2012年高考真题理科数学解析汇编：圆锥曲线
2012理科高考试题分类汇编：圆锥曲线
一、选择题
1 ．（2012年高考（新课标理））等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y
162
=的准线交于
,A B 两点,AB =;则C 的实轴长为
（ ）
A B ．C ．4
D ．8
2 ．（2012年高考（新课标理））设12
F F 是椭圆2222
:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点,P 为直线32a
x =上一点,?21F PF 是底角为30
的等腰三角形,则
E 的离心率为 （ ） A ．
1
2
B ．
23
C ．
34
D ．
45
3 ．（2012年高考（浙江理））如图,F 1,F 2分别是双曲线C:22
221x y a b
-=(a ,b >0)
的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q
两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是 （ ）
A B
C D 4 ．（2012年高考（四川理））已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点0(2,)M y .若点M
到该抛物线焦点的距离为3,则||OM = （ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．5 ．（2012年高考（上海春））已知椭圆2222
12:
1,:1,124168
x y x y C C +=+=则 [答]
（ ）
A ．1C 与2C 顶点相同.
B ．1
C 与2C 长轴长相同. C ．1C 与2C 短轴长相同.
D ．1C 与2C 焦距相等.
6 ．（2012年高考（山东理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>双曲线22
1x y -=的渐
近线与椭圆C 有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为
（ ）
A ．22182x y +=
B ．22
1126x y += C ．
22
1164x y += D ．
22
1205
x y += 7 ．（2012年高考（湖南理））已知双曲线C :22x -2
2y =1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方
程为 （ ）
A ．220x -2
5y =1
B ．25x -2
20y =1
C ．280x -2
20y =1
D ．220x -2
80
y =1
8 ．（2012年高考（福建理））已知双曲线
22
214x y b
-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 （ ）
A B ．C ．3
D ．5
9 ．（2012年高考（大纲理））已知12,F F 为双曲线2
2:2C x
y -=的左右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,
则12cos F PF ∠= （ ）
A ．
1
4
B ．
35
C ．
34
D ．
45
10．（2012年高考（大纲理））椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为
（ ）
A ．
22
11612x y += B ．
22
1168x y += C ．22
184x y += D ．
22
1124
x y += 11．（2012年高考（安徽理））过抛物线
24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点,点O 是原点,若
3AF =;
则AOB ?的面积为 （ ）
A ．
2 B C ．
2
D ．二、填空题
12．（2012年高考（天津理））己知抛物线的参数方程为2=2,
=2,
x pt y pt ???(t 为参数),其中>0p ,焦点为F ,准线为l ,
过抛物线上一点M 作的垂线,垂足为E ,若||=||EF MF ,点M 的横坐标是3,则=p _______.
13．（2012年高考（重庆理））过抛物线
22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若
25
,,12
AB AF BF =
<则AF =_____________________. 14．（2012年高考（四川理））椭圆22
143
x y +=的左焦点为F ,直线x m =与椭圆相交于点A 、B ,当FAB ?的周长最大时,FAB ?的面积是____________.
15．（2012年高考（上海春））抛物线
28y x =的焦点坐标为_______.
16．（2012年高考（陕西理））右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面
17．（2012年高考（辽宁理））已知P ,Q 为抛物线2
2x
y =上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P 、Q 分别
作抛物线的切线,两切线交于A ,则点A 的纵坐标为__________.
18．（2012年高考（江西理））椭圆22221x y a b
+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F 1,F 2.若
|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
19．（2012年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线
22
214
x y m m -=+
则m 的值为____. 20．（2012年高考（湖北理））如图,双曲线22
22 1 (,0)x y a b a b
-=>的两顶点为
1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则 (Ⅰ)双曲线的离心率e =________;
(Ⅱ)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形A B C D 的面积2S 的比值
1
2
S S =________. 21．（2012年高考（北京理））在直角坐标系xoy 中,直线l 过抛物线2
4y
x
=的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点,其中点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角为60°,则△OAF 的面
积为________.
三、解答题
22．（2012年高考（天津理））设椭圆22
22+=1x y a b
(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ,点P 在椭圆上且异于,A B
两点,O 为坐标原点.
