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4-1 角动量(质点-刚体)

4-1 角动量(质点-刚体)
4-1 角动量(质点-刚体)

No. 4-1 角动量、角动量守恒定律

一、选择题:(注意:题目中可能有一个或几个正确答案)

1.已知地球的质量为m ,太阳的质量为M ,地心与日心的距离为R ,引力常数为G ,则地球绕太阳作圆周运动的角动量为

(A )GMR m (B )R GMm (C )R

G Mm

(D )

R

GMm 2 [ ]

2.均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位置的过程中,下述说法哪一种是正确的?

(A )角速度从小到大,角加速度从小到大。 (B )角速度从小到大,角加速度从大到小。 (C )角速度从大到小,角加速度从大到小。 (D )角速度从大到小,角加速度从小到大。

[ ]

3.两个均质圆盘A 和B 密度分别为A ρ和B ρ。若A ρ>B ρ,但两圆盘质量与厚度相同,如两盘对通过盘心、垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ,则

(A )A J >B J (B )B J >A J

(C )A J =B J

(D )A J 、B J 哪个大,不能确定

[ ]

4.有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上:

(1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零; (2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零; (3)当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零; (4)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零。 在上述说法中正确的有:

(A )(1)正确 (B )(2)正确 (C )(3)正确 (D )(4)正确

[ ]

5.关于力矩有以下几种说法:

(1)对某个定轴而言,内力矩不会改变刚体的角动量。 (2)作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零。

(3)质量相等,形状和大小不同的两个物体,在相同力矩的作用下,他们的角加速度一定相等。

在上述说法中正确的有,

(A )(1)正确 (B )(2)正确 (C )(3)正确 (D )(1)、(2)、(3)都是错误的

[ ]

6.一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O 转动时,如图射来两个质量相同,速度大小相同,方向相反并在一条直线上

的子弹,子弹射入圆盘并且留在盘内,则子弹射入后的瞬间,

圆盘的角速度ω (A )增大 (B )不变 (C )减小 (D )不能确定。 [ ]

二、填空题:

1.如图所示,x 轴沿水平方向,y 轴竖直向下,在时刻将质量为m 的质点由a 处静止释放,让它自由下落,则在任意时刻,质点所受

的对原点o 的力矩M

= ;该质点对原点o 的角动量

L

= 。

2.一长为l 、质量可以忽略的直杆,两端分别固定有质量为2m 和m

的小球,杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。开始杆与水平方向成某一角度θ,处于静止状态,如图所示。释放后,杆绕O 轴转动,则当杆转到水平位置时,该系统所受的合外力矩的大小M = ,此时该系统角加速度的大小β= 。

3.半径为R 具有光滑轴的定滑轮边缘绕一细绳,绳的下端挂一质量为m 的物体,绳的质量可以忽略,绳与定滑轮之间无相对滑动,若物体下落的加速度为a ,则定滑轮对轴的转动惯量J = 。

4.在一水平放置的质量为m 、长度为l 的均匀细杆上,套着一质量也为m 的套管B (可看做质点),套管用细线拉住,它到竖直的光滑

固定轴OO ′的距离为l 2

1

,杆和套管所组成的系统以角速度0ω绕

OO ′轴转动,如图所示。若在转动过程中细线被拉断,套管将沿着

杆滑动。在套管滑动过程中,该系统转动的角速度ω与套管轴的距离x 的函数关系为 。(已知杆本身对OO ′轴的转动惯量为2

3

1ml )

三、计算题:

1.有一半径为R 的圆形平板放在水平桌面上,平板与水平桌面的摩擦系数为μ,若平板绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度0ω开始旋转,它将在旋转几圈后停止?

'

m

?

2.在半径为R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上,有一人静

止站立在距转轴为R 2

1

处,人的质量是圆盘质量的1/10。开始时盘载

人相对地以角速度0ω匀速转动。如果此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v 沿与盘转动相反方向作圆周运动,如图所示。求:

(1) 圆盘对地的角速度。

(2) 欲使圆盘对地静止,人沿着R 21圆周对圆盘的速度v

的大小及方向? (已知圆盘对中心轴的转动惯量为2

2

1MR )

3.一匀质细棒长为2L ,质量为m ,以与棒长方向相垂直的速度0v 在光滑水平面内平动时,与前方一固定的光滑支点O 发生完全非弹性碰撞。碰撞点位于棒中心的一方L 21处,如图所示。求棒在

碰撞后的瞬时绕点O 转动的角速度ω。(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时的转动惯量为23

1ml ,式中的m 和l 分别为棒的质量和长度。)

