直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式

一、目标认知

1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标.

2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离.

二、知识要点梳理

知识点一：直线的交点：

求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所

得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有

，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.

要点诠释：

求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数.

知识点二：两点间的距离公式

两点间的距离公式为.

要点诠释：

此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握.

知识点三：点到直线的距离公式

点到直线的距离为.

要点诠释：

此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点到直线

的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离.

知识点四：两平行线间的距离

本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即

为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为.

要点诠释：

(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一

般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；

(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直

线中x，y的系数要保持一致.

三、规律方法指导

应用解析思想解决问题的基本步骤：

第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量.坐标系的选择是否适当是影响解题过程简捷与否的重要因素，坐标系建立的不恰当会人为的扩大题目的计算量.在建立坐标系时一般以特殊的点、线作为坐标系的原点和坐标轴，建立坐标系时，对图形的特性应用的越充分，题目中出现的变量就会越少，运算过程也会越简便.

第二步：进行有关的代数运算.通过各点的坐标、各图形方程之间的各种运算，求得所需结果的代数形式.通过运算可求得各个点、直线间的距离、角度、直线的斜率、截距、直线方程及两直线的交点等.

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系.通过计算结果说明某几何结论成立.

四：经典例题透析

类型一：求交点坐标

判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标.

类型二：求两点间的距离

在直线2x-y=0 上求一点P ，使它到点M(5，8) 的距离为５，并求直线PM 的方程

类型三：求点到直线的距离

求点P(3，-2)到下列直线的距离：

类型四：求两平行直线间的距离

求两条平行线间的距离.

思路点拨：

求两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离，也可以利用距离公式.

解析：

方法一：

若在直线上任取一点A(2，1)，则点A到直线的距离就是所求的平行线间的距离，

所以.

方法二：

设原点到直线的距离分别为，则即为所求.

所以.

方法三：

利用公式

.

直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式 【学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一：直线的交点 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两 直线方程联立所得方程组11122200 A x B y C A x B y C ++=??++=?的解即可.若有111222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解， 此时两直线重合；若有 111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122 A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二：过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ． 要点三：两点间的距离公式 两点11 1222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为 12PP = 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四：点到直线的距离公式 点00()P x y ，到直线0Ax By C ++= 的距离为d =要点诠释： （1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.

《直线的交点坐标与距离公式》一课一练

3.3 直线的交点坐标与距离公式 一、选择题 1、点(a , b )到直线0x y b a +=的距离是 （A （B （C ）22a b + （D 2、已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则 （A ）m ≥n （B ）m ≤n （C ）m ≠n （D ）以上都不对 3、已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为 （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不能确定 4、过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有 （A ）0条 （B ）1条 （C ）2条 （D ）3条 5、与直线2x +3y –6=0关于点(1, –1)对称的直线是 （A ）3x –2y +2=0 （B ）2x +3y +7=0 （C ）3x –2y –12=0 （D ）2x +3y +8=0 6、若直线y =ax +2与直线y =3x –b 关于直线y =x 对称，则 （A ）a =31, b =6 （B ）a =3 1, b =–2 （C ）a =3, b =–2 （D ）a =3, b =6 7、不论m 取何值，直线(2m –1)x –(m +3)y –(m –11)=0恒过的定点的坐标是 （A ）(3, 2) （B ）(2, –3) （C ）(2, 3) （D ）(–2, 3) 8、已知函数f (x )=x +1，则与曲线y =f (x +1)关于直线l : x +1=0成轴对称图形的曲线方程是 （A ）y =–x （B ）y =–x –4 （C ）y =–x +2 （D ）y =x 9、方程2x 2+9xy +10y 2–7x –15y +k =0表示两条直线，则过这两直线的交点且与x –y +2=0垂直的直线方程是 （A ）x +y –1=0 （B ）x +y –2=0 （C ）x +y +1=0 （D ）x +y +2=0 二、填空题 10、若点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P 的坐标是 . 11、若两平行直线3x –2y –1=0和6x +ay +c =0之间的距离是 13，则2c a +的值为 . 12、直线y =2x +1关于直线y +2=0对称的直线方程是 . 13、直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的2倍，则直线l 的方程是 . 14、11．给出下列五个命题：① 过点(–1, 2)的直线方程一定可以表示为y –2=k (x +1)；②