(Ⅰ)若直线AP 与BP 的斜率之积为1
2
-
,求椭圆的离心率; (Ⅱ)若||=||AP OA ,证明直线OP 的斜率k
满足|k
23．（2012年高考（新课标理））设抛物线2
:2(0)C x
py p =>的焦点为F ,准线为l ,A C ∈,已知以F 为圆心,
FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点;
(1)若0
90=∠BFD ,ABD ?的面积为24;求p 的值及圆F 的方程;
(2)若,,A B F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点, 求坐标原点到,m n 距离的比值.
24．（2012年高考（浙江理））如图,椭圆C:22
22+1x y a b
=(a >b >0)
的离
心率为1
2
,其左焦点到点P (2,1)
不过原
点O 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,且线段AB 被直线
OP 平分.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ) 求?ABP 的面积取最大时直线l 的方程.
25．（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分(Ⅰ)小问5分(Ⅱ)小问7分)
如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x 轴上,上顶点为A,左右焦点分别为21,F F ,线段12,OF OF 的中点分别为21,B B ,且△21B AB 是面积为4的直角三角形.[来源:Z§xx§https://www.wendangku.net/doc/827580411.html,] (Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过1B 做直线l 交椭圆于P,Q 两点,使22QB PB ⊥,求直线l 的方程
26．（2012年高考（四川理））如图,动点M 到两定点(1,0)A -、(2,0)B 构成MAB ?,且2MBA MAB ∠=∠,
设动点M 的轨迹为C . (Ⅰ)求轨迹C 的方程;
(Ⅱ)设直线2y x m =-+与y 轴交于点P ,与轨迹C 相交于点Q R 、,且||||PQ PR <,求||
||
PR PQ 的取值范围.
27．（2012年高考（上海理））在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线12:22
1=-y x
C .
(1)过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点,若l 与圆122=+y x 相切,求证:
OP ⊥OQ ;
(3)设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点,且OM ⊥ON , 求证:O 到直线MN 的距离是定值.
28．（2012年高考（上海春））本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知双曲线2
2
1: 1.4
y C x -=
(1)求与双曲线1C 有相同的焦点,且过点P 的双曲线2C 的标准方程;
(2)直线:l y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A B 、两点.当3OA OB =
时,求实数m 的值.
29．（2012年高考（陕西理））已知椭圆2
21:14
x C y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率. (1)求椭圆2C 的方程;
(2)设O 为坐标原点,点A,B 分别在椭圆1C 和2C 上,2OB OA =
,求直线AB 的方程.
30．（2012年高考（山东理））在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线2
:2(0)C x
py p =>的焦点,M 是抛物
线C 上位于第一象限内的任意一点,过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ,点Q 到抛物线C 的准线的距离为
3
4
. (Ⅰ)求抛物线C 的方程;
(Ⅱ)是否存在点M ,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若点M
的横坐标为,直线1
:4
l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B ,l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ,求当122
k ≤≤时,22
AB DE +的最小值.
31．（2012年高考（辽宁理））如图,椭圆0C :22
221(0x y a b a b
+=>>,a ,b 为常数),动圆
222
11:C x y t +=,
1b t a <<.点12,A A 分别为0C 的左,右顶点,1C 与0C 相交于A ,B ,C ,D 四点. (Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆222
22:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点,其中2b t a <<, 12t t ≠.若矩形ABCD 与矩形////A B C D 的面积相等,证明:22
12
t t +为定值.
32．（2012年高考（江西理））已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线
C 上任意一点M(x,y)满足()2MA MB OM OA OB +=?++
.
