大学高等数学同步课程---汤家凤讲高数(上册)

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷

（江西师大附中使用）高三理科数学分析

一、整体解读

试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础

试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度

选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察

在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析

1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →

→

=，则A BA C →→

?的最小值为（ ）

A ．1

4- B ．12-

C ．34-

D ．1-

【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。

【易错点】1．不能正确用OA ，OB

，OC 表示其它向量。

2．找不出OB 与OA 的夹角和OB

与OC 的夹角的倍数关系。

【解题思路】1．把向量用OA ，OB

，OC 表示出来。

2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。

【解析】设单位圆的圆心为O ，由AB AC →

→

=得，22

()()OB OA OC OA -=- ，因为

1OA OB OC ===

，所以有，OB OA OC OA ?=? 则()()AB AC OB OA OC OA ?=-?-

2OB OC OB OA OA OC OA =?-?-?+

21OB OC OB OA =?-?+

设OB 与OA 的夹角为α，则OB

与OC 的夹角为2α

所以，cos22cos 1AB AC αα?=-+ 211

2(cos )22

α=--

即，AB AC ? 的最小值为1

2

-，故选B 。

【举一反三】

【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知

//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ

== 则AE AF ? 的最小值为.

【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何

运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ? ，体

现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】

2918

【解析】因为1,9DF DC λ= 12

DC AB =

，

119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ

--=-=-== ，

AE AB BE AB BC λ=+=+ ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ

-+=++=++=+ ，

()

221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC

λλλλλλλλλ+++?????=+?+=+++?? ? ?????

19199421cos1201818

λλ

λλ++=

?++???

?2117172992181818λλ=

++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ? 的最小值为

29

18

. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的焦点()1,0F ，其准线与x 轴的

交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设8

9

FA FB →

→

?=

，求BDK ?内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。

【易错点】1．设直线l 的方程为(1)y m x =+，致使解法不严密。

2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。 【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。 2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。 3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。

【解析】（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x =

则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -， 故2

14x my y x =-??

=?整理得2

440y my -+=，故121244

y y m y y +=??=? 则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2

222144y y y x y y ?

?-=- ?-??

令0y =，得1214

y y

x ==，所以()1,0F 在直线BD 上.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244

y y m y y +=??=?，所以()()2

12121142x x my my m +=-+-=-，

()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →

=-

故()()()2

1212121211584FA FB x x y y x x x x m →→

?=--+=-++=-，

则2

84

84,93

m m -=

∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=

21y y -==

故直线BD 的方程330x -=或330x -=，又KF 为BKD ∠的平分线，

故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131

,54t t +--------------10分 由

31315

4t t +-=

得1

9t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253

t r +=

= 所以圆M 的方程为2

21499x y ?

?-+= ??

?

【举一反三】

【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝5

4|PQ|.

（1）求C 的方程；

（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．

【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y 2＝4x.

（2）x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 【解析】（1）设Q(x 0，4)，代入

y 2＝2px ，得

x 0＝8

p

，

所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8

p

.

由题设得p 2＋8p ＝54×8

p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，

所以C 的方程为y 2＝4x.

（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.

故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)， |AB|＝

m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．

又直线l ′的斜率为－m ，

所以l ′的方程为x ＝－1

m y ＋2m 2＋3.

将上式代入y 2＝4x ，

并整理得y 2＋4

m y －4(2m 2＋3)＝0.

设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，

则y 3＋y 4＝－4

m

，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．

故线段MN 的中点为E ? ????

2m

2＋2m 2＋3，－2m ，

|MN|＝

1＋1

m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1

m 2

.

由于线段MN 垂直平分线段AB ，

故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝1

2|MN|，

从而14|AB|2＋|DE|2＝1

4|MN|2，即 4(m 2＋1)2＋

? ????2m ＋2m 2＋? ??

??2

m 2＋22＝

4（m 2＋1）2（2m 2＋1）

m 4

，

化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1， 故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.