2

12

1

第六章刚体的基本运动习题解答

第六章刚体的基本运动习题解答 习题 6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行,在其上铰接一三角形板ABC ,尺寸如图 6-16所示。图示瞬时,曲柄O 1A 的角速度为ω=5rad/s,角加速度为α=2rad/s2, 试求 三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。 图6-16 v C =v D =O 1A ω=0. 1?5=0. 5m/s a C =a D =O 1A ω τ τ n n 2 =0. 1?5=2. 5m/s 2 22 a C =a D =O 1A α=0. 1?2=0. 2m/s 6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中,滑杆BC 上有一圆弧形轨道,其半径R =100mm,圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm,以等角速度ω=4rad/s绕O 轴转动。设t =0时,求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时,导杆BC 的速度和加速度。?=0, 图6-17 x O 1=2OA cos ?=2R cos ωt =2?0. 1?cos 4t =0. 2cos 4t m O 1=-0. 8sin 4t m/s ?=30?时 x O 1=-0. 4m / s x O 1=-3. 2cos 4t m/s2 O 1=-1. 63m /s 2 x x v =0. 4m /s a =1. 63m /s 2=2. 771m /s 2 6-3 一飞轮绕定轴转动,其角加速度为α=-b -c ω2, 式中b 、c 均是常数。设运 动开始时飞轮的角速度为ω0,问经过多长时间飞轮停止转动? α=-b -c ω

2 d ωb +c ω 2 =-d t ? d ωb +c ω 2 ω0 = ? t -d t arctan(1bc c b ω) |ω=-t arctan( c b ω0) 6-4 物体绕定轴转动的转动方程为?=4t -3t 3。试求物体内与转轴相距R =0.5m的一点,在t =0及t =1s时的速度和加速度度的大小,并问物体在什么时刻改变其转向。 2 =4-9t 2 ? =-18t ?=4t -3t ? t =0时 =4 ? =0 ? v =R ω=0. 5?4=2m/s

最新第六章刚体的基本运动习题解答

习 题 6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行,在其上铰接一三角形板ABC ,尺寸如图6-16所示。图示瞬时,曲柄O 1A 的角速度为rad/s 5=ω,角加速度为2rad/s 2=α,试求三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。 图6-16 m/s 5.051.01=?===ωA O v v D C 2221n n m/s 5.251.0=?===ωA O a a D C 21ττm/s 2.021.0=?===αA O a a D C 6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中,滑杆BC 上有一圆弧形轨道,其半径R =100mm ,圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm ,以等角速度rad/s 4=ω绕O 轴转动。设t =0时, 0=?, 求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时,导杆BC 的速度和加速度。 图6-17 m 4cos 2.04cos 1.02cos 2cos 21t t t R OA x O =??===ω? m/s 4sin 8.01t x O -= ?=30?时 m/s 4.01-=O x 21m/s 4cos 2.3t x O -= 21m/s 36.1-=O x m /s 4.0=v 2 2m/s 771.2m/s 36.1==a 6-3 一飞轮绕定轴转动,其角加速度为2ωαc b --=,式中b 、c 均是常数。设运动开始时飞轮的角速度为0ω,问经过多长时间飞轮停止转动? 2ωαc b --= t c b d d 2-=+ω ω ??-=+t t c b 002d d 0ωωω t b c bc -=00|)arctan(1ωω )arctan(10ωb c bc t = 6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334t t -=?。试求物体内与转轴相距R =0.5m 的一点,在t =0及t =1s 时的速度和加速度度的大小,并问物体在什么时刻改变其转向。 234t t -=? 294t -=? t 18-=? t =0时 4=? 0=? m/s 245.0=?==ωR v

刚体角动量守恒定律

转动动能定理、角动量守恒原理 一,转动动能定理: 1, 力矩的功 设刚体在外力F 作用下发生角位移d φ 由功的定义:相应的元功为: ?θ?θMd Frd ds F ds F dA o ==-?=?=sin )90cos( 所以力矩的功为: ??==2 1 ???Md dA A 2, 转动动能定理 设M 为作用刚体上的合外力矩。将转动定律应用于功的定义中: 2 22 121)(0ωωωω?ω?β?ωωJ J d J d dt d J d J Md A -=====???? 所以转动动能定理为: 2 22 121ωω?J J Md -=? 说明,(1)??Md 为合外力矩的功,是过程量 22 1 ωJ E K = 为刚体在t 时刻的转动动能。是时刻量。 (2)其中M 、J 、ω必须相对同一惯性系,同一转轴。 【例】:质量为m 长度为l 的匀质细棒,可绕端轴o 在铅垂铅垂面内自由摆动,求细棒自水平位置自由下摆到铅垂位置时的角速度。 解:取细棒为研究对象,视之为刚体。细棒下摆到 任意θ位置时受外力有:重力mg ,端轴支持力N (对o 不成矩) 。由功的定义:

