第23课时-等比数列

西安昆仑中学高三一轮复习数学讲义

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课题：等比数列

教学目标：掌握等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，掌握等比数列的有关性质，并能利

用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．

教学重点：等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式以及等比数列的有关性质的应用． 教学过程：

（一）主要知识：

1．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 2．等比数列的有关性质；

3．等比数列的充要条件:

○1{}n a 是等比数列1n n

a q

a +?（q 为非零常数）；

○2{}n

a 是等比数列()

0,0n n

a cq c q

?构

○3{}n a 是等比数列2

1

2n n n a a a ++?

○

4{}n

a 是等比数列1,0,11n n

a S kq k k k q q

骣

÷??

-=构÷?÷

桫- （二）主要方法：

1．涉及等比数列的基本概念的问题，常用基本量1,a q 来处理；

2．已知三个数成等比数列时，可设这三个数依次为2

,,a aq aq 或,,;a

a aq q

3．等比数列的相关性质:

○1若{}n a 是等比数列，则m n

m n a a q

-= ；

○2若{}n a 是等比数列，,,,,;m n p t m n p t N m

n p t a a a a *?=+? 当时，

当2m n p +=时，2

m n

p a a a ?．

○3若{}n a 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；

○4若{}n a 是等比数列，S n 是{}n a 的前n 项和，则S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m …成等比数列． ○5两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ?、??????n n b a 、?

??

???n b 1仍为等比数列．

（三）例题分析：

例1○1已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*

n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则

46a a += ．

○2（2006湖北文）在等比数列{}n a 中，1101,3,a a ==则2389a a a a =K （ ）

A 81 B

C

D 24

○3（2005全国II 文）在83

和

27

2

之间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个

数的乘积是 ．

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2

例2．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3

项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式．

例3．（2006全国I 文）已知{}n a 为等比数列，324202,,3

a a a =+=求{}n a 的通项公式．

例4．（2004全国）数列{}n a 的前n 项和记为S n ，已知1121,(1,2,3),n n n a a S n n

++===K

证明：○1数列{}n

S n 是等比数列，○

21

4n n

S a += ．

例5．数列{}n a 是首项为1000，公比为

110

的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k

=

+++

*

()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '．

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（四）高考回顾：

考题1 （2006年湖北卷）若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，

且103=++c b a ，则a = （ ） A.4 B.2 C.-2 D.-4 考题2 （2006年辽宁卷）在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数

列,则n S 等于 （ ）

(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -

考题3 （2005江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+

a 4+ a 5= ( )

( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189

考题4 （2005湖北卷）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数

列，则q 的值为 .

考题5 （2005福建卷）已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；

（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与

b n 的大小，并说明理由.

考题6 (2006年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；

（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； （3） 记b n =2

11++

n n

a a ，求｛

b n ｝数列的前项和S n ，并证明S n +

1

32-n T =1.

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考题7 （2006浙江文）若S n 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列。

(Ⅰ)求数列124,,S S S 的公比。 (Ⅱ)若24S =，求{}n a 的通项公式.

考题8 （2006年上海春卷）已知数列3021,,,a a a ，其中1021,,,a a a 是首项为1，公差为1的

等差数列；201110,,,a a a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列（0≠d ）.

（1）若4020=a ，求d ；

（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；

（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已

知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

等比数列第一课时教案(汇编)

等比数列的定义教案 内 容： 等比数列 教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义； 2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法； 3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。 授课类型：新授课 课时安排：1课时教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。 教学难点：等比数列通项公式的探求。 教具准备：多媒体课件 教学过程： （一）复习导入 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 3.公差的确定方法. 4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？ （二）探索新知 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）－2，1，4，7，10，13，16，19，…（２）8，16，32，64，128，256，… （３）1，1，1，1，1，1，1，… （４）1，2，4，8，16，…263 请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列. 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠， 3.递推公式：1n a +∶(0)n a q q =≠ 对定义再引导学生讨论并强调以下问题 （1） 等比数列的首项不为0； （2）等比数列的每一项都不为0； （3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列； 问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？ 3．等比数列的通项公式： 【傻儿子的故事】 古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。 第二天,这人想请一个姓万的人来家里吃饭,就让他儿子帮忙写一张请帖,他儿子从早上一直写到中午也没有写好,这人觉得奇怪,就去看看,只发现他儿子在纸上划了好多横线,就问他儿子什么意思.他儿子一边擦头上的汗一边埋怨道:“爸,