直线的交点坐标与距离公式一课一练

直线的交点坐标与距离公式一课一练 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

直线的交点坐标与距离公式 一、选择题 1、点(a , b )到直线0x y b a +=的距离是 （A （B （C ）22a b + （D 2、已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则 （A ）m ≥n （B ）m ≤n （C ）m ≠n （D ）以上都不对 3、已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直线x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为 （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）不能确定 4、过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有 （A ）0条 （B ）1条 （C ）2条 （D ）3条 5、与直线2x +3y –6=0关于点(1, –1)对称的直线是 （A ）3x –2y +2=0 （B ）2x +3y +7=0 （C ）3x –2y –12=0 （D ） 2x +3y +8=0 6、若直线y =ax +2与直线y =3x –b 关于直线y =x 对称，则 （A ）a =31, b =6 （B ）a =3 1, b =–2 （C ）a =3, b =–2 （D ）a =3, b =6 7、不论m 取何值，直线(2m –1)x –(m +3)y –(m –11)=0恒过的定点的坐标是 （A ）(3, 2) （B ）(2, –3) （C ）(2, 3) （D ）(–2, 3) 8、已知函数f (x )=x +1，则与曲线y =f (x +1)关于直线l : x +1=0成轴对称图形的曲线方程是 （A ）y =–x （B ）y =–x –4 （C ）y =–x +2 （D ）y =x 9、方程2x 2+9xy +10y 2–7x –15y +k =0表示两条直线，则过这两直线的交点 且与x –y +2=0垂直的直线方程是 （A ）x +y –1=0 （B ）x +y –2=0 （C ）x +y +1=0 （D ）x +y +2=0 二、填空题 10、若点P 在直线x +3y =0上，且它到原点的距离与到直线x +3y –2=0的距离相等，则点P 的坐标是 .

第二节直线的交点坐标与距离公式

第二节直线的交点坐标与距离公式 【考纲下载】 1．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．1．两条直线的交点

|P1P2|＝x2－x12＋y2－y12 1．两条直线位置关系与其对应方程组的解之间有何关系？ 提示：两条直线相交?方程组有唯一解；两条直线平行?方程组无解；两条直线重合?方程组有无穷多解． 2．使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式；使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x、y的系数对应相等．

1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 2．两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为( ) A.? ????25，95 B.? ?? ??－25，95 C.? ????25，－95 D.? ????－2 5 ，－95 3．(2014·烟台模拟)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( ) A.85 B.3 2 C ．4 D ．8 4．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为____________． 5．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝________.

[例1] (1)经过直线l 1：x ＋y ＋1＝0与直线l 2：x －y ＋3＝0的交点P ，且与直线l 3：2x －y ＋2＝0垂直的直线l 的方程是____________． (2)(2014·锦州模拟)当0

直线的交点坐标和距离公式

第二节直线的交点坐标与距离公式 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.能用解方程组的方法求两 条相交直线的交点坐标． 2.掌握两点间的距离公式、点 到直线的距离公式、会求两 条平行直线间的距离. 1.两条直线的交点坐标一般是不单独命题的，常作为知识点出 现在相关的位置关系中． 2.两点间距离公式是解析几何的一个基本知识点，点到直线的 距离公式是高考考查的重点，一般将这两个知识点结合直线与 圆或圆锥曲线的问题中来考查. [归纳·知识整合] 1．两条直线的交点 设两条直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则两条直线的交点坐标就是方程组 ?? ? ??A1x＋B1y＋C1＝0， A2x＋B2y＋C2＝0 的解， (1)若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； (2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行，反之，亦成立． [探究] 1.如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？ 提示：当两条直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两条直线平行，有无数个

交点时，两条直线重合． 2．距离 点P 1(x 1，y 1)， P 2(x 2，y 2)之间的距离 |P 1P 2|＝ x 2－x 12＋y 2－y 12 点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距 离 d ＝ |Ax 0＋By 0＋C | A 2＋ B 2 两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离 d ＝ |C 1－C 2| A 2＋ B 2 [探究] 2.使用点到直线的距离公式和两条平行线间的距离公式时应注意什么？ 提示：使用点到直线距离公式时要注意将直线方程化为一般式．使用两条平行线间距离公式时，要将两直线方程化为一般式且x 、y 的系数对应相等． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是( ) A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 解析：选D d ＝ |－5|12＋22 ＝ 5. 2．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为( ) A ．10 B ．5 C ．8 D ．6 解析：选A 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＝6，b ＝8，即A (6,0)，B (0,8)．所以|AB |＝6－0 2＋ 0－82＝36＋64＝10. 3．若三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x ＋by ＝0相交于一点，则b ＝( ) A ．－1 B ．－1 2

