2013高考数学压轴题
1、集合
1.已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素
的个数为（ ）
()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10
2. 满足条件{1，2}?M =}
{3,2,1的所有集合M 的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3. 已知{a,b}?A ?{a,b,c,d,e},写出所有满足条件的集合Ａ的个数_______。
4.集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N = （ ）
A ．(1,2)
B ．[1,2)
C ．(1,2]
D ．[1,2]
5.设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2
－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝
A ．(1，4)
B ．(3，4)
C ．(1，3)
D ．(1，2) 6. 设集合A ＝{x ||x |<4}{}44<<-=
x x ，
B ＝{x |y=lg 3
1
--x x }，则集合{x |x ∈A 且x ?A ∩B}＝___________ 对本部分的考查，可能会直接考查集合之间的运算，也可能结合函数、方程、不等式考查集合的知识，但都是容易题。其他省市出现过新定义型试题，考查学生对新知识的识别、迁移、应用等能力，但难度也不大。
2．函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）
1.设()()()[]()
???<+≥-=10,610,2x x f f x x x f 则()5f 的值为（ ） A 10 B 11 C 12 D 13
2.设函数=-??
?
??>-≤≤--<+-=))5)2
5
(((,)
2(12)21(3
)
1(12)(f f f x x x x x x f 则
（ ）
A ．3
B ．4
C ．7
D ．9
3．设函数???>-≤=-1
,log 11
,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是( )
A ．1[-，2]
B ．[0，2]
C ．[1，+∞]
D ．[0，+∞]
4.设函数()()()?????<≥-=0,1
0,121
x x
x x x f 若()a a f >，则实数a 的取值范围是
5.【2012高考江苏5】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 .
【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。 6．函数322--=x x y 的定义域为M ，函数3
1
-+=
x x y 的定义域为N ，由M 与N 的关系( ) A 、M=N B 、 M ?N C 、 φ=?)(N C M R D 、}3{)(=?N C M R
7．若函数
()11
x m
f x a =+
-是奇函数，则m 为__________。
8.函数
)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a =
9.设函数f (x )=(x +1)2
+sin x
x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____
10.（2log 9）2（3log 4）= （ ）
（A ）
14 （B ）1
2
（C ）2 （D ）4 11.已知函数x x f lg )(=，若1)(=ab f ，则=+)()(2
2b f a f ____
12.若2
1)
1(－＋a ＜21)
23(－
－a ，则
a 的取值范围是____；
13.
设33log ,log log a b c π=== ( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> 14.
已知2log 3log a =+
2log 9log b =-，3log 2c =则a,b,c 的大小关系是 （A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >>
15.已知ln x π=，5log 2y =，1
2
z
e -
=，则( )
（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x <<
（D ）y z x << 16. 的大小关系则设c b a c b a ,,,5
,2ln ,2log 2
1
3-===___________
17.函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是
（ ）
A ．0,1<>b a
B ．0,1>>b a
C ．0,10><
D ．0,10<<
18.函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（ ）
19．方程5x 21x =+-的解所在
的区间是 （ ）
Ａ（０，１） Ｂ（１，２） Ｃ（２，３） Ｄ（３，４） 20、方程
12x x +=根的个数为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 21. 偶函数在定义域内有四个零点，则所有零点的和为 _____ 22.函数
x x x f )2
1
()(2
1-=的零点个数为
（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3
对本部分的考查，注重任意函数的零点及二分法并以此为背景可以命制选择填空题，零点概念也可能在解答题中出现。分段函数也要引起足够的重视，体现了分类的思想，在客观题中考查的概率比较大。
初等函数的图像及性质要熟练掌握，由式到形，由形到式，形式互化，做到形性一体，即数形结合。每年高考试题中都有关于函数图像的试题。
E
P
B
C
D
A 3．立体几何初步与空间向量
1.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如左图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为
2.一个几何体的三视图如右图所示，其中，主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为
3．一个几何体的三视图如图所
示，则这个几何体的体积为 ．
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ．． 5.设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
（A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2
6.已知βα,是平面，m ，n 是直线，给出下列命题：
①若βαβα⊥?⊥，则m m ,；
②若βαββαα//,////,,则，n m n m ??；
③如果ααα与是异面直线，那么
、n n m n m ,,??相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且??=?
