螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析

螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析

姜洪奎1 宋现春1 张佐营2

1.山东建筑大学,济南,250100

2.山东大学,济南,250061

摘要:考虑螺旋升角的因素,建立了滚珠丝杠副的受力模型,应用微分几何理论推导了螺旋面的主曲率,并进一步分析了螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响。计算结果表明,随着螺旋升角的增大,滚珠丝杠副的法向弹性变形量也随着增大。

关键词:滚珠丝杠副;螺旋面;主曲率;法截面中图分类号:T H132.1 文章编号:1004—132X (2008)09—1079—05

Influence of Lead Angle on Elastic Deformation of B all Scre w

Jiang Hongkui 1Song Xianchun 1Zhang Zuoying 2

1.Shandong Jianzhu University ,Jinan ,200030

2.University of Shandong ,Jinan ,250061

Abstract :The mechanics model of a ball screw was developed considering t he factor of lead angle ,and t he main curvat ure of t he helical surface was deduced using differential geomet ry met hod ,and t he effect of lead angle on t he elastic deformation was analyzed.The result shows t hat t he normal elastic deformation of ball screw decreases wit h t he lead angle increases.

K ey w ords :ball screw ;helical surface ;main curvat ure ;normal section

收稿日期:2006—11—24

基金项目:国家自然科学基金资助项目(50675124)

0 引言

目前,滚珠丝杠副的受力和变形的力学模型均简化为若干个承受纯轴向工作载荷的推力向心轴承,这样就忽略了螺旋升角的影响。随着滚珠丝杠副工程直径d 的增大和滚珠丝杠副转速n 的提高,滚珠丝杠副的导程也越来越大,螺旋升角λ达到了18°左右,并出现了定位精度低、可靠性差等问题。国内外对滚珠丝杠副的弹性变形做了不少理论研究[122]。本文应用微分几何理论对螺旋滚道面的主曲率做了理论分析和计算,并进一步推导出螺旋升角对滚珠丝杠副受力和弹性变形的影响。这对于研制开发高速滚珠丝杠副有着重要的理论指导意义。

1 数学模型建立

1.1 用法向截面表示螺旋曲面[3]

以法向截形为双圆弧为例,建立螺旋曲面的数学模型。如图1所示,设OX Y Z 为固定坐标系,Z 轴与丝杠轴线一致。螺母滚道法向截面和丝杠滚道的法截面位于坐标系O ′X ″Y ″Z ″中,且坐标系

OX Y Z 的X 轴与坐标系O ′X ″Y ″Z ″的X ″轴重合。

将坐标系OX Y Z 沿X 轴平移距离R 0,得到坐标系

O ′X ′Y ′Z ′。坐标系O ′X ′Y ′Z ′与O ′X ″Y ″Z ″之间的

夹角为螺旋升角λ

螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析

图1 螺母侧和丝杠侧滚道曲面的坐标系的构架

螺母螺旋滚道的法向截形即母线为哥斯特偏

心圆弧,其公式为

X ″=R cos u -e Y ″=0

Z ″=R sin u -e

(1)

式中,R 为滚道曲率半径;e 为滚道偏心距;u 为滚道圆弧角度,0

π2

。动坐标系O ′X ′Y ′Z ′与母线坐标系O ′X ″Y ″Z ″

之间的转换公式为

X ′=X ″

Y ′=Y ″cos λ-Z ″sin λZ ′=Y ″sin λ+Z ″cos λ(2)

λ=arctan

h

2

πR 0式中,h 为螺纹导程;R 0为滚珠丝杠公称半径。

动坐标系O ′X ′Y ′Z ′与固定坐标系O X Y Z 之间的转换公式为

?