(1) 求曲线C 的方程;
(2)动点Q(x 0,y 0)(-2 33．（2012年高考（江苏））如图,在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为 1(0)F c -，,2(0)F c ， .已知(1)e ， 和e ? ?? 都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线1AF 与直线2BF 平行 (i)若12AF BF -=,求直线1AF 的斜率; (ii)求证:12PF PF +是定值. [来源:https://www.wendangku.net/doc/827580411.html,] 34．（2012年高考（湖南理））在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的点均在C 2:(x-5)2 +y 2 =9外,且对C 1上任意一点M,M 到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线C 1的方程; (Ⅱ)设P(x 0,y 0)(y 0≠±3)为圆C 2外一点,过P 作圆C 2的两条切线,分别与曲线C 1相交于点A,B 和C,D.证明:当P 在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D 的纵坐标之积为定值. 35．（2012年高考（湖北理））设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C . (Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由。 36．（2012年高考（广东理））(解析几何)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b +=(0a b >>)的离 心率e = C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)在椭圆C 上,是否存在点(),M m n ,使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y +=相交于不同的两点 A 、 B ,且OAB ?的面积最大?若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ?的面积;若不存在,请说明理由. 37．（2012年高考（福建理））如图,椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的 左焦点为1F ,右焦点为2F ,离心率1 2 e = .过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ?的周长为8. (Ⅰ)求椭圆E 的方程. (Ⅱ)设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相较于点Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,说明理由. 38．（2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效．．．．．．．． ) 已知抛物线2:(1)C y x =+与圆2 2 21:(1)()(0)2 M x y r r -+- => 有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l . (1)求r ; (2)设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,m 、n 的交点为D ,求D 到l 的距离. 39．（2012年高考（北京理））已知曲线C: 2 2(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈ (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆,求m 的范围; (2)设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A,B(点A 位于点B 的上方),直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证:A,G,N 三点共线. 40．（2012年高考（安徽理））如图,12(,0),(,0)F c F c -分别是椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>> 的左,右焦点,过点1F 作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于点 P , 过点2F 作直线2PF 的垂线交直线2 a x c =于点Q ; (I)若点Q 的坐标为(4,4);求椭圆C 的方程; (II)证明:直线PQ 与椭圆C 只有一个交点. 2012理科高考试题分类汇编：圆锥曲线参考答案 一、选择题 1. 【解析】选C 设2 22:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =- 于(A -(4,B --得 :222(4)4224a a a =--=?=?= 2. 【解析】选C ?21F PF 是底角为30 的等腰三角形22133 2()224 c PF F F a c c e a ?==-=?== 3. 【答案】B 【解析】如图:|OB |=b ,|O F 1|=c .∴k PQ =b c ,k MN =﹣b c . 直线PQ 为:y =b c (x +c ),两条渐近线为:y =b a x .由()b y x c c b y x a ???????＝＋＝,得:Q (ac c a -,bc c a -);由()b y x c c b y x a ? ?????? ＝＋＝-, 得:P ( ac c a -+,bc c a +).∴直线MN 为:y -bc c a +=﹣b c (x -ac c a -+), 令y =0得:x M =322c c a -.又∵|MF 2|=|F 1F 2|=2c ,∴3c =x M = 322c c a -,解之得:22 32a c e a ==,即e . 4. [答案]B [解析]设抛物线方程为y 2 =2px(p>0),则焦点坐标为( 0,2p ),准线方程为x=2 p -, 3 2)22(2||22,222,13 2p 2,32p -2.22022 02=+=∴∴===+=+∴∴OM M y p y M M ） （点解得：）（且）（线的距离到焦点的距离等于到准在抛物线上， [点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点M 到准线的距离). 5. D 6. 【解析】因为椭圆的离心率为 23,所以2 3==a c e ,2243a c =,222243b a a c -==,所以22 41a b =, 即2 2 4b a =,双曲线的渐近线为x y ±=,代入椭圆得12222=+b x a x ,即 145422 2222==+b x b x b x ,所以b x b x 52,5422±== ,2254 b y =,b y 52±=,则第一象限的交点坐标为)5 2,52(b b ,所以四边形 的面积为165165 2 52 42==?? b b b ,所以52 =b ,所以椭圆方程为152022=+y x ,选D. 【解析】设双曲线C :22x a -2 2y b =1的半焦距为c ,则210,5c c ==. 