其中正确命题的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
7.已知三条不重合的直线m 、n 、l ，两个不重合的平面βα,，有下列命题 ①若αα//,,//m n n m 则?； ②若βαβα//,//,则且m l m l ⊥⊥；
③若βαββαα//,//,//,,则n m n m ??； ④若αββαβα⊥⊥?=⊥n m n n m 则,,,, ；
其中正确的命题个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90?，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;
9．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接
AP
3
左视图
俯视图
俯视图
侧
视图
正视图
俯视图
侧视图
正视图
交棱CC 1于D ．求证：PB 1∥平面BDA 1；
10.如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，CE ∥AB 。 （Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若PA ＝AB ＝1，AD ＝3，CD ＝2，∠CDA ＝45°，求四棱锥P －ABCD 的体积
11．如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =
12
PD ． （I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；
（II ）求棱锥Q —ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．
◆对本部分的考查，三视图是考察重点，几乎年年都考，以选择，填空题为主，当然也可能在大题中由三视图还原为直观图后考查定性及定量问题。 ◆平行、垂直关系的证明依然是考察重点。
◆符号语言、图形语言、文字语言的相互转化要引起足够的重视（尤其在选择填空题） ◆文科对空间角不在考查，但理科引入了空间向量对其都有要求。
◆有关球的考查降低了要求，不再考球面距离但球的表面积、体积要熟练掌握。 4．平面解析几何 1.直线αcos x ＋3y ＋2＝0的倾斜角范围是（ ） A.［
6π，2π）∪（2π，6π5］ B.［0，6π］∪［6π5，π） C.［0，6π5］ D.［6π，6
π5］ 2.过原点引直线l ，使l 与连接A(1，1)和B(1，-1)两点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值范围是 . 3．设点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l 过点P(1，1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )
A.k ≥
4
3
或k ≤-4 B.k ≥
43或k ≤-41 C.-4≤k ≤4
3 D.-
4
3
≤k ≤4 4.直线1:(1)3l ax a y +-=与直线2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直；求a 的值. 5.直线013=++y ax 与直线()0112=+++
y a x 平行,则a 的值是
6．若点（2，k ）到直线06125=+-y x 的距离是4，则k 的值是（ ）
A ．1
B ．－3
C ．1或3
5 D ．－3或317
7.平行直线12
1
-=
x y
与012=+-y x 之间的距离等于_______________ 8.已知圆1C ：2
(1)x ++2
(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）
2(2)x ++2(2)y -=1（B ）2(2)x -+2(2)y +=1（C ）2(2)x ++2(2)y +=1（D ）2(2)x -+2(2)y -=1
9.若直线2
2(1)1020a x y x
y x +++=+-=与圆相切，求a 的值.
10.若直线01-+-y x 与圆2)(22
=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是( )
（A ） [-3，-1] （B ）[-1，3] （C ） [ -3，1] （D ）（-∞，-3]U[1，+∞） 11.若直线y =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是_－1＜k ≤1或k =－2___ 12.已知圆的方程为08622
=--+y x y x
.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边
形ABCD 的面积为( ) （A ）10
6
（B ）20
6
（C ）30
6
（D ）40
6
13.已知直线:40l x y -+=与圆()()2
2
:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______。
14.设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得
弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ?面积的最小值为 。 15．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( ) (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离 16．若圆2
221:240C x
y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值范围
是 ．
17．求过点)1,2(1-P 或)3,2(1P 向圆2)2()1(22=-+-y x 所引的切线方程。
18.求过点)0,1(-A 向圆032422=+-++y x y x 所引的切线方程。
19.求过点)1,2(A 向圆422
=+y x 所引的切线方程。201043==-+x y x 或答案：
20.已知定点(A -，F 是椭圆22
11612
x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使2A M M F +取得最小。
21.已知方程1232
2=-++k
y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____
22.双曲线的离心率等于2
5，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_____ 23．设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=
e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方
程为_______
24.若椭圆1522=+m y x 的离心率5
10=
e ，则m 的值是__
25．双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______ 26．短轴长为
5，离心率3
2=e 的椭圆的两焦点为1F 、2F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ?的
周长为________
27．椭圆22
192
x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =2；12FPF ∠的大小为 . 对本部分的考查，在复习直线方程时，要注意适用的条件。以点斜式与斜截式为复习重点，要注意分类讨论。 直线倾斜角、斜率、距离、平行与垂直、点线距离、平行线间的距离仍是考查重点。