直线的交点坐标与距离公式习题(含答案)

直线的交点坐标与距离公式 习题（含答案） 、单选题 过定点（ ） 3．数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这 条直线称为欧拉线已知 的顶点 ，若其欧拉线的方程为 则顶点 的坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 4． 若点 （2， k ）到直 线 5x-12y+6=0 的距离是 4，则 k 的值是 （ ） A ． 1 B ． -3 C ． 1 或 D ． -3 或 5． 已知直线 和 互相平行， 则实数 m 的取值为 （ ） A ． —1或 3 B ． — 1 C ． —3 D ． 1 或—3 6 ． 在空间直角坐标系 中 ， 若点 ， ，点 是点 关于 平面 的对称点，则 A ． B ． C ． D ． 7． 已知直线 与直线 互相平行，则 （） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 8 ． 已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，以线段 1． 已知 满 足 时 , 的最大值为 , 则直线 A ． B ． C ． D ． 2．椭圆 上的点到直线 A ． B ． C ． 的最大距离为 （ ） D ． 直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 满足 离心率 满足（ ） A ． B ． C ． ，则 的 D ． 9．已知点 在直线 上运动，则 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 5

、填空题 10 ．已知直线 的倾斜角为 ，直线 ： ，若 ，则实数 的值为 _______________________________ 11．经过点 M 2,1 且与直线 3x y 8 0 垂直的直线方程为 ________________________ ． 12 ．设 是函数 图象上的动点，当点 到直线 的距离最小时， 与圆的另一个交点分别为 1)若 点坐标为 ，求直线 的方程； 2)求证：直线 过定点 . 点， 、 为其上下顶点，若 (1) 求椭圆 的方程； 13． 与直线 平行，并且距离等于 14 ． 已知直线 和直线 为 _ __________ ； 15 ． 直线 与直线 16． 已知直线 ，直线 当 _________ 时， 与 平行． 17 ．已知实数 满足 3 的直线方程是 ____________ ． 互相垂直，则实数 的值 的距离是 _________ ． ，则 过定点 _______________ ，则 18 ．点 关于直线 的对称点是 ________ 三、解答题 19 ．如图：已知 是圆 与 轴的交点， 为直线 上的动点， 20．已知椭圆 是其左右焦点， 为其左右顶 的最大值为

高一数学必修二《直线的交点坐标与距离公式》

3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 3.3.2 两点间的距离 1．直线x ＋2y －2＝0与直线2x ＋y －3＝0的交点坐标是 ( ) A ．(4,1) B ．(1,4) C.? ????43，13 D.? ?? ??13，43 答案 C 解析 由方程组?? ? x ＋2y －2＝0，2x ＋y －3＝0， 得????? x ＝43，y ＝1 3. 即直线x ＋2y －2＝0与直线 2x ＋y －3＝0的交点坐标是? ???? 43，13. 2．已知M (2,1)，N (－1,5)，则|MN |等于 ( ) A ．5 B.37 C.13 D ．4 答案 A 解析 |MN |＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5. 3．经过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是 ( ) A ．2x ＋y －8＝0 B ．2x －y －8＝0 C ．2x ＋y ＋8＝0 D ．2x －y ＋8＝0 答案 A 解析 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y －6＝－2(x －1)，即2x ＋y －8＝0. 4．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1与l 2相交，则实数a 满足的条件是________． 答案 a ≠2

解析 l 1与l 2相交则有：a 4≠3 6，∴a ≠2. 5．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于________． 答案 2 5 解析 设A (x,0)，B (0，y )，∵AB 中点P (2，－1)， ∴x 2＝2，y 2＝－1， ∴x ＝4，y ＝－2，即A (4,0)，B (0，－2)， ∴|AB |＝42＋22＝2 5. 1．方程组??? A 1x ＋ B 1y ＋ C 1＝0 A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.亦即两条直 线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0.直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝ 0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)． 2．解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法． 3．两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.

