专题1 一元二次方程的特殊根
破解策略
1.一元二次方程的有理根
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为有理数)存在有理根的条件为:b2-4ac是一个有理数的平方.
解决一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为有理数)的有理根问题时,一般的解题策略有:
(1)利用“判别式的取值范围”解题
①讨论二次项系数的情况,当a≠0时,求出判别式;
②根据已知条件得待定系数的取值范围,再求出判别式的取值范围,筛选出其中为有理数的平方的数;
③求出待定系数的可能取值,并检验.
(2)利用“判别式是一个有理数的平方”解题
①讨论二次项系数的情况,当a≠0时,将方程的系数整数化,求出判别式;
②将判别式写成△=M2-t的形式(M为关于待定系数的整式,t为整数),设M2-t=m2(m为非负有理数)
③可得(M+m)(M-m)=t,解此不定方程;
④求出待定系数的可能取值,并检验.
2.一元二次方程的整数根
对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为有理数)而言,方程的根为整数且必为有理数,所以有理根存在的条件是整数根存在的必要条件.
解决方程ax2+bx+c=0的整数根问题,除了利用“判别式的取值范围”和“判别式是一个有理数的平方”来解题外,还可以利用“根与系数的关系”和“因式分解”来解决问题.(1)利用“根与系数的关系”解题
①讨论二次项系数的情况,当a≠0时,利用根与系数的关系求出两根的和与积;
②将两根的和与积的代数式写成一个整式与一个分式的和的形式(类似于分离常量);
③由分式的结果一定为整数,根据整除的性质得到分式的分母一定是分子的约数,从而求出待定系数的可能取值;
(2)利用“因式分解”解题
①讨论二次项系数的情况,当a ≠0时,将方程化为(m 1x +n 1)(m 2x +n 2)=0的形式; ②求出方程的两根,x 1=11m n -和x 2=2
2m n -; ③利用分离常量的方法,将11m n -,22m n -变成一个常数与一个分式的和; ④根据整除的性质,得到分式的分母一定是分子的约数,从而求出待定系数的可能取值; ⑤将待定系数的可能取值代入原方程检验并确定结果.
需要注意的是,要看清楚题中说的是方程有整数根还是方程的根为整数.
3.分离常量
在利用“根与系数的关系”解题和利用“因式分解”解题的过程中都提到了分离常量,所谓分离常量就是从分式中化出一个常数,例如: ①
131131113112+-=+-++=+-+=+-m m m m m m m m ; ②
111111)1(11112+--=+-++-=+---=+--m m m m m m m m ; ③
112111)1(21122132++=++++=+++=++m m m m m m m m ; ④1
23121)1(31233113++-=++++-=++--=+--m m m m m m m m . 例题讲解:
例1 已知整数m 满足6<m <20,如果关于x 的一元二次方程mx 2—(2m -1)x +m -2=0有有理根,求m 的值及方程的根.
解: 若原方程的根为有理数,
则△=(2m -1)2—4m (m -2)=4m +1应为某个有理数的平方.
已知6<m <20,所以25<4m +1<81,
而4m +1是奇数,从而4m +1=49,
得m =12,
所以原方程变为12x 2—23x +10=0,
解得x 1=32,x 2=4
5. 故m =12时,方程有有理根,此时方程的根为x 1=
32,x 2=45. 例2 设m 是不为零的整数,关于x 的一元二次方程mx 2-(m -1)x +1=0有有理根,求m 的值.
解 若原方程的根为有理数,
则△=(m -1)2—4m =(m -3)2
—8应为某个有理数的平方.
令(m -3)2—8=n 2 (n >0),显然n 也为整数, 所以(m -3+n )(m -3-n )=8.
由于m -3+n >m -3-n ,并且(m -3+n )+(m -3-n )=2(m -3)是偶数, 所以m -3+n 和m -3-n 同奇偶,
所以???=-=+2n 3-m 4n 3-m 或???-=---=+-4323n m n m ;解得???==1611n m ,???==102
2n m (舍). 所以当m =6时,方程有两个有理根,分别为x 1=
21,x 2=3
1. 例3 关于x 的一元二次方程rx 2+(r +2)x +r -1=0有且只整数根,求整数r 的值. 解: 当r =0时,原方程无整数根;
当r ≠ 0时,由根与系数的关系可得
x 1+x 2=r r 2+-=-1-r 2,x 1?x 2=r r 1-=1-r
1. 因为x 1,x 2都是整数,
所以x 1+x 2和x 1?x 2均为整数,从而
r 2,r 1均为整数. 而r 为整数,所以r =±1.