又 C 的渐近线为b y x a =± ,点P (2,1)在C 的渐近线上,12b a ∴= ,即2a b =. 又2 2 2 c a b =+ ,a ∴==∴C 的方程为220x -2 5 y =1. 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型. 8. 【答案】A 【解析】∵抛物线的焦点是(3,0)F ,∴双曲线的半焦距3c = ,22434b b a ∴+=?=,故双曲线 的渐近线的方程为y x = 【考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系.考查推理谁能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想. 9. 答案C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可. 【解析】解:由题意可知 ,,2a b c ==∴=,设12||2,||PF x PF x ==, 则12||||2PF PF x a -=== 故 12|||PF PF ==, 124 F F =,利用余弦定理可 得 222121212123cos 24PF PF F F F PF PF PF +-∠===?. 10.答案C 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ,从而得到椭圆的方程. 【解析】因为242c c =?=,由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县 2 2448a a c c =?==,所以222844b a c =-=-=.故选答案C 11. 【解析】选C 21世纪教育网 设(0)AFx θθπ∠=<<及BF m =;则点A 到准线:1l x =-的距离为3 得:1323cos cos 3θθ=+?= 又23 2cos()1cos 2 m m m πθθ=+-?= =+21世纪教育网 AOB ? 的面积为113sin 1(3)22232 S OF AB θ=???=??+?= 二、填空题 【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何性质. 【解析】∵2=2,=2, x pt y pt ???可得抛物线的标准方程为2=2y px (>0)p ,∴焦点(,0)2p F ,∵点M 的横坐标是 3,则(3,M ,所以点(,2p E -±,222=()+(022p p EF - 由抛物线得几何性质得=+32p MF ,∵=EF MF ,∴2 21+6=+3+94 p p p p ,解得=2p . 13. 【答案】5 6 【解析】设 ||,||AF m BF n ==,则有 111m n p +=,又 25||12 AB = ,所以 252555 ,,122464 m n mn m n += =?==. 【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系,当遇到抛物线焦点弦问题时,常 根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立,把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题,属于难题. 14. [答案] 3 2 [解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得a= 3 , 又52 2 =-c a 3 2,2== ∴=∴a c e c [点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 15. (2,0) 16.解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为2 2x y =-,当3y =-时, x = ,所以水面宽米. 17. 【答案】-4 【解析】因为点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,代人抛物线方程得P ,Q 的纵坐标分别为8,2. 由2 2 12,,,2 x y y x y x '== ∴=则所以过点P ,Q 的抛物线的切线的斜率分别为4,-2,所以过点P ,Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,y x y x =-=--联立方程组解得1,4,x y ==-故点A 的纵坐标为-4 【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题. 曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键. 18. 5 本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想. 利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:1AF a c =-,122F F c =,1F B a c =+.又已知 1AF ,12F F ,1F B 成等比数列,故2()()(2)a c a c c -+=,即2224a c c -=,则225a c =. 故c e a = = . 【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关,a c 的方程,然后化为有关,a c 的齐次式方程,进而转化为只含有离心率e 的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要 注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等. 19. 【答案】2. 【考点】双曲线的性质. 【解析】由 22 214 x y m m -=+ 得a b c ∴=c e a 即244=0m m -+,解得=2m . 20.考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面积计算. 解析:(Ⅰ)由于以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,因此点O 到直线22B F 的距离为a ,又由于虚轴两端点为1B ,2B ,因此2OB 的长为b ,那么在22OB F ?中,由三角形的面积公式知, 222)(2 1 ||2121c b a F B a bc +==,又由双曲线中存在关系222b a c +=联立可得出222)1(e e =-,根据),1(+∞∈e 解出;2 1 5+= e (Ⅱ)设θ=∠22OB F ,很显然知道θ=∠=∠222AOB O A F ,因)2sin(222θa S =.在22OB F ?中求 得,cos ,sin 2 222c b c c b b +=+=θθ故2222 24cos sin 4c b bc a a S +==θθ; 菱形1122F B F B 的面积bc S 21=,再根据第一问中求得的e 值可以解出 2 5 221+= S S . 21. 来源:学|科|网] 【解析】由2 4y x =,可求得焦点坐标为(1,0)F ,因为倾斜角为60?, 所以直线的斜率为tan60k =?,利用点斜式,直线的方程 为y =,将直线和曲线方程联 立 21(,34y A B y x ?=? ? ?=?, 因此11122OAF A S OF y ?=??=??=【考点定位】 本题考查的是解析几何中抛物线的问题,根据交点弦问题求围成的面积.此题把握住抛物 线的基本概念,熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标、方程是成功的关键.