9701?螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析———姜洪奎 宋现春 张佐营

螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析

X =X ′+R 0Y =Y ′Z =Z ′

(3)

滚道螺旋面的方程为

x =X cos

θ-Y sin θy =X sin

θ+Y cos θz =Z +

h

θ2

π(4)

式中,θ为滚珠相对于丝杠轴的旋转角度。

将式(1)、式(2)、式(3)代入式(4)得到螺母侧滚道螺旋面方程:

x A =(R 0+R cos u -e )cos θ+(R sin u -e )sin λsin θy A =(R 0+R cos u -e )sin θ-(R sin u -e )sin λcos θz A =(R sin u -e )cos

λ+h

2

πθ

(5)

同理可以得到丝杠侧滚道螺旋面方程:

x S =(R 0-R cos u +e )cos θ+(R sin u -e )sin λsin θy S =(R 0-R cos u +e )sin θ-(R sin u -e )sin λcos θz S =(R sin u -e )cos

λ+h

2

πθ

(6)

1.2 螺旋面的主曲率的计算

将式(5)写成向量的形式为

r =[(R 0+R cos u -e )cos θ+(R sin u -e )sin λsin

θ(R 0+R cos u -e )sin θ-(R sin u -e )sin λcos

θ(R sin u -e )cos λ+

h

2

πθ]

(7)

因为0

r θ=[-(R 0+R cos u -e )sin

θ+(R sin u -e )sin λcos θ(R 0+R cos u -e )cos θ+(R sin u -e )sin λsin

θh 2

π](8)

r u =[-R sin u cos θ+R cos u sin θsin λ-R sin u sin θ-R cos u cos θsin

λR cos u cos λ](9)

r θu =[R sin u sin

θ+R cos u cos θsin λ-R sin u cos θ+R cos u sin θsin λ0](10)r θθ=[-(R 0+R cos u -e )cos

θ-(R sin u -e )sin θsin

λ-(R 0+R cos u -e )sin θ+(R sin u -e )cos θsin

λ0](11)r u u =[-R cos u cos θ-R sin u sin θsin

λ-R cos u sin θ+R sin u cos θsin

λ-R sin u cos λ](12)令R ′=R 0+R co s u -e 、R ″=(R sin u -e )sin λ,根据微分方程原理得第一类基向量如下:

E =r θ?r θ=R ′2+R ″2

+(

h

2

π)2(13)

F =r θ?

r u =-RR ′cos u sin λ+RR ″sin λsin u +h

2

πR cos λcos u G =r u ?r u =R 2

设N =

r θ×r u

|r θ×r u |

,分别求得第二类基向量

L =r θθ?N 、M =r u θ?N 、n =r u u ?N 。将两类基向

量代入主曲率方程得

(k n F -M )2-(k n E -L )(k n G -n )=0

式中,k n 为主轴率。

求解上式可得

k n =[(2FM -E n -LG )±

(En -L G )2-4(EFnM +FGL M -F 2L n -EGM 2)]/[2(F 2-EG )]

(14)

由式(14)得出在区间0

M ∶n =E ∶F ∶G 不能成立,所以螺旋滚道面内

没有脐点。因此接触点处有两个不同的主方向,且

两个主方向彼此正交[4]。求解式(14),得螺母侧滚道曲面的主曲率如下:

k 1=-

1R

k 2=-cos λcos

βR 0+R b cos

β(15)

式中,β为接触点法线与中心线之间的夹角,即接触角;R b

为滚珠的半径。

同理,丝杠侧滚道曲面的主曲率为

k ′1=-

1R

k ′2=

cos λcos

βR 0+R b cos

β(16)

1.3 根据赫兹理论求解滚珠螺母弹性变形量1.3.1 滚珠与滚道面的接触弹性变形

(1)螺母侧滚道面的主曲率为

ρ11=ρ12=

1R b ρ21=k 1=-

1R

ρ22=k 2=-

cos λcos

βR 0+R b cos β(17)

所以螺母侧滚道面主曲率之和为

ρn ,

Σ=2R b

-1R

-cos λcos βR 0+R b cos β(18)

同理,丝杠侧滚道面主曲率之和为

ρs ,

Σ=2R b

-1R

+cos λcos βR 0+R b cos β(19)

丝杠侧主曲率和螺母侧主曲率的差值为

ΔρΣ=ρs ,Σ-ρn ,

Σ=2cos λcos βR 0+R b cos

β(20)

(2)接触椭圆长短轴分别为

a =α

3

Pm

v b =φ

3

Pm v

(21)

m =4

ρ11+ρ12+ρ21+ρ22v =

8

3(1-μ21E 1

+

1-μ22

E 2

)式中,P 为法向压力;a 为接触椭圆的长轴;b 为接触椭圆的短轴;μ1、μ2及E 1、E 2分别为弹性材料的泊松比和弹性模量;系数α、

φ由文献[5]确定。(3)赫兹接触参数为

?