直线间的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系及与直线和圆有关的轨迹问题、对称问题是高考的热点。
圆锥曲线在选择填空题中主要考查椭圆、双曲线、抛物线的基本量的关系、定义、几何性质（如离心率） 解答题中侧重用代数方法解题，考查圆锥曲线定义、直线与圆锥曲线的位置关系、有关轨迹问题、最值问题、参数范围问题、定值问题等。属于难题，这几年都以压轴题出现。
图1
乙
甲
7
5
1
8
73624795
436853
43215．算法初步
1. 执行右图所示的程序框图，若输入10=x ，则输出y 的值为____________
2. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x =_______。
3. 右图中流程图表示的算法的运行结果是________
4. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是___________
对本部分的考查，主要以手动准确运行程序框图，确定程序框图输出的结果;条件框的填空。注意与函数求值，数列求和求积相结合的问题。
6．统计
1.要从已编号(1～60)的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是( ).ks
A.5，10，15，20，25，30
B.3，13，23，33，43，53
C.1，2，3，4，5，6
D.2，4，8，16，32，48 2.若总体中含有1650个个体, 现在要采用系统抽样,从中抽取一个容量为35的样本,分段时应从总体中随机剔除_______个个体,编号后应均分为______段, 每段有_______个个体.
3.某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为
4.一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人。现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人。
5.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生．
6.图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙 两人这几场比赛得分的中位数之和是( ) A 、62 B 、63 C 、64 D 、
65
7.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次, 记录如下:
甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 I 、用茎叶图表示这两组数据;
II 、现要从中选派一人参加数学竞赛, 从统计学的角度考虑, 你认为选派哪位学生参加合适? 请说明理由; 8.10名工人某天生产同一零件, 生产的件数是 15 ,17 , 14 , 10 , 15 , 17 ,17 , 16, 14 , 12. 设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c , 则有( )
A 、 c b a >>
B 、a c b >>
C 、b a c >>
D 、a b c >>
9.已知数据12n x x x ，，
，的平均数为5x =,则数据137x +,237x +,…,37n x +的平均数为( ) A 、18 B 、22 C 、15 D 、21 10.10个正数的平方和是370, 方差是33, 那么平均数为( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 11.下列说法正确的是( )
A 、甲乙两个班期末考试数学平均成绩相同,这表明这两个班数学学习情况一样;
B 、期末考试数学成绩的方差甲班比乙班的小,这表明甲班的数学学习情况比乙班好;
C 、期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班大,则数学学习甲班比乙班好;
D 、期末考试数学平均成绩甲、乙两班相同,方差甲班比乙班小,则数学学习甲班比乙班好;
12.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差
为_________.089
10352
图
(注：方差
2222121()()()n s x x x x x x n
??=-+-++-?? ，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[来 13.如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数．．．．
）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
(1）80~90这一组的频数、频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。（不要求写过程） (3) 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.
14.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，
[90,100].
（1）求图中a 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分、众数、中位数；
40
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.
15
根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A ．63．6万元 B ．65．5万元 C ．67．7万元 D ．72．0万元 16
则
A ．1y x =-
B ．1y x =+
C ．1
882
y x =+
D ．176y = 17.调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），调查显示年收入x 与
年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0?+=
x y
.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元． （Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量。 温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及说明.
解：本题考查回归分析的基本思想及其初步应用，回归直线的意义和求法，数据处理的基本方法和能力，考查运用统计知识解决简单实际应用问题的能力.
（I ）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：
对预处理后的数据，容易算得
.
2.3,5.6402604
224294192)11()2()21()4(,
2.3,02
222=-===+++?+?+-?-+-?-===x b y a b y x 由上述计算结果，知所求回归直线方程为
,2.3)2006(5.6)2006(257+-=+-=-∧
x a x b y
即.2.260)2006
(5.6+-=∧
x y ① （II ）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
2.2992.26065.62.260)20062012(5.6=+?=+-（万吨）≈300（万吨）.