三、考卷比较

本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。

即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。

3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。

四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

重庆大学高等数学习题3-2

A 组 1.用洛必达法则求下列极限： （1）02lim 1cos x x x e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1 x x x π →+∞- （3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011 limcot ( )sin x x x x →- （5）1 0(1)lim x x x e x →+- （6）21 0sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x →- （8）sin 0lim x x x +→ （9）lim(1)x x a x →∞+ （10 ）n 其中n 为正整数 解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞ ∞型极限的求解，当然对于一 些能够化简为00，∞ ∞ 型极限的同样适用，例如00010?∞==∞ 等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x ---→→→+--+===- （2）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 2222 1arctan 12lim lim lim 111 1x x x x x x x x x π →+∞→+∞→+∞--+===+- （3）本题为0 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x x x x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得 23 00011cos sin sin sin limcot ( )lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----=?== 型极限的求解，利用洛必达法则求解得

重庆大学高等数学习题1-5

习题1-5 A 组 1.求参数a 的值，使得函数24 ,2()2,2x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在点2x =处连续 解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为0 0lim ()()x x f x f x →= 解：本题中2222 4 lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a = 2.若函数(sin cos ),0 ()2,0x e x x x f x x a x ?+>=?+≤? 是(,)-∞+∞上的连续函数，求a 解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使 00 lim ()lim ()(0)x x f x f x f - + →→== 解：已知(0)f a = lim ()lim(2)x x f x x a a -- →→=+=，00 lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a = 3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =点处连续，求a 与b 的关系 解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+ →→== 解：已知(0)f a = 20 lim ()lim()x x f x a bx a -- →→=+=，0 0sin sin lim ()lim lim x x x bx bx f x b b x bx +++→→→=== 则a b = 4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2 sin ()1x f x x = - （2）1 ()1x f x x -=-

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

重庆大学高数(下)期末试题二(含答案)

重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试方式： 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 设向量a 与三轴正向夹角依次为,,,αβγ则当cos 0β=时有(). (A) a ⊥xoy 面 (B) a //xoz 面 (C) a ⊥yoz 面 (D) a xoz ⊥面 知识点:向量与坐标的位置关系,难度等级:1. 答案: (B) 分析:cos 0,β=,2 πβ=a 垂直于y 轴,a //xoz 面. 2. 若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为 212323,y C C x C x =++其中123,,C C C 为独立的任意常数,则该方程 为(). (A)0y y '''+= (B) 30y y '''+'= (C)0y y '''-= (D) 0y '''= 知识点:通过微分方程的通解求微分方程,难度等级:2. 答案: (D) 分析:由通解中的三个独立解21,,x x 知,方程对应的特征方 程的特征根为1230.λλλ===因此对应的特征方程是30.λ=于是对应的微分方程应是0.y '''=故应选(D). 3. 设D 由 14122≤+≤y x 确定.若1221,D I d x y σ=+??222(),D I x y d σ=+??223ln(),D I x y d σ=+??则1,I 2,I 3I 之间的大小顺序为( ). (A)321I I I << (B)231I I I << (C)132I I I << (D)123I I I << 知识点:二重积分比较大小,难度等级:1. 答案:(D) 分析:积分区域D 由 221 14 x y ≤+≤确定.在D 内,222222 1 ln(),x y x y x y +<+< +故321.I I I <<只有D 符合. 4．设曲线L 是由(,0)A a 到(0,0)O 的上半圆周22,x y ax +=则曲线积分 命 题人 : 组题人 : 审题人: 命 题时间: 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

重庆大学高等数学习题2-2

A 组 1.利用导数的四则运算法则求下列函数的导数： （1）（2）tan sin 3 y x x π =+ （3）sinx y x = （4 ）y = （5）3cot ln x x y x += （6）223sin 1x x y x x =-+ 解析：考查导数的求解，四则法则就是导数的四种运算法则，包括加减乘除，同时要对初等函数的导数公式非常了解，详细见91P 解：（1）92y x '=- （2）2()tan (tan )(sin )tan sec 3 y x x x x x x x π ''''=++=+ （3）22 (sin )()sin cos sin x x x x x x x y x x ''--'= = （4 ）化简y == 已知'= ，则 y '''= == （5） 2 33322 2321(3csc )ln (cot ) (cot )ln (ln )(cot )ln ln (3csc )ln cot )ln x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x --?+''+-+'==---=

