论“态”-I

论“态”-I

Phybi

Physic group

Math group

Carridon University

1.导言

态（state）这个概念自量子诞生以来，到处泛滥.但很少有人知道它是什么，也很说好有人探究它是什么.它几乎是一个基本的概念，就像实体（entity），实在（reality），难以细究其人能正确妥当地使用.然而，一个概念的意义如果没有明晰，就存在滥用乱用的后果——事实上，物理学中这种情况经常出现.明晰态的概念，就是本文的任务.

2.系统和态

有些概念性的问题，必须首先厘清.

态是系统的态，所以我们要首先定义系统.系统有很多种定义方式，比如系统作为研究对象，或者是很多子系统构成的整体等[1].事实上，二者都是可取的，只是适用的情形之侧重不同.当我们忽略系统的内部结构，则采用前者；当我们主要考察系统的结构，则采用后者.在本文中，我们采用前者.但是，什么是研究

对象？是一个物理或者抽象的实体，还是该实体的性质？

我们知道，物理或者抽象实体往往具有很多不同种类的性质.如果将前者作为研究对象，势必对研究产生很大的复杂性——事实上也无此必要，科学总是尽可能地选取那些理想化的，简单的对象作为研究对象.因此，我们将实体的某一种性质作为研究对象，即系统.实体有很多不同种类的性质，因此，一个实体可以依此分为几个系统，即几个研究对象.此外，如有必要，我们还可以研究同一个实体，不同系统（性质）之间的相互关联和作用.比如电子的自旋系统和位形系统的纠缠.

至于同一个实体上的不同系统，我们还应该展开点细致的讨论.如果这些系统是独立的，则实体的态，即是各个系统态的直积.如果这些系统不独立，处理会麻烦些，也许我们可以用类似量子纠缠的纠缠态来描述实体.此外，不同实体的同一类系统（性质），也通常会产生相互作用.同样，不同实体的不同一类系统也可能发生相互作用，我们会在后面加以讨论.

现在我们定义系统的态.一个最简单的方法是，系统的态是系统的完备描述.数学地，我们将一组能够完全描述系统的数或含时的函数，定义为系统的态，简称系统态.前者是某个时刻T0的态，我们称之为静态；后者是随时演化的态，我们称之为动态.某一个意义上，一个系统和它的态是等同的.之所以做出区分，主要是描述和语法上的方便，系统是物理的，系统的态是数学的；系统是可命名的物理量比如自旋，而系统的态则由数学刻画，比如自旋态.我们将所有可能系统态的集合，称为系统态空间.

3.物理态和数学态

为了说话的方便，我们区分和定义物理态和数学态.如果态定义为系统完全的状态，我们称之为物理态.物理态的数学形式即状态的representation.这个数学形式，可能是一组数，函数或者矢量，能够完全或部分地表达想要研究的“系统”

的物理态，量力中的波函数就是基于如下假设，即特定的波函数（电子的位形波函数）能够完备地描述微观系统（电子的位形性质），即波函数是完备的.

物理态是现实，而数学态是其表征方式；物理态是ontic的，而数学态是epistemic 的.也就是说，前者是客观的，不变的，而后者是主观的，可变的.我们的任务是，找到用尽可能完备的数学态描述物理态.一般地，我们找到的数学态，并不能完全描述物理态，我们称之为不完备，反之，我们说数学态是完备的.由上述假设，物理态显然是完备的（这当然是废话），

4.态的完备性

一个实体的所有性质（系统），即为实体的态（实体态）.上述我们定义的是系统（性质）的态（系统态）.实体的态是所有其系统态的直积.如果系统的所有性质能最大化地用各个系统的态，即实体的数学态得到描述，我们称这个实体的数学态是完备的.同理，单个系统的性质能被该系统的数学态得到描述，我们称这个系统的数学态是完备的.系统的数学态比观测到的性质更完备.（至少定义上如此）能确定所有性质的值（或者其分布）；而性质，我们只能观测到部分，或者只需要部分，比态更不完备.

那么这里有个方法论，即如果实体被发现了新性质，原来所谓完备的态就可能会变成不完备，从而需要引入新参量将其完备化.自旋的引入就是如此.而一个数学态如果能描述已有的观测，还能预测新的观测，这样的态就是“超完备的”.能够完全描述现有观测的数学态称为“准完备的”.如果一个态无法解释现有观测，则称为“不完备”，需要引入新的参数将其变成“准完备”.

5.离散态空间和连续态空间

比如位形空间或者动量空间的态空间，就是一个连续态空间.你可以将其看做一组连续的无穷多个波函数的集合；而离散的能级态空间，则是分立的离散态.二

者的区别，在于态空间的基是离散的/有限的，还是连续的/无限的.

6.数学态的多元性

数学态，我们定义为上述提到的物理态之数学表征.那么系统真有确定的态吗？这是个深刻的根本性问题，是我们开展讨论的基本假设.基于理论方法论的基本之一，我们假设系统是有确定的物理态的.并基于此展开讨论.

