程大学教师备课教案 本章节讲稿共6页教案8 第 1 页备课时间：2015年10月7日教师签名：汪太平

第8章刚体的平面运动 §8-1 刚体平面运动概述和运动分解 例：曲柄连杆机构中连杆的运动；行星齿轮机构中行星轮的运动。 1. 特点：在运动中，刚体上任意一点与某一固定平面的距离保持不变。 2. 平面图形：刚体在运动平面内的正投影。是运动学的简化模型。 3. 平面图形的运动方程 平面图形在其平面内位置的确定方法： 在平面内任意选择线段O'M ，其位置可由以下参数确定： 1) 线段上任一点O'''(,)O O x y ； 2) 线段与x 轴夹角φ。 则平面图形的运动方程可分为两部分： ''()()()''O O x x t y y t O t O ???=? ?? =??? =?随点的平移绕点的转动 定义：O'为基点。 4. 刚体平面运动的分解 动系O'x'y'固连于基点O'，则动系仅作平移运动，所以 刚体的平面运动＝随基点的平移＋绕基点的转动 1) 随基点的平移为牵连运动。（与基点的选择有关，因为平面运动刚体上各点 运动不同，基点不同，动系的平移运动不同，其速度和加速度不同。） 2) 绕基点的转动是相对于动系的相对运动。（与基点的选择无关，因为对于不 同的基点，刚体任一时刻的转角都相同、角速度相同、角加速度也相同。） §8-2 求平面图形内各点速度的基点法 1. 平面图形内任一点B 的绝对速度 等于基点A 的速度与B 点随图形绕基点转动速度的矢量和。 B A BA v v v AB AB ω=+ √√ ⊥大小？方向？ 基点A 的平移速度A v 沿AB 处处相等，相对速度BA v 沿AB 线性分布。 作速度平行四边形，由三角关系求解。共有六个要素，一般已知四个要素。

刚体的平面运动1答案

刚体的平面运动作业1参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。 答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2． 图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿 轮的角速度。 答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。

3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60o，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。 答案： 逆时针 顺时针顺时针 rad/s 3 4 , rad/s 4 , rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001 O =====BD B AB D B v v ωωω 提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。 4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。连杆上有一点D ，其位置为 DK =31 NK ，求D 点的速度。 答案：←= 3 2 0ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。

理论力学-刚体的平面运动

第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 （ ） 2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ） 3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 （ ） 4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ 永远成立。 （ ） 5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ） 6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 （ ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ） 二、选择题 1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动，已知B 端的速度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为。 ①u B sin ； ②u B cos ； ③u B /sin ； ④u B /cos 。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度 0逆时针转动，则

齿轮Ⅰ对曲柄OA的相对角速度 1r应为 。 ① 1r=（r2/ r1） 0（逆钟向）； ② 1r=（r2/ r1） 0（顺钟向）； ③ 1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（逆钟向）； ④ 1r=[(r2+ r1)/ r1] 0（顺钟向）。 3．一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶 点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图（b）所示，则 图（a）的运动是的，图（b）的运动是的。 ①可能； ②不可能； ③不确定。 4．图示机构中，O1A=O2B。若以 1、 1与 2、 2分别表示O1A杆与O2B杆的角速度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时，有。 ① 1= 2， 1= 2； ② 1≠ 2， 1= 2； ③ 1= 2， 1≠ 2； ④ 1≠ 2， 1≠ 2。

第3章 平面机构的运动分析答案

一、填空题： 1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心； 若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有6个速度瞬心，其中3个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μν表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为：(m/s)/mm 。 ？ 加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为(m/s2)/mm。9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 P直接标注在图上)。 二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij

> " 12 三、 在图a 所示的四杆机构中，l AB =60mm,l CD =90mm ， l AD =l BC =120mm ， ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： : a ) 24） （P 13） P P 23→∞

第八章 刚体的平面运动习题解

第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 2202 1 0C +?=α 02=C 22 1t α?=

2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：

刚体平面运动习题

刚体平面运动习题 第八章刚体平面运动的练习 1.真或假(勾选正确和交叉错误) 8-1。刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。()8-2。平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。()8-3。平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。()()()8-6。瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。()8-7。刚体的平移也是一种平面运动。()2。填空(在横线上写出正确答案) 8-8。在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。8-9。平面图上任意两点的速度在上投影中相等。 8-10。瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。 3.简短回答问题 8-11。确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d) 8-12。如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c) 8-13。下图中O1A和AC的速度分布是否正确？ 8-14。当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度 加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？

蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13 图8-14 8-15。为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题 8-16。椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。 8-17。半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。 yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO 图8-17 8-18。曲柄和连杆机构，称为OA = 40cm厘米，连杆AB = 1m米，曲柄OA绕O轴以N？180转/分钟均匀旋转，如图所示。当曲柄臂与水平线成45度角时，试着找出连杆臂的角速度和中点的速度。 8-19。众所周知，曲柄OA=r，连杆BC=2r，曲柄OA处于均匀角速度ω？4顺时针旋转/秒，如图所示。试着找出图中瞬时点B的速度和连杆BC的角速度。 AMnOBArOB302rCω问题8-18 图8-19 8-20。如图所示，筛选机通过曲柄OA驱动筛BC摆动。众所周知，

理论力学 刚体平面运动部分参考答案

一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ， AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。 一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ，AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。（18分） 解：（1）速度分析及计算：AB 杆和圆轮作平面运动，选A 为基点 BA A B v v v += OA 杆绕O 轴转动：ω?=R v A AB=2R ，圆轮半径为R ，所以杆AB 与水平面夹角为30° 速度平行四边行如图。由图中几何关系可得： 3/330tan ω?= =R v v A B C 为速度瞬心，此瞬时，圆轮可看成绕速度瞬心C 做定轴转动。 O 轴转动： 2ω?==R a a n A A 由速度平行四边行中几何关系可得： 3 / 230cos /ω?==R v v A BA 所以：22 2 3 2 2// ω?== = R R v AB v a BA BA n BA 选A 为基点，则B 点加速度: τ ++=BA n BA a a a a A B 将上式向x 轴投影得：n BA a a a n --= 30cos 30cos

二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加 速度αOA =0，θ=60°。图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 解：以A 为基点，根据速度合成定理BA A B v v v +=，对B 进行速度分析, 在速度平行四边形中得： cm /s 30310=?=?===OA v v v oA B A BA ω 选A n B A B A a a a a ++= τ A B 即：n B A B A B n B a a a a a ++=+ττA B 点作加速度矢量图如图。由题可知： 222cm /s 90310=?=?=ωOA a n A 222cm/s 5.3724 30===AB v a BA n BA 22 2cm/s 5.372430===BC v a B n B 将 B 点作加速度矢量式向y 轴投影得： τBA n BA n A n B a a a a +-=- 60cos 30sin 得 ： 2cm /s 75.63 -=τBA a 因此得杆AB 的角加速度：

15春地大《理论力学》在线作业一答案

15春地大《理论力学》在线作业一答案 一、单选题（共 25 道试题，共 100 分。） 1. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 2. 杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度分别如图（a）、（b）、（c）所示。则该瞬时（）的角速度为零 A. 图（a）系统 B. 图（b）系统 C. 图（c）系统。 正确答案：A 3. 刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 4. 刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 5. 在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 6. 冲量的量纲与动量的量纲相同。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 7. 刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 8. 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 A. 正确 B. 错误

正确答案：A 9. 任意质点系（包括刚体）的动量可以用其质心（具有系统的质量）的动量来表示。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 10. - A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 11. - A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 12. 作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 13. 在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 14. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量 A. 平行 B. 垂直 C. 夹角随时间变化 正确答案：B 15. 下列关于刚体平面运动的说法错误的是（） A. 刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变 B. 可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形在自身平面内的运动代替刚体的整体运动 C. 刚体的平面运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动 D. 基点可以是平面图形内任一点，通常其运动状态未知 正确答案：D 16. 关于刚体的平面运动，下列说法正确的是（） A. 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点的选择无关 B. 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择无关，而绕基点转动的规律与基点的选择有关

《理论力学》第八章 刚体的平面运动习题解

第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点 的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 22021 0C +?=α 02=C 22 1t α?=

2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：

刚体的平面运动作业习题参考答案1

8-1 图示四杆机构1OABO 中，AB B O OA 2 1 1= =；曲柄OA 的角速度s rad /3=ω。求当090=?而曲柄B O 1重合于1OO 的延长线上时，杆AB 和曲柄B O 1的角速度。 参考答案： 因OA 杆作定轴转动，故OA v A ?=ω。AB 杆做平面运动其速度瞬心为O 点， s rad OA v A AB /3=== ωω，而OA OB v AB B ?=?=ωω3， 所以s rad s rad B O OA B O v B B O /2.5/3333111≈==?== ωωω（逆时针） 8-2 四连杆机构中，连杆AB 上固联一块三角板 ABD 。机构由曲柄A O 1带动。已知：曲柄 的角速度s rad A O /21=ω；曲柄cm A O 101=，水平距离cm O O 521=；AD=5cm ,当A O 1铅垂时， AB 平行于21O O ，且AD 与1AO 在同一直线上；角030=?。求三角板ABD 的角速度和D 点的速度。 参考答案：三角板 ABD C ，由此可得： s rad ctg O O AO AO AC v A O A /07.121111=?+?==?ωω s cm CD v D /35.25=?=ω 8-7 如图所示，在振动机构中，筛子的摆动由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA 的转速cm OA r n 30min,/40==。当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，090=∠BAO ，求此瞬时筛子BC 的速度。 解：由图示机构知BC 作平行移动，图示位置时，B v 与CBO 夹角为30°， 与AB 夹角为60°。 A v B v A v B v