19.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（
x i ，
y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）
C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg
D.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg
20．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
（I ）求回归直线方程a x b y ???+=，其中b ?=-20，x b
y a ??-=； （II ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本） 对本部分的考查，随机抽样以选择填空题的形式考查分层抽样；
用样本估计总体中，会识图，会从频率分布直方图中分析样本的数字特征（众数、中位数、平均数）； 重视茎叶图；
线性回归方程要引起足够的重视（在现实生活中有广泛的应用）是考查的重点，不仅会求线性回归方程，还要会分析其特点（正相关、负相关、线性回归方程过样本点中心即样本平均数）
7．概率
1．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1,2,3,4。把两个玩具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被5整除的概率为 （ ） A ．
1
16
B ．
14
C ．
38
D ．
12
2.从一副扑克牌(54张)中抽到牌“K ”的概率是 （ ） A.
227 B. 154 C. 127 D. 19
3.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则
概率P (A ∪B )__________(结果用最简分数表示)．
4．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）
A ．
110 B ．310 C ．35 D ．910
5．在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这正方形的面积介于236cm 与2
81cm
之间的概率为（ ） A ．
14 B ．
13 C ．
427
D ．
415 6．如图，A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A '，连结AA '，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为 （ ）
A ．
12
B ．23
C D ．
14
7.如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________.
8.如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在0
60的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠XOT 内的概率是________.
9.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组
记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示. （1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率.
（注：方差],)()()[(1
222212
x x x x x x n
s
n -+-+-= 其中x 为n x x x ,,,21 的平均数）
10．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机
（1a 、b 、c 的值； （2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1,x 2,x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1,y 2，现从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。
本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想，满分12分。
11．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打
6小时的
投篮命中率为________
．
12．某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用x n 表示编号为n （n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且
6（2）从前5位同学中，随机地选2
位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。
8．基本初等函数Ⅱ（三角函数、三角恒等变换、解三角形）
1. sin47sin17cos30cos17-
=（ ）
（A ）2-（B ）12-（C ）12 （D ）2
2.若42ππθ??∈????
，，sin2=8θ，则sin θ=（ ）
（A ）
35 （B ）45 （C （D ）34 3.若tan θ+1
tan =4,则sin2θ=（ ）
A ．15 B. 14 C. 13 D. 12
4．
18tan 42tan 118tan 42tan -+= ；
5.若α是第四象限的角，tan α＝－5
12
，则sin α等于( )
A.15 B ．－15 C.315 D ．－513
6. 已知2tan =θ
，求（1）
θ
θθ
θsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值. ⑶sin2cos2θθ-
7．已知54
,,cos(),sin ,sin .135
αβαβαβ+==都是锐角
求的值 8.已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，2
23
sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（ ）；
9.已知α为第二象限角，3
3
cos sin =+αα，则cos2α=（ ）
(A) 3 （B ）-9 (C) 9 (D)3
10.已知5
4)540sin(-=+α
，则=-)270cos( α______，若α为第二象限角，则
=+-+-)
180tan()]360cos()180[sin(2
ααα
________。 11. 已知函数()()?ω+=x x f sin 其中2
,0π
?ω<
>，
（I ）若0sin 4
3sin
cos 4
cos
=-?π
?π
求?的值； （Ⅱ）在（I ）的条件下，若函数()x f 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于
3
π
，求函数()x f 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数
()x f 的图像象左平移m 个单位所对应的函数是偶函数。 12．若函数()x x x x f 2sin sin 22sin 2
?-=，则()x f 是 （ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为π2的偶函数
D ．最小正周期为2
π
的奇函数
13．对)3
2sin(2)(π
+=x x f 下列说法正确的是
①)()(21x f x f =，则12x x -必是π的整数倍 ②)(x f y =可以改写成)6
2cos(2)(π
-=x x f
③)(x f y =关于??
?