等比数列教学设计(共2课时)

《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比

第二章2.4第1课时等比数列的概念及通项公式

2. 4等比数列 第1课时等比数列的概念及通项公式 1?通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用. 2?掌握等比中项的概念并 会应用. 3?掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 预冃案*自建迸习j 研读? M ?営 试 新知提炼 1.等比数列的定义 (1) 从第2项起 条件 (2) 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 结论这个数列就叫做等比数列 有关概念这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q M 0)表示2?等比数列的通项公式 门―1 a n = aq 1. 3. 等比中项 若a、G、b成等比数列，称G为a, b的等比中项且G= ± ab. ■自我尝试‘ 1?判断(正确的打“V”，错误的打“x”) (1) 数列1,—1, 1, - 1，…是等比数列.() (2) 若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列. () ⑶等比数列的首项不能为零，但公比可以为零. () (4) 常数列一定为等比数列.() (5) 任何两个数都有等比中项. () 答案：(1)2 (2) x⑶x ⑷x ⑸x 2.等比数列{a n} 中, a1 = 2, q = 3,贝U a n 等于（） A. 6 B. 3x 2n—1 3. 4与9的等比中项为()

A . 6 B . - 6 =1, C . 2 x 3n — 1 D . 6n 答案：C

A . 6 B . - 6 =1, C . i6 D . 36 答案： C 11 1 4. 等比数列一 10-而，一 而0,…的公比为 -------------------- . 1 答案：10 5. ______________________________________________ 在等比数列｛a n ｝中，已知a n = 4n 3 , 贝V a 1 = _____________________________________________ , q = ________ 1 答案：1 4 探究案讲练互普 探究点一等比数列的通项公式 H 在等比数列｛a n ｝中， (1) a 4 = 2, a 7= 8,求 a n . (2) a 2 + a 5= 18, a 3+ a 6= 9, a n = 1，求 n. a 4= ag 3, ［解］(1)因为 6 a 7= a 1q , a 1q 3= 2,① 所以 a 1q 6= 8,② ② 3， 由①，得43 = 4,从而q = - 4,而a 1q 3 = 2, n — 1 又a n = 1，所以32 x 即 26-n = 20,故 n = 6. 方祛归纳 于是a 1 = q 3= M 2' 2n -5 所以 a n = a 1q n -1 = 2 3 a 2 + a 5= a 〔q + a 1q 4 = 18, ① ⑵因为 2 5 ② 1 由①，得q =P 从而 a 1 = 32.

等比数列第一课时导学案

2.3 等比数列导学案（1） 学习目标：1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列 2 ??掌握等比数列的通项公式并能简单应用 ； 重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推 导及应用。 一、温故知新 什么叫等差数列？通项公式是什么 ？什么叫等差中项？ 二、探求新知 1、研究下面三个数列并回答问题 1 1 1 ① 1、2、4、8…；② 1、-1、1、-1 …③ 1、 、一、 —— 2 4 8 问题1: 上面数列都是等差数列吗？ 问题2:以上数列后项与前项的比有何特点？ 2、 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第 _____ 项起，每一项与它的前一项的 _______ 都等于 ______ 常数，那 么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的 _________ ，通常用字母 ________ 表示。 3、 等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列 a n ，的公比为q 方法1：（归纳法） 4、等比数列的通项公式 a n 玄1 a 「a 2 a 1_， a 3 a ?q a 1 ，a 4 a 3 q a 1 a n a n 1 q a 1 a o 根据等比数列的定义，可以得到— a 3 -- ? a 4 -- ? a n -- ? ? 一以上共有 a 1 a 2 a 3 a n 1 式，把以上 ____ 个等式左右两边分别相乘得 __________ ，即 a 1 a 2 a 3 a 1 ，即得到等比数列的通项公式。 方法2:（累乘法） a 2 a 3 a 4 a n 1