第八章 刚体的平面运动

第八章刚体的平面运动 教学目的及要求 1．明确刚体平面运动的特征，掌握研究平面运动的方法（运动的合成与分解），能够正确地判断机构中作平面运动的刚体。 2．能熟练地应用各种方法——基点法、瞬心法和速度投影定理求平面图形上任一点的速度。 3．能熟练地用基点法分析平面图形内一点的加速度。 4．会求解运动学综合问题中的速度，了解求加速度。 §8-1平面运动的基本概念 教学重点：1．平面运动及平面图形的概念 2．平面运动的分解 教学难点：对平面运动分解为平动和转动的理解 教学内容： 1．平面运动：在运动中，刚体上的任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。2．平面图形：刚体平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。证明平面图形的运动代表刚体的运动。 3．平面运动分解为平动和转动 平面图形S的运动可以分解为随着基点的平动和绕着基点的转动。平面运动分解为平动和转动时，其中平动部分的速度和加速度与基点选择有关。在同一瞬时，平面图形绕任何点的转动角速度（或角加速度），都相同，或者说，平面图形的角速度（或角加速度）与基点的选择无关，把它称为平面图形的角速度（或角加速度），而不必指出其基点何在。 §8-2平面图形内各点速度的基点法和投影法 教学重点：1．速度的基点法 2．速度的投影法 教学难点：速度基点法和投影法的应用 教学内容： 1．基点法（速度合成法） 平面图形内任一点的速度，等于基点速度（牵连速度）与该点绕基点转动速度（相对速度）的矢量和。即： 注意：符号的下标表示它是B点绕A点转动的速度，而的下标则表 示它是A点绕B点转动的速度。≠应注意两者的区分。 2．速度投影定理 平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影彼此相等。

第章刚体的平面运动习题解答

第六章 刚体的平面运动 本章要点 一、刚体平面运动的描述 1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ??=. 2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度 1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即 BA A B v v v +=， 其中BA v 的大小为ωAB v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。 2投影法 速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即 AB A AB B v v ][][= 3瞬心法 任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。 平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。 面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即 ωCM v M =， 其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。 解题要领： 1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。 2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是

刚体的平面运动作业参考答案

刚体的平面运动作业参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。 答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2． 图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿 轮的角速度。 答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。

3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60o，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。 答案： 逆时针 顺时针顺时针 rad/s 3 4 , rad/s 4 , rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001 O =====BD B AB D B v v ωωω 提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。 4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。连杆上有一点D ，其位置为 DK =31 NK ，求D 点的速度。 答案：←= 3 2 0ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。

第8章刚体的平面运动习题

第8章 刚体平面运动习题 1.是非题（对画√，错画×） 8-1.刚体平面运动为其上任意一点与某一固定平面的距离始终平行的运动。（ ） 8-2.平面图形的运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成.( ) 8-3.平面图形上任意两点的速度在某固定轴上投影相等。（ ） 8-4.平面图形随着基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。（ ） 8-5.平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择有关。（ ） 8-6.速度瞬心点处的速度为零，加速度也为零。（ ） 8-7.刚体的平移也是平面运动。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上） 8-8.在平直轨道作纯滚动的圆轮，与地面接触点的速度为 。 8-9.平面图形上任意两点的速度在 上投影相等。 8-10.某瞬时刚体作平移，其角速度为 ；刚体上各点速度 ；各点加速度 。 3.简答题 8-11.确定图示平面运动物体的速度瞬心位置。 题8-11图 (a) (b) (c) 8-12.若刚体作平面运动，下面平面图形上A 、B 的速度方向正确吗？ 题8-12图 (a) (b) (c) 8-13.下面图形中O 1A 和AC 的速度分布对吗？ 8-14.圆轮做曲线滚动，某瞬时轮心的速度o v 和加速度o a ，轮的半径为R ，则轮心的角