0801?中国机械工程第19卷第9期2008年5月上半月

τ=

(ρ11-ρ12)2+2(ρ11-ρ12)(ρ21-ρ22)cos2ψ+(ρ21-ρ21)

2

ρ11+ρ12+ρ21+ρ22

(22)

式中,ψ为两个接触曲面的主平面之间的夹角。

赫兹接触参数τ又称为变形系数。由于接触体为

球体,所以ρ11=ρ12,简化式(22)可得

τ=

|ρ21-ρ22|

ρΣ

(23)

(4)法向弹性变形量为

δn i

=3P 2πa (1-μ21E 1+1-μ2

2

E 2

)J (24)

式中,J 为由τ确定的椭圆积分。

将式(18)~式(21)代入式(24)得

δn i =

1π[32P (1-μ21E 1+1-μ22

E 2

)]23(ρΣ)1

3

J

α

(25)

由于螺母侧与丝杠侧的螺纹面的曲率半径不相

同,所以两侧的接触变形也不相同。在轴向载荷F 的作用下,螺母侧与丝杠侧接触点处产生的法向

弹性变形量分别为δnp 、δsp 。

螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析

螺母侧与丝杠侧弹性变形量之差为

Δδ=1π[32P (1-μ21E 1+1-μ

22E 2

)]32?

[(ρn ,

Σ)1/3J n

αn

-(ρs ,

Σ)1/3

J s

αs

]

(26)

式中,下标n 、s 分别表示螺母侧滚道和丝杆侧滚道。

1.3.2 螺母与丝杠轴的相对位移和变形

考虑不均匀工作载荷分布的影响,并根据文

献[6],减。设初始滚珠受到的法向载荷为P 0,滚珠所承受载荷递减系数为η,则第i 个滚珠受到法向载荷

为P i =αi

P 0。总体滚珠的法向载荷与螺母受到的轴向推力F a 之间的关系为

F a =

z

i =1

ηi-1

P 0sin βcos λ(27)

由于η<1,所以式(27)可写为

F a =

1-ηz 1-η

P 0sin βcos λ(28)

式中,z 为工作滚珠数。

以滚珠为受力研究对象,分析法向弹性变形与螺母相对位移的关系。如图2所示建立局部坐标系OX Y Z ,取滚珠球心为坐标原点O ,Y 轴平行丝杠轴线。在两侧法向接触力的作用下,滚珠达到静力平衡。因此滚珠与滚道两侧的接触点及滚珠的几何中心三点成一线,两接触点处的法向力大小相等。

在法向载荷的作用下,螺母滚道面与丝杠滚道面间由于法向弹性接触变形所产生的弹性变形量为δn i ,其值为

δn i =δnp i +δsp i

(29)

图2法向载荷作用下滚珠的受力变形

螺母与丝杠滚道面的法向弹性位移,将引起螺母在轴线方向上相对于丝杠有一轴向弹性位移δa ,根据图2所示的位移关系可得

δa i =δn i arcsin

βcos λ(30)

由式(25)和式(29)可得

δn i =

1π[32P i (1-μ21E 1+1-μ22

E 2

)]23?[(ρs ,

Σ)1

3

J s

αs

+(ρn ,

Σ)1

3

J n

αn

](31)

将式(22)和式(25)带入式(24)中得

δa =

∑z

i =1δa i =1π[32(1-μ21E 1+1-μ22

E 2)]23[(ρs ,

Σ)1

3

J s

αs

+

(ρn ,Σ)

1

3

J n

αn

]

∑z

i =1

P i

arcsin β

cos λ(32)

由于滚珠、螺母和丝杠均为钢,设E =

210GPa 、

μ=013,将式(32)简化为δa =11759×10-4[(ρs ,

Σ)1

3

J s

αs

+(ρn ,

Σ)1

3

J n

αn

]?F 2/3

a

(1-α)2/31-

α2/3sin -3/5

βcos 1/3λ(mm )(33)