三、通过预习掌握的知识点 1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等比数列 ?这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q 表 1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数 (q) 2 隐含：任一项a n 0且q 0 3 q= 1时，｛a n ｝为常数。 2、 等比数列的通项公式 1: ___________________________ . 3、 等比数列的通项公式 2: ___________________________ . 4、 等比中项：若 a.b.c 成等比数列。贝U . 5、既是等差又是等比数列的数列 ：非零常数列 四、预习检查： 1.判断下列数列是否为等比数列 (1) 2,2,2,2，…； (2) -1,1,2,4,8 , ; ⑶ Ig3,lg6,lg12,…; (4) 1 2 3 a ,a ,a n 7 a J ； (5) 已知数列 a n 的通项公式为 a n 3 2n 。 (6) 已知数列 a n 的通项公式为 a n n 3 2.已知数列1,24,-8,16?…它的公比是 ,通项公式是 3. 已知数列 1 — 1 1 1 - -- … 则一 1 是它的第 项。 2 4 8 128 4. 一个等比数列的第 9项是4 ，公比是一1 ,求它的第1项 9 3 5. 一个等比数列的第 2项是10，第3项是20,求它的第1项与第4项 示(q z 0),即: a n =q (q* 0) a n 1 ｛an ｝成等比数列 a n 1 =q ( n a n N ,q *0)

【高中数学】第4章 4.3.1 等比数列的概念(第2课时)

4.3.1 等比数列的概念(第2课时) 素养目标 学科素养 1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质． 2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点) 3．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题. 1.数学运算； 2．逻辑推理 情境导学 一组有趣的对话，折了38次的纸，最后一次的厚度可是一个庞大的数字哦！ 1．等比数列的性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m · a n . (2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n }，???? ?? 1a n 仍为等比数列． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)在等比数列{a n }中，若a m a n ＝a p a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×) (2)若数列{a n }，{b n }都是等比数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等比数列．(×) (3)若数列{a n }是等比数列，则{λa n }也是等比数列．(×)

2．等比数列性质的应用 一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a ，aq ，aq 2或a q ，a ，aq ，此时公 比为q ；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3(公比为q )，当四个数均为正(负)数时，可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3(公比为q 2)． (1)在等比数列{a n }中，若a 1＝1 9 ，a 4＝3，则该数列前五项的积为__1__. (2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.

全国统考2022高考数学一轮复习课时规范练31等比数列及其前n项和理含解析北师大版.docx

课时规范练31 等比数列及其前n 项和 基础巩固组 1.(2020安徽安庆二模,理5)等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3a 6=2a 52 ,S 4=152 ,则a 2+a 4=( ) A .3 2 B .5 2 C.32 D.40 2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2n =4(a 1+a 3+…+a 2n-1)(n ∈N +),a 1a 2a 3=-27,则a 5=( ) A.81 B.24 C.-81 D.-24 3.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且7S 2=4S 4,则公比q 的值为( ) A.1 B.1或1 2 C . √3 2 D.±√32 4.(2020湖南郴州一模)在数列{a n }中,a 1=2,a n 2 =a n-1·a n+1(n ≥2,n ∈N *),S n 为{a n }的前n 项和,若a 6=64,则 S 7的值为( ) A.126 B.256 C.255 D.254 5.(2020广东惠州联考)已知数列{a n }为等差数列,且2a 1,2,2a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为( ) A.15 B .21 2 C.6 D.3 6.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ) A.63 B.62 C.61 D.60 7.(2020辽宁大连24中一模,4)在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1+a 2+a 5=13,且a 1,a 2,a 5成等比数列,则数列{a n }的公差等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.(2019全国1,理14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5= . 9.等比数列{a n }的各项均为实数,其前n 项和为S n .已知S 3=74 ,S 6=634 ,则a 8= . 10.(2020四川绵阳三模,理17)若数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a n +1=2 3S n . (1)求S n ; (2)设b n =1S n ,求证:b 1+b 2+b 3+…+b n <5 2. 综合提升组 11.(2020全国2,理6)数列{a n }中,a 1=2,a m+n =a m a n .若a k+1+a k+2+…+a k+10=215-25,则k=( )