高中数学-直线的交点坐标与距离公式教案

第一课时 3.3-1两直线的交点坐标教案 一、教学目标 （一）知能目标：1。直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解 （二）情感目标：1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系。 2．能够用辩证的观点看问题。 二、教学重点，难点 重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。 难点：两直线相交与二元一次方程的关系。 三、教学过程： （一）课题导入 用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ （二）探研新知 分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系已知两直线L1：A1x+B1y +C1=0,L2：A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。 几何元素及关系代数表示 点A A（a，b） 直线L L：Ax+By+C=0 点A在直线上 直线L1与 L2的交点A 课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？ （1） 若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。 （2） 若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。 （3） 若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。 课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？ 1． 例题讲解，规范表示，解决问题 例题1：求下列两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 34202220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2 所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2），如图3。3。1。 6 4 2 -2 -4 -55 y x 教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。 同类练习：书本114页第1，2题。

直线的一般式方程和直线的交点坐标

乌审旗高级中学高一数学系列学案 制作时间：2016-11-9 乌审旗高级中学高一数学系列学案 制作时间：2016-11-9 主备人: 余洁娜 备课组成员: 郝志琴 郭晓斌 郭玉虎 余洁娜 审核人：高一年级组 主备人: 余洁娜 备课组成员: 郝志琴 郭晓斌 郭玉虎 余洁娜 审核人：高一年级组 1 3.2.3 直线的一般式方程 学习目标 （1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 （3）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； 自主学习 阅读课本97页--99页，完成下列任务 1.直线的一般式方程是________________________ 2.完成99页练习1，100页练习2 3.完成101页11,114页B 组1 4.完成98页探究，100页练习3 5.完成109页2 6.完成101页B 组4, 109页A 组3, 114页A 组4、5、6、7 3.3.1两条直线的交点坐标 学习目标 1．会求相交直线的交点坐标； 2．能根据二元一次方程组解的情况判断两条直线的位置关系； 3．理解，归纳出过定点直线系方程。 一、阅读课本102-104，完成下列问题 1.填写102页的表格，完成104练习1、2，109页A 组1 2.完成109页5,110页B 组1 二、直线系方程 1.求直线022:,0243:21=++=-+y x l y x l 交点P 的坐标 2.上面所求的交点P 是否在直线0)22(243=+++-+y x y x λ上？ 3.当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形，图形有何特点？ 4.方程0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示什么图形？ 试一试：1.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R),则直线l 过定点____________. 2.无论m 取任何实数时，直线(2m-1)x-(m+3)y-m+11=0均恒过定点，请求出定点的坐标. 3.2.3 直线的一般式方程 学习目标 （1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 （3）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距； 自主学习 阅读课本97页--99页，完成下列任务 1.直线的一般式方程是________________________ 2.完成99页练习1，100页练习2 3.完成101页11,114页B 组1 4.完成98页探究，100页练习3 5.完成109页2 6.完成101页B 组4, 109页A 组3, 114页A 组4、5、6、7 3.3.1两条直线的交点坐标 学习目标 1．会求相交直线的交点坐标； 2．能根据二元一次方程组解的情况判断两条直线的位置关系； 3．理解，归纳出过定点直线系方程。 一、阅读课本102-104，完成下列问题 1.填写102页的表格，完成104练习1、2，109页A 组1 2.完成109页5,110页B 组1 二、直线系方程 1.求直线022:,0243:21=++=-+y x l y x l 交点P 的坐标 2.上面所求的交点P 是否在直线0)22(243=+++-+y x y x λ上？ 3.当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形，图形有何特点？ 4.方程0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示什么图形？ 试一试：1.已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R),则直线l 过定点____________. 2.无论m 取任何实数时，直线(2m-1)x-(m+3)y-m+11=0均恒过定点，请求出定点的坐标.

直线的交点坐标与距离公式练习题

第八章第三节直线的交点坐标与距离公式 课下练兵场 、选择题 1.两条平行线11： 3x + 4y + C 1 = 0, 12： 6x + 8y + C 2= 0 之间的距离是 （ A. d = * 5 .以上皆非 C 2 解析：I 2： 3X + 4y + - = 0,/ 答案：B k 2k 1 k —1v 0, L>0,所以交点在第二象限. 答案：B 3. （2009 ?哈尔滨模拟）若k , — 1, b 三个数成等差数列，则直线 解析：因为k ,— 1, b 三个数成等差数列，所以 k + b =— 2,即b =— k — 2,于是直线 方程化为y = kx — k — 2,即卩y + 2 = k （x — 1），故直线必过定点（1 , — 2）. 答案：A A. (1 , — 2) B . (1,2) .(—1,2) .(—1, — 2) C 2 l C 1—□ d= ------ 2.当 0v k v 2时, 直线 11: kx — y = k — 1与直线12： ky — x = 2k 的交点在 A.第一象限 .第二象限 C.第三象限 .第四象限 解析：解方程组 kx — y = k — 1, ky — x 得两直线的交点坐标为 k 2k — 1 , k — 1 ，因为0 1 v k v 2，所以 y = kx + b 必经过定点（ ）