2 cos 2)90sin(2900l mg d l mg d l mg Md o o ===-=???θθθθθ 由转动动能定理: l g ml J l mg 331210212222= ∴ ?? ? ??=-=ωωω 二,角动量守恒定律 设M 为作用于刚体的合外力矩,由定轴转动定律: dt dL dt J d dt d J J M = ===)(ωωβ 所以,刚体定轴角动量定理为 00 L L dL Mdt L L t t -==?? 特别当整个过程中合外力矩为零时,刚体的角动量守恒。 即刚体定轴转动角动量守恒定律为: 常矢==L M 0 说明:(1)刚体定轴角动量守恒条件是整个过程中合外力矩为零。 (2)守恒式各量(M 、J 、ω)均需是对同一惯性系中的同一转轴。 (3)? ??==都变,但乘积不变、都不变、ωωωJ J const I L (4)角动量守恒定律也是自然界基本定律之一。不仅适用宏观领域, 也适用微观领域。 【例】质量为m 的人站在质量为M ,半径为R 的水平匀质圆盘边沿,随圆盘以角速度0Ω旋转,当他运动到半径r 处时,系统的角速度变为多少? 解:系统转动过程中所受外力:重力Mg 、mg 、以及转轴的支持力N 均对转轴不成矩,故系统角动量守恒。 2 22 22022220222)2() 2 1()21()2 1 ()21(Ω++=+Ω+=ΩΩ+=Ω+ MR mr R M m MR mr MR mR MR mr MR mR

质点、刚体角动量

§6-1力矩 一、力对点的力矩: 如图所示,定义力F 对O 点的力矩为:F r M ?= 大小为:θsin Fr M = 力矩的方向:力矩是矢量,其方向可用右手螺旋 法则来判断:把右手拇指伸直,其余四指弯曲,弯曲 的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时, 拇指指向的方向就是力矩的方向。 二、力对转轴的力矩: 力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。 1)力与轴平行,则0=M ; 2)刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内,转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。力的大小与力臂的乘积,称为力F 对转轴的力矩,用M 表示。力矩的大小为:Fd M = 或:θsin Fr M = 其中θ是F 与r 的夹角。 3)若力F 不在垂直与转轴的平面内,则可把该力分解为两个力,一个与转轴平行的分力1F ,一个在垂直与转轴平面内的分力2F ,只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响。 对于定轴转动,力矩M 的方向只有两个,沿转轴方向或沿转轴方 向反方向,可以化为标量形式,用正负表示其方向。 三、合力矩对于每个分力的力矩之和。 合力∑=i F F 合外力矩∑∑∑=?=?=?i i i M F r F r F r M = 即∑i M M = 四、单位:m N ? 注意:力矩的单位和功的单位不是一回事,力矩的单位不能写成焦耳。 (1)与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩; (2)与转轴平行的力对转轴不产生力矩; §6-2质点的角动量定理及角动量守恒定律 在讨论质点运动时,我们用动量来描述机械运动的状态,并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。同样,在讨论质点相对于空间某一定点的运动时,我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。角动量是一个很重要的概念,在转动问题中,它所起的作用和(线)动量所起的作用相类似。 在研究力对质点作用时,考虑力对时间的累积作用引出动量定理,从而得到动量守恒定律;考虑力对空间的累积作用时,引出动能定理,从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩对时间的累积作用,可得出角动量定理和角动量守恒定律;而力矩对空间的累积作用,则可得出刚体的转动动能定理,这是下一节的内容。本节主要讨论的是绕定轴转动的刚

第6章刚体的平面运动习题解答080814

第六章 刚体的平面运动 本章要点 一、刚体平面运动的描述 1 刚体的平面运动方程:)(t x x A A =,)(t y y A A =,)(t ??=. 2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动:刚体的平面运动(绝对运动)便可分解为随动坐标系(基点)的平移(牵连运动)和相对动坐标系(基点)的转动(相对运动)。其平移部分与基点的选取有关,而转动部分与基点的选取无关。因此,以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时,不必指明基点,而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度 1 基点法:平面图形内任一点B 的速度,等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和,即 BA A B v v v +=, 其中BA v 的大小为ωAB v BA =,方向垂直于AB ,指向与图形的转动方向相一致。 2投影法 速度投影定理:在任一瞬时,平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等,即 AB A AB B v v ][][= 3瞬心法 任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点,称为该平面图形的瞬时速度中心,简称瞬心。 平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同,但有本质区别。绕定轴转动时,转动中心是一个固定不动的点,而速度瞬心的位置是随时间而变化的。 面图形内任意一点的速度,其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度,即 ωCM v M =, 其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时,0=ω,则称此时刚体作瞬时平移,瞬时平移刚体的角加速度不为零。 解题要领: 1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点,以使问题简单,。 2 由于在基点建立的是平移坐标系,因此,相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长:基点法包含刚体运动的速度信息,但过程繁杂;速度投影法能快捷地求出一点的速度,但失去角速度信息;瞬心法简单明了和直观是

