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苏州市2018—2018学年第一学期期中考试试卷（高三数学）

一、填空题： 2018年11月 1、设全集U R =，集合{|0}M x x =>，{|1}N x x =≤，则M N =________

2

、函数y =

的值域是___________

3、已知命题2:,210p x R x ?∈+>，则p ?是______________

4、计算：

2

(12)1i i

+=-___________ 5、已知函数2sin ()x

f x x

=

，则'()f x =________ 6、等差数列{}n a 中，若18153120a a a ++=，则9102a a -=________

7、不等式组1000x y x y y -+≥??

+≤??≥?

表示的平面区域的面积是_________

8、函数3sin(2)([0,])6

y x x π

π=+

∈的减区间是__________

9、椭圆22

143

x y +=

的右焦点到直线y =的距离是_________ 10、在ABC ?中，边,,a b c 所对角分别为,,A B C ，且

sin cos cos A B C

a b c

==，则A ∠=_____ 11、已知O 为坐标原点，(3,1),(0,5)OA OB =-=，且//AC OB ，BC AB ⊥，则点C 的坐标为_____________

12、设函数3

()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是_________ 13、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为_______米 14、方程ln 620x x -+=的解为x ，则满足x x ≤的最大整数解是___________ 15、已知n a n =，把数列{}n a 的各项排列成如下的三角形状： 1a

2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a

……………………………………

记(,)A m n 表示第m 行的第n 个数，则(10,12)A =___________ 16、已知函数||sin 1

()()||1

x x f x x R x -+=∈+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______

二、解答题：

17、已知向量(53cos ,cos )a x x =，(sin ,2cos )b x x =，函数2

()f x a b b =?+ （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当6

2

x π

π

≤≤

时，求函数()f x 的值域。

18、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。

19、如图（1）一座钢索结构桥的立柱PC 与QD 的高度都是60cm ，,A C 之间的距离是200m ，

,B D 间的距离为250m ，,C D 间距离为2000m ，P 点与A 点间、Q 点与B 点间分别用直线式

桥索相连结，立柱,PC QD 间可以近似的看作是抛物线式钢索PEQ 相连结，E 为顶点，与AB 距离为10m ，现有一只江鸥从A 点沿着钢索,,AP PEQ QB 走向B 点，试写出从A 点走到B 点江鸥距离桥面的高度与移动的水平距离之间的函数关系。

王小明同学采用先建立直角坐标系，再求关系式的方法，他写道：

A Q

C

B

D P E

如图（2），以A 点为原点，桥面AB 所在直线为x 轴，过A 点且垂直与AB 的直线为y 轴，建立直角坐标系，则(0,0)A ，(200,0)C ，( )P ，( )E ，(2200,0)D ，( )Q ，(2450,0)B 。请你先把上面没有写全的坐标补全，然后在王小明同学已建立的直角坐标系下完整地解决本题。

20、设12,F F 分别是椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的左、右焦点

（1）若椭圆C 上的点3(1,)2

A 到12,F F 两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； （2）设点P 是（1）中所得椭圆上的动点，1(0,)2

Q ，求PQ 的最大值；

（3）已知椭圆具有性质：若,M N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线,PM PN 的斜率都存在，并记为PM K 、PN K 时，那么PM K 与PN K 之积是与点P 位置无关

的定值。试对双曲线22

221x y a b

-=写出具有类似特性的性质，并加以证明。

21

、设函数()x

f x =上两点111(,)P x y 、222

(,)P x y ，若121()2OP OP OP =+，且P 点的横坐标为

1

2

（1）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个值； （2）若1

()n

n i i S f n ==

∑，n N *∈，求n S ； （3）记n T

为数列的前n

项和，若2(n n T a S +

22、已知函数2

()m x f x x

-=()m R ∈ （1）若13

log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数，求实数m 的取值范围；

（2）设()()ln g x f x x =+，当2m ≥-时，求()g x 在1[,2]2

上的最大值。

参考答案：

一、填空题：

1、 R ；

2、[0,2]；

3、2,210x R x ?∈+≤；

4、7122i -

+； 5、3

cos 2sin x x x x -； 6、24； 7、

14； 8、2[,]63ππ； 9

； 10、90； 11、29(3,)4-； 12、[3,)-+∞； 13、400

3

； 14、2； 15、93； 16、2 二、解答题：

17、

解：2222()53sin cos 2cos 4cos sin

cos 5cos 1f x a b x x x x x x x x =?=+++=++

1cos 27

2515sin(2)262

x x x π+=

+?+=++，T π∴= 由

62x π

π≤≤

，得

72266x π

π

π≤+

≤

，1sin(2)126x π∴-≤+≤，717

15sin(2)622x π∴≤++≤

∴当62x ππ≤≤时，函数()f x 的值域为17[1,]2

18、解：由11335(2)n n n n S S a a n ---=-≥，12n n a a -∴=，又12a =，

11

2

n n a a -=， {}n a ∴是以2为首项，12

为公比的等比数列，12211

2()()222n n n n a ---∴=?==

2(21)2n n b n -=-，1012123252(21)2n n T n --∴=?+?+?+

+-? （1）

01211

1232(23)2(21)22

n n n T n n ---=?+?++-?+-? （2） （1）—（2）得01

21122(222)(21)22

n n n T n ---=+++

+--?