数学是多元的，对系统的描述方式也是多元的，因此数学态也是多元的.它们的等价性该如何描述？连续映射还是同胚同构之类？显然，如果ψ（r,t）为系统的数学态，则任意单值函数f下的f（ψ（r，t））显然也是系统的数学态.例如：上述波函数在动量表象下也是系统的数学态.利用何种数学表征，可能对态的研究很关键.那么我们如何选取数学表征呢？这取决于研究的方便.

我们举几个不同但等价的数学态的例子.在量子力学中，比如波动力学，矩阵力学以及路径积分.而在经典中，不同的广义坐标也是如此，比如笛卡尔系和极坐标系.

7.叠加态及其意义

“在量子力学中，态叠加原理，适用于态函数即概率幅，而不是对粒子的坐标，动量，自旋等力学变量或者对概率本身叠加.”

——《量子力学的基本概念》by关洪

当哈密顿量不显含时间时，薛定谔方程的特解为：

其中En和φn分别是定态薛定谔方程

的本征值和本函数.按照态叠加原理，可以写出薛定谔方程的通解为：

对于态叠加原理，Dirac说的很好：“把一个态表示为一些其他态的叠加结果，这个过程是一个数学过程，它总是可以允许的，这一点不涉及任何物理条件，就像把一个波分解为一些傅里叶分量一样.然而，在某一特定情况下，这种过程是否有用，就得由所研究的问题的特殊物理条件来决定了.”[2]

我们可以讨论量子态的线性叠加以及线性积分.很期待一个统一的态理论.但是量力和经典中之态体系完全不同：经典是用概率密度分布，而量力用的是概率幅.为什么量力中用概率波分布？这主要是用实验和类比（经典波理论）套出来的.事实证明It does work.所以就一直用了，没人问为什么.而笔者要问，而且想找出上述二者统一性.这并不困难，因为你将所有经典中的概率密度，用波函数模方即可实现统一.然而两种数学态的操作方式不同：后者概率幅相加，后者概率密度相加.这种根本的不同，还能得到经典之量力极限近似，这是很令人匪夷所思的...

这是两大体系之间的相互作用，体系!而不是概念之间.量力有量力概念和关联；经典有经典概念和关联.前者在h=0时能够和后一致.那么，态之间的叠加是什么回事？（连续的数学态是做积分）

数学上，我们谈论加法和数乘，是一个再自然不过的事情.然而其对应的物理意义需要探清.经典上，即两个概率（密度）相加；量力上则是波函数相加（或两个量子态叠加）产生一个新的态.后者数乘不会改变任何事情，或者就是一个恒等变换.这和经典完全不同！我们已经假设两种体系中，数学态都完备地描述了系统.显然，经典统计力学中，概率密度分布并不是一个准完备态，所有粒子的动量和位置的值才是一个准完备态.而量子力学中，波函数则被假定是准完备的.所以二者没有可比性，这个精妙的问题先搁置.

8.态的例子

8.1粒子的经典态

众所周知，对于空间中某时刻单个的经典粒子，其运动状态（简称运动态）由两组数描述，位置和动量.二者分别都是三个数.通常位置和动量都在发生变化，所以粒子的动态是6个含时函数.对于一个n粒子系统，其运动态为6n个含时函数.

8.2波函数

单个量子粒子的时空性质构成一个量子态，我们通常用波函数表征.一般地，量子态等同于波函数，只有语义强调意义上的细微差别，为方便计，我们将它们视作一个概念.波函数其为时空的函数，一般具有某种意义上的连续性.已知一个量子系统的波函数，我们就能知道该量子系统的所有时空性质（尽管基于量子系统的本性，这种知晓只能是概率性的）.这也是为什么波函数有资格叫做量子态的原因.当然，波函数的完备性还存在争议，然而不管如何，即使波函数不完备，我们补充那些额外的参数将其完备化，产生一个完备“波函数”即可.这点我们不做深究，本文中假设波函数是完备的，因而是量子态.

量子态（波函数）的演化满足薛定谔方程，其意义为波恩诠释，即波函数粒子某时刻处在某点的概率幅.它的模方即为粒子出现在该时刻该点的概率密度.当然它也有表象的不同，即不同的representation；然而巧妙的是，表象不同波函数，表达的是一个东西.比如ψ（r，t）和φ（p，t），描述的是同一个量子态，二者通过傅里叶变换联系.

8.3自旋态

自旋是粒子的内秉属性，它被自旋态完备地描述.自旋态是一个二维矢量，一般地独立于时空波函数.结合在位置波函数里面，对于电子而言其为：

和时空波函数的波恩诠释一样，特定自旋指向的指向自旋波函数之模方，为该电子在该指向下测量后出现在该指向的概率.是自旋向上，位置在r 处的概率密度.