质点、刚体的角动量、角动量守恒定律

010-质点、刚体的角动量、角动量守恒定律 1. 选择题 1. 一质点作匀速率圆周运动时,[ ] (A) 它的动量不变,对圆心的角动量也不变. (B) 它的动量不变,对圆心的角动量不断改变. (C) 它的动量不断改变,对圆心的角动量不变. (D) 它的动量不断改变,对圆心的角动量也不断改变. 答案:(C ) 2. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是[ ] (A) 刚体不受外力矩的作用. (B) 刚体所受合外力矩为零. (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变. 答案:(B ) 3. 地球绕太阳作椭圆轨道运动,太阳的中心在椭圆的一个焦点上,把地球看作一个质 点,则地球的[ ] (A) 动能守恒. (B) 动量守恒. (C) 对太阳中心的角动量守恒. (D) 对太阳中心的角动量守恒,动能守恒. 答案:(C ) 4. 均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动,如图所示.今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动 到竖直位置的过程中,下述说法哪一种是正确的?[ ] (A)角动量从小到大,角加速度从大到小. (B)角动量从小到大,角加速度从小到大. (C)角动量从大到小,角加速度从大到小. (D)角动量从大到小,角加速度从小到大. 答案:(A ) 5. 人造地球卫星,绕地球作椭圆轨道运动,地球在椭圆的一个焦点上,则卫星的[ ] (A)动量不守恒,动能守恒. (B)动量守恒,动能不守恒. (C)对地心的角动量守恒,动能不守恒. (D)对地心的角动量不守恒,动能守恒. 答案:(C ) 6. 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动,卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B .用L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值,则应有[ ] (A) L A >L B ,E KA >E kB . (B) L A =L B ,E KA E KB . (D) L A

010-质点、刚体的角动量、角动量守恒定律

质点、刚体的角动量,角动量守恒定律 1、选择题 1.人造地球卫星,绕地球作椭圆轨道运动,地球在椭圆的一个焦点上,则卫星的 (A)动量不守恒,动能守恒. (C)对地心的角动量守恒,动能不守恒. (B)动量守恒,动能不守恒. (D)对地心的角动量不守恒,动能守恒. [ ] 2.人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动,卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B .用 L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值,则应有 (A) L A >L B ,E KA >E kB . (B) L A =L B ,E KA E KB . (D) L A

第六章刚体动力学_大学物理

第七章机械振动 刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系 刚体定轴转动的动力学方程,熟练使用刚体定轴转动定律 刚体对固定轴的角动量的计算,正确应用角动量定理及角动量守恒定理 掌握刚体的概念和刚体的基本运动 理解转动惯量的意义及计算方法,会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量 掌握力矩的功,刚体的转动动能,刚体的重力势能等的计算方法 了解进动现象和基本描述 §6.1 刚体和自由度的概念 一. 力矩 力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体 运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因. 将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于 不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即 力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零. 讨论: (1)力对点的力矩. (2) 力对定轴力矩的矢量形式 力矩的方向由右螺旋法则确定. (3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.

例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图) 求摩擦力对y 轴的力矩. 解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如 图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为 则该线元的摩擦力对y轴的力矩为 积分得摩擦力对y轴的力矩为 注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如

刚体角动量及守恒定律工科

刚体的角动量及守恒定律 一、选择题 1、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂水平地举二哑铃。在该人把此二哑 铃水平收缩到胸前的过程中,对于人、哑铃与转动平台组成的系统来说,正确的 是: 。 A.机械能守恒,角动量守恒; B.机械能守恒,角动量不守恒; C.机械能不守恒,角动量守恒; D.机械能不守恒,角动量不守恒; 2、 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。 (A) 刚体不受外力矩的作用. (B) 刚体所受合外力矩为零. (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变. 3、一块方板,可以绕通过其一个水平边的光滑固定轴自由转动.最初板自由下垂.今 有一小团粘土,垂直板面撞击方板,并粘在板上.对粘土和方板系统,如果忽略空气阻力, 在碰撞中守恒的量是 。 (A) 动能. (B) 绕木板转轴的角动量. (C) 机械能. (D) 动量. 4、光滑的水平桌面上,有一长为2L 、质量为m 的匀质细 杆,可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O 自由转动,其转动惯量为31mL 2,起初杆静止.桌面上有两个质量均为m 的小球,各自在垂直于杆的方向上,正对着杆的一端,以相同 速率v 相向运动,如图所示。当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后,就与 杆粘在一起转动,则这一系统碰撞后的转动角速度应为 。 (A) L 32v . (B) L 54v . (C) L 76v . (D) L 98v . (E) L 712v . 5、如图所示,一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O 旋转,初始状态为静止悬挂.现有一个小球自左方水平打击细杆.设小球与细杆之间为非弹性碰撞,则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 。 (A) 只有机械能守恒. (B) 只有动量守恒. (C) 只有对转轴O 的角动量守恒. (D) 机械能、动量和角动量均守恒. 6、 质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上.平台可以绕通过其中心的竖直 光滑固定轴自由转动,转动惯量为J .平台和小孩开始时均静止.当小孩突然以相对于地 面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时,则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向 分别为 。 (A) ??? ??=R J mR v 2ω,顺时针. (B) ?? ? ??=R J mR v 2ω,逆时针. (C) ??? ??+=R mR J mR v 22ω,顺时针. (D) ?? ? ??+=R mR J mR v 22ω,逆时针. 7、一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动,盘上站着一个人. 把人和圆盘取作 O v 俯视图