北师大版高中数学必修5等比数列 第2课时

等比数列 （第二课时） 教学目标： 进一步熟悉等比数列的有关性质 教学重点： 等比数列的性质 教学过程 一、复习引入： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）， 即：1-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ) 0(11 1≠??=-q a q a a n n ， ) 0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛ n a ｝成等比数列?n n a a 1 +=q （+ ∈N n ,q ≠0） 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、等比数列的有关性质： 通过类比等差数列得到： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a = 三、 例1：已知无穷数列 ,10 ,10,10,105 152 51 50 -n ， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中

证：（1） 51 5 251 1 1010 10== ---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2） 10 110 10 101 5 451 5 = == -+-+n n n n a a ，即：5 10 1+= n n a a （3）5 2 5 1 5 110 10 10 -+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1， ∴? ?? ? ?? ∈--+5 1n 5 2 1010 q p ，（第1-+q p 项） 例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么：1221=q a ，① 18 3 1=q a ， ② 由②÷①可得第2 3=q ③ 把③代入①可得8 3 16121==∴= q a a a 答：这个数列的第1项与第2项是3 16和8. 例3：已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ?是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1;{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a ) () (21111 211121111 2 11 1 1与即为与---?????? .) ()(211 2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n == ??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列. 例4：在等比数列 {}n a 中，2 2 -=a ， 54 5=a ，求 8 a ， 解： 1458 2 54 542 553 58-=-? =? ==a a a q a a

等比数列的概念和通项公式(教学设计)

《等比数列》（第1课时）教学设计 授课地点：武威八中 授课时间：20XX年4月22日 授课人：武威六中杨志隆 一、教学目标 知识与技能 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式； 3.会应用定义及通项公式解决一些实际问题。 过程与方法 培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力。通过实例，归纳并理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，培养学生严密的思维习惯。情感态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 二、教学重点、难点 教学重点： 等比数列的概念及通项公式； 教学难点： 通项公式的推导及初步应用。 三、教学方法 发现式教学法，类比分析法 四、教学过程 （一）旧知回顾，情境导入 1. 回顾等差数列的相关性质 设计意图：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。 2.情境展示

情境1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 情境2：一张纸的折叠问题 把以上实例表示为数学问题，并引导学生通过观察、联想，得到两个数列： ① ??????16 1,81,41,21,1 ② 1,2,4,8,16,32,64?????? 设计意图：让学生通过观察，得到两个数列的共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数．由此引入等比数列。 （二）概念探究 1．引导学生通过联想并类比等差数列给出该数列的名称：等比数列 2．归纳总结，形成等比数列的概念． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（引导学生经过类比等差数列的定义得出）。同时给出等比中项的定义，并和等差中项做比较，加深学生对概念的理解。 3．对等比数列概念的深化理解 给出几个数列让学生判断是否是等比数列，以加深对概念的理解。 问题1：等比数列的项可以为零吗？ 问题2：等比数列的公比可以为零吗？ 问题3：若0>q ，等比数列的项有什么特点？0