当r =-1时,原方程的解不为整数,不符合条件;
当r =1时,原方程的解为x 1=0,x 2=-3.
综上可得,整数r =1.
例4 在平面直角坐标系中,我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”,若二次函数y =(k 2-3k +2)x 2+(2k 2-4k +1)x +k 2-k (k 为常数)的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”,试问:该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结”?
解:令y =0,即(k 2-3k +2)x 2+(2k 2-4k +1)x +k 2-k =0,
因式分解,得[(k -1)x +k ][(k -2)x +k -1]=0
解得x 1=1111---=--k k k ,x 2=2
1121---=---k k k , 由题意可得x 1,x 2均为整数,所以
11-k ,21-k 也均为整数,
设11-k =m (m ≠0,m 为整数),则k =m
1+1, 所以m
m m m m m
k -+-=-+--=-=-+=-11111)1(1211121, 所以1-m =±1,即m 1=0(舍),m 2=2,
从而得到k =2
3. 所以二次函数表达式为y =41-
x 2-21x +43=41-(x +1)2+1 二次函数图象如下图所示,则该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界),一共包含6个“中国结”,分别为:(-3,0),(-2,0),(-1,0),(-1,1),(0,0),(1,0).
进阶训练
1.已知m 为有理数,问:k 为何值时,关于x 的方程x 2-4mx +4x +3m 2
-2m +4k =0的根为有理数?
解:k =-4
5 【提示】若原方程的根为有理数,则△=4[m 2—6m +4(1-k )]应为某个有理数的平
方.
所以4(1-k )=9,即k =-4
5. 2.已知关于x 的方程x 2-2(2m -3)x +4m 2-14m +8=0(m >0)有两个不相等的实
数根,若12<m <40,且方程的两个根均为整数,求整数m 的值.
解:m =24.
【提示】若原方程的根为有理数,则△=4(2m +1)应为某个有理数的平方,由12<m <40,所以25<2m +1<81,而2m +1为奇数,则2m +1=49,即m =24.
3.已知方程(k 2
-1)x 2-3(3k -1)x +18=0有正整数根,求整数k 的值. 解:k =0,1,2,4,5.
【提示】先讨论二次项系数是否为0,当k =1时,方程有正整数根,当k 2-1=0时,
原方程可整理为[(k +1)x -6][(k -1)x -3]=0,解得x 1=16+k ,x 2=13-k ,而方程有正整数根,所以k =0,1,2,4,5,综上,k =0,1,2,4,5.
4.求使关于x 的方程(a +1)x 2-(a 2+1)x +2a 2-6=0的根均为整数的所有整数a . 解:a =-3,-2,0,1.
【提示】①当a =-1时,方程变为-2x -4=0,解得x =-2,符合要求;②当a ≠-1
时,设方程的两个整数根为x 1,x 2,则由根与系数的关系可得x 1+x 2=112++a a =a -1+1
2+a ,x 1?x 2=1622+-a a =2(a -1)-1
4+a . 因为x 1,x 2都是整数,所以x 1+x 2和x 1?x 2均为整数,即
1
2+a 为整数,所以a =-3,-2,0,1. 经检验,得到当a =-3,-2,0,1时,方程的根均为整数.