由式(33)可以看出,δa 主要影响因素有螺旋

升角、接触角以及滚珠承受载荷分布,而且δa 与载荷F a 之间的关系是非线性的。滚珠丝杠副在停顿和转向时都会产生δa ,就使滚珠丝杠的运动产生一定滞后,将直接影响到滚珠丝杠副传动的定位精度,其非线性特征也使控制系统的稳定性和精度很难保证。因此滚珠丝杠副的设计中,要合理考虑螺旋升角和接触角的参数。

2 计算结果分析

以40-40滚珠丝杠副的螺母滚道面为例,设

R =31215mm 、R 0=20mm 、h =40mm 、

λ=17°39′、滚珠的半径R b =21976mm 、接触角β=38°、偏心距e =01168mm 、滚珠承受载荷衰减系数为α=018。

2.1滚道接触面两侧的主曲率和接触角之间的关系

根据式(20)~式(23),计算丝杠侧与螺母侧的接触点处的主曲率和之差,计算结果如图3和图4所示。图3中螺母侧的变形系数随着接触角的增大而增大,而丝杠侧的变形系数反而随着接触角的增大而减少,螺母侧的变形系数始终小于

?

1801?螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析———姜洪奎 宋现春 张佐营

丝杠侧的变形系数。图4中螺旋滚道两侧的主曲率之差随着接触角增大而减小,当接触角等于90°,两侧接触点处的主曲率之差为零。滚珠两侧

的接触点不同的曲率特征使滚珠运动状态不对称,容易产生陀螺运动。因此合理增大接触角有利于改善滚珠的运动状态,从而提高滚珠丝杠副的性能

螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析

图3

螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析

 两侧接触点的变形系数与接触角的关系

图4

两侧接触点处的主曲率和之差与接触角的关系

2.2 接触面两侧弹性变形与接触角的关系

根据式(26)可得Δδ=11759×10-4[(ρn ,

Σ)1/3

?J n

αn

-(ρs ,

Σ)1/3

J s

αs

]P

2/3

,同时根据τ值,计算两侧弹

性变形之差随着接触角的变化而发生变化的情

况,如图5所示

螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析

图5 螺母侧与丝杠侧弹性变形系数之差与接触角的关系

从图5可以看出,由于螺母侧的弹性变形系数均小于丝杠侧的弹性变形系数,即螺母侧刚度要大于丝杠侧刚度,因此在滚珠丝杠的疲劳失效和强度计算时,要以丝杠侧接触点的塑性变形为准。考虑到滚珠丝杠副高速运转时,螺母侧要承受由于高速转动而产生的惯性力,所以对于高速滚

珠丝杠副的设计参数,两侧的刚度均需作刚度计算。

2.3 轴向弹性变形与接触角的关系

根据式(33)得出轴向弹性变形量与接触角的关系如图6所示。由图6可知,随着接触角的增大,轴向弹性变形的值不断减少。当接触角β接近40°时,轴向弹性变形量的趋势变化较平缓。因此合理增大接触角,会减小滚珠丝杠副的变形量,提高滚珠丝杠副的定位精度

螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析

图6 轴向弹性变形量与接触角的关系

2.4 螺旋升角与轴向弹性变形量的关系

由式(33)知,螺旋升角也是影响滚道接触曲率半径的因素,因此有必要分析螺旋升角对滚珠两侧接触变形的影响。设滚珠丝杠副中滚珠与滚道之间的接触角为38°,在4°~36°的范围内,改变滚珠丝杠副的螺旋升角,得出螺旋升角与轴向

变形量的关系如图7所示

螺旋升角对滚珠丝杠副弹性变形的影响分析

图7 轴向弹性变形量与螺旋升角的关系

由图7可以看出,轴向弹性变形量随着螺旋升角的增大而减小。在螺旋升角4°~10°的范围内,法向弹性位移变化不明显;在螺旋升角10~36°的范围内,法向弹性位移系数由5121×10-5减小到4190×10-5,变化幅度较大。螺旋升角的增大同时减少了螺母与丝杠轴之间的弹性位移,使定位精度增加。因此滚珠丝杠副的导程增大有利于提高滚珠丝杠副的性能。

3 结论

本文根据微分几何原理计算出滚珠丝杠副的

滚道面曲率,比不考虑螺旋升角的计算曲率半径更加准确,根据计算的曲率结果计算出的弹性接

?