当然还要知道三角形面积公式. 22. 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等 基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.以及数形结合的数学思想方程,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力. 解答策略一：（1）取(0,)P b ，(,0),(,0)A a B a -；则221 ()22 AP BP b b k k a b a a ?= ?-=-?= 222 212a b e e a -==?= （2）设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<；则线段OP 的中点(cos ,sin )22 a b Q θθ ||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ?⊥??=- sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θ θθθ = ?-=+ 23 AQ AQ ak k k ?≤ ?> 解答策略二 (1)设点00(,)P x y ,由题意有22 0022+=1x y a b ① 方法二:依题意,直线OP 的方程为y kx =,可设点00(,)P x kx ,由点P 在椭圆上,有222 0022 1x k x a b + =,因 为00,0a b kx >>≠,所以2220022 1x k x a b +=即222 0(1)k x a +<③ 由||||,(,0)AP OA A a =-,得222200()x a k x a ++=整理得2200(1)20k x ax ++=,于是02 21a x k -= +,代 入③得22 22 2 4(1)3||1a k a k k k +??>+ 23. 【解析】(1)由对称性知:BFD ?是等腰直角?,斜边2BD p = 点A 到准线l 的距离d FA FB === 1 22 ABD S BD d p ?=? ??=?= 圆F 的方程为22(1)8x y +-= (2)由对称性设2 00(,)(0)2x A x x p >,则(0,)2p F 点,A B 关于点F 对称得:22 2 20000(,)3222 x x p B x p p x p p p --?-=-?= 得 :3, )2p A , 直线3:02p p p m y x x - =+?+= 22 22x x x py y y x p p p '=?=?==?=? 切点)6p P 直线:()06336 p n y x x p - =-?-= 坐标原点到,m n 3=. 24. 【解析】 (Ⅰ)由题:1 2 c e a = =; (1) [来源:https://www.wendangku.net/doc/827580411.html,] 左焦点(﹣c ,0)到点P (2,1)的距离为 :d = =由(1) (2)可解得:222431a b c ===，，. ∴所求椭圆C 的方程为:22 +143 x y =. (Ⅱ)易得直线OP 的方程:y =12x ,设A (x A ,y A ),B (x B ,y B ),R (x 0,y 0).其中y 0=1 2 x 0. ∵A ,B 在椭圆上, ∴22 02 2 0+12333 43 4422 +14 3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ?=?-+??= =-=-=-?-+?=??. 设直线AB 的方程为l :y =﹣3 2 x m +(m ≠0), 代入椭圆:22 22+143 333032 x y x mx m y x m ?=???-+-=? ?+??＝-. 显然222(3)43(3)3(12)0m m m ?=-?-=->. m m ≠0. 由上又有:A B x x +=m ,A B y y +=23 3 m -. ∴|AB A B x x - ∵点P (2,1)到直线 l 的距离为 :d ==∴S ?ABP =1 2d |AB , m m ≠0. 利用导数解: 令22()(4)(12)u m m m =--, 则2()4(4)(26)4(4)(11u m m m m m m m '=----=---- 当m =1-,有(S ?ABP )max . 此时直线l 的方程3220x y ++=. 【答案】(Ⅰ) 22 +143 x y =;(Ⅱ)3220x y ++=. 25. 【考点定位】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算,直线的一般方程,直线与圆锥曲线的综合 问题. 解:设所求椭圆的标准方程为()22 2210x y a b a b +=>>,右焦点为()2,0F c . 因12AB B 是直角三角形,又12AB AB =,故12B AB ∠为直角,因此2OA OB =,得2 c b = . 结合2 2 2 c a b =-得2 2 2 4b a b =-,故2222 5,4a b c b = =,所以离心率c e a = =. 在12Rt AB B 中,12OA B B ⊥,故 122122122 AB B c S B B OA OB OA b b = === 由题设条件124AB B S = ,得2 4b =,从而2 2 520a b ==. 22 1204 x y += (2)由(1)知1(2,0),(2,0)B B -,由题意知直线l 的倾斜角不为0,故可设直线l 的方程为:2x my =-,代入 椭圆方程得() 22 54160m y my +--=, 设()()1222,,,P x y Q x y ,则12,y y 是上面方程的两根,因此 12245m y y m += +,122 16 5y y m =-+ 又()()2112222,,2,B P x y B Q x y =-=- ,所以 ()()22121222B P B Q x x y y =--+ ()()121244my my y y =--+ ()()212121416m y y m y y =+-++ ()222216116165 5 m m m m +=- -+++ 2216645 m m -=-+ 由21PB QB ⊥,得220B P B Q = ,即216640m -=,解得2m =±, 所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:220x y ++=和220x y -+= 26. [解析](1)设M 的坐标为(x,y),显然有x>0,0≠y . 当∠MBA=90°时,点M 的坐标为(2,, ±3) 当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB, 有tan∠MBA=MAB MAB ∠-∠2tan 1tan 2,即2) 1 (11| |2 2||+-+=--x x y x y 化简得:3x 2-y 2 -3=0,而又经过(2,,±3) 综上可知,轨迹C 的方程为3x 2-y 2 -3=0(x>1) (II)由方程??=--+-=0 3322 2y x m x y 消去y,可得0342 2=++-m mx x .(*) 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+∞)内,设34)(2 2 ++-=m mx x x f 所以???? ? ????>+--=?