（6）222222 2 22222 222 ()(1)(1)(sin )()sin 3(1)2(1)2cos sin 3(1)23(cos sin )(1)x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''+-+-'=-++-?-=-+-=-+ 2.求下列函数的导数： （1）1 ()21 f x x = -，求(0)f '，(2)f '-； （2）23 51 ()t t f t t -+=，求(1)f '-，(1)f ' 解析：考查函数导数的求解，上面两题都是由基本初等函数构成的，直接利用导数四则法则求解 解：（1）22 (1)(21)(21)2 ()(21)(21)x x f x x x ''----'= =-- 则(0)2f '=-，2 (2)25 f '-=- （2）233232266 4322 64 (51)()(51)(25)3(51)()103103t t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t ''-+--+---+'== -+--+-== 则(1)14f '-=-,(1)6f '= 3.求曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程和法线方程 解析：考查导数的应用，从上节可知，曲线在某点的切线斜率等于该点上导数的值，由此可 以利用点斜式求切线方程，法线与切线垂直，则其斜率相乘为1 解：已知14 x y π == ，21 1 y x '= + 则曲线在点(1, )4 π 上的斜率为1112 x k y ='== 则切线方程为1(1)42y x π - =-，即11242 y x π=+- 设法线方程的斜率为2k ，则121k k ?=-，得22k =-

重庆大学高等数学总复习题三

A 组 一、填空题： 1.函数lnsin y x =在5[ , ]66ππ 上满足罗尔定理中的____ξ= 解析：考查罗尔定理的应用，要求解ξ，即在区间5(, )66ππ 内，求=0y '的解 解：cos = sin x y x '，令=0y '，则2 x π = 2.函数4()f x x =，2 ()F x x =在[1,2]上满足柯西中值定理中的____ξ= 解析：考查柯西定理的应用，要求解ξ，即在区间(1,2)内，求 (2)(1)() (2)(1)() F F F x f f f x '-='-的解 解：已知 (2)(1)1 (2)(1)5 F F f f -=-，()2F x x '=，3()4f x x = 则即求 321 45 x x =，解得2x =，2x =-（舍去） 则ξ= 3.设函数3 x y e -=，[5,5]x ∈-，则该函数的最大值_____M =，最小值_____m = 解析：考查函数最值的求解，由于函数中存在绝对值，则可以化为分段函数，然后在区间内的最值 解：化为分段函数33,53 35x x e x y e x --?≥>=?≥≥-? 已知x e 和3x +都为恒增函数，则3 x e -也为恒增函数 即当53x ≥>时，最大值为25 x y e ==，3 1x y == 因为3x -为恒减函数，则3 x e -也为恒减函数 当35x ≥≥-时，最大值为8 5 x y e =-=，3 1x y == 综上可知，最大值8 M e =，最小值1m = 4.曲线1ln()y x e x =+（0x >）的渐近线方程为_____ 解析：考查函数渐近线的求解，渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，前面已经 介绍过各类渐近线的定义，则只需一一验证各类渐近线是 否存在

重庆大学高等数学习题3-1

A 组 1.验证拉格朗日中值定理对函数3 2 452y x x x =-+-在区间[0,1]上的正确性 解析：考查拉格朗日中值定理的应用，只需在[0,1]内找出一点使得=0y '， 证明：已知函数在[0,1]内连续，在(0,1)内可导，则其满足拉格朗日中值定理的两个条件 令()y y x =，则(1)2y =-，(0)2y =- 又因为2 ()12101y x x x '=-+，令[(1)(0)]()(10)y y y x '-=-，即()0y x '=，解得 1,21052412 x ±= = 则存在(0,1)ξ∈，使得(1)(0)()(10)y y y ξ'-=- 2.证明方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根，其中C 为任意常数 解析：考查罗尔定理的应用，本题可以利用反证法来证明 证明：设3 2 ()2f x x x C =-+，假设存在两点1x ，2x （12x x >），使得12()()0f x f x == 则在12[,]x x 内，满足罗尔定理，即存在12(,)x x ξ∈，使得()0f ξ'= 2()34f x x x '=-，令()0f x '=，解得0x =， x =（不在所设区间内，舍去） 若0ξ=，则1x ，2x 中必有一个不存在，与所设假设不符 则方程32 20x x C -+=在区间[0,1]上不可能有两个不同的实根 3.若方程1 0110n n n a x a x a x --+++=L 有一个正根0x x =，证明：方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=L 必有一个小于0x 的正根 解析：考查罗尔定理的应用，判断利用哪个中值定理可以通过所得条件得出，设 1011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，则由已知条件可得0()(0)0f x f ==，这样满足罗尔定 理的第三个条件 证明：设1 011()n n n f x a x a x a x --=+++L ，0()(0)0f x f == 且12 011()(1)n n n f x a nx a n x a ---'=+-++L 根据罗尔定理可知，存在一点0(0,)x ξ∈，使得()0f ξ'=