??-
0,6π对称 ④)(x f y =关于6π-=x 对称
14．已知函数
()4cos sin()16
f x x x π
=+-.（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求
()f x 在区间[,]64
ππ
-上的最大值和最小值。
15.已知函数)6
cos(2)(πω+=x x f ，（其中ω＞0，x ∈R ）的最小正周期为10π．
（1）求ω的值； （2）设]2,0[,π
βα∈，56)355(-=+παf ，
16
)655(=-πβf ，求()βα+cos 的值． 16．已知函数
())0,0( )sin(2π?ω?ω<<>+=x x f ，
且函数的图象如图所示，则点),( ?ω的坐标是（ ）
(A) )3,2( π (B)
)3,4( π
(C))32,2( π (D))3
2,4( π 17.函数()sin(2)6f x x π=-的图像可以通过以下哪种变换得到函数()cos(2)3g x x π=+的图像（ ）
A ．向右平移π个单位
B ．向左平移π个单位
C ．向右平移2π个单位
D ．向左平移2
π
个单位 18.将函数x y 2sin =的图象向左移
4π
个单位,再向上移1个单位,所得图象的函数解析式是( ) A.cos2y x = B.22cos y x = C.)4
2sin(1π++=x y D.
22sin y x = 19.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且53cos =
A ，13
5cos =B ,3=b 则c = 20.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C = ． 21.在ABC ?中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===
（Ⅰ）求AB 的值。（Ⅱ）求)4
2sin(π
-
A 的值。
22.在△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c 。已知,sin()sin()444
A b C c
B a π
ππ
=+-+= （1）求证： 2
B C π
-=
（2）若a =
ABC 的面积。
对本部分的考查，重点考查性质、化简求值、图像变换、恒等变换；
简答题重视解三角形，特别是实际应用问题，当然，还得重视与其他知识的综合，如平面向量。
9．平面向量
1．⑴若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB D C =
，
则ABCD 是平行四边形。（4）若A B C D 是平行四边形，则AB DC = 。（5）若,a b b c == ，则a c = 。（6）若//,//a b b c ，则//a c
。其中正确的有
2.若向量(1,2)AB = ，(3,4)BC =
，则AC = （ ）
A. (4,6)
B. (4,6)--
C. (2,2)--
D. (2,2)
3．)2,1(),3,2(-==→→b a ，若→→+b n a m 与→
→-b a 2共线，则
n m = ，若)(→→+b n a m ⊥)2(→→-b a 则n
m
=___. 4.设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==- 且a b ⊥ ，则||a b +=
（ ）
（A （B （C ）（D ）10
5．设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===
c y b x a ,且c b c a //,⊥,_______=
A B C ．D ．10
.
6．已知向量a 、b 1=2=，22=+a ，则向量b 在向量a
方向上的投影是( )
A ．12
-
B ．1-
C ．
12
D ．1
7.已知向量,a b 夹角为45?
，且1,2a a b =-= ；则_____b =
对本部分的考查，在选择填空中要重视向量的几何运算和代数运算；必须掌握向量共线、垂直、夹角、模、投影等；
要重视在其它知识中的工具作用，主要在解析几何中。
10．数列
1.在等差数列
{}n a 中，已知1684=+a a ，则=+102a a （ ）
(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24
2.等差数列{}
n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ ）
A 130
B 170
C 210
D 260
3.数列{}n a 、{}n b 都是等差数列，
它们的前n 项的和为1
21
3-+=
n n T S
n
n ，则这两个数列的第5项的比为 ( ) (A)
2949 (B)19
34 (C)1728 (D)以上结论都不对 4.公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（ ）
（A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8 5.若等比数列
{}n a 满足241
2a a =，则2135a a a = .
6.等比数列{}n a 的前n 项的乘积记为n T ,若21,2n
n T T ==,则3n T =_8______.
7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =（ ）
（A ）1
2-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）12
1-n
8.设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。
（Ⅰ）求
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。
9．若数列{a n }, )
1)(2(1,3211
+++==+n n a a a n n 且 (n ∈N), 则通项n a =_7n+1/6n+6_______. 10．设{}n a 是1a =1的正项数列，且1
1
--=
n n a n n a ，求n a .