《等比数列》第1课时教学设计

《等比数列》第1课时教学设计 ●教学目标 知识与技能：掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导； 过程与方法：通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。 情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 ●教学重点 等比数列的定义及通项公式 ●教学难点 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 复习：等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +） 等差数列是一类特殊的数列，在现实生活中，除了等差数列，我们还会遇到下面一类特殊的数列。 课本P41页的4个例子： ①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116 ，… ③1，20，220，320，420，… ④10000 1.0198?，210000 1.0198?，310000 1.0198?，410000 1.0198?，510000 1.0198?，…… 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数。 Ⅱ.讲授新课 1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1 -n n a a =q （q ≠0） 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) ｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）

高中数学教案——等比数列 第二课时

课题：3.4 等比数列（二） 教学目的： 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.深刻理解等比中项概念. 3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学重点：等比中项的理解与应用 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同

一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即： 1 -n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， )0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、讲解新课： 1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号） 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=?=?=2， 反之，若G 2=ab ,则G b a G =，即a ,G ,b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab （a ·b ≠0） 2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --?==k p p q a a q a a 221-+=?n m n m q a a a ，22 1-+=?k p k p q a a a 则k p n m a a a a = 3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 4．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0

高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计

高中数学《等比数列的前n项和（第一课时）》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计

《等比数列》第一课时教学设计

《等比数列 (第一课时)》教学设计 一、教学任务和目标 （一）教学任务分析：通过观察、分析、归纳、猜想、类比等思维活动，展示等比数列概念的形成与指数函数的对应等的深化过程；体会研究等比数列通项公式简单归纳方法：特殊到一般的过程。（二）教学目标 知识与技能：理解并掌握等比数列的定义和通项公式，并加以初步应用。 过程与方法：通过概念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到一般的数学思想，培养观察、分析、归纳、猜想、概括等思维能力。 情感、态度与价值观：培养勇于探索、大胆尝试与创新的精神，养成科学、良好的学习习惯和品质。 （三）教学重、难点 教学重点：等比数列概念的形成与深化，等比数列通项公式的推导与应用 教学难点：等比数列概念的深化，等比数列的判定、证明和应用二、教法与学法 （一）教学方法分析：本节课是《等比数列》第一课时，核心任务是概念的本质理解，而概念教学应注重概念的形成过程，引导学生主动探索、发现、类比和归纳，因此本节课采用教为主导、学为主体、

练为主线的教学方法，培养学生的学习热情，发挥学生的主动性和创造性。 （二）学法分析：一方面，学生领会数学概念学习的一般过程，并主动探索概念的形成；另一方面，由于等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，因此，学生可以将类比等差数列的概念形成和拓展过程，来构建等比数列的知识系统。 三、教学过程 （一）复习引新 等差数列与等比数列的内容平行，因此类比法是本节课学生学习过程中采用的主要数学方法。学生已经学习过等差数列相关内容和思想方法，因此本节课先复习等差数列知识点，为类比思想的应用提供基础。 问题1：等差数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示。 问题2：等差数列的通项公式是什么？如何推导该公式？ 等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+- 推广公式：()n m a a n m d =+- 推导过程：方法一：不完全归纳法：归纳、猜想。 方法二：累加法 问题3：等差数列的通项公式与相应的一次函数解析式之间有何

2018年高考数学二轮复习第二部分专题三数列第1讲等差数列与等比数列课时规范练理

第1讲 等差数列与等比数列 一、选择题 1．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 解析：由S 9＝ 9（a1＋a9）2＝9×2a5 2 ＝9a 5＝27，得a 5＝3， 又a 10＝8，因此公差d ＝ a10－a5 10－5 ＝1，所以a 100＝a 10＋90d ＝98. 答案：C 2．(2017·哈尔滨六中模拟)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝8a 6，则S4S2 的值为( ) A.1 2 B ．2 C.54 D ．5 解析：a 3＝8a 6，所以a 3＝8a 3q 3 ， 解得q ＝12 . 则 S4S2＝a1???? ??1－? ????1241－12 a1???? ??1－? ????1221－12 ＝54 . 答案：C 3．(2017·石家庄模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．且f (x )在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则{a n }的前100项和 为( ) A ．－200 B ．－100 C ．0 D ．－50 解析：因为y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调，且y ＝f (x )的图象关于x ＝－1对称． 又{a n }的公差不为0，且f (a 50)＝f (a 51) 所以a 50＋a 51＝－2，则a 1＋a 100＝－2. 则{a n }的前100项的和为 100（a1＋a100） 2 ＝－100. 答案：B

