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2014年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

2014年全国高中数学联赛江西省预赛题

一、填空题（每小题8分，共64分） 1、如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是．

、已知sin cos αα+=

，则44

sin cos αα+= ． 3、将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和皆是质数，

并且首尾两项之和也是质数，你的填法是：．

4、已知P 是椭圆22

1259

x y +=上一点，1F 是其左焦点，Q 在1PF 上且满足

112OQ OP OF →

→→??=+ ???,3OQ →

=,则点P 到该椭圆左准线的距离为．

5、正三棱锥D ABC -的底面边长为1，侧棱长为2，过点A 作截面与侧棱,BD CD

分别相交与点,E F ，当AEF ?的周长最小时，AEF ?的面积为．

6、等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的正整数n 都有

5321n n S n T n -=

+，则207

b = ． 7、已知()50

25001250123251,23+

25x a a x a x a x a a a a +=+++

++++则的值

为 .

8、将1,2,3,4,5,6,7,8的每一个全排列皆看成一个八位数，则其中是11倍数的八位数的

个数为．

二、解答题（共86分，其中第9题20分，第10、 11、12题各22分）

9、设,,a b c 为正数，证明：

10、设椭圆22

221(0)y x a b a b +=>>与抛物线22(0)x py p =>有一个共同的焦点F ，

PQ 为它们的一条公切线，P 、Q 为切点，证明： PF QF ⊥．

11、如图， C 为半圆弧O 的中点，点P 为直径BA 延长线上一点，过点P 作半圆的切线PD ，D 为切点，DPB ∠的平分线分别交AC 、BC 于点E F 、；证明：PDA CDF ∠=∠

12、若整数,a b 既不互质，又不存在整除关系，则称,a b 是一个“联盟”数对；设A 是

集{}1,2,

,2014M =的n 元子集，且A 中任两数皆是“联盟”数对，求n 的最大值．

2014年全国高中数学联赛江西省预赛题

参考答案及评分标准

一、填空题（每小题8分，共64分）

1、如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是 5 ．解：设数列首项为a ，公差为d ，则,a d 为正整数，为使a 最小，当使d 最大，而由20147a d =-，得

20145

287777

a d d =-=+-，所以287,5d a ==． 2

、已知sin cos αα+=

，则44

sin cos αα+= 78．

解：将条件式平方得11+2sin cos =

2αα，所以1

sin cos 4αα=-，由此， ()()22

44227sin cos sin cos 2sin cos 8

αααααα+=+-=．

3、将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和皆是质数，

并且首尾两项之和也是质数，你的填法是：(1,2,3,8,5,6,7,10,9,4)．

（答案不唯一，例如()1,6,7,4,3,2,5,8,9,10所排成的数列也可）．

4、已知P 是椭圆221259

x y +=上一点，1F 是其左焦点，Q 在1PF 上且满足

112OQ OP OF →

→→??=+ ???,3OQ →

=,则点P 到该椭圆左准线的距离为 5 ．

解：11,2OQ OP OF Q →

→→??=+∴ ???

为1F P 中点，设椭圆右焦点为2F ，连接2PF ，则

221

=3 =62

OQ PF PF =

?.14,PF ∴=设

到左准线距离为d ，则144

,545

PF c e d d a ====∴==

5、正三棱锥D ABC -的底面边长为1，侧棱长为2，过点A 作截面与侧棱,BD CD

分别相交与点,E F ，当AEF ?的周长最小时，AEF ?

的面积为64

．解：将三棱锥沿侧棱DA 剪开，展平为一个五边形，然后计算。当

1,,,A E F A 共线时，截面AEF ?周长为

最小，这时等腰三角形1DAA ?与

DBC ?具有相同的顶角平分线，

故1AA ∥BC ，因此，ABD DBC DEF AEB ∠=∠=∠=∠，即ABE ?为等腰三角形，且1,,ABE A CF AEF ???皆与棱锥侧面三角形相似，记,BE x EF y ==，由

BE EF BC AB DE DB ==，即1122x y x ==-，则13,24x y ==，所以13

1,4

AE A F EF ===，

在1,8264AEF h S EF h ?==∴=?=中，．

6、等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对任意的正整数n 都有

5321n n S n T n -=

+，则207a

b =649

．解：

{}{},n n a b 均为等差数列，故可设()()53,21n n S kn n T kn n =-=+，当2n ≥时，

()()11108,41,n n n n n n a S S k n b T T k n --=-=-=-=-()()207200864

.2819

k a b k -∴

==- 7、已知()50

25001250123251,23+

25x a a x a x a x a a a a +=+++

++++则的值

为48

502?

解：由展开式易知，123

123255*********+

252325.a a a a C C C C +++=++++

()()1

49494849115050!1!

k k k A kC k C k k -???--+????

=?=?

=?-

505050

225S C C C ∴=+++012401

49494949494950505050()C C C C C C =++

+=++

49484949491150()50250222

C C C =?++

+=??=?