即：11111

12[1(2)]

2(21)26(23)2212

n n n n T n n ------=+--?=-+?- 212(23)2n n T n -∴=-+? 19、解：(0,0),(200,0),(200,60),(1200,0),(2200,60,(2450,0)A C P E Q B

设直线段PA 满足关系式y kx =，那么由60200k =?，得0.3k =，即有0.3,0200y x x =≤<

设直线段QB 满足关系式y lx b =+，那么由024********l b

l b

=+??=+?，解得0.24,588l b =-=

即有0.24588,22002450y x x =-+≤≤

设抛物线段PEQ 满足关系式2(1200)10y r x =-+，那么由260(2001200)10r =-+， 解得0.00005r =，20.0005(1200)10,2002200y x x ∴=-+≤<

所以符合要求的函数是2

0.302000.00005(1200)10 20022000.2458822002450x x y x x x x ≤

?=-+≤

20、解：（1）椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到12,F F 两点的距离之和是4，得24a =

即2a =，又3(1,)2A 在椭圆上，2

23()1212b

∴+=，解得23b =，于是2

1c =

所以椭圆C 的方程是22

143x y +=，焦点12(1,0),(1,0)F F - 设(,)P x y ，则

22143

x y +=，22443x y ∴=- 222222214111713

()4()52343432

PQ x y y y y y y y =+-=-+-+=--+=-++

又3y -≤∴当3

2

y

=-时，max PQ =类似的性质为：若,M N 是双曲线22

22:1x y C a b

-=上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任

意一点，当直线,PM PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k k 时，那么PM k 与PN k 之积是与点P 位置无关的定值。

设点(,)M m n ，则点(,)N m n --，其中22

221m n a b -=，设点(,)P x y ，则由PM y n k x m -=-，

PN

y n k x m +=+，得2222PM PN y n y n y n k k x m x m x m -+-?=?=-+-，将222

2222222,b b y x b n m b a a

=-=-代入上式得：2

2PM PN

b k k a ?= 21、解：设1(,)2

p OP y =，又

121

()2OP OP OP =

+，12121,2

p y y x x y +∴

+==，

又12

121x x y y +==，12122p y y y +∴==

由121x x +=

，得1212()()1,(1)y y f x f x f +=+==

12

1()()()()n n n

S f f f f n n n n

-∴=++

++，

又

12

1()(

)

n n

n n S f

f f

n n

n

--

=+

+++

12111

112(1)2n n

S f n -∴=++++++=+个

，即n S =

13234

,,22

(2)(3)

n n n n S S n n ++++

=∴==

++，

从而11144[

]

3445

(2)(3)33

n n

T n n n =+++

=???+++，

由22881

(0,123(3)(4)37n n n n

T a S S a n n n n

++<+

>∴>=?=?

++++ 令12

()g n n n

=+

，易证()g n 在)+∞上是增函数，在上是减函数， 且(3)7,(4)7g g ==，()g n ∴的最大值为7，即814

12321

7n n

?≤++，421a ∴>

22、解：（1）因为函数13

log [8()]y f x =-在[1,)+∞上是单调减函数，则根据复合函数的单调性

可得()f x 在[1,)+∞上是单调减函数，其导数在[1,)+∞上恒小于等于0，且满足()8f x <在

[1,)+∞上恒成立，所以22'()0x m f x x --=≤恒成立，即22

0x m

x +≥在[1,)+∞上恒成立，解得1m ≥-

要使()8f x <在[1,)+∞上恒成立，只需要max [()]8f x <，又()f x 在[1,)+∞上单调减函数，

(1)8f ∴<，解得9m <，19m ∴-≤<

（2）22

2

22

11

()24()ln ,'()x m m x x x m g x x g x x x x

-+-

--+=+=-=- 当104m -≥，即14

m ≥时，'()0g x ≤，()g x ∴在1

[,2]2上单调递减，

max 11

()()2ln 222

g x g m ∴==--

当124m -≤<

时，由'()0g x =得12x x == 显然12121111

1,2,[,2],[,2]2222x x x x -≤<<≤∴?∈，又122

()()'()x x x x g x x --=- 当

21

2

x x ≤≤时，'()0g x ≥，()g x 单调递增；（注意画草图，利用数形结合） 当22x x <≤时，'()0g x <，()g x 单调递减

max 2()()g x g x ∴==

= 综上所述，（1）当14

m ≥

时，max 1

()2ln 22g x m =--；

（2）当124m -≤<

时，max 1()ln 2

g x +=