构造等差数列或等比数列(公开课)

构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法. ，对于任意正整数n，都例1设各项均为正数的数列的前n项和为S n 有等式：成立，求的通项a n. 解：，∴ ，∵，∴. 即是以2为公差的等差数列，且. ∴ 例2数列中前n项的和，求数列的通项公式. 解：∵ 当n≥2时， 令，则，且 是以为公比的等比数列， ∴. 2、构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法 就可求得这一数列的通项公式. 例3设是首项为1的正项数列，且，（n∈ N*），求数列的通项公式a n. 解：由题设得. ∵，，∴. ∴ . 例4数列中，，且，（n∈N*）， 求通项公式a n. 解：∵ ∴（n∈ N*） 3、构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 例5数列中，，前n项的和，求. 解： ，

∴ ∴ 4、构造对数式或倒数式 有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题 得以解决. 例6设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项 公式. 解：两边取对数得：，，设 ，则 是以2为公比的等比数列，. ，，， ∴ 例7已知数列中，，n≥2时，求通项公式. 解：∵，两边取倒数得. 可化为等差数列关系式. ∴

求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。 例3 已知数列{}n a 满足11231 3n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。

等比数列的前n项和(第二课时)

等比数列的前n 项和(第二课时) 【学习目标】 1．掌握等比数列与S n 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题． 2．掌握可以转化为等差或等比数列的数列求和问题． 3．会用等比数列的相关知识解决简单的实际应用问题． 【学习障碍】 1．由于对等比数列中各元素间的关系理解不够深刻，对等比数列的性质不够熟练，解 题时找不到解决问题的“巧”办法． 2．由于审视问题的高度不够，不会运用整体解决问题的策略． 3．有些数列本身不是等差或等比数列，但可以转化为等差或等比数列．学生常常苦于 找不到转化途径． 4．由于阅读理解能力较差，不能运用等比数列知识将实际问题转化为数学问题． 【学习策略】 Ⅰ．学习导引 1．求数列的前n 项和S n ，一般有以下几种方法： (1)直接转化为等差数列或等比数列求和问题； (2)用等差数列或等比数列求和的倒序相加或错位相减求S n ； (3)拆项求和； (4)对通项进行分解或组合，将原数列化成若干个容易求和的数列． 2．数列应用题中常用的几个概念： (1)增长率：增加或提高的比值． (2)成本与利润：成本是指生产一种产品所需的全部费用，利润是指商品生产的盈利． (3)利率与存、贷款问题：利率是指利息和本金的比率；复利是指把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计利息；单利是指只按照本金计算利息．存款一般只计算单利， 贷款在通常情况下不计算复利． 3．等比数列的前n 项和公式的常见应用问题． (1)生产部门中有增长率的总产量问题．例如，第1年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为1＋r ．其中第n 年产量为a (1＋r )n － 1，且过n 年后总产量为a ＋a (1＋r )＋a (1＋r )2…＋a (1＋r )n －1＝)1(1] )1(1[r r a n +-+-． (2)银行部门中利息按复利计算问题．例如，一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利算，则每月的a 元过n 个月后便成为a (1＋r )n 元，因此第二年年初可取款a (1