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点

高等数学(同济第六版)上册期末复习重点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 4、空间平面 5、空间旋转面（柱面）

第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 5、极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。 不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。 如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间

重庆大学出版社高等数学题库参考答案

第五章不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为（A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D.x e x 2sin 4.函数x e x f =)(的不定积分是（B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是（A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数2 11)(x x f -=的原函数是（A ）. A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++1 2 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )(（B ） A.x 2 B.2 C.2 x D.-2 8.若c e dx e x x +=? ,则? x d e x 22=（A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是（A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12.函数2 1 1)(x x f - =的原函数是（A ） A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++ 12

重庆大学高等数学(II-2) ( 第3次 )

第3次作业 一、填空题（本大题共40分，共 10 小题，每小题 4 分） 1. 写出级数的通项为： ______ 。 2. 级数的敛散性为 ______ 。 3. 函数的定义域为 ______ 。 4. 设平面通过点（1，3，-2），且垂直于向量 ，求该平面的方程。 5. 由曲线绕y轴一周所得的旋转面方程为 ______ 。 6. 设，且函数f可微，则 ______ 7. 已知D由及x轴围成，则

______ 。 8. 过点(3,0,－1)且与平面平行的平面方程为 ______ 。 9. 一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程。 10. 设，其中 具有连续的二阶偏导数， ____________。 二、计算题（本大题共40分，共 8 小题，每小题 5 分） 1. 判断级数的敛散性。 2. 利用二重积分的性质估计 (其中是

矩形区域 )的值。 3. 求曲面在点(1,1,2)处的切平面和法线方程。 4. 求两平面， 的夹角。 5. 已知三角形ABC的顶点是A(1,2,3),B(3,4,5), C(2,4,7)，求三角形的面积。 6. 求微分方程满足的 特解。 7. 求的所有二阶偏导数。 8. 把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中L为 (1)在 xOy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)； (2)沿抛物线 从点(0,0)到点(1,1)； (3)沿上半圆周 从点(0,0)到点(1,1)。

三、证明题（本大题共20分，共 2 小题，每小题 10 分） 1. 证明：若数列收敛于a,则级数 。 2. 设级数和收敛, 证明级数 收敛。 答案： 一、填空题（40分，共 10 题，每小题 4 分） 1. 参考答案： 解题方案： 评分标准： 2. 参考答案： 发散 解题方案：

重庆大学出社高等数学题库参考答案

第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法) 一、单选题 1.设)(x f 是可导函数,则?' ))((dx x f 为（ A ）. A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分. A.任意一个 B.所有 C.唯一 D.某一个 3.? = +=)(,2cos )(x f C x e dx x f x 则（ A ）. A.)2sin 22(cos x x e x - B.C x x e x +-)2sin 22(cos C.x e x 2cos D. x e x 2sin 4.函数x e x f =)( 的不定积分是（ B ）. A.x e B.c e x + C.x ln D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）. A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 6.函数211)(x x f -=的原函数是（ A ）. A.c x x ++ 1 B.x x 1- C.32 x D.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[] =' ?dx x f )(（ B ） A. x 2 B.2 C.2 x 8.若 c e dx e x x +=? , 则 ?x d e x 22=（ A ） A.c e x +2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2 9.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ） A.c x +sin B.x cos C.x sin - D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ） A.)(x f B.0 C.)(x F D.)(x f ' 11.函数21 1)(x x f + =的原函数是（ A ） A.c x x +-1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++12 12. 函数21 1)(x x f - =的原函数是（ A ）