4.直线y= 2x + 10, y= x+ 1, y= ax — 2交于一点，则a的值为

解析：直线 y = 2x + 10与y = x + 1的交点坐标为(—9, - 8)，代入y = ax —2，得一8 2 =a ? ( — 9) — 2, a =3. 答案：C 5. 点P (m- n ,— m 到直线m + y = 1的距离等于 X y 解析：因为直线m + n =1可化为n x + m y - mn= 0, 则由点到直线的距离公式，得 ,1( m — n )n + ( — n ) m — mn d = 答案: l i ： y = k (x — 4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又 由于直线1 1： y = k (x — 4)与直线12关于点(2,1)对称，???直线12恒过定点(0,2). 答案：B 二、填空题 解析：由题意得，6=V 丰V ，? a = — 4，c 12, c 则 6x + ay + c = 0 可化为 3x — 2y + 2 = 0, c 由两平行线间的距离，得血N 解得c = 2或-6，所以宁=± 1. 答案：±1 &直线3x — 4y — 27= 0上到点R2,1)距离最近的点的坐标是 解析：数形结合所求点即为过 P 点垂直于已知直线的交点, 答案：(5 , — 3) 9?与直线x — y — 2= 0平行，且它们的距离为 2^/2的直线方程是寸 m + n 2 6. (2009 -海淀模拟 )若直线l i ： y = k (x — 4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线|2恒过定 A. (0,4) B .(0,2) C .(—2,4) .(4 , — 2) 解析：由于直线 7.若两平行直线 3x — 2y — 1 = 0,6x + ay + c = 0之间的距离为 垃，则也的值为 a 13 可得 P' (5 , — 3).

知识讲解_直线的交点坐标与距离公式_基础

直线的交点坐标与距离公式 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 【要点梳理】 【高清课堂：两直线的交点与点到直线的距离381525 知识要点1】 要点一、直线的交点 求两直线1111110(0)A x B y C A B C ++=≠与2222220(0)A x B y C A B C ++=≠的交点坐标，只需求两 直线方程联立所得方程组111222 00A x B y C A x B y C ++=??++=?的解即可.若有111 222A B C A B C ==，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 111222A B C A B C =≠，则方程组无解，此时两直线平行；若有1122 A B A B ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 要点二、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有,x y 以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=交点的直线方程为111222()0A x B y C A x B y C λ+++++=，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到2220A x B y C ++=，因此它不能表示直线2l ． 要点三、两点间的距离公式 两点11 1222()()P x y P x y ，，，间的距离公式为 12PP = 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 要点四、点到直线的距离公式 点00()P x y ，到直线0Ax By C ++= 的距离为d =. 要点诠释： （1）点00()P x y ，到直线0Ax By C ++=的距离为直线上所有的点到已知点P 的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；

直线的交点坐标与距离公式测试题

直线的交点坐标与距离公式测试题 命题 胡阁 一、选择题 1. 已知集合M={(x ,y )∣x +y =2}，N={(x ,y )∣x –y =4},那么集合M∩N 为( ) A. {3,–1} B. 3,–1 C. (3,–1) D.{(3,–1)} 2． 如果直线y =ax +2与直线y =3x +b 关于直线y =x 对称，那么a ,b 的值分别是( ) A.13 ，6 B.13 ，－6 C.3，－2 D.3，6 3. 已知M(5cos α,5sin α),N(4cos β,4 sin β), 则|MN|的最大值( ) A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 4. 点P 在直线x +y –4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是( ) A ．2 B.6 C.22 D.10 5．已知点P (a , b )是第二象限的点，那么它到直线x –y =0的距离是 A. 2 2 (a –b ) B.b –a C. 2 2 (b –a ) D.22a b + 6．一条直线经过P(1,2), 且与A(2,3)、B(4,－5)距离相等,则直线l 为( ) A. 4x +y －6=0 B. x +4y －6=0 C. 3x +2y －7=0和4x +y －6=0 D. 2x +3y －7=0, x +4y －6=0 7．已知M (sinα, cosα), N (cosα, sinα)，直线l : x cosα+y sinα+p =0 (p <–1)，若M , N 到l 的距离分别为m , n ，则( ) A.m ≥n B.m ≤n C.m ≠n D.以上都不对 8．过两直线x –3y +1=0和3x +y –3=0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 9．已知A , B , C 为三角形的三个内角，它们的对边长分别为a , b , c ，已知直 线 x sin A +y sin B +sin C =0到原点的距离大于1，则此三角形为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 10. 已知点A(1,3)、B(5,2)，点P 在x 轴上，使|AP |–|BP |取得最大值时P 的坐标（ ） A. （4,0） B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0) 二、填空题 11．直线l 过点A (0, 1)，且点B (2, –1)到l 的距离是点C (1, 2)到l 的距离的 2倍，则直线l 的方程是 . 12. 无论k 为何值，直线054)1()2(=---++k y k x k 都经过一个定点，则这