>++-=>--0)3(4)4(0341)1(1242222m m m m f m 解得,m>1,且m ≠2 设Q 、R 的坐标分别为),(),,(00R R y x y x ,由PR PQ <有 [来源:学&科&网] )1(32,)1(32202--=-+=m m x m m x R 所以) 1 1(3241)11(32)1 1(32)1(32)1(3222222m m m m m m m x x PQ PR Q R --+-=--- +=---+== 由m>1,且m ≠2,有 .7m 1 1324 1,347) 1 1(3241122≠--+ -+<--+ -<） （且m 所以 PQ PR 的取值范围是())347,7(7,1+ [点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性. 27. [解](1)双曲线1: 212 12 =-y C x ,左顶点)0,(2 2- A ,渐近线方程:x y 2±=. 过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(22+ =x y ,即12+=x y . 解方程组???+=-=122x y x y ,得?????=- =2 1 4 2 y x 所以所求三角形的面积1为2 1||||==y OA S (2)设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切, 故 12 ||=b ,即22=b 由???=-+=1 22 2y x b x y ,得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2),则?? ?--==+122 2 121b x x b x x . 221212121)(2b x x b x x y y x x +++=+=? 022)1(2222=-=+?+--=b b b b b , 故OP ⊥OQ (3)当直线ON 垂直于x 轴时, |ON |=1,|OM |= 2 2,则O 到直线MN 的距离为 3 3. 当直线ON 不垂直于x 轴时, 设直线ON 的方程为kx y =(显然22||> k ),则直线OM 的方程为x y k 1-=. 由???=+=142 2y x kx y ,得?????== ++2 2242 412k k k y x ,所以2 412 ||k k ON ++= . 同理1 21222||-+= k k OM 设O 到直线MN 的距离为d ,因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+, 所以31 3 3||1||11222 2 2==+= ++k k ON OM d ,即d = 3 3. 综上,O 到直线MN 的距离是定值 28.解(1)双曲线1C 的焦点坐标为,设双曲线2C 的标准方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>,则 222 22254 163 11 a b a b a b ?+=?=?????-=??=??,所以双曲线2C 的标准方程为2214x y -=. (2)双曲线1C 的渐近线方程为2y x =±,设1122(,2),(,2)A x x B x x - 由2 22204320y x x mx m y x m ?-=??--=?? =+?,由21600m m ?=>?≠ 又因为2 123 m x x =-,而1212122(2)3OA OB x x x x x x ?=+?-=- 所以2 3m m =?= 29.解析:(1)由已知可设椭圆2C 的方程为22 21(2)4 y x a a + => 其离心率为2, = ,则4a = 故椭圆的方程为 22 1164 y x += (2)解法一 ,A B 两点的坐标分别记为(,),(,)A A B B x y x y 由2OB OA = 及(1)知,,,O A B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上, 因此可以设直线AB 的方程为y kx = 将y kx =代入2214x y +=中,得22(14)4k x +=,所以2 2414A x k =+ 将y kx =代入221164 y x +=中,则22(4)16k x +=,所以22 164B x k =+ 由2OB OA = ,得22 4B A x x =,即22 1616414k k =++ 解得1k =±,故直线AB 的方程为y x =或y x =- 解法二 ,A B 两点的坐标分别记为(,), (,)A A B B x y x y 由2OB OA = 及(1)知,,,O A B 三点共线且点A ,B 不在y 轴上, 因此可以设直线AB 的方程为y kx = 将y kx =代入2214 x y +=中,得22(14)4k x +=,所以2 2414A x k =+ 由2OB OA = ,得22164B x k =+,22 2 1614B k y k =+ 将2 2,B B x y 代入221164y x +=中,得22 4114k k +=+,即22 414k k +=+ 解得1k =±,故直线AB 的方程为y x =或y x =-. 30.解析:(Ⅰ)F 抛物线C:x 2 =2py(p>0)的焦点F )2,0(p ,设M )0)(2,(02 00>x p x x ,),(b a Q ,由题意可知4p b =, 则点Q 到抛物线C 的准线的距离为==+=+ p p p p b 4 3 24234,解得1=p ,于是抛物线C 的方程为 y x 22=. (Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M, 而),(),0,0(),1 ,0(2 00x x M O F ,)1,(a Q ,QF OQ MQ ==, 161)412()(22202 0+=-+-a x a x ,03 08 3 8x x a +=, 由y x 22=可得x y =',0302 08 5 8241x x x x k -- ==,则20 204021418581x x x -=-, 即022 04 0=--x x ,而00>x ,解得20= x ,点M 的坐标为)1,2(. (Ⅲ)若点M 则点M )1,2(,)4 1 ,825( Q . 由?????+==4122kx y y x 可得02122=--kx x ,0242 >+=?k .设),(),,(2211y x B y x A , ]4))[(1(2122122 x x x x k AB -++=)24)(1(22++=k k 圆32 27 1616450)41()825(:22= +=-+- y x Q ,2 2 182518 2 5k k k k D += +? = ) 1(8227])1(32253227[42 2 222 k k k k DE ++=+-=, 于是) 1(8227)24)(1(222 2 2 2 k k k k DE AB +++++=+,令 ]5,45[12 ∈=+t k 41825248252)24() 1(8227)24)(1(2 2 22 2 2 2 ++-=++-=+++++=+t t t t t t t k k k k DE AB ,设 4182524)(2++ -=t t t t g ,2825 28)(t t t g --=', 当]5,45[∈t 时,0825 28)(2>--='t t t g , 即当21,45==k t 时21 6414 582545216254)(min =+?+?-?=t g . 故当21=k 时,216)(min 2 2=+DE AB . 31. 