重庆大学高等数学(2-1)课程期末试卷2

重 庆 大 学 《 高等数学 》（II-1）期末试卷参考答案 2013~ 2014 学年 第 一 学期 一．单项选择题（每小题3分，共15分） （1 ）设()1f x =，则当0x →时，有（ C ） 。 （A ）()f x 与x 是等价无穷小 （B ）()f x 与x 是同价无穷小，但不等价 （C ）()f x 是x 的高价无穷小 （D ）()f x 是x 的低价无穷小 （2）设()f x 为可导函数，且满足条件0(2)(2)lim 22x f x f x x →+--=-，则曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的法线的斜率为（ C ）。 （A ）2 （B ）1- （C ）1 2 （D ）2- （3）设2s ()sin x co x x F x e xdx π += ? ，则()F x （ A ）。 （A ）恒为零 （B ）为负常数 （C ）为正常数 （D ）不为常数 （4）11 lim 32x x x x →∞ ??- ???为（ B ）。 （A ）2ln 3 （B ）3 ln 2 （C ）0 （D ）不存在 （5）设函数()2 ()ln 1f x x =+，其表示的曲线的拐点个数为（ B ）。 （A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）0 二．填空题（每空3分，共15分） （1）tan 01lim ()1x x x +→=。 （2）设()y x 是由方程1y y xe =-确定的可导函数，则()1y y e y x xe -'= +。 （3）1 ln tan sin cos dx x c x x =+?。 （4）设，则 -10 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密

同济大学2016-2017学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。 同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷 一. 选择填空题(3'824'?=) 1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其 反函数1()x f y -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有 【A 】 ()'A k k = ; 1 ()'B k k =; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ?充分小时都有 2 ()1x y x o x x ?= ?+?+, 则有 【C 】 2 22 1()()(1)x A f x x -=+; 2()()11x B f x x =++; () C ()l 1 f x =+; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分 2 ()f x dx ? . 【D 】 12()l i m ()n n k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 1 1 ()lim 2()n n k k D f n n →∞=∑. 4. 要使反常积分 +∞ ? 收敛, 则实数p 的取值范围是 【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <. 5. 如果作换元sin x t =, 则积分3 (sin )f x dx π = ? .

重庆大学高等数学习题1-4

习题1-4 A 组 1.当0x →时，2 2x x -与2 3 x x -相比，哪一个是高阶无穷小? 解析：考查无穷小量的比较，只需对两个无穷小量的比值求极限，根据所得进行判断 解：22 30022lim lim (1) x x x x x x x x x →→--==∞-- 根据定义4.4，2 3 x x -是比2 2x x -高阶的无穷小 2.证明：在0x →时，sec 1x -与2 2 x 是等价无穷小量 解析：考查无穷小量的比较，等价无穷小量只需两个无穷小量的比值的极限为1 证明：因为2 222000sec 11cos 2lim lim lim 1222 x x x x x x x x x cosx →→→--===?（其中21cos 2 x x -:） 则sec 1x -与2 2 x 是等价无穷小量 3，利用等价无穷小的性质，求下列极限： （1）0tan 5lim 2x x x →（2）0sin() lim (sin )n m x x x →（m ，n 为正整数） （3 ）0 x →（4）1 23 0(1)1 lim cos 1 x x x →+-- （5）lim x b x b a a x b →-- 解析：考查函数极限的求解，利用等价无穷小首先需要非常了解常用的几个等价无穷小，例 如sin x x :，tan x x :，2 1cos 2 x x -:等等，具体可见定理4.6 解：（1）因为tan x x :，则00tan 555 lim lim 222x x x x x x →→== （2）因为sin x x :，则000 sin()lim lim lim (sin )n n n m m m x x x x x x x x -→→→== 当n m >时，0sin()lim 0(sin )n m x x x →=；当n m =时，0sin() lim 1(sin )n m x x x →=；当n m <时，

重庆大学《高等数学 Ⅱ-2》重修试题A0812月(答案)

