线性代数(B卷及答案)
西华大学课程考试 试题卷 (B
卷)
试卷编号
课程名称： 线性代数B 考试时间：110分钟 课程代码： 7106400 试卷总分： 100 分
一、填空题（每小题3分，共15分）
1、设12201122221211)(x x x
x x P ---=，则4x 项的系数为 ；
2、当a 时，矩阵???
?
??-=a A 131可逆。
3、A 是n m ?矩阵，B 是m n ?矩阵，且E AB =，其中E 是单位矩阵，则=)(A
r ； 4、设A 为n 阶矩阵，且A 中每行元素之和都是0，如果秩1)(-=n
A r ，则齐次方程组
0=Ax 的通解是 ；
5、2
01041
1t t A =正定，t 的值为 。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1、设B A ,均为n 阶可逆矩阵，正确的公式是（ ）
(A)2112)()(--=A A ； (B))0()(1
1≠=--k kA kA ；
(C)111)(---+=+B A B A ； (D)22))((B A B A B A -=-+ 2、已知向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（ ） (A) 14
433221,,,αααααααα++++线性无关； (B) 14433221,,,αααααααα----线性无关；
(C) 14433221,,,αααααααα-+++线性无关； (D) 14433221,,,αααααααα--++线性无关；
3、设n 元齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=AX 有非零解的充分必要条件是（ ）
(A)n r =； (B) n r >； (C)n r ≥； (D) n r < 4、设B A ,是n 阶实对称正定矩阵则AB 一定是( )
(A) 实对称矩阵； (B) 可逆矩阵； (C) 正交矩阵； (D)正定矩阵 5、下列矩阵为正交阵的是 ( ).
(A) ???? ??--1011； (B) ???? ??1001； (C) ???
?
??0111； (D)
???
?
??-1011
三、计算行列式：（8分）
7
1100251020214214
=
D
四、已知???
?
? ??-=102020101B ，A B E A =-)(，求A 。 （8分）
五、求方程13224321=+-+x x x x 对应齐次方程的基础解系，并写出该非齐次方程的通解。 （10分）
六、讨论向量组()()()T
T
T
t ,3,5131011321=-==ααα，，，，，，的线性相关性。
（8分）
七、已知四阶矩阵A 的特征值为1、2、3、5 （1）分别求A 3，2A ，1-A 的特征值；
（2）求A 5的逆矩阵的行列式1)5(-A 的值。（8分）
八、已知二次型3231212
32221222x x x x x x tx tx tx f -++++=，
问（1）t 满足什么条件时，二次型f 正定； （2）t 满足什么条件时，二次型f 负定（12分）
九、已知三阶矩阵A 的三个特征值321,,λλλ分别对应的三个特征向量为，T )1,1,1(1=α，T )1,1,0(2=α，T )1,0,0(2=α，求A 。
（10分）
十、（6分）、如果)(2
1
I B A +=，证明：当且仅当I B =2时，A A =2。
一、（15分）1、4； 2、3-≠； 3、 m ； 4、 T
k )1,1,1,1(；5、22<
<-t 。
二、（15分）1、A ；2、C ；3、D ；4、B ；5、B 三、（8分）0 四、（8分）B E B A =-)( (2)
???
?
? ??-=-002010100E B ，0||≠-E B ，E B -可逆 (3)
1
)(--=E B B A ，?????
?????-=1010202101A (3)
五、（10分）齐次方程03224321=+-+x x x x 的基础解系：
????
??? ??-=??????? ??=??????? ??-=1030,0120,0021321ξξξ (6)
特解：????
??? ??=00100η (1)
通解为0332211ηξξξ+++=k k k x (3)
六、（8分）
221033
1
5
11-=-=t t
A (2)
当1=t 时，0=A ，321,,ααα线性相关...........................3 当1≠t 时，0≠A ，321,,ααα线性无关...........................3 七、（8分）A 3的特征值：3，6，9，15 (1)
2A 的特征值：1，4，9，25...........................2 1-A 的特征值：51,31,21,1 (2)
141411130555)5(-------?===A A A (3)
八、（12分）???
?
? ??--=t t t A 111111
(2)
（1）01||,0||221>-=>=t A t A (2)
0)2()1(||23>-+=t t A (1)
得2>t 时正定..............................2 （2）01||,0||221>-=<=t A t A (2)
0)2()1(||23<-+=t t A ………………1 得1- 易判断已知的三个特征向量321,,ααα线性无关，故有可逆矩阵 ??? ? ? ??--=????? ??=-110011001, 1110110011 P P ……………………4 由Λ=??? ? ? ??=-32 1 1λλλAP P ，得 =????? ? ?=-132 1P P A λλλ????? ??111011001????? ? ?32 1λλλ???? ? ??--110011001 =??? ?? ??---33 221 2211 λλλλ λλλλλ (6) 十、（6分）""?已知)(2 1 I B A += 将等式两边同时平方得 )2(4 12 2I B B A ++= …………（1） 而I B =2，代入（1）式可得A I B A =+=)(2 1 2。 (3) ""?因有A A =2，代入（1）式可得A I B I B B A +-=++=)(4 1 )2(4122 化简得I B =2，结论证明 (3)