第6章刚体的基本运动习题

第6章 刚体的基本运动习题 1.是非题(对画√,错画×) 6-1.平移刚体上各点的轨迹一定是直线。( ) 6-2.在每一瞬时刚体上各点的速度相等,刚体作平移运动。( ) 6-3.某瞬时刚体有两点的速度相等,刚体作平移运动。( ) 6-4.研究刚体的平移运动用点的运动学知识即可。( ) 6-5.平移刚体上各点的轨迹形状相同,同一瞬时刚体上各点的速度相等,各点的速度相等。( ) 6-6.刚体在运动的过程中,存在一条不动的直线,则刚体作定轴转动。 6-7.刚体作定轴转动时各点的速度大小与到转轴的距离成正比,各点的加速度大小与到转轴的距离成反比。 6-8.刚体作定轴转动时法向加速度ωr a n 2=。( ) 6-9.齿轮传递时其角速度的比等于半径的正比。( ) 6-10.刚体作定轴转动时角速度与角加速度同号时,刚体作加速转动。( ) 2.简答题 6-11.刚体作匀速转动时,各点的加速度等于零吗?为什么? 6-12.齿轮传递时,如图6-12所示,接触点的速度相等,加速度也相等吗?为什么? 6-13.下列刚体作平移还是作定轴转动: (1)在直线轨道行驶的车箱。 (2)在弯道行驶的车箱。 (3)车床上旋转的飞轮。 (4)在地面滚动的圆轮。 6-14.如图所示,直角刚杆AO=1m ,BO=2m ,已知某瞬时A 点的速度V A =4m/s ,而B 点的加速度与BO 成α=45°,则该瞬时刚杆的角加速度α为多少?。 6-15.如图所示,鼓轮的角速度由下式 题6-14图 题6-15图

r x tan 1 -=? 求得, (dt d dt d ω==?r x tan 1-) 问此解法对吗?为什么? 3.计算题 6-16.如图所示的机构中,已知O 1A=O 2B=AM=r=0.2m ,O 1O 2=AB ,轮O 1的运动方程为t π15=?(rad ),试求当s 50.t =时,杆AB 上的点M 的速度和加速度。 6-17.揉茶机的揉桶有三个曲柄支持,曲柄支座A 、B 、C 与支轴a 、b 、c 恰好组成等边三角形,如图所示。三个曲柄长相等,长为cm 15=l ,并以相同的转速r/min 45=n 分别绕其支座转动,试求揉桶中心点O 的速度和加速度。 题6-16图 题6-17图 6-18.如图所示,带有水平滑槽的套杆可沿固定板的铅锤导轨运动,从而带动销钉B 沿半径R =100mm 的圆弧滑槽运动。已知套杆以匀速度2=o v m/s 铅直向上运动,试求当y =100mm 时,线段OB 的角速度。

第五章 角动量角动量守恒定理

第五章角动量角动量守恒定理 本章结构框图 学习指导 本章概念和内容是中学没有接触过的,是大学物理教学的重点和难点。许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆,例如两种冲击摆问题。建议采用类比方法,对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。本章的重点是刚体定轴转动问题,注意定轴条件下,各种规律都应该用标量式表示。还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。 基本要求 1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 2.理解定轴刚体的转动惯量概念,会进行简单计算。 3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。 4.掌握刚体定轴转动定律,熟练进行有关计算。 5.理解角冲量(冲量矩)概念,掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理, 熟练进行有关计算。

6.掌握角动量守恒的条件,熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。 内容提要 1.基本概念 刚体对定轴的转动惯量:是描述刚体绕定轴转动时,其转动惯性大小的物理量。定义为刚体上每个质元(质点、线元、面元、体积元)的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。即: I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。 质点、质点系、定轴刚体的角动量:角动量也称动量矩,它量度物体的转动运动量,描述物体绕参考点(轴)旋转倾向的强弱。表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。 表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量