11.设数列
{}n a 的前项n 和为n S ， 已知*11,3,N n S a a a n n n ∈+==+，设n n n S b 3-=，
求数列{}n b 的通项公式；
12.已知数列{n a }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足n a =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求n a ，b n ；
（2）求数列{n a 2b n }的前n 项和T n .
对本部分的考查，选择填空重点考查等差、等比数列的性质；
解答题中重点考查通项公式、求和（重视求和的错位相减法、裂项相消法； 递推数列也是考察的重点，只局限于最基本的形式。
11．不等式
1.已知b a ,为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）
A. 2
2a b < B. 22a b ab < C. b
a a
b 2211< D. b a a b <
2. 已知
11
0a b
<<，则下列结论不正确的是（ ） A.22a b < B.2
ab b < C.2a b b a
+> D.||||||a b a b +>+
3.不等式x 2
-5x+6≤0的解集为______.
4.不等式
02
9
2>--x x 的解集是___________。 5．
10832<-+x x
6.设y
x b a b a b a R y x y x
1
1,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值为( )
A.2
B.23
C.1
D.2
1
7.当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值。
8．已知14
1x y
+=且0,>y x ，求y x +的最小值。
9.已知()222
+-=ax x x f ，当[)+∞-∈,1x 时，()a x f ≥恒成立，求a 的取值范围。
10．（1）关于x 的不等式a
x x
>的解集为（0，∞+），求a 的取值范围
（2）当[]3,1-∈
x 时，122--≥x x a 恒成立，求a 的最小值。
对本部分的考查，不等式性质常与简易逻辑结合考查选择填空题；
不等式解法主要以一元二次不等式为主，兼顾简单分式不等式、含绝对值的不等式、指对数不等式、与分段函数有关的不等式，常与集合，导数相结合。 线性规划为必考且难度不大。
基本不等式求最值要引起足够的重视； 不等式的恒成立问题也应当反复训练。
12．常用逻辑用语
1．已知,a b R ∈，命题“若1a b +=，则2
21
2
a
b +≥
”的否命题是 （ ） A ．若2211,2a b a b +≠+<则 B ．若22
11,2
a b a b +=+<则
C ．若2
21,12a
b a b +<+≠则 D ．若221
,12
a b a b +≥+=则
2．下列命题中真命题的是（ ）
A ．若向量a ，b 满足0a b ?=，则a=0或b=0
B ．若,a b <则11
a b
> C ．若2
b
ac =，则a ，b ，c 成等比数列 D ．x R ?∈，使得4
sin cos 3
x x +=成立
3.下列命题中的真命题是（ ） （A ）2
3cos sin ,=+∈?x x R x 使得
（B ）()1,,0+>+∞∈?x e x x （C ）()x
x x 32,0,<∞-∈?
（D ）()x x x cos sin ,,0>∈?π
4.设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2
x π
=对称.则下列判断正确的是（ ）
(A)p 为真 (B)q ?为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真 5.关于命题p ：A φφ= ，命题q ：A A φ= ，则下列说法正确的是（ ）
A ．
()p q ?∨为假 B ．
()()p q ?∧?为真 C ．()()p q ?∨?为假
D ．
()p q ?∧为真
6.命题“对任意实数x ∈R,x 4
－x 3
＋x 2
＋5≤0”的否定是 （ ）
A 不存在x ∈R,x 4－x 3＋x 2＋5≤0
B 存在x ∈R,x 4－x 3＋x 2
＋5≤0
C 存在x ∈R,x 4－x 3＋x 2＋5＞0
D 对任意x ∈R,x 4－x 3＋x 2
＋5＞0
7.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）
()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件
()D 即不充分不必要条件
对本部分的考查，命题真假的判定及充要条件的判断是重点； 要重视四种命题的关系及真假判断；
全称命题与特称命题的否定是近几年高考的热点。
13．导数及其应用
1 曲线3231y x x =-+在点(1
1)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-
Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+
Ｄ．45y x =-
2 与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+=
Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=
Ｄ．210x y --=
3 已知函数33y x x =-，过点(016)
A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程． 4 求过曲线32y x x =-上的点(1
1)-，的切线方程． 5.已知函数
()ax x x f +=32 与()c bx x g +=2的图象都过点 P(2, 0), 且在点 P 处有公共切线, (1)
求 f (x )、g (x ) 的表达式.