直线的交点坐标与距离公式(习题)

直线的交点坐标与距离公式（习题） 1.直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点，则k的值是（） A．1 2 B． 1 2 -C．2 D．-2 2.经过两条直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点，且平行于直线4x-3y-7=0的直 线方程为（） A．3x+4y+17=0 B．4x-3y-6=0 C．3x+4y-17=0 D．4x-3y+18=0 3.两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A，B，则|AB|=（） A B． 17 5 C． 13 5 D． 11 5 4.若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离为4，则k的值为（） A．1 B．-3 C． 5 1 3 或D． 17 3 3 -或 5.已知点P的纵坐标为2，Q(2，-3)，M(1，1)，且|PQ|=|PM|，则点P的坐标 为________． 6.过点P(0，1)且和A(3，3)，B(5，-1)距离相等的直线的方程为 _________________________．

7. 两条平行直线3x +4y -12=0与ax +8y +11=0间的距离为______． 8. （1）与直线7x +24y =5平行，且与其距离等于3的直线方程为 _______________________________． （2）已知两条平行线l 1：2x +3y -6=0与l 2：4x +6y -3=0 平行线的方程为_________________________． 9. 已知点A (1，3) ，B (3，1)，C (-1，0)，求△ABC 的面积． 10. 设a ，b ，c ，d ∈R ．求证：对于任意p ，q ∈R ， 11. 已知△ABC 的顶点A 的坐标为(5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为 2x -y -5=0，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x -2y -5=0．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．

直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离公式 一、目标认知 1.掌握解方程组的方法，求两条相交直线的交点坐标. 2.掌握两点间距离公式，点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离. 二、知识要点梳理 知识点一：直线的交点： 求两直线与的交点坐标，只需求两直线方程联立所 得方程组的解即可.若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；若有 ，则方程组无解，此时两直线平行；若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标. 要点诠释： 求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数. 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为. 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决.另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握. 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为. 要点诠释： 此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.点到直线 的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离. 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即 为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为. 要点诠释： (1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一 般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； (2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直 线中x，y的系数要保持一致. 三、规律方法指导 应用解析思想解决问题的基本步骤： 第一步：建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量.坐标系的选择是否适当是影响解题过程简捷与否的重要因素，坐标系建立的不恰当会人为的扩大题目的计算量.在建立坐标系时一般以特殊的点、线作为坐标系的原点和坐标轴，建立坐标系时，对图形的特性应用的越充分，题目中出现的变量就会越少，运算过程也会越简便.

直线的交点坐标与距离公式(教案)

直线的交点坐标与距离公式（教案） 教学目的 一. 考纲考情 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 二.知识梳理 知识点一 两条直线的交点 设两条直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0（ ）.l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2 ＝0，（ ）. (1)直线l 1与l 2相交的充要条件是 . (2) 怎么求这两条直线交点坐标？ 知识点二 几种距离公式 (1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝ (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝ . (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝ . 三.考点自测 1. 1.已知直线l 1:3x+4y-5=0与l 2:3x+5y-6=0相交, . 3.直线2x ＋2y ＋1＝0，x ＋y ＋2＝0之间的距离是________． 4.已知点A (1, 3)，B (3, 1)，C (－1, 0)，求△ABC 的面积. 2222A +B 0 ≠2211A +B 0≠2. 已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2 l 1 的 方程为_________________________.