2801?中国机械工程第19卷第9期2008年5月上半月

触变形量,同时考虑了螺旋升角的影响;考虑载荷分布不均的影响,建立了螺母与丝杠滚道面的法向弹性位移的求解模型;螺旋升角对滚珠丝杠刚度的影响并不大,适当增大滚珠丝杠副的导程有利于提高滚珠丝杠副的定位精度。研究结果对大导程重载滚珠丝杠副的设计和理论计算都有很好的参考价值。

参考文献:

[1] Mei Xuesong,Masaomi Tsutsumi,Tao Tao,et al.

Study on the Load Distribution of Ball Screws with

Errors[J].Mechanism and Machine Theory,2003,

38(11):125721269.

[2] 杜平安.滚珠直旋副滚道弹性接触分析[J].电子科

技大学学报,1994,123(6):2802286.

[3] 姜洪奎,宋现春.大导程滚珠丝杠副螺母的截形计

算与加工仿真[J].工具技术,2006(4):47251.

[4] 王申怀,刘继志.微分几何[M].北京:北京师范大学

出版社,1988.

[5] Liukexin B C.刀具设计的螺旋面理论[M].北京:机

械工业出版社,1984.

[6] 程光仁,施祖康,张超鹏.滚珠螺旋传动设计基础

[M].机械工业出版社,1987.(编辑 袁兴玲)

作者简介:姜洪奎,男,1977年生。山东建筑大学机械电子工程学院讲师。主要研究方向为多体系统动力学。发表论文4篇。宋现春,男,1965年生。山东建筑大学机械电子工程学院教授、博士研究生导师。张佐营,男,1969年生。山东大学机械工程学院博士研究生。

有限元分析中边界条件对模态影响的研究

李志鑫1 李小清1 陈学东1,2 陈鹿民2

1.华中科技大学国家数字制造装备与技术重点实验室,武汉,430074

2.郑州轻工业学院,郑州,450002

摘要:在对结构进行模态分析时,边界条件的施加方式会直接影响分析结果的正确性。对结构件在两种典型边界条件下的模态计算给予了详细的分析,采用试验模态分析方法,对结构件进行了固有特性的辨识,验证了施加不同的边界条件会导致分析结果出现很大差别。对结构件进行了重分析,结合模态试验,对结构件边界条件进行了辨识,得出了正确边界条件的施加方式。

关键词:有限元分析;边界条件;重分析;模态试验

中图分类号:TB122 文章编号:1004—132X(2008)09—1083—04

The Study on Boundary Conditions to the E ffect of Mode Analysis in FEA

Li Zhixin1 Li Xiaoqing1 Chen Xuedong1,2 Chen L umin2

1.State Key Laboratory of Digital Manufact uring Equip ment and Technology,

Huazhong U niversity of Science and Technology,Wuhan,430074

2.Zhengzhou U niversity of Light Indust ry,Zhengzhou,450002

Abstract:During t he period of carrying on t he mode analysis,how to deal wit h t he boundary con2 ditions will influence t he accurate analytical result directly.The t heory discussion is carried on in t he paper.Two typical boundary conditions were carried o n t he st ruct ure and t he mode analysis was im2 plemented in detail,too.There have much more different between t hem.The test mode was carried on,t hrough which we find t he importance of boundary conditions will influence t he result f urt her2 more.Through t he reanalysis and t he compare between t he test and t he reanalysis result s,t he f re2 quencies and t he accurate boundary conditions was recognized.

K ey w ords:finite element analysis;boundary co nditions;reanalysis;model test

0 引言

对结构进行动力学分析时,约束位置和约束方式的改变必然引起结构固有特性(如固有频率、振动模态)的相应改变。在模型上,施加不同的边

收稿日期:2006—11—28

基金项目:国家重点基础研究发展计划资助项目(2003CB716206);国家自然科学基金资助项目(50605025)界条件,模型计算仿真的结果也会不同。

结构固有特性的研究分析已经不是一个很新鲜的研究课题[1],在大量的研究工作中都有相应的论述[224]。在动力学分析计算过程中,采用何种约束方式进行结构动力学模态仿真计算,特别是复杂模型约束方式加载的正确与否,将造成计算得到的结构件的固有特性会有很大的差别。

?

3

8

1

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有限元分析中边界条件对模态影响的研究———李志鑫 李小清 陈学东等

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