【答案及解析】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - (2019全国1)10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =， ||||1BF AB =，则C 的方程为（ ） A.1222=+y x B. 12322=+y x C.13422=+y x D.14 522=+y x 答案： B 解答： 由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则 m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 2 1 = ，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程122 22=+b y a x ，得32=a ， 22 22=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12 32 2=+ y x . (2019全国1)16.已知双曲线C:22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的 两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则C 的离心率为 . 答案： 2 解答： 由112,0F A AB F B F B =?=u u u r u u u r u u u r u u u r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r ，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=?，221()1tan 602b e a =+=+?=. 数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上， 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾 股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤： 2013年全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．引直线l 与曲线y =A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于（ ） A ． 3 B ．3 - C ．3 ± D ．2 ．双曲线2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ． 25 B ． 45 C D 3 ．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程是（ ） A ．22 14x = B ．22145x y - = C ． 22 125 x y -= D ．22 12x -= 4 ．已知双曲线C :22221x y a b -=(0,0a b >>) ,则C 的渐近线方程为（ ） A ．14 y x =± B ．13 y x =± C ．12 y x =± D ．y x =± 5 ．已知04π θ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 6 ．抛物线2 4y x =的焦点到双曲线2 2 13 y x -=的渐近线的距离是（ ） A ．12 B C ．1 D 7 ．如图,21,F F 是椭圆14 :22 1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是（ ） A ．2 B ．3 C ． 2 3 D ． 2 6 8 ．已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ） A ．1 B ． 3 2 C ．2 D ．3 9 ．椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ） A ．1324 ?????? ， B ．3384 ?????? ， C ．112?? ???? ， D ．314?? ???? ， 10．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点,若 0MA MB =uuu r uuu r g ,则k =（ ） A ． 12 B C D ．2 11．若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为（ ） A ．y =±2x B ．y = C ．12 y x =± D ．2 y x =± 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 高考圆锥曲线经典真题 知识整合： 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.（江西卷15）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线，与抛物线 分别交于A 、B 两点（A 在y 轴左侧），则 AF FB = ．1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究： 考点一：直线与曲线交点问题 例1.已知双曲线C ：2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k(x －1),代入C 的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x －k2+4k －6=0 (*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=± 2 时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k －6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即 3－2k=0,k=23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23 ,又 k ≠± 2 ,故当k ＜－ 2 或－2 ＜k ＜ 2 或 2＜k ＜2 3 时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即 k ＞23 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k=±2,或k=23 ，或 k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－ 2 时，l 与C 有两个交点； 当 k ＞23 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以 Q 为中点的弦不存在. （重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈ 若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法. 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2 浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0） 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 一条直线 D ． 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0） 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面 的斜．