力矩:力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩(图5.1): 即: 大小:(力×力臂)方向:垂直于决定的平面,其指向 由右手定则确定。 对于力矩的概念应该注意明确以下问题: ?区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩:力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。例如:某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点 的力矩在三个坐标轴上的投影: 由上可知:力对参考点的力矩是矢量,而力对定轴的力矩是代数量。 ?明确质点系内力矩的矢量和恒为零:由于内力总是成对出现,作用力和反作用力等大、反向、在同一直线上,所以对任何参考点内力矩的矢量和恒为零。当然,对任意轴,内力矩的代数和也恒为零。 ?明确质点系的合外力矩不等于其外力矢量和的力矩:合外力矩为各外力对同一参考点的力矩的矢量和,即:。由于一般情况下,各外力的作 用点的位矢各不相同,所以不能先求合力,再求合力的力矩。但是存在特例:在求重力矩时,可以把系内各质点所受重力平移到质心C,先求出其合 力,再由得到重力的合力矩。

大学物理角动量小论文

角动量守恒及其应用 ————角动量守恒及其应用 姓名:咫尺天涯学号:0909009 班级:12-1 摘要:角动量及其规律是从牛顿定律基础上派生出来的又一重要结果.角动量定理对质点及质点系都成立。在一些体育运动及猫的下落问题中都会用到角动量守恒来解释相关现象。 一、理论基础 质点的角动量定理为:M= 对其推广到质点系。一质点系由N个质点组成。对质点系中任一个质元J,应用角动量定理得: M是第J个质元受到的合力矩。将每个质元受到的力矩分为外力矩和内力矩,分别记作这样,对第J个质元 将它对N个质元求和得 式中,为质点系所有质点受到和外力矩矢量和,为质点系所有质点受到和内力矩矢量和。可知质点系所有质点受到和外力矩矢量和为零(读者可自行证明,在此不做赘述)。 故对质点系来说 前面证明了角动量定理对质点及质点系都成立。接下来探讨角动量守恒所应该满足的条件: (1)系统不受外力。 (2)系统所受和外力矩为零。 此两种情况下M=0,由角动量定理:M= 得系统角动量变化率为0。即系统角动量为常量,也说明了此时角动量是守恒的。

另外:L= 此时 ,当I 增大时 减小,当I 减小时 增大.利用此性质可以解释一些物理现象。 二、 联系实际: (1) 人体作为一个一个质点系,在运动过程中也应遵循角动 量定理。人体脱离地面和运动器械后。仅受重力作用, 故人体相对质心 角动量守恒。利用 人体形状可变的 性质,应用角动量 守恒定律就可做 出千姿百态的动 作出来。 (2)当物体绕定轴转动时,如果它对轴的转动惯量是可变的,则在满足角动量守恒的条件下,物体的角速度随转动惯量I 的改变而变,但两者之乘积却保持不变,因而当I 变大时, 变小;I 变小时, 变大。 在花样滑冰中,运动员利用身体的伸缩改变自身的转动惯量,以改变绕自身竖直轴的角速度。 (3) 猫在自由下落中的翻身与角动量守恒 让一只猫四脚朝天的下落,它总能在落地前翻身180度,变成四脚着地的安全姿势着陆。猫在自由下落过程中唯一受到的外力便是重力,而重力对猫的质心没有力矩,故猫在下落的过程中和外力矩为零。那么它如何获得这180度的角位移? 人们很早就意识到猫此时不能当 作一个刚体来其后又出现了双轴转动解释,意为猫先躬身,使前半身和后半身几乎成90角,然后其前半身与后半身分别旋转,但前后身旋转方向相反。猫身体前后两部分角动量大小可以相同,但符号相反。故其和角动量仍能和猫开始下降时一样,都为0。 这样,对于猫整体而言,其角动量仍能保持不变。 后来有人对猫的下落进行高速摄影,发现了双轴转动现象,此解释宣告成功。 (4)人手持哑铃在转台上的自由转动属于系统绕定轴转动的角动量守恒定律的 特例。因为人,转台和一对哑铃的重力以及地面对转台的支承力皆平行于转轴,不产生力矩,M=0,故系统的角动量应始终保持不变。 条件: 结论: 常量

第6章刚体的基本运动

第6章 刚体的基本运动 在上一章的基础上本章的研究对象是刚体,学习的内容是刚体的平行移动和定轴转动,它构成刚体的两个基本运动,也是研究刚体复杂运动的基础。 6.1 刚体平行移动 工程实际中,如气缸内活塞的运动,打桩机上桩锤的运动等等,其共同的运动体点是在运动过程中,刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行,刚体的这种运动称为平行移动,简称平移。如图6-1所示车轮的平行推杆AB 在运动过程中始终与它初始位置相平行,因此推杆AB 作平移。 确定平移刚体的位置和运动状况,只需研究刚体上任意直线段AB ,A 、B 两点的矢径为A r 和B r ,A 、B 两点间的有向线段AB r 之间的关系为 AB B A r r r += (6-1) 图6-1 图6-2