2019年山东省青岛市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(3分)﹣的相反数是() A.﹣B.﹣C.±D. 【分析】相反数的定义:只有符号不同的两个数互为相反数,0的相反数是0. 【解答】解:根据相反数、绝对值的性质可知:﹣的相反数是. 故选:D. 【点评】本题考查的是相反数的求法.要求掌握相反数定义,并能熟练运用到实际当中.2.(3分)下列四个图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是() A.B. C.D. 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解. 【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误; B、不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误; C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误; D、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确. 故选:D. 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合. 3.(3分)2019年1月3日,我国“嫦娥四号”月球探测器在月球背面软着陆,实现人类有史以来首次成功登陆月球背面.已知月球与地球之间的平均距离约为384000km,把384000km用科学记数法可以表示为() A.38.4×104km B.3.84×105km
C.0.384×10 6km D.3.84×106km 【分析】利用科学记数法的表示形式即可 【解答】解: 科学记数法表示:384 000=3.84×105km 故选:B. 【点评】本题主要考查科学记数法的表示,把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式(1≤a<10,n为整数),这种记数法叫做科学记数法. 4.(3分)计算(﹣2m)2?(﹣m?m2+3m3)的结果是() A.8m5B.﹣8m5C.8m6D.﹣4m4+12m5【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可. 【解答】解:原式=4m2?2m3 =8m5, 故选:A. 【点评】本题考查了幂的乘方、积的乘方以及合并同类项的法则,掌握运算法则是解题的关键. 5.(3分)如图,线段AB经过⊙O的圆心,AC,BD分别与⊙O相切于点C,D.若AC=BD=4,∠A=45°,则的长度为() A.πB.2πC.2πD.4π 【分析】连接OC、OD,根据切线性质和∠A=45°,易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形,进而求得OC=OD=4,∠COD=90°,根据弧长公式求得即可. 【解答】解:连接OC、OD, ∵AC,BD分别与⊙O相切于点C,D. ∴OC⊥AC,OD⊥BD, ∵∠A=45°, ∴∠AOC=45°,
2017年中考数学试卷分析 2017年广东省中考数学试卷与去年相比,在知识内容、题型、题量等方面总体保持稳定,不仅注重考查“四基”(基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验),而且注重考查学生的运算能力、推理能力、应用意识和综合意识。试卷分值与去年相比,总分值120分和题型结构没有变化,兼顾了初中毕业水平考试与选拔的功能,不过相比较去年的试题,基础题难度不大,压轴题难度有所提升。 一、试题特点:整体平稳 2017年中考试题考点与前两年对比,不少题目的考察方式与近几年题型相似,具体考点如下:
二、逐题分析:难度适中 (一)选择题 选择题较容易得分,基本上是送分题,基础部分第10题与往年题型不同,内容有变化,今年重点考察的对象是特殊四边形与相似的综合应用,但难度不大。 (二)填空题 第15题往年喜欢考察找规律的题型,今年重点考察的是整体代入法。往年第16题常求阴影部分面积,而今年和去年都是考察几何图形中求线段长度问题。
(三)解答题(一) 第17、18题考点与往年相同,第19题尺规作图题今年放在了解答题(二)中,而以往学生最担心的应用题今年难度有所降低,放在解答题(一)中,容易得分。 (四)解答题(二) 数据分析与几何小综合和以往考察考点相似,但难度不大,容易得分,计算量比以前略有减少。 (五)解答题(三) 解答题(三)题型与去年基本一样,内容变化不大,难度稍有提高。23题函数小综合,相比去年考察的知识点比较广,涉及到函数解析式、中点公式、三角函数;24题几何大综合与去年难度相当,不过题型有所变化,重点考查了圆的基本性质与圆的切线性质、三角形相似等综合内容,要求学生对圆中角度的关系能灵活运用,对相关几何模型熟悉,对学生能力要求比较高。特别是第(3)问求弧长,要求学生利用相似三角形证明求角度,要求学生有较强的综合能力。25题压轴题,为图形变换中的动点问题,把等腰三角形、矩形、特殊角度的三角形与二次函数最值等编合在一起,同时也体现出数形结合,分类讨论、函数等思想,并且本题较去年计算量有所加大,对学生的图形综合分析能力要求比较高,卓越、博达教育专家认为,正确地做出辅助线是解决问题的关键,要求学生具有完整的数学思维,区分度较高,具有选