线．段． ） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A （0,2） 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0） 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上． 若 F 1A 5F 2B , 高考真题理科数学解析分类汇编16 复数 1.【2012高考浙江理2】 已知i 是虚数单位，则31i i +-= A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i 【答案】D 【解析】31i i +-=i i i i i i 212 42)1)(1()1)(3(+=+=+-++。故选D 。 2.【2012高考新课标理3】下面是关于复数21z i = -+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- ()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34 【答案】C 【解析】因为i i i i i i z --=--=--+---=+-=12 )1(2)1)(1()1(212，所以2=z ，i i z 2)1(22=--=，共轭复数为i z +-=1，z 的虚部为1-，所以真命题为42,p p 选C. 3.【2012高考四川理2】复数2 (1)2i i -=（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 【答案】B 【解析】22(1)1221222i i i i i i i --+-===- [点评]突出考查知识点12-=i ，不需采用分母实数化等常规方法，分子直接展开就可以. 4.【2012高考陕西理3】设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i +为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】00=?=a ab 或0=b ，而复数bi a i b a -=+是纯虚数00≠=?b a 且，i b a ab + ?=∴0是纯虚数，故选B. 5.【2012高考上海理15】若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根， 则（ ） 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23 = e ，已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B；双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x－5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若AM=. 求证：.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa. （1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; （2）若2 第八章 圆锥曲线方程 ●考点阐释 圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是： （1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用. （2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求． （3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力． ●试题类编 一、选择题 1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ） 2.（2003京春理，7）椭圆?? ?=+=? ? sin 3cos 54y x （?为参数）的焦点坐标为（ ） A.（0，0），（0，－8） B.（0，0），（－8，0） C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0） 3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点．如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 4.（2002全国文，7）椭圆5x 2＋ky 2 ＝5的一个焦点是（0，2），那么k 等于（ ） A.－1 B.1 C. 5 D. － 5 5.（2002全国文，11）设θ∈（0，4 π），则二次曲线x 2cot θ－y 2tan θ＝1的离心率的取值范围为 （ ） A.（0，2 1） B.（ 2 2 ,21） C.（ 2,2 2 ） D.（ 2，＋∞） 6.（2002北京文，10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线22 2 232n y m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ） A.x ＝± y 215 B.y ＝± x 215 C.x ＝±y 4 3 D.y ＝±x 4 3 7.（2002天津理，1）曲线???==θ θ sin cos y x （θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ） A.21 B.22 C.1 D.2 数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ．43 B ．75 C ．85 D ．3 4．（2006高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 高考二轮复习专项：圆锥曲线大题集 1. 如图，直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线， 交点是A ，点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧)，且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点， M 在l i 上的射影点 是 N ，且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系，求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 2，已知 点P(0，3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R)； G E G F 2G H ； G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 ， 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率； (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证：MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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