19-20版 第2章 2.4 第1课时 等比数列

2.4 等比数列 第1课时等比数列 学习目标核心素养 1.理解等比数列的定义(重点). 2.掌握等比数列的通项公式及其 应用(重点、难点). 3.熟练掌握等比数列的判定方 法(易错点)． 1.通过等比数列的通项公式及等比中项 的学习及应用，体现了数学运算素养. 2.借助等比数列的判定与证明，培养逻 辑推理素养. 1．等比数列的概念 (1)文字语言： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常 数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)． (2)符号语言： a n＋1 a n＝q(q为常数，q≠0，n∈N *)． 思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示]不能． 2．等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列． (2)结论：G叫做a，b的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝ab． 思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？ [提示]不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．

3．等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1．这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比． 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q ·q n ，而y ＝a 1 q ·q x (q ≠1)是一个不为0的常数a 1q 与指数函数q x 的乘积，从图象上看，表示数列{a 1 q ·q n }中的各项的点是函数y ＝a 1 q ·q x 的图象上的孤立点． 思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法． 当n >2时，a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2a 1＝q ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2…a n －1a n －2·a n a n －1 ＝a 1·q n －1. 1．2＋3和2－3的等比中项是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．2 C [设2＋3和2－3的等比中项为a ， 则a 2＝(2＋3)(2－3)＝1.即a ＝±1.] 2．下列数列为等比数列的序号是________． ①2，22，3×22；②1a ，1a 2，1a 3，1a 4，1 a 5(a ≠0)；③s －1，(s －1)2，(s －1)3，(s －1)4，(s －1)5；④0，0，0，0，0. ② [222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a ，公比为1 a 的等比数列；③中，当s ＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．] 3．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝1 4，则公比q ＝________． 1 2 [由定义知a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝a 5a 4 ＝q ，则a 2＝a 1q ＝2，①

(完整版)刘永祥等比数列第一课时教案

2.4.1等比数列第一课时教案 教者:刘永祥;授课班级:高二（20）班 教学目标 知识目标:1等比数列的定义；2、等比数列的通项公式 能力目标：1、明确等比数列的定义.2、理解掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3会解决知道1,,,n a a q n 中的三个求另一个的问题 情感态度价值观;培养学生积极动脑，明辨是非的学习作风，掌握取其精华、去其糟粕的能力。体会等比、等差数列的相似美和结构美 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学重点：1、等比数列概念的理解与并掌握2、等比数列通项公式的推导。 教学难点：等比数列通项公式的推导及应用。 教学过程： （一）复习回顾 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式及其推导方法 （二）复习引入 1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？ （１）63 1,2,4,8,16,...,2。（２）111 1,,,,...;248 （３）231,20,20,20...; （４）231.0198,1.0198,1.0198... 结论从第二项起每一项与前一项的比是同一个常数。 2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．． ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．． ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等

比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1 (2)n n a q n a -=≥ 思考：（1）等比数列中有为0的项吗?;(2)公比为1的数列是什么数列？ （3）既是等差数列又是等比数列的数列是什么数列？ (4)常数列是等比数列吗？ 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数q; (2)隐含：任一项0n a ≠且0q ≠；（3）当1q =时，数列{}n a 为常数列 （4）既是等差数列又是等比数列的数列：非零常数列 3．等比数列的通项公式： 方法一：（不完全归纳法）由定义得： q a a 12=； 21123)(q a q q a q a a ===；234311()a a q a q q a q ===；……； )0(1111≠??==--q a q a q a a n n n 当1n =时，等式也成立，即对一切*∈N n 成立。 方法二：（累乘法）由定义式可得： (1)n -个等式21a q a =，32 a q a =，……，1 n n a q a -=， 若将上述1n -个等式相乘，便可得： 11 342312--=???n n n q a a a a a a a a Λ， 即：11-?=n n q a a （n ≥2） 当1n =时，左边=1a ，右边=1a ，所以等式成立， ∴等比数列通项公式为：111(0)n n a a q a q -=??≠． ４．等比数列的通项公式的推广：1(0)n m n m a a q a q -=??≠ （三）．例题解析： 例1．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项、第2