(2)设函数 F (x ) =f (x )+g (x ), 求 F (x ) 的单调区间,并指出函数 F (x ) 在该区间上的单调性. 6.设函数
()d cx bx ax x f +++=23的图象与 y 轴的交点为 P 点, 且曲线在 P 点处的切线方程为
12x -y -4=0. 若函数在 x =2 处取得极值 0, 试确定函数f (x )的解析式. 7.已知偶函数
()e dx cx bx ax x f ++++=234的图象过点 P(0, 1), 且在 x =1 处的切线方程为 y =x -2,
(1)求 y =f (x ) 的解析式; (2)求 y =f (x ) 的极大(小)值. 8.如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导函数，则不
等式'()0x f x ?<的解集为____．
9.函数y=12
x 2
-㏑x 的单调递减区间为（ ）
（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞）
10.)(3
2
4)(32R x x ax x x f ∈-+=在区间[-1，1]上是增函数。求实数a 的值组成的集合A 。
11．要使函数()()2132-++=x a x x f 在区间](3,∞-上是减函数，求实数a 的取值范围。
12.已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．
（I ）若函数
()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；
（II ）若函数
()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．
，求a 的取值范围． 13.设函数f （x ）=2
x
+lnx 则 （ ） A ．x=
12为f(x)的极大值点 B ．x=1
2
为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 14.已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．
（1）求a 和b 的值；
（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； 15.点P
()2,2在曲线3y ax bx =+上，
该曲线在点P 处切线的斜率为9，则ab =-3_；函数()3
f x ax bx =+，3
[,3]2
x ∈-的值域为__.
16.已知f (x )=ax 3+bx 2
+cx (a ≠0)在x =±1时取得极值，且f (1)=－1.
(1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x =±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.
18.已知函数
d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为
076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间. 对本部分的考查，选择填空题主要考查导数的几何意义；
要重视用导数解决方程、不等式、曲线的切线问题；
解答题常以三次函数、指数函数、对数函数及它们的组合为载体考查导数的应用（单调性、极值、最值的问题）
要重视分类讨论思想，特别是在求含参函数的单调性。
14．数系的扩充与复数的引入 1.复数
i 2
12i -=+（ ）
A. i
B. i -
C. 43i 55
-
- D. 43i 55
-
+ 2．复数1
i i -+=（ ）
（A ）2i -
（B ）1i 2
（C ）0 （D ）2i
3.设a,b 为实数，若复数11+2i
i a bi
=++，则（ ） （A ）31,22a b =
= (B) 3,1a b == (C) 13
,22a b == (D) 1,3a b == 4.已知()2,a i
b i a b R i
+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 3
5.复数212i i
+-的共轭复数是 （ ）
（A ）35i -
（B ）3
5
i （C ）i - （D ）i 6.复数z =
1i
i
+在复平面上对应的点位于（ ）
(A)第一象限 （B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
7．a 为正实数，i 为虚数单位，
2=+i
i
a ，则=a （ ）
A ．2
B C
D ．1
8.i 为虚数单位，则=
?
?
?
??-+2011
11i i （ ）
A.i -
B.1-
C.i
D.1
对本部分的考查，复数的基本概念（实部、虚部、纯虚数、模、共轭复数等） 考查复数的代数运算，尤其复数的除法； 复数相等及复数几何意义的考查；
高考数学中的放缩技巧
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i
[数学]数学高考压轴题大全
1、（本小题满分14分） 已知函数． （1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围； （2）当时，试比较与的大小； （3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数． （Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点； （Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原 点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直 线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；
（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出 此时 的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题 （每空？ 分，共？ 分） 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ，且函数为偶函数．若函数 满足下列条件：①；② 对一切实数 ，不等式恒成立． （Ⅰ）求函数的表达式； （Ⅱ）求证： ． 5 、已知函数： （1 ）讨论函数的单调性； （2） 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值 时，函数 在区间上总存在极值？ (3)求证：．
6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域； （Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的， 使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对 于函数图象上的点（其中总能使得 成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具 备性质“”，并说明理由. 7、已知函数 （Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值； （Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标 为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；
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