8、将1,2,3,4,5,6,7,8的每一个全排列皆看成一个八位数，则其中是11倍数的八位数的

个数为 3456 ．

解：对于每个这样的八位数12

8a a a ，记{}{}13572468,,,,,,,A a a a a B a a a a ==，

而(),()S A S B 表示其数字和，先设()()S A S B ≥，则()()36S A S B +=，故(),()S A S B 同奇偶，且()()S A S B +与()()S A S B -同奇偶，因此()()S A S B -为偶数，且是11的倍数；如果()()22S A S B -=，则()7S B =，这不可能（因最小四数之和不小于10）；于是()()0S A S B -=，即有()()18S A S B ==，考虑9所在的组，另三数只有三种情况：

{}{}6,2,1,5,3,1与{}4,3,2，当一组数确定后，另一组数随之唯一确定．再考虑9在奇数

数位或偶数数位情况，于是得到234!4!3456???=个这种八位数．

二、解答题（共86分，其中第9题20分，第10、 11、12题各22分）

9、设,,a b c 为正数，证明：

证：由于22

()4,()4a b ab a c ac +≥+≥，因此，

4ab a b a b +≤+，4

ac a c

a c +≤+。 ………5'

≥

10'

两边平方，2

22a ab ac bc ≥+++， …………15’

再平方，得2()0a b c -≥，此为显然． …………20’

10、设椭圆22

221(0)y x a b a b +=>>与抛物线22(0)x py p =>有一个共同的焦点

F ，PQ 为它们的一条公切线，P 、Q 为切点，证明： PF QF ⊥．

证：设()11,P x y 在抛物线上，22(,)Q x y 在椭圆上，焦点0,2p F ?

???

，则抛物线切线方程为()11x x p y y =+，椭圆切线方程为

22221y y x x

a b

+=它们为同一直线， 2222

222212121,2.a x b y a b y y a x x b x p py

∴==?=-=- ① ………… 4'

()2212122

12122422FP FQ p p p

y y p y y a k k x x b -

--+-∴?=

?= ② ………… 8' 设公切线PQ 方程为y kx m =+，代入抛物线方程并由2

0,2pk m ?=?=- 2:,2pk PQ y kx ∴=-与抛物线切线方程比较可得12112

x pk

y pk =??

?=??

将公切线方程代入椭圆方程，并令

222242220404

p k m a k b a k b p k b k a ?=?=+?=+?--=，两曲线有相

同焦点，222244()2p c p c a b ∴=?==-，代入上式解得222

4p b k p

+= ………… 12’ 22222

121442,

22p b p b a y p p p p

++∴=?==222222222

12244442

a pa pa p

y y p b a b b =-=-=-=-+-+， ………… 16’

222

1242+2a p b y y p p

-∴==

，代入②式，得 222

222222

1242122FP FQ

p b p a a b b a p

k k b b -?----∴?===-

PF QF ∴⊥ . …………22'

11、如图， C 为半圆弧O 的中点，点P 为直径BA 延长线上一点，过点P 作半圆的切

线PD ，D 为切点，DPB ∠的平分线分别交AC 、BC 于点E F 、；证明：PDA CDF ∠=∠

证：连接OD 、DE ，

,,OD PD CO PO ⊥⊥

DPB DOP DOP DOC ∴∠+∠=∠+∠ ………… 4' 222.DPB DOC DAC DBC DPF ∴∠=∠=∠=∠=∠

即 ,DAC DPE DPF DBF ∠=∠∠=∠ ………… 8'

;P A E D P B F D ∴、、、、、、分别四点共圆。

,,DEC DPA DFC DPA DEC DFC ∴∠=∠∠=∠∴∠=∠ …………12' D E F C ∴、、、四点共圆， ………… 16' .CDF CEF PEA PDA ∴∠=∠=∠=∠ ………… 22'

12、若整数,a b 既不互质，又不存在整除关系，则称,a b 是一个“联盟”数对；设A

是集{}1,2,

,2014M =的n 元子集，且A 中任两数皆是“联盟”数对，求n 的最大值．

解：称这种子集A 为“联盟子集”；首先，我们可构造一个联盟子集，其中具有504个元素．为此，取{}2504,505,

,1007A k k ==，以下证，504就是n 的最大值．

………4’

今设A 是元素个数最多的一个联盟子集，{}12,,,n A a a a =，若j a 是集A 中的最

小数，显然1j a >，如果1007j a ≤，则得22014j a ≤，即2j a M ∈，显然2j a A ?，（因2j a 与j a 有整除关系）

． …………8’

今在A 中用2j a 替代j a ，其它元素不变，成为子集A '，则A '仍然是联盟子集，这是由于对于A 中异于j a 的任一元素i a ，因j a 与i a 不互质，故2j a 与i a 也不互质；再说明2j a 与i a 没有整除关系：因j a i a ，则2j a i a ；又若2i j

a a ，设2j i a ka =，

（显然1,2k ≠，否则,i j a a 有整除关系），则2k >，于是i j a a <，这与j a 的最小性矛盾！ …………16’因此A '仍然是联盟子集，并且仍是n 元集；重复以上做法，直至子集中的元素皆大于

1007为止，于是得到n 元联盟子集{}12,,

,n B b b b =，其中10072014j b <≤．

即{}1008,1009,

,2014B ?，因任两个相邻整数必互质，故在这1007个连续正整数

中至多能取到504个互不相邻的数，即504n ≤．

又据前面所述的构造可知，n 的最大值即为504． …………22’