加速度等于多少？速度瞬心点处的加速度大小和方向如何确定？ 题8-13图 B 8-15.用基点法求平面图形个点的加速度时，为什么没有科氏加速度？ 4.计算题 8-16.椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度o ω绕O 轴转动，如图所示，若取C 为基点，OC=BC=AC=r ，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 8-17.半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动，如图所示。曲柄以匀角加速度α绕O 轴转动，设初始时角速度0=ω、角加速度0=α、转角0=?，若选动齿轮的轮心C 点为基点，试求动齿轮的平面运动方程。 题8-16图 题8-17图 8-18.曲柄连杆机构，已知OA =40cm ，连杆AB =1m ，曲柄OA 绕O 轴以转速180=n r/min 匀速转动，如图所示。试求当曲柄OA 与水平线成o 45角时，连杆AB 的角速度和中点M 的速度大小。 8-19.已知曲柄OA =r ，杆BC=2r ，曲柄OA 以匀角速度4rad/s =ω顺时针转动，如图所示。试求在图示瞬时点B 的速度以及杆BC 的角速度。

第八章刚体的平面运动习题解答

习 题 8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 图8-28 t t r y t r x O O C O C ω?ωω===sin cos 8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。试求圆柱的平面运动方程。 图8-29 3/32gh v A = 3/22 gh v A = 3/g a A = 3/2 gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =? 8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱 面相切，如图8-30所示。设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。 图8-30 瞬心法 θ θθ θ ωcos sin cot sin 2 R v R v AI v A == = 基点法 θsin v v CA = θ θ θ θωcos sin cot sin 2 R v R v CA v CA === 8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。 图8-31 AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 22 1-= ω OB B O v v v += 2 2 12v v r v v O += +=ω 8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。当ADBC 成一平行四边形时，m/s 4.0m/s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。 图8-32

刚体平面运动(2)

刚体的平面运动(2) 班级 姓名 学号 一、是非题（正确用√，错误用×，填入括号内。） 刚体作瞬时平动时，刚体的角速度和角加速度在该瞬时一定都等于零。 （ ） 二、选择题（请将答案的序号填入划线内。） 1、正方形平板在自身平面内运动，若其顶点A 、B 、C 、D 的加速度大小相等，方向由图（a ）、(b)表示，则﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍。 ①(a)、(b)两种运动都可能； ②(a)、(b)两种运动都不可能； ③(a)运动可能，(b)运动不可能； ④(a)运动不可能，(b)运动可能。 2、曲柄连杆机构中，曲柄OA 以匀角速度ω绕O 轴转动，则图示瞬时连杆 AB 的角加速度为﹍﹍﹍﹍﹍﹍。 ①0≠AB ε ，逆时钟； ②0≠AB ε ，顺时钟； ③0=AB ε。 三、计算题（解题要求：依次分析各刚体运动形式，画出运动连接点的速度、加速度方向，基点法分析时要画出矢量图，写出求解公式进行计算） 1、在图示曲柄连杆机构中，曲柄OA 绕O 轴转动，其角速度为O ω，角加速度为O ε。在图示瞬时曲柄与水平线间成?60角，而连杆AB 与曲柄OA 垂直。滑块B 在圆形槽内滑动，此时半径O 1B 与连杆AB 间成?30角。如OA=r ，r AB 32=， O 1B =2r ，求在该瞬时，滑块B 的切向和法向加速度。

2、在四连杆机构中，长为r 的曲柄OA 以匀角速度0ω转动，连杆AB 长r l 4=，如图所示。设某瞬时OAB 共线，且∠O 1OA =∠O 1BA =30?，试求在此瞬时曲柄O 1B 的角速度及角加速度，并求连杆中点M 的加速度。 3、图示直角刚性杆，AC=CB =0.5m ，设在图示瞬时，两端滑块沿水平与铅垂轴的加速度如图，大小分别为2s m 1=A a ，2s m 3=B a 。求这时直角杆的角速度和角加速度。

理论力学-刚体平面运动的习题

共 2 页 第 1 页 二、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ，AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。（18分） 解：（1）速度分析及计算：AB 杆和圆轮作平面运动，选A 为基点 BA A B v v v += OA 杆绕O 轴转动：ω?=R v A AB=2R ，圆轮半径为R ，所以杆AB 与水平面夹角为30 ° 速度平行四边行如图。由图中几何关系可得： 3/330tan ω?==R v v A B C 为速度瞬心，此瞬时，圆轮可看成绕速度瞬心C 做定轴转动。 O 轴转动： 2ω?==R a a n A A 由速度平行四边行中几何关系可得： 3 / 230cos /ω?==R v v A BA 所以：222 3 2 2//ω?== = R R v AB v a BA BA n BA 选A 为基点，则B 点加速度: τ ++=BA n BA a a a a A B 将上式向x 轴投影得：n BA a a a n --= 30cos 30cos 三、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 解：以A 为基点，根据速度合成定理BA A B v v v +=，对B 进行速度分析, 在速度平行四边形中得： cm/s 30310=?=?===OA v v v oA B A B A ω 选A