是自旋向下

，位置在r 处的概率密度.而:

所以归一化条件为:

()()223=[,,]1

22d x r r ψψ+-=? 很多情况下，如Hamiltonian 不含自旋分量，或可以表示为自旋变量部分和空间坐标部分之和（即H 中的空间部分和自旋部分可分离）.则波函数可以分离变量，即：

其中是描述自旋态的波函数，其一般形式为

因此归一化条件为:

特别地Sz的本征态和本征和波函数为：

简记为

α，β构成自旋态的一组正交完备基，任何自旋态可由此展开为

则总的波函数为

8.4偏振态

光子的偏振态是一种特殊的自旋态，然而它和电子的自旋态物理效应还是不同.

前者通过偏振片发生变化，后者在磁场中受力产坍缩.磁场相当于偏振片？偏振片的选择性机理是什么？

8.5路径态

量力入门的经典例子——电子双缝干涉实验的初等处理，就是将两条路径当做量子态，然后得到干涉项.

图1单电子干涉

这么做显然是不严格的，包括后继者的delayed choice之类.两个路径怎么当做两个态？态——比如是某个时刻态，加入时间维度是什么意思？其实也没什么，任何一个时刻，两个路径都有一个波函数，然后将该时刻的波函数叠加即可.但是这个事情要说清楚，不然概念是乱的.那么问题来了不同时刻的波函数有无叠加的可能？这就涉及相对论了，我暂时不清楚.还有一个问题是：路径积分怎么处理这个问题？这已经有文献报道了，我不做展开，似乎是路径的泛函.综上所述，非要把路径当做态也未尝不可，但需要一些严格的附加说明.

8.6同位旋态

同位旋（Isospin），为与强相互作用相关的量子数.海森堡为解释新发现中子的对称性而引入同位旋.在同位旋空间中，质子和中子是同一种粒子——的两个态.这里面还有对称性问题：同位旋反映自旋和宇称相同、质量相近而电荷数不同的几种粒子归属性质的量子数.例如，中子和质子的同位旋相同，但是同位旋的第三分量I3不同，分别为-1/2和+1/2，且呈现对称.同位旋拥有三个分量，在强相互作用中，同位旋守恒；在弱相互作用中，同位旋不守恒.[3]

对于强力相同而电荷不同的粒子，可以看作是相同粒子处在不同的电荷状态，我们用同位旋来描述这种状态.同位旋并不是自旋，也不具有角动量的单位.它是无量纲的一个物理量。之所以叫做“同位旋”，只是因为其数学描述与自旋很类似.类比自旋的概念引入抽象的同位旋空间，质子和中子是同位旋I相同，同位旋第3分量I3不同的两种状态.由此可确定它们的同位旋I=1/2，质子的I3=1/2，中子的I3=－1/2，它们组成同位旋二重态，它们质量上的微小差异来自I3的不同，犹如自旋取向不同引起自旋-轨道耦合的微小能量差异。

同样Σ±、Σ0组成同位旋三重态，它们的同位旋I=1，同位旋第三分量I3分别为±1和0.至于态和对称性，则是“论“态””-II的内容了.

9.态的演化

量子态的演化，统一遵循薛定谔方程的形式：

其中最重要的是该量子态特定的哈密顿量.哈密顿量决定了量子态的演化.先讨论位形空间的波函数，其哈密顿量的一般形式为：

我们再来看自旋态的演化，非相对论性自由粒子：

带电粒子：

其中：，利用：，得到：

其中，对于均匀磁场，取A=1/2B×r：

是电子轨道角动量带来的磁矩.

如果考虑电子自旋，假设自由电子的H为：

（利用了：）

第二项可以化为：

其中：

μ为自旋s对应的磁矩，称为内秉磁矩.内禀磁矩的大小，即Bohr磁子.

表示电子内禀磁矩和外场B的作用能.

可知内禀磁矩的g因子比轨道磁矩的大一倍.贴了半天公式，就为了是导了自旋

和外磁场的相互作用能.下面我们来求解一个自旋态的演化问题.

10.自旋态的演化

提示：

与自旋无关与空间无关，所以可以令：

关键是第二个方程，它帮助我们理解自旋态的演化.显然它和空间波函数一样也是满足薛定谔方程的；其次，自旋波函数也有一个“Hamiltonian”，这个

Hamiltonian是个矩阵，是个specific的能量（数学形式）.推广到其他形式的量子态，也有自己的specific的“Hamiltonian.显然，如果无外场，自旋分量不演化，

也许需要将其展开，才能看到物理意义.更一般的例子是：

上述问题成为一个偏微分方程组的问题.我们之所以不厌其烦地列举上述算例，就是为了展示波函数作为数学态，是如何在量子力学中起作用的.

2020.08.11

参考文献

1.量子力学-I（第二版），曾谨言，科学出版社1997

2.量子力学的基本概念，关洪

3.百度百科-同位旋

https://https://www.wendangku.net/doc/897017551.html,/item/%E5%90%8C%E4%BD%8D%E6%97%8B/1233544?fr=a laddin