【精品】2020年山东省中考数学模拟试卷 含答案 一、选择题:本大题共10 小题,每小题 3 分,共30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求。 1.31-的值是() A.1 B.﹣1 C.3 D.﹣3 【解答】 解:31-=-1.故选B. 2.为贯彻落实觉中央、国务院关于推进城乡义务教育一体化发展的部署,教育部会同有关部门近五年来共新建、改扩建校舍186000000 平方米,其中数据186000000 用科学记数法表示是()A.1.86×107 B.186×106 C.1.86×108 D.0.186×109 【解答】解:将186000000 用科学记数法表示为:1.86×108.故选:C. 3.下列运算正确的是() A.a8÷a4=a2 B.(a2)2=a4 C.a2?a3=a6 D.a2+a2=2a4 【解答】解:A、a8÷a6=a4,故此选项错误; B、(a2)2=a4,故原题计算正确; C、a2?a3=a5,故此 选项错误;D、a2+a2=2a2,故此选项错误; 故选:B. 4.如图,点B,C,D 在⊙O 上,若∠BCD=130°,则∠BOD 的度数是 () A.50°B.60°C.80°D.100° 【解答】解:圆上取一点A,连接AB,AD,
∵点A、B,C,D 在⊙O 上,∠BCD=130°, ∴∠BAD=50°, ∴∠BOD=100°,故选:D. 5.多项式4a﹣a3 分解因式的结果是() A.a(4﹣a2)B.a(2﹣a)(2+a)C.a(a﹣2)(a+2)D.a(2﹣a)2 【解答】解:4a﹣a3 =a(4﹣a2)=a(2-a)(2+a).故选:B. 6..如图,在平面直角坐标系中,点A,C 在x 轴上,点C 的坐标为 (﹣1,0),AC=2.将Rt△ABC 先绕点 C 顺时针旋转90°,再向右平移 3 个单位长度,则变换后点 A 的对应点坐标是() A.(2,2)B.(1,2)C.(﹣1,2)D.(2,﹣1) 【解答】解:∵点 C 的坐标为(﹣1,0),AC=2, ∴点 A 的坐标为(﹣3,0), 如图所示,将Rt△ABC 先绕点 C 顺时针旋转90°,则点A′的坐 标为(﹣1,2), 再向右平移 3 个单位长度,则变换后点A′的对应点坐标为(2,2),故选:A. 7.在一次数学答题比赛中,五位同学答对题目的个数分别为7,5,3,5,10,则关于这组数据的说法不正确的是()
第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1.(2015·浙江湖州,1,3分)-5的绝对值是() A.-5 B.5 C.-1 5 D. 1 5 解析∵|-5|=5,∴-5的绝对值是5,故选B. 答案 B 2.(2015·浙江嘉兴,1,4分)计算2-3的结果为() A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析2-3=-1,故选A. 答案 A 3.(2015·浙江绍兴,1,4分)计算(-1)×3的结果是() A.-3 B.-2 C.2 D.3 解析(-1)×3=-3,故选A. 答案 A 4.(2015·浙江湖州,3,3分)4的算术平方根是() A.±2 B.2 C.-2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2,故选B. 答案 B 5.(2015·浙江宁波,3,4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元,其中6万亿元用科学记数法可表示为()
A.0.6×1013元B.60×1011元 C.6×1012元D.6×1013元 解析6万亿=60 000×100 000 000=6×104×108=6×1012,故选C.答案 C 6.(2015·江苏南京,5,2分)估计5-1 2介于() A.0.4与0.5之间B.0.5与0.6之间C.0.6与0.7之间D.0.7与0.8之间解析∵5≈2.236,∴5-1≈1.236, ∴5-1 2≈0.618,∴ 5-1 2介于0.6与0.7之间. 答案 C 7.(2015·浙江杭州,2,3分)下列计算正确的是() A.23+26=29B.23-26=2-3 C.26×23=29D.26÷23=22 解析只有“同底数的幂相乘,底数不变,指数相加”,“同底数幂相除,底数不变,指数相减”,故选C. 答案 C 8.★(2015·浙江杭州,6,3分)若k<90<k+1(k是整数),则k=() A.6 B.7 C.8 D.9 解析∵81<90<100,∴9<90<100.∴k=9. 答案 D 9.(2015·浙江金华,6,3分)如图,数轴上的A,B,C,D四点中,与表示数-3的点最接近的是 () A.点A B.点B C.点C D.点D