由平动定义知AB r 为恒矢量,A 、B 两点的轨迹只相差AB r 的恒矢量,即A 、B 两点的轨迹形状相同。 式(6-1)对时间求导,得 B A v v = (6-2) B A a a = (6-3) 结论: (1)平移刚体上各点的轨迹形状相同; (2)在同一瞬时平移刚体上各点的速度相等,各点的加速度相等。 因此,刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究,即点的运动学。 6.2 刚体的定轴转动 工程实际中绕固定转动的物体很多,如飞论、电动机的转子、卷扬机的鼓轮、齿轮等均绕定轴转动。这些刚体的运动特点是:在运动过程中,刚体上存在一条不动的直线段,刚体的这种运动称为刚体的绕定轴转动,简称转动,转动刚体的不动的直线段称为刚体的转轴。 6.2.1转动刚体的运动描述 如图6-3所示,选定参考坐标系oxyz ,设z 轴与刚体的转轴重合,过z 轴作一个不动的平面0P (称为静平面),再作一个与刚体一起转动的平面P (称为动平面),令静平面0P 位于oxz 面上,初始瞬时这两个平面重合,当刚体转动到t 瞬时,两个平面间的夹角为?,?称为刚体的转角,用来描述转动刚体的代数量。按照右手螺旋法则规定转角?的符号,其单位为弧度(rad )。 刚体定轴转动的运动方程是 f(t)=? (6-4) f(t)是时间t 的单值连续函数。

《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解

图 题46-第六章 刚体的基本运动 习题全解 [习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=?(?以rad 计,t 以s 计)。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点,在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小,并问物体在什么时刻改变它的转向? 解: 角速度: 2394)34(t t t dt d dt d -=-== ?ω 角加速度:t t dt d dt d 18)94(2-=-==ωα 速度: )94(2t r r v -==ω 切向加速度:rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度:222 22 )94()]94([t r r t r v a n -=-==ρ 加速度: 422222222)94(324])94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-=+= 物体改变方向时,速度等于零。即: [习题6-2] 飞轮边缘上一点M,以匀速v=10m/s运动。后因刹车,该点以 )/(1.02s m t a t =作减速运动。设轮半径R=0.4m,求M点在减速运动过程中的运动方程及 t=2s时的速度、切向加速度与法向加速度。 解: t dt d a t 1.04.022-===? ρα (作减速运动,角加速度为负) 02=C ,故运动方程为: 速度方程:1005.02 +-=t v 切向加速度:)/(2.021.01.0|22s m t a t t -=?-=-== 法向加速度:222)25125.0(4.0+-?==t a n ρω [习题6-3] 当起动陀螺罗盘时,其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过5分钟 后,转子的角加速度为)/(600 s rad πω=。试求转子在这段时间内转了多少转? 解:kt dt d ==ωα ππ?60000450 300|3300=?==s t , 转数)30000260000N r (= π π [习题6-4] 图示为把工件送入干燥炉内的机构,叉杆m OA 5.1=,在铅垂面内转动,杆m AB 8.0=,A端为铰链,B端有放置工件的框架。在机构运动时,工件的速度恒为s m /05.0,AB杆始终铅垂。设运动开始时,角0=?。求运动过程中角?与时间的关系。并求点B的轨 迹方程。 解: OA作定轴转动;AB作刚体的平动。 01=C 故

010-质点、刚体的角动量、角动量守恒定律 (1)

质点、刚体的角动量,角动量守恒定律 1、选择题 1.人造地球卫星,绕地球作椭圆轨道运动,地球在椭圆的一个焦点上,则卫星的 (A)动量不守恒,动能守恒. (C)对地心的角动量守恒,动能不守恒. (B)动量守恒,动能不守恒. (D)对地心的角动量不守恒,动能守恒. [ ] 2.人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动,卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B .用 L 和E K 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值,则应有 (A) L A >L B ,E KA >E kB . (B) L A =L B ,E KA E KB . (D) L A

《理论力学》第六章 刚体的基本运动习题全解

第六章 刚体的基本运动 习题全解 [习题6-1] 物体绕定轴转动的运动方程为334t t -=?(?以rad 计,t 以s 计)。试求物体内与转动轴相距m r 5.0=的一点,在00=t 与s t 11=时的速度和加速度的大小,并问物体在什么时刻改变它的转向? 解: 角速度: 2 394)34(t t t dt d dt d -=-==?ω 角加速度:t t dt d dt d 18)94(2 -=-== ωα 速度: )94(2t r r v -==ω )/(2)094(5.0|2 0s m r v t =?-?===ω )/(5.2)194(5.0|2 1s m v t -=?-?== 切向加速度:rt t r a t 18)18(-=-==ρα 法向加速度:2 22 22 )94()] 94([t r r t r v a n -=-= =ρ 加速度: 4 222 2 2 2 2 2 )94(324] )94([)18(t t r t r rt n a a n t -+=-+-= += )/(8165.0)094(0324|2 4 2 2 0s m r a t =?=?-+?== )/(405.1581.305.0)194(1324|2 4 2 2 1s m r a t =?=?-+?== 物体改变方向时,速度等于零。即: 0)94(2 =-=t r v )(667.0)(3 2s s t == [习题6-2] 飞轮边缘上一点M,以匀速v=10m/s运动。后因刹车,该点以 )/(1.02 s m t a t =作减速运动。设轮半径R=0.4m,求M点在减速运动过程中的运动方程及 t=2s时的速度、切向加速度与法向加速度。 解: t dt d a t 1.04.02 2 -===?ρα (作减速运动,角加速度为负) t dt d 25.022 -=? 12 125.0C t dt d +-=? 2130417.0C t C t ++-=? 12 124.005.0)125.0(4.0C t C t dt d R v +-=+-?==? 104.0005.0|12 0=+?-==C v t