重庆大学高等数学Ⅱ-2（重修）课程试卷 2009 ~2010 学年 第二学期 开课学院： 数理学院 课程号： 考试日期2010年6 月 考试方式： 考试时间：120 分 一、 填空题（每空3分，共15分） ⒈过点M （1，2，-3）且平行于直线 3 1 1 3 5 y x z --= = 的直线方程为 1231 3 5 x y z --+==。 2．已知2 2 ln()z x y =，则(1,1) dz =22dx dy +。 ⒊级数11 2 n n ∞ =∑的和为1 。 4．设积分区域D 是由曲线2,,1y x y x y ===围成的区域，则 2D dxdy =??1/2。 ⒌已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解分别为312,1x y e y ==，则该 微分方程为30y y '''-=。 二、 计算题（共18分） ⒈（9 分）设y x z e =，求 z z x y ????和 及dz ． 解：21 ()y x y z z dz dx dy dx dy x y x x e ??=+=-+??. 2．（9分） 求函数u xyz =在点(1,1, 2)处沿从点(1,1,2)到点(2, 4,3)的方 向导数。 u u u yz xz xy x y z ???===??? (1,1,2) (1,1,2) (1,1,2) 2 2 1u u u x y z ???===??? {} 1,3,1l l == = cos cos cos αβγ= = = cos cos cos 1319221u u u u l x y x αβγ????= ++????=?+? ? = 三、 计算题（共18分） 1．（9分）求旋转抛物面22z x y =+在点15(1,,)24 -处的法线方程和切平面方程． 解：抛物面2 2 22z x y =+的法向量为(2,2,1) n x y =-- ，在点 15 (1,,)24 -处(2,1,1)n =- ， 命 题人： 组 题人： 审题人： 命题时间： 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密

重庆大学高等数学习题1-1

习题1-1 A 组 1.确定下列函数的定义域和值域 （1 ）y = （2 ）y =（3）1cos y x π= （4）ln(sin )y x π = 解析：本题考查函数定义域和值域的概念，定义域指的是自变量的取值范围，值域指的是函 数的取值范围，一般定义域和值域可以用区间或描述法来表示，根据此可以求解 解：（1）因为303x x ->?>，则函数的定义域为(3,)+∞，值域为(0,)+∞ （2）因为2 32021x x x x -+≥?≥≤或，则函数的定义域为(,1][2,)-∞+∞U 值域为[0,)+∞ （3）因为1cos 02x x n π≠?≠+（n 为整数），则函数的定义域为12{,}2 n x x n z +≠ ∈ 值域为(,1][1,)-∞-+∞U （4）因为11 sin 02(21)1212n n x x x x x n n π π π πππ>? << <+?><<+或或 （n 是不为0 的整数） 则函数的定义域为11 {,{0}}(1,)212x x n Z n n <<∈-+∞+U ，值域为(,1]-∞ 2.设函数()f x 的定义域为[2,3] ，求复合函数f 的定义域 解析：考查复合函数定义域的求解， 本题中可以令u 则本题就是求函数()f u 的 定义域，也就是求函数u 解：由已知可得[2,3]x ∈ ，则u = 则复合函数f 的定义域为 3.设函数2 1,0 ()2,0x x x f x x ?+-∞<≤?=?<<+∞ ??求(2)f -，(0)f ，(2)f 解析：考查分段函数的函数值，注意找对变量所在的区间 解：2 (2)1(2)5f -=+-=，2 (0)101f =+=，2 (2)24f ==

高等数学同济第七版上册课后答案

习题1-10 1.证明方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f(x)=x5-3x-1,则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f(1)=-3,f(2)=25,f(1)f(2)<0,所以由零点定理,在(1, 2)内至少有一点ξ(1<ξ<2),使f(ξ)=0,即x=ξ是方程x5-3x=1的介于1和2之间的根. 因此方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间. 2.证明方程x=a sin x+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根,并且它不超过a+b. 证明设f(x)=a sin x+b-x,则f(x)是[0,a+b]上的连续函数. f(0)=b,f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0. 若f(a+b)=0,则说明x=a+b就是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根; 若f(a+b)<0,则f(0)f(a+b)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(0,a+b),使f(ξ)=0,这说明x=ξ也是方程x=a sin x+b的一个不超过a+b的根. 总之,方程x=a sin x+b至少有一个正根,并且它不超过a+b. 3.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y,恒有 |f(x)-f(y)|≤L|x-y|,其中L为正常数,且f(a)?f(b)<0.证明:至少有一点ξ∈(a,b),使得f(ξ)=0. .

. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||lim |)()(|lim 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(lim 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a