四.典例精讲 热点一两条直线相交问题 【例1】求经过直线l1：x＋y＋1＝0与直线l2：x－y＋3＝0的交点P，且与直线l3：2x－y＋2＝0垂直的直线l的方程． 【总结反思】 跟踪训练;求经过两条直l 1: x-2y+4=0和l 2 :x+y-2=0的交点,且和直线2x-y+6=0 平行的直线l的方程. 热点二距离问题 例2（1）直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________________. 【总结反思】

直线的交点坐标与距离公式(讲义)

直线的交点坐标与距离公式（讲义） ? 知识点睛 一、两条直线的交点坐标 二、对于方程A 1x +B 1 y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0： 当λ取不同值时，该方程表示直线，这些直线经过同一个点，这个点是__________________与_________________的交点． 三、距离公式 1. 两点间的距离 如图 1，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式： 12||PP =． 2. 点到直线的距离 （1）如图2，点P 0(x 0，y 0)到直线Ax +By +C =0（A ，B 不同时为0）的距离： d =． 图1 图2 （2）使用点到直线的距离公式的前提条件：把直线方程化为一般式方程．

3.两条平行直线间的距离 （1）两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离为： d=．

? 精讲精练 1. 已知直线l 1：Ax +3y +C=0，l 2：2x -3y +4=0，若l 1，l 2的交点在y 轴上，则C 的值为_____________． 2. 已知点M (0，-1)，若点N 在直线x -y +1=0上，且直线MN 垂直于直线 则N 点的坐标为（ ） A ．(-2，-1) B ．(2，3) C ．(2，1) D ．(-2，1) 3. （1）直线(2k -1)x -(k +3)y -(k -11)=0（k ∈R ）所经过的定点是 ____________． （2）不论m 取任何实数，直线(3m +2)x -(2m -1)y +5m +1=0必过定点_____________． 4. （1）已知点A (5，12)，若点P 在x 轴上，且|P A |=13，则点P 到原点的距离为_____________． （2）若点P (x ，y )到两点M (2，3)和N (4，5)的距离相等，则 x +y =_____________． 5. 点(-3，6)到直线y =3x 的距离为_________，到直线4x -3y +2=0的距离为 _________，到直线134 x y +=的距离为_________．

第3章直线与方程33直线的交点坐标与距离公式

第3章直线与方程 3.3直线的交点坐标与距离公式 教学目标： 1、 掌握求两条直线交点坐标的方法。 2、 会求平面内两点间的距离，并掌握两点间距离公式的应用。 3、 会利用公式求点到直线的距离的方法。 知识点： 1两直线的交点 求两直线= 10)与尙X +E A +C?二丰0)的交点坐标 只需求两直线方程联立所得方程组 ① 若方程组有无穷多个解，此时两直线重合；反之，亦成立。 ② 若方程组无解，此时两直线平行；反之，亦成立。 ③ 当有交点时，方程组的解就是交点坐标。 在 -- 两直线相交的条件是為 或A 1B 2 — A 2B 1工 要点诠释：求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数 例1、求下列两条直线的交点: l i : x + 2y + 1 = 0,l 2 : — x + 2y + 2 = 0 2、平面上两点间的距离公式 两点呂仏Ail 加『2)间的距离公式为關I 二血-讦+ 0?. 要点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行 直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决 .另外在下一章圆的标准方程的推导、 直线与圆、圆与圆 的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握 . 例2、已知点A (1 , 2), B (3, 4), C (5, 0),求证：△ ABC 是等腰三角形。 + q = 0 4畫+盼+ G 二0的解即可.

例3、已知点A （4,12）,在x轴上的点P与点A的距离等于13,求点P的坐标。 3、点到直线的距离公式 d = 点P（皿儿）到直线应+砂+c = o的距离为 要点诠释：此公式常用于求三角形的高、两平行间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等。点直线加+砂+ C = 0的距离为直线上所有的点到已知点P的距离中最小距离。 例4、直线I经过点P（2，-5），且与点A（ 3，-2）和点B（ -1，6）的距离之比为1： 2,求直线I的方程。 4、两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法： ①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离； ②距离公式：直线去+和= o与直线祇十盼C］二0的距离为加+护. 要点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式+0’时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直 线中x, y的系数要保持一致. 例5、直线l1过点A （0, 1）, I2过点B （5, 0）,如果l1 //丨2 ,且l1与l2的距离为5,求l1、I2的方程。