大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动

第5章 角动量守恒定律 刚体的转动 5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么,质点动量与角动量能否同时守恒?試说明之。 答:质点的动量守恒的条件是: 当0F =时,p mv ==恒矢量。 质点的角动量守恒的条件是: 当0M =时,即000,F r θπ?=??=??=?? 时,L =恒矢量。 可见,当0F =时,质点动量与角动量能同时守恒。 5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质? 答:质点在有心力场中运动时,0,0F M ≠=,则角动量守恒,即: 当0M =时,L =恒矢量。 又因为有心力是保守力,则机械能守恒,即: 当0ex in nc A A +=时,K P E E E =+=恒量。 5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的,地心O 是这一轨道的一个焦点。卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗?卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系? 答:卫星经过近地点和远地点时的速率不一样,由角动量守恒定律得: a a b b r mv r mv = a b b a v r v r ∴= 可见,速率与距离成反比。 5-4 作匀速圆周运动的质点,对于圆周上某一定点,它的角动量是否守恒?对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点,它的角动量是否守恒?对于哪一个定点,它的角动量守恒? 答:作匀速圆周运动的质点,对于圆周上某一定点,它的角动量不守恒;对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点,它的角动量不守恒;对于圆心定点,

它的角动量守恒。 5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛,抛射角为θ,小球运动过程中,相对于抛射点的角动量如何变化?小球运动到轨道最高点时,相对于抛射点的角动量为多少? 答:取抛射点为坐标原点,取平面直角坐标系Oxy ,y 轴正方向向上,则质点的运动方程和速度表达式为: 020cos 1sin 2x v t y v t gt θθ=???=-?? , 00cos sin x y v v v v gt θθ=??=-? 对于抛射点的角动量: ()() x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =?=+?+=- 将,,,x y x y v v 代入得: 201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时,时刻为:0sin v t g θ=,代入上式得: 小球相对于抛射点的角动量为:320sin cos 2mv L k g θθ=-。 5-6 为什么说刚体平动的讨论可归结为对质点运动的研究? 答:由于刚体平动时,各点的运动状态相同,则可取刚体上任意一点运动代表刚体的运动,所以刚体的平动可用质点运动来描述。 5-7如果刚体所受的合外力为零,其合外力矩是否也一定为零?如果刚体所受合外力矩为零,其合外力是否一定为零? 答:如果0i i F =∑,但力不共轴,则力矩不为零0i i M ≠∑。 如果0i i M =∑,但力方向相同,则力不为零0i i F ≠∑。 5-8 在某一瞬时,如果刚体受到的合外力矩不为零,其角加速度可以为零吗?其角速度可以为零吗? 答:由刚体的转动定理:M J β=

刚体的角动量,角动量守恒定律精品资料

刚体的角动量,角动量 守恒定律

刚体的角动量,角动量守恒定律 1.选择题 题号:01011001 分值:3分 难度系数等级:1 人造地球卫星,绕地球作椭圆轨道运动,地球在椭圆的一个焦点上,则卫星的 (A)动量不守恒,动能守恒. (B)动量守恒,动能不守恒. (C)对地心的角动量守恒,动能不守恒. (D)对地心的角动量不守恒,动能守恒.[] 答案:(C) 题号:01012002 分值:3分 难度系数等级:2 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动,卫星轨道近地点和远地点分别为A和B.用L和E K分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值,则应有 (A) L A>L B,E KA>E kB. (B) L A=L B,E KAE KB. (D) L A

难度系数等级:3 体重、身高相同的甲乙两人,分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端.他们从同一高度由初速为零向上爬,经过一定时间,甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍,则到达顶点的情况是 (A)甲先到达. (B)乙先到达. (C)同时到达. (D)谁先到达不能确定.[] 答案:(C) 题号:01011004 分值:3分 难度系数等级:1 一质点作匀速率圆周运动时, (A) 它的动量不变,对圆心的角动量也不变. (B) 它的动量不变,对圆心的角动量不断改变. (C) 它的动量不断改变,对圆心的角动量不变. (D) 它的动量不断改变,对圆心的角动量也不断改变.[] 答案:(C) 题号:01013005